三角関数 ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分かっているのは $\tan \theta$ の値だけ。$\theta$ が何度かも、どの象限かも分からない。

でも求めたいのは $2$ 倍角。$2$ 倍角の公式は $\sin \theta ,\cos \theta$ で書くのが基本だが、それぞれの値までは要らない。$\sin 2\theta ,\cos 2\theta ,\tan 2\theta$ は、じつは $\tan \theta$ だけで表せる公式がある。$\tan \theta =2$ を入れればすぐに出る。

① $\sin 2\theta$。 $\tan \theta =2$ を代入。

$$\sin 2\theta =\frac{2\cdot 2}{1+2^2}=\frac{4}{5}$$

② $\cos 2\theta$。

$$\cos 2\theta =\frac{1-2^2}{1+2^2}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$$

③ $\tan 2\theta$。

$$\tan 2\theta =\frac{2\cdot 2}{1-2^2}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$$

(検算:$\frac{\sin 2\theta }{\cos 2\theta }=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}=\tan 2\theta$。)

まとめ:$\tan \theta$ だけが分かるときは、$2$ 倍角を $\tan \theta$ で表す公式が便利。$\sin \theta ,\cos \theta$ の符号(象限)を気にせず求まる。$\sin 2\theta ,\cos 2\theta$ の分母は同じ $1+{\tan }^2\theta$、$\tan 2\theta$ だけ分母が $1-{\tan }^2\theta$。

発展。 $\tan \theta$ だけで $\sin 2\theta ,\cos 2\theta$ を表す公式は、$t=\tan \frac{\theta }{2}$ とおく「半角(ワイエルシュトラス)置換」の親戚。$\sin \theta =\frac{2t}{1+t^2}$、$\cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}$ と書ける。三角関数の積分を有理関数に変える道具として、大学でよく使う。

別解

別解:直角三角形を$1$つ描く(苦手な人向けの直感ルート)。 $\tan \theta =2=\frac{2}{1}$ は「対辺 $2$、隣辺 $1$」の直角三角形。斜辺は三平方で $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。

この三角形から $\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}$、$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$ と読める。あとは素直な $2$ 倍角へ代入する。

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5},$$ $$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\frac{1}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{3}{5}.$$

$\tan 2\theta =\frac{\sin 2\theta }{\cos 2\theta }=-\frac{4}{3}$。$\theta$ が第 $3$ 象限($\sin ,\cos$ とも負)でも、$\sin 2\theta ,\cos 2\theta$ は積・$2$乗の形なので符号が変わらず同じ答え。公式を丸暗記しなくても、三角形を $1$ つ描けば $2$ 倍角にたどり着ける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\cos 2\theta$ と $\sin \theta$ が混ざっている。このままでは解けない。

角を $2\theta$ と $\theta$ の $2$ 種類にしているのが原因。$2$ 倍角で $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ に書き直せば、文字が $\sin \theta$ だけにそろう。$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ を使う。すると $\sin \theta$ の $2$ 次方程式になる。因数分解して解こう。

① $1$ 種類にそろえる。 $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ を代入。

$$(1-2{\sin }^2\theta )+3\sin \theta -2=0⟹-2{\sin }^2\theta +3\sin \theta -1=0$$

② $2$ 次方程式を解く。 $s=\sin \theta$ とおき、両辺 $\times (-1)$ して

$$2s^2-3s+1=0⟹(2s-1)(s-1)=0⟹s=\frac{1}{2},1$$

③ $\theta$ を拾う。 $0\le \theta <2\pi$ で

• $\sin \theta =\frac{1}{2}$:$\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$
• $\sin \theta =1$:$\theta =\frac{\pi }{2}$

よって $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}$。

まとめ:$\cos 2\theta$ と $\sin \theta$ が混ざったら「$2$ 倍角で $\sin$ にそろえて $2$ 次方程式」。$\sin \theta =1$ は $\theta =\frac{\pi }{2}$ の $1$ つだけ($-1\le \sin \le 1$ の上端)。範囲内の $\theta$ を単位円で漏れなく拾う。

発展。 「$2$ 倍角で角をそろえて$2$次方程式に」は三角方程式の基本の方法だ。$\cos 2\theta$ に $3$ つの形($1-2{\sin }^2$、$2{\cos }^2-1$、${\cos }^2-{\sin }^2$)があるのは、残したい文字に合わせて選ぶため。方程式に $\sin$ が多ければ $1-2{\sin }^2$ を選ぶ、という「道具の選択」ができるようになることが大事だ。

別解

別解:単位円で根を読む(苦手な人向けの視覚ルート)。 $2$ 次方程式を解くと $\sin \theta =\frac{1}{2}$ または $\sin \theta =1$。この $2$ 本の「高さ」を単位円で見る。

$\sin \theta =\frac{1}{2}$ は、高さ $\frac{1}{2}$ の水平線が単位円と交わる $2$ 点。第 $1$ 象限の $\theta =\frac{\pi }{6}$ と、第 $2$ 象限の $\theta =\frac{5\pi }{6}$。$\sin \theta =1$ は円の一番上、$\theta =\frac{\pi }{2}$ のただ $1$ 点。

合わせて $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}$。式だけで解くと「$\sin \theta =1$ が $1$ 個、$\sin \theta =\frac{1}{2}$ が $2$ 個」の解の個数を取り違えやすい。単位円で水平線を引くと、交点の数がそのまま解の数として目に見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$ を、そのまま $\theta$ で最大最小するのは難しい。

$\sin ,\cos$ の対称式(入れ替えても同じ)だから、和 $t=\sin \theta +\cos \theta$ と積 $\sin \theta \cos \theta$ で書き直せる。$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$ の因数分解を使い、$1$ 変数 $t$ の関数にする。あとは $t$ の動く範囲を押さえて調べる。

① $t$ の式にする。 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より

$${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =(\sin \theta +\cos \theta )(1-\sin \theta \cos \theta )=t\left(1-\frac{t^2-1}{2}\right)=\frac{t(3-t^2)}{2}=\frac{3t-t^3}{2}$$

② $t$ の範囲。 $t=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ では $\theta +\frac{\pi }{4}$ が $\frac{\pi }{4}$ から $\frac{3\pi }{4}$ を動き、$\sin$ は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $1$。よって $t$ は $1\le t\le \sqrt{2}$。

③ 範囲つきで調べる。 $g(t)=\frac{3t-t^3}{2}$、$g^{\prime }(t)=\frac{3-3t^2}{2}$。$1\le t\le \sqrt{2}$ では $t\ge 1$ で $g^{\prime }\le 0$、すなわち $g$ は減少。

• 最大:左端 $t=1$ で $g(1)=\frac{3-1}{2}=1$($\theta =0$ または $\frac{\pi }{2}$)。
• 最小:右端 $t=\sqrt{2}$ で $g(\sqrt{2})=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$($\theta =\frac{\pi }{4}$)。

まとめ:${\sin }^3+{\cos }^3$ は「和の因数分解 → $t=\sin +\cos$ で $1$ 変数化」。$t$ の範囲 $1\le t\le \sqrt{2}$ が必須で、この範囲で $g(t)$ は減少だから、最大は $t=1$(端が $0,\frac{\pi }{2}$)、最小は $t=\sqrt{2}$($\theta =\frac{\pi }{4}$)。

発展。 ${\sin }^n\theta +{\cos }^n\theta$ は、$p=\sin \theta +\cos \theta$ と $q=\sin \theta \cos \theta$ の対称式(ニュートンの恒等式)で書ける。$n$ が上がっても和と積の$2$文字で処理できるのがポイント。$s_n={\sin }^n+{\cos }^n$ は漸化式 $s_n=p{s}_{n-1}-q{s}_{n-2}$ を満たす。

別解

別解:積 $u=\sin \theta \cos \theta$ の$1$変数に落とす(得意な人向けの視点)。 ${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =(\sin \theta +\cos \theta )(1-\sin \theta \cos \theta )$ と因数分解する(${\sin }^2+{\cos }^2=1$ を使った)。

ここで $u=\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$ とおくと、$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ で $u\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$。また $(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=1+2u$ だから $\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{1+2u}$。

$$f(u)=\sqrt{1+2u}(1-u),0\le u\le \frac{1}{2}.$$

$f(0)=1$、$f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ で、$f$ はこの区間で単調に減る。よって最大 $1$($u=0$、つまり $\theta =0,\frac{\pi }{2}$)、最小 $\frac{\sqrt{2}}{2}$($u=\frac{1}{2}$、つまり $\theta =\frac{\pi }{4}$)。$t=\sin \theta +\cos \theta$ を変数にする本解と、$u=\sin \theta \cos \theta$ を変数にするこの解は、どちらも「対称式は和か積の$1$変数にまとめる」という同じ考え方だ。$\sin 2\theta$ が $0\to 1$ と動くと見れば範囲もすぐ出る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\cos 3\theta =\cos 2\theta$。両辺とも $\cos$ の形だ。

$3$ 倍角・$2$ 倍角の公式で展開して $\cos \theta$ の方程式にする手もあるが、$3$ 次式になって面倒。「$\cos A=\cos B$ なら $A=\pm B+2k\pi$」という関係を使うと、角の等式に直せて速い。$3\theta =\pm 2\theta +2k\pi$ の $2$ 通りを解く。

① 角の関係にする。 $\cos 3\theta =\cos 2\theta$ より $3\theta =2k\pi \pm 2\theta$。

② $2$ 通りを解く。

• $3\theta =2\theta +2k\pi$:$\theta =2k\pi$。$0\le \theta <2\pi$ では $\theta =0$。
• $3\theta =-2\theta +2k\pi$:$5\theta =2k\pi$、$\theta =\frac{2k\pi }{5}$。$0\le \theta <2\pi$ では $k=0,1,2,3,4$ で $\theta =0,\frac{2\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\frac{6\pi }{5},\frac{8\pi }{5}$。

③ まとめる。 重複($\theta =0$)を除いて

$$\theta =0,\frac{2\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\frac{6\pi }{5},\frac{8\pi }{5}$$

まとめ:$\cos A=\cos B$ は「$A=2k\pi \pm B$」の $2$ 系統。$3$ 倍角で展開するより角の関係のほうが速い。$5\theta =2k\pi$ から $5$ 等分の角が出る。範囲 $0\le \theta <2\pi$ で $k$ を動かし、重複を除く。

発展。 $\cos n\theta$ は $\cos \theta$ の $n$ 次多項式で書ける(チェビシェフ多項式 $T_n$)。$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$、$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ を使えば $\cos \theta$ の $3$ 次方程式にもできる。和積を使う本解と、多項式に落とす道の両方があり、後者は $\cos \frac{2\pi }{5}$ の値も副産物で得られる。

別解

別解:和を積に直す(和積の公式ルート)。 $\cos 3\theta =\cos 2\theta$ を右辺に寄せ、$\cos 3\theta -\cos 2\theta =0$。和積の公式 $\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$ を使う。

$$\cos 3\theta -\cos 2\theta =-2\sin \frac{5\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}=0.$$

積が $0$ だから $\sin \frac{5\theta }{2}=0$ または $\sin \frac{\theta }{2}=0$。$\sin \frac{\theta }{2}=0$ は $0\le \theta <2\pi$ で $\theta =0$。$\sin \frac{5\theta }{2}=0$ は $\frac{5\theta }{2}=k\pi$、すなわち $\theta =\frac{2k\pi }{5}$ で $\theta =0,\frac{2\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\frac{6\pi }{5},\frac{8\pi }{5}$。$A=\pm B+2k\pi$ を使う本解と同じ $5$ 個の解。和積は「等しい $2$ つの $\cos$ の差 $=0$」を積の形にして、すぐに因数分解できるのが強みだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 直線のなす角。傾きが分かっているなら、なす角の $\tan$ が傾きだけで書ける公式がある。

$\tan \theta =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|$。絶対値がついているのは、鋭角のほうを測るため。傾き $3$ と $\frac{1}{2}$ を代入すれば $\tan \theta$ が出る。その値から $\theta$ を読む。

① 公式に代入する。 $m_1=3$、$m_2=\frac{1}{2}$ より

$$\tan \theta =\left|\frac{3-\frac{1}{2}}{1+3\cdot \frac{1}{2}}\right|=\left|\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}\right|=1$$

② 角を求める。 $\tan \theta =1$ で $\theta$ は鋭角だから

$$\theta =45°$$

まとめ:$2$ 直線のなす角は「傾きを $\tan \theta =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|$ に代入」。分子は傾きの差、分母は $1+$(傾きの積)。絶対値をつけて鋭角のなす角にする。今回は分子と分母がともに $\frac{5}{2}$ で $\tan \theta =1$、$45°$。

発展。 なす角の $\tan$ の公式は複素数でも見える。傾き $m$ の方向を複素数 $1+mi$ で表すと、$2$ 直線のなす角は $\frac{1+m_{2}i}{1+m_{1}i}$ の偏角。偏角の差=商の偏角、という複素数の性質が、そのまま $\tan$ の加法定理・なす角公式になっている。

別解

別解:方向ベクトルの内積で測る(得意な人向けの視点)。 直線 $y=3x$ の方向ベクトルは $(1,3)$、$y=\frac{1}{2}x$ の方向ベクトルは $(2,1)$。$2$ 直線のなす角はこの $2$ ベクトルのなす角(またはその補角)。

内積で $\cos \theta$ を出す。

$$\cos \theta =\frac{(1)(2)+(3)(1)}{\sqrt{1^2+3^2}\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}>0$ なので、なす鋭角は $\theta =45°$。$\tan$ の公式を使う本解と同じ。傾き $m$ の直線の方向ベクトルは $(1,m)$ と読めるので、なす角は内積でも測れる。分子が正なら鋭角、そのまま答えになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y=\frac{\sin \theta +2}{\cos \theta +2}$ の最大最小。$\theta$ で微分するのは重い。

「$y=k$ とおいて、その $k$ が実現できる($\theta$ が存在する)条件」を探すのが基本だ。$y=k$ を分母払いして整理する。$\sin \theta -k\cos \theta =2k-2$ の形にすると、左辺は合成できる。$\theta$ が存在する条件は「右辺が $\sqrt{1+k^2}$ 以下」。これが $k$ の不等式になる。

① $k$ とおいて整理する。 $y=k$ とおくと $\sin \theta +2=k(\cos \theta +2)$、すなわち

$$\sin \theta -k\cos \theta =2k-2$$

② 合成して存在条件。 左辺は $\sqrt{1+k^2}\sin (\theta +\alpha )$ と合成でき、$-\sqrt{1+k^2}\le (\text{左辺})\le \sqrt{1+k^2}$。$\theta$ が存在するには右辺がこの範囲に入ること:

$$|2k-2|\le \sqrt{1+k^2}$$

③ $2$ 乗して解く。 両辺 $\ge 0$ なので $2$ 乗して

$$(2k-2{)}^2\le 1+k^2⟹4k^2-8k+4\le 1+k^2⟹3k^2-8k+3\le 0$$

$k=\frac{8\pm \sqrt{64-36}}{6}=\frac{8\pm 2\sqrt{7}}{6}=\frac{4\pm \sqrt{7}}{3}$ より

$$\frac{4-\sqrt{7}}{3}\le k\le \frac{4+\sqrt{7}}{3}$$

よって最大値 $\frac{4+\sqrt{7}}{3}$、最小値 $\frac{4-\sqrt{7}}{3}$。

まとめ:分数の三角関数は「$=k$ とおいて合成 → $\theta$ の存在条件($|$右辺$|\le$振幅)」を $k$ の不等式に。幾何的には「単位円上の点と定点 $(-2,-2)$ を結ぶ傾き」で、その最大最小は定点から円への接線の傾き。

発展。 「分数式 $\frac{\sin \theta +b}{\cos \theta +a}$ の最大最小 $=$ 定点 $(-a,-b)$ から単位円へ引いた接線の傾き」。定点が円の内部($a^2+b^2<1$)なら傾きは全実数を取り(最大最小なし)、円上なら接線 $1$ 本で片側だけ、外部なら $2$ 本で両側の極値。定点の位置で答えの様子が変わる。

別解

別解:外の点から単位円を見込む「傾き」で考える(得意な人向けの高い視点)。 $y=\frac{\sin \theta +2}{\cos \theta +2}=\frac{\sin \theta -(-2)}{\cos \theta -(-2)}$ は、定点 $(-2,-2)$ と単位円上の点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ を結ぶ直線の傾きそのもの。

$\theta$ が動くと、$(-2,-2)$ から単位円上の各点へ引いた直線の傾きが $y$。その最大・最小は $(-2,-2)$ から円に引いた $2$ 本の接線の傾きで実現する。接線の傾きを $k$ とすると、直線 $y+2=k(x+2)$ が原点から距離 $1$(半径)。$\frac{|2k-2|}{\sqrt{k^2+1}}=1$ を $2$ 乗して整理すると

$$3k^2-8k+3=0⟹k=\frac{4\pm \sqrt{7}}{3}.$$

合成で $|2k-2|\le \sqrt{1+k^2}$ を解く本解と、同じ $2$ 次不等式・方程式に帰着する。$(-2,-2)$ は原点から距離 $2\sqrt{2}>1$ なので円の外にあり、接線が $2$ 本引ける。「分数式 $=$ 傾き」と読むと、最大最小が接線という図形の言葉になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sin \theta +\cos \theta \ge 1$。左辺は $\sin$ と $\cos$ が足し算で混ざっている。

こういう「$a\sin \theta +b\cos \theta$」は、合成して $1$ つの $\sin$(または $\cos$)にまとめるのが基本。$\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ になる。すると不等式は $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$。角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ の範囲で $\sin$ が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 以上になる区間を探す。

① 合成する。

$$\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\ge 1$$

すなわち

$$\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$$

② 角の範囲で解く。 $0\le \theta <2\pi$ より $\varphi =\theta +\frac{\pi }{4}$ は $\frac{\pi }{4}\le \varphi <2\pi +\frac{\pi }{4}$ を動く。$\sin \varphi \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは $\frac{\pi }{4}\le \varphi \le \frac{3\pi }{4}$(この範囲では、それ以外に $\sin \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ の区間はない)。

③ $\theta$ に戻す。 $\frac{\pi }{4}\le \theta +\frac{\pi }{4}\le \frac{3\pi }{4}$ より

$$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

まとめ:$\sin +\cos$ の不等式は「合成して $1$ つの $\sin$」。$\sin (\theta +\frac{\pi }{4})\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ を角の範囲で解き、$\theta$ に戻す。中身の角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ が動く範囲を正しくとるのがポイント。

発展。 $a\sin \theta +b\cos \theta =r\sin (\theta +\alpha )$($r=\sqrt{a^2+b^2}$)の合成は、点 $(a,b)$ の極形式そのもの。$(1,1)$ の極形式が $\sqrt{2}$、偏角 $\frac{\pi }{4}$ だから $\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。合成は「振幅と位相を持つ$1$つの波にまとめる」操作で、物理の波の重ね合わせと同じ考えだ。

別解

別解:単位円で「$x+y\ge 1$ の弧」を見る(苦手な人向けの視覚ルート)。 $\theta$ に対応する単位円上の点は $(\cos \theta ,\sin \theta )$。すると $\sin \theta +\cos \theta$ はその点の $x$ 座標 $+$ $y$ 座標。

不等式 $\sin \theta +\cos \theta \ge 1$ は「単位円上で $x+y\ge 1$ となる点」。直線 $x+y=1$ は $(1,0)$ と $(0,1)$ を通る。この直線より上側(原点と反対側)にある単位円の部分は、$(1,0)$ から $(0,1)$ へ向かう第 $1$ 象限の弧。角でいえば $\theta =0$ から $\theta =\frac{\pi }{2}$ まで。

よって $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$。合成して $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く本解と同じ区間。円上の点の「$x+y$」と直線を重ねると、答えの弧が目に見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\cos 20°\cos 80°\cos 40°$ を、角を測らずに求めたい。

角が $20°\to 40°\to 80°$ と倍々になっているのがヒント。$\sin 2A=2\sin A\cos A$ は「$\cos$ を掛けると角が倍になる」公式だ。そこで $\sin 20°$ を掛けてみる。$\sin 20°\cos 20°=\frac{1}{2}\sin 40°$、次に $\cos 40°$ を掛けると $\sin 80°$…と角が倍々に上がり、最後は $\sin 160°=\sin 20°$ でもとに戻る。この循環を利用する。

① $\sin 20°$ を掛ける。 求める積を $P$ とし、両辺に $\sin 20°$ を掛ける。

$$\sin 20°\cdot P=\sin 20°\cos 20°\cos 40°\cos 80°$$

② $2$ 倍角を繰り返す。 $\sin A\cos A=\frac{1}{2}\sin 2A$ を左から順に。

$$\sin 20°\cos 20°=\frac{1}{2}\sin 40°$$ $$\frac{1}{2}\sin 40°\cos 40°=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin 80°=\frac{1}{4}\sin 80°$$ $$\frac{1}{4}\sin 80°\cos 80°=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\sin 160°=\frac{1}{8}\sin 160°$$

③ もとに戻す。 $\sin 160°=\sin (180°-20°)=\sin 20°$ だから

$$\sin 20°\cdot P=\frac{1}{8}\sin 20°$$

$\sin 20°\ne 0$ で割って

$$P=\frac{1}{8}$$

まとめ:角が倍々に並ぶ $\cos$ の積は「先頭の $\sin$ を掛けて $2$ 倍角の連鎖」。角が $20°\to 40°\to 80°\to 160°$ と倍増し、$\sin 160°=\sin 20°$ で先頭に戻ることで、掛けた $\sin 20°$ が消えて $\frac{1}{8}$ が残る。

発展。 一般に $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cdots \cos 2^{n-1}\theta =\frac{\sin 2^n\theta }{2^n\sin \theta }$(角が倍々の積)。本問は $\theta =20°$、$n=3$ で $\frac{\sin 160°}{8\sin 20°}=\frac{\sin 20°}{8\sin 20°}=\frac{1}{8}$。$\sin 20°$ を掛ける工夫はこの望遠鏡積の公式の証明そのものだ。

別解

別解:$60°$ をはさむペアにして積和を使う(別の道具ルート)。 $80°=60°+20°$、$40°=60°-20°$ と見て、まず $\cos 40°\cos 80°$ を積和で処理する。

$$\cos 40°\cos 80°=\cos (60°-20°)\cos (60°+20°)={\cos }^{2}60°-{\sin }^{2}20°=\frac{1}{4}-{\sin }^{2}20°.$$

${\sin }^{2}20°=\frac{1-\cos 40°}{2}$ を入れて $\cos 40°\cos 80°=-\frac{1}{4}+\frac{\cos 40°}{2}$。これに $\cos 20°$ を掛け、$\cos 20°\cos 40°=\frac{1}{2}(\cos 60°+\cos 20°)=\frac{1}{4}+\frac{\cos 20°}{2}$ を使うと

$$\cos 20°\cos 40°\cos 80°=-\frac{\cos 20°}{4}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}+\frac{\cos 20°}{2}\right)=\frac{1}{8}.$$

$\sin 20°$ を掛けて角を倍々にする本解と同じ $\frac{1}{8}$。$\cos (60°\pm 20°)$ の対称ペアと積和公式でも、地道に $\frac{1}{8}$ にたどり着ける。