三角関数 ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =1$ は $\sin$ と $\cos$ が足し算で混ざっている。このままでは単位円で直接は解けない。

左辺を合成して $1$ つの $\sin$ にまとめれば、$\sin (\theta +\alpha )=$ 定数という基本形になる。$2$ つの波が混ざった方程式は、合成で単純化してから単位円で解く。中身の角 $\theta +\alpha$ の動く範囲に注意して解を拾う。

① 左辺を合成する。 係数は $\sqrt{3}$ と $1$。$r=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$ が前に出て、$\alpha$ は $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$・$\sin \alpha =\frac{1}{2}$ から $\frac{\pi }{6}$。

$$2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=1\Rightarrow \sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$$

これで「$\sin (\text{角})=\frac{1}{2}$」という基本形になった。

② 中身の角が動く範囲を作る。 ここが大事。$\theta$ そのものでなく、中身の $\theta +\frac{\pi }{6}$ の範囲で解を探す。$0\le \theta <2\pi$ の各辺に $\frac{\pi }{6}$ を足して

$$\frac{\pi }{6}\le \theta +\frac{\pi }{6}<2\pi +\frac{\pi }{6}$$

③ その範囲で $\sin =\frac{1}{2}$ になる角を拾う。 単位円で高さが $\frac{1}{2}$ になるのは $\frac{\pi }{6}$ と $\frac{5}{6}\pi$。上の範囲に入るのはこの2つ($\frac{13}{6}\pi$ は範囲外)。

$$\theta +\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6},\frac{5}{6}\pi$$

④ $\theta$ に戻す。 それぞれから $\frac{\pi }{6}$ を引く。

$$\theta =0,\frac{2}{3}\pi$$

まとめ:合成して基本形にしたら、中身の角の範囲で解を探すのがコツ。$\theta$ の範囲をそのまま使うと解を取りこぼす。最後に $\theta$ へ戻すのを忘れない。

発展。 この方程式の $2$ つの解 $\theta =0$ と $\theta =\frac{2}{3}\pi$ は、じつは対称な位置にある。合成した波 $2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)$ が最大になるのは $\theta +\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{3}$ のときだ。

$2$ つの解 $0$ と $\frac{2}{3}\pi$ はこの山の位置 $\frac{\pi }{3}$ をはさんでちょうど左右対称になっている($0$ と $\frac{2}{3}\pi$ の平均が $\frac{\pi }{3}$)。$\sin$ が $\frac{\pi }{2}$ について左右対称だからだ。

だから $\sin (\theta +\alpha )=$ 定数の形は、$1$ つ解が見つかれば、山の位置に関する折り返しでもう $1$ つが得られる。合成の $\alpha$ と山の位置さえ押さえれば、解の配置が読める。

別解

別解:直線と単位円の交点として解く(苦手な人向けの図形ルート)。 $\theta$ に対応する単位円上の点を $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$ とおく。すると与えられた式 $\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =1$ は、$x$ と $y$ の関係

$$x+\sqrt{3}y=1$$

になる。これは直線だ。つまり「単位円 $x^2+y^2=1$ と直線 $x+\sqrt{3}y=1$ の交点」を求めればよい。

直線から $x=1-\sqrt{3}y$ とし、円に代入する。

$$(1-\sqrt{3}y{)}^2+y^2=1⟹4y^2-2\sqrt{3}y=0⟹2y(2y-\sqrt{3})=0$$

よって $y=0$ または $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

• $y=0$ のとき $x=1$。点 $(1,0)$ だから $\theta =0$。
• $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき $x=1-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}$。点 $\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ は第 $2$ 象限で $\theta =\frac{2}{3}\pi$。

合成を使う本解と同じく $\theta =0,\frac{2}{3}\pi$ にたどり着く。合成の公式を思い出せなくても、「円と直線の交点」という座標の言葉で言い換えれば、$2$ 次方程式を解くだけで答えが出る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 範囲つきの最大最小では、合成後の角の範囲が決め手になる。$\theta +\frac{\pi }{4}$ が動く区間を先に求め、その区間で $\sin$ がどこまで動くかを単位円で読む。「合成 → 中身の角の範囲 → その範囲での $\sin$ の増減」という手順を丁寧に踏む。

合成する。$\sin \theta +\cos \theta$ は、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ を前に出して

$$y=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$$

$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ のとき、中身の角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ は

$$\frac{\pi }{4}\le \theta +\frac{\pi }{4}\le \frac{3}{4}\pi$$

この範囲で $\sin$ がとる値を調べる。$\frac{\pi }{4}$ から $\frac{3}{4}\pi$ の間では、$\sin$ は真ん中の $\frac{\pi }{2}$ で最大 $1$、両端の $\frac{\pi }{4}$・$\frac{3}{4}\pi$ で最小 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をとる。つまり

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\le \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\le 1$$

各辺を $\sqrt{2}$ 倍する($\sqrt{2}>0$ なので不等号の向きは変わらない)。

$$1\le y\le \sqrt{2}$$

よって最大値 $\sqrt{2}$、最小値 $1$。

別解

別解(合成のあと、単位円で高さを読む)

この問題は「合成して1つの $\sin$ にまとめ、その角を単位円で動かして高さ($\sin$)を読む」でも解ける。合成の後の値域の詰めが苦手でも、図で追えるやり方だ。

① まず合成する。 本解と同じく、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ を1つにまとめる。係数はどちらも $1$ なので $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ が前に出て

$$y=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$$

ばらばらだった $\sin$ と $\cos$ が1つの $\sin$ になった。ここから先は中身の角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ だけに注目すればよい。

② その角がどこからどこまで動くかを調べる。 $\theta$ が $0$ から $\frac{\pi }{2}$ まで動くので、中身の角も連れて動く。両端を実際に計算してみる。

• $\theta =0$ のとき、角は $0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$
• $\theta =\frac{\pi }{2}$ のとき、角は $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3}{4}\pi$

だから、中身の角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ は $\frac{\pi }{4}$ から $\frac{3}{4}\pi$ まで動く。

③ 単位円で高さ($\sin$)を読む。 単位円では、$\sin$ はその点の「高さ」($y$ 座標)。角が $\frac{\pi }{4}$ から $\frac{3}{4}\pi$ へ動くと、点は円の上側の弧(図の赤い部分)をたどる。

• いちばん高くなるのは、ちょうど真上の $\frac{\pi }{2}$ を通るとき。ここは単位円のてっぺんなので、高さは最大の $1$。
• いちばん低くなるのは、弧の両端 $\frac{\pi }{4}$ と $\frac{3}{4}\pi$ のとき。この2つは $y$ 軸をはさんでちょうど左右対称の位置にあるので、高さは同じ。どちらも $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ だ。

つまり、この範囲での高さ $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ は

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\le \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\le 1$$

④ 最後に $\sqrt{2}$ 倍する。 求める $y$ はこの高さの $\sqrt{2}$ 倍。$\sqrt{2}$ は正の数だから、各辺に掛けても不等号の向きは変わらない。

$$\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\le y\le \sqrt{2}\times 1\Rightarrow 1\le y\le \sqrt{2}$$

よって最大値 $\sqrt{2}$、最小値 $1$。本解(グラフで見る)と同じ答えになった。

まとめ:合成で角を $\theta +\frac{\pi }{4}$ に1つへまとめたら、「その角が単位円のどこからどこまで動くか」を押さえる。あとは高さ($\sin$)の最大・最小を図で読み、係数 $\sqrt{2}$ は最後に掛ければよい。数式の値域計算が不安なときほど、この図で確かめる見方が役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sin 2\theta$ と $\sin \theta +\cos \theta$ が混ざった式だ。まともに $\theta$ で扱うのは重い。

そこで $t=\sin \theta +\cos \theta$ とひとかたまりに置く。$2$ 乗すれば $\sin 2\theta =t^2-1$ が出て、式全体が $t$ の $2$ 次関数になる。あとは $t$ の動く範囲 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ の中で、$2$ 次関数の最大最小を調べればよい。頂点が範囲の内か端かを見極める。

① なぜ $\sin 2\theta =t^2-1$ になるかを確かめる。 $t=\sin \theta +\cos \theta$ を2乗すると

$$t^2={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =1+2\sin \theta \cos \theta =1+\sin 2\theta$$

（${\sin }^2+{\cos }^2=1$、$2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ を使った。）だから $\sin 2\theta =t^2-1$。

② なぜ $t$ の範囲が $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ かを確かめる。 $t=\sin \theta +\cos \theta$ を合成すると $t=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。$\sin$ の部分は $-1$ から $1$ まで動くので、$t$ は $-\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ まで。

③ $y$ を $t$ で表す。

$$y=(t^2-1)+2\sqrt{2}t=t^2+2\sqrt{2}t-1=(t+\sqrt{2}{)}^2-3$$

④ $t$ の2次関数として最大最小をとる。 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$、頂点は $t=-\sqrt{2}$(範囲の左端)。最小は頂点 $t=-\sqrt{2}$ で $-3$。最大は反対の端 $t=\sqrt{2}$ で

$$(\sqrt{2}+\sqrt{2}{)}^2-3=(2\sqrt{2}{)}^2-3=8-3=5$$

最大値 $5$、最小値 $-3$。

まとめ:$\sin \theta +\cos \theta$ が出たら $t$ とおく。2乗で $\sin 2\theta =t^2-1$ が現れ、合成で範囲 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ が決まる。この2つが置換の要点で、あとは $t$ の2次関数の問題になる。

発展。 置換で中心になるのは $\sin 2\theta =t^2-1$ という関係($t=\sin \theta +\cos \theta$)だ。これは、点 $(t,\sin 2\theta )$ が放物線 $\sin 2\theta =t^2-1$ の上を動く、と読める。

$\theta$ が $1$ 周すると、$t=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ は $-\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を往復し、この放物線の弧をなぞる。もとの $y$ はその弧の上で $\sin 2\theta$ と $t$ を混ぜた量になっている。

こうして「三角関数の最大最小」が「放物線上での $1$ 変数の最大最小」に姿を変える。角の問題を曲線上の問題に言い換えるこの見方は、媒介変数で表された量の最大最小へそのままつながる。

別解

別解:微分して増減を調べる(得意な人向けの解析ルート)。 $y=\sin 2\theta +2\sqrt{2}(\sin \theta +\cos \theta )$ を $\theta$ で微分する。

$$y^{\prime }=2\cos 2\theta +2\sqrt{2}(\cos \theta -\sin \theta )$$

ここで $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =(\cos \theta -\sin \theta )(\cos \theta +\sin \theta )$ と因数分解できるので、$\cos \theta -\sin \theta$ でくくれる。

$$y^{\prime }=2(\cos \theta -\sin \theta )(\sin \theta +\cos \theta +\sqrt{2})$$

$y^{\prime }=0$ となるのは次のとき。

• $\cos \theta -\sin \theta =0$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{5}{4}\pi$。
• $\sin \theta +\cos \theta +\sqrt{2}=0$、すなわち $\sin \theta +\cos \theta =-\sqrt{2}$ から $\theta =\frac{5}{4}\pi$。

$\theta$ は $1$ 周ぶん動くので端はなく、最大最小はこれらの点でとる。値を入れると

$$\theta =\frac{\pi }{4}:y=1+2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=5,\theta =\frac{5}{4}\pi :y=1+2\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})=-3.$$

よって最大値 $5$、最小値 $-3$。置換を使う本解と同じ答えだ。微分した $y^{\prime }$ がきれいに因数分解でき、$\theta =\frac{\pi }{4}$(山)と $\frac{5}{4}\pi$(谷)がそのまま出てくるので分かりやすい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 求めたいのは $\sin 3\theta$。角が $3\theta$ のままでは扱いにくい。

$3$ 倍角の公式 $\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ を使えば、右辺は $\sin \theta$ だけで書ける。与えられた $\sin \theta =\frac{1}{3}$ を代入するだけだ。$3\theta$ を $\theta$ の量に還元する道具として $3$ 倍角を使う。

$\sin \theta =\frac{1}{3}$ を代入する。

$$\sin 3\theta =3\cdot \frac{1}{3}-4\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3=1-4\cdot \frac{1}{27}=1-\frac{4}{27}=\frac{23}{27}$$

発展。 $3$ 倍角の公式は複素数のド・モアブルからすぐに出せる。$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ を展開し、実部と虚部を見比べると、実部から $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$、虚部から $\sin 3\theta =3{\cos }^2\theta \sin \theta -{\sin }^3\theta$ が同時に得られる。

後者に ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ を入れれば、$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ となり $\sin \theta$ だけの式になる。$\sin 3\theta$ が $\sin \theta$ だけで、$\cos 3\theta$ が $\cos \theta$ だけで書けるのは偶奇($\sin$ は奇関数、$\cos$ は偶関数)のなせるわざだ。

同じ要領で $\sin 5\theta ,\cos 5\theta$ など、何倍角の公式でも作れる。角を $2$ 倍・$3$ 倍と上げるたびに次数が上がっていくのが、多項式で表す倍角公式に共通する性質だ。

別解

別解:$3\theta =2\theta +\theta$ と分けて符号を追う(苦手な人向けの組み立てルート)。 $3$ 倍角の公式を覚えていなくても、$3\theta =2\theta +\theta$ と見れば加法定理から組み立てられる。

$$\sin 3\theta =\sin (2\theta +\theta )=\sin 2\theta \cos \theta +\cos 2\theta \sin \theta .$$

ここに $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$、$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ を入れる。

$$\sin 3\theta =(2\sin \theta \cos \theta )\cos \theta +(1-2{\sin }^2\theta )\sin \theta =2\sin \theta {\cos }^2\theta +(1-2{\sin }^2\theta )\sin \theta .$$

$\cos \theta$ が ${\cos }^2\theta$ の形でしか現れないことが大事だ。だから $\cos \theta$ の符号(象限)が分からなくても $\sin 3\theta$ は決まる。$\sin \theta =\frac{1}{3}$ から ${\cos }^2\theta =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$ なので

$$\sin 3\theta =2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{8}{9}+\left(1-\frac{2}{9}\right)\cdot \frac{1}{3}=\frac{16}{27}+\frac{7}{9}\cdot \frac{1}{3}=\frac{16}{27}+\frac{7}{27}=\frac{23}{27}.$$

公式暗記に頼る本解と同じ $\frac{23}{27}$。しかも「なぜ $\sin \theta$ だけで $\sin 3\theta$ が決まるのか」まで見えるのがこのルートの利点だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sin \theta +\sin 3\theta =0$ は $\sin$ の和の形。和のままでは因数分解できず、解きにくい。

和積の公式を使うと、$1$ つの積 $2\sin 2\theta \cos \theta$ にまとまる。積が $0$ の形になれば、因数ごとに $0$ とおいて解ける。和を積に変えて積 $=0$ に持ち込む、という三角方程式の定跡だ。

$A=3\theta$、$B=\theta$ として和を積に直す。

$$\sin 3\theta +\sin \theta =2\sin 2\theta \cos \theta =0$$

よって $\sin 2\theta =0$ または $\cos \theta =0$。$\sin 2\theta =0$ から $2\theta =0,\pi ,2\pi ,3\pi$、つまり $\theta =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3}{2}\pi$。$\cos \theta =0$ から $\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi$(すでに含まれる)。

まとめて $\theta =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3}{2}\pi$。

発展。 和積でまとめると $\sin \theta +\sin 3\theta =2\sin 2\theta \cos \theta$。ここで $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ を使えば $4\sin \theta {\cos }^2\theta$ とも書ける。$\cos \theta$ が $2$ 乗で入っているのがポイントだ。

$\cos \theta =0$ を与える $\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi$ は「重解」にあたる。関数 $y=\sin \theta +\sin 3\theta$ のグラフは、この $2$ 点で $x$ 軸を横切らず、軸に触れて折り返す(接する)。いっぽう $\sin \theta =0$ を与える $\theta =0,\pi$ は単純な解で、グラフは軸を突き抜ける。

因数の「重なり」がグラフの「接する・横切る」の違いに対応する。方程式の解と関数のグラフを結ぶ普遍的な橋がここにある。

別解

別解:$3$ 倍角で開いて因数分解する(和積を使わないルート)。 和積の公式を思い出せなくても、$\sin 3\theta$ を $3$ 倍角で開けば解ける。$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ を代入する。

$$\sin \theta +\sin 3\theta =\sin \theta +(3\sin \theta -4{\sin }^3\theta )=4\sin \theta -4{\sin }^3\theta =4\sin \theta (1-{\sin }^2\theta ).$$

$1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta$ だから

$$\sin \theta +\sin 3\theta =4\sin \theta {\cos }^2\theta =0.$$

積が $0$ なので $\sin \theta =0$ または $\cos \theta =0$。$0\le \theta <2\pi$ で

• $\sin \theta =0$:$\theta =0,\pi$。
• $\cos \theta =0$:$\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi$。

合わせて $\theta =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3}{2}\pi$。和積を使う本解と同じ答えだ。じつは和積の $2\sin 2\theta \cos \theta$ を開くと $4\sin \theta {\cos }^2\theta$ で、同じ積を別の形で見ていたことになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y=\cos 2\theta +4\sin \theta$ は、角が $2\theta$ と $\theta$ の $2$ 種類。このままでは最大最小を調べにくい。

$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ を使うと、式全体が $\sin \theta$ だけの形にそろう。$s=\sin \theta$($-1\le s\le 1$)とおけば $s$ の $2$ 次関数だ。倍角で $1$ 種類にそろえ、置換で $2$ 次関数にし、範囲つきで最大最小を調べる。

① $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ だけで書く。 $\cos 2\theta$ には $\sin \theta$ だけで書ける形 $1-2{\sin }^2\theta$ がある。これを代入すると、式全体が $\sin \theta$ だけになる。

$$y=\cos 2\theta +4\sin \theta =(1-2{\sin }^2\theta )+4\sin \theta$$

② $s=\sin \theta$ とおいて2次関数にする。 $s=\sin \theta$ とおくと

$$y=-2s^2+4s+1=-2(s-1{)}^2+3$$

ここでは $s$ の範囲が大事だ。$s=\sin \theta$ は $-1$ から $1$ までしかとらないので $-1\le s\le 1$。

③ $s$ の範囲で最大・最小を調べる。 $y=-2(s-1{)}^2+3$ は上に凸、頂点 $s=1$。頂点 $s=1$ は範囲のちょうど右端にあるので、最大はここで $3$。

最小は頂点から最も遠い端 $s=-1$ でとる。

$$y{|}_{s=-1}=-2(-1{)}^2+4(-1)+1=-2-4+1=-5$$

よって最大値 $3$、最小値 $-5$。

まとめ:$\cos 2\theta$ と $\sin \theta$ が混じったら、$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ で $\sin \theta$ にそろえて2次関数に。$s=\sin \theta$ の範囲 $-1\le s\le 1$ を必ず使う。

発展。 $\cos 2\theta$ と $\sin \theta$ が混ざった $y=a\cos 2\theta +b\sin \theta +c$ の形は、いつでも $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ で $s=\sin \theta$ の $2$ 次関数になる。ただし $s$ は $-1\le s\le 1$ の中でしか動けない。

だから最大最小の要は「頂点 $s$ が区間 $[-1,1]$ のどこにあるか」だ。頂点が区間の内側なら、最大(または最小)は頂点でとる。頂点が区間の外や端なら、$s=1$ か $s=-1$ の端で決まる。

今回は頂点 $s=1$ がちょうど右端に乗っていた。もし $4\sin \theta$ の係数が小さければ頂点は内側に入り、答えの様子が変わる。区間つき $2$ 次関数は「頂点の位置で場合分け」する。これが最大最小の基本だ。

別解

別解:微分して増減を見る(得意な人向けの解析ルート)。 $y=\cos 2\theta +4\sin \theta$ をそのまま $\theta$ で微分する。

$$y^{\prime }=-2\sin 2\theta +4\cos \theta =-4\sin \theta \cos \theta +4\cos \theta =4\cos \theta (1-\sin \theta ).$$

ここで $1-\sin \theta \ge 0$(つねに $0$ 以上)なので、$y^{\prime }$ の符号は $\cos \theta$ だけで決まる。$\cos \theta >0$ で $y$ は増加、$\cos \theta <0$ で減少。$y^{\prime }=0$ となるのは $\cos \theta =0$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi$($\sin \theta =1$ すなわち $\theta =\frac{\pi }{2}$ もここに含まれる)。$\theta$ は $1$ 周ぶんで端がないから、最大最小はここでとる。

$$\theta =\frac{\pi }{2}:y=\cos \pi +4=-1+4=3,\theta =\frac{3}{2}\pi :y=\cos 3\pi -4=-1-4=-5.$$

よって最大値 $3$、最小値 $-5$。置換して $2$ 次関数にする本解と同じ答えだ。$\cos \theta$ の符号が増減を切り替えるので、増加から減少に変わる $\frac{\pi }{2}$ で山、減少から増加に変わる $\frac{3}{2}\pi$ で谷になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\alpha +\beta$ そのものは直接には求めにくい。分かっているのは $\tan \alpha ,\tan \beta$ の値だけだ。

そこで $\alpha +\beta$ でなく $\tan (\alpha +\beta )$ に注目する。これなら正接の加法定理で計算できる。値が出たら、$\alpha ,\beta$ が鋭角という条件で $\alpha +\beta$ の範囲を絞り、角を $1$ つに確定する。$\tan$ の値と角の範囲で角を特定する、という発想が核だ。

代入する。

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1$$

$\alpha$、$\beta$ はともに鋭角で、$\tan$ が小さいので実際は小さい角。$0<\alpha +\beta <\pi$ で $\tan (\alpha +\beta )=1$ となるのは

$$\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$$

発展。 $\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}=\frac{\pi }{4}$ は、より広い仲間の $1$ 例だ。$\arctan \frac{1}{p}+\arctan \frac{1}{q}=\frac{\pi }{4}$ が成り立つ条件は、加法定理で $\tan$ の和を $1$ とおくと $(p-1)(q-1)=2$ と整理できる。

正の整数では $(p,q)=(2,3)$ だけがこれを満たす。だからこの等式はほとんど唯一の「整数版」である。同じ発想で $\arctan$ を足し引きして $\frac{\pi }{4}$ を作る式はたくさんある。マチンの公式 $\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$ はその代表で、円周率 $\pi$ を高精度で計算する古典的な道具として使われてきた。

別解

別解:直角三角形から $\sin ,\cos$ を読む(苦手な人向けの直感ルート)。 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ は「対辺 $1$、隣辺 $2$」の直角三角形。斜辺は三平方で $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。ここから $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$、$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$ と読める。

同じく $\tan \beta =\frac{1}{3}$ は「対辺 $1$、隣辺 $3$」の三角形。斜辺は $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ で、$\sin \beta =\frac{1}{\sqrt{10}}$、$\cos \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}$。これらを $\tan$ ではなく $\cos$ の加法定理に入れると、和の角の $\cos$ が直接出る。

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{6-1}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

$\alpha ,\beta$ がともに鋭角だから、$\alpha +\beta$ は $0$ と $\pi$ の間にある。その範囲で $\cos$ は $1$ から $-1$ へ一方向に減るので、$\cos (\alpha +\beta )=\frac{1}{\sqrt{2}}$ をみたす角はただ $1$ つ。それは $\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$ だ。

$\tan (\alpha +\beta )=1$ から範囲で角を絞る本解と同じ答え。$\cos$ の値が正と分かった時点で鋭角と確定するので、角の絞り込みがより素直になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sin \theta +\sin 2\theta +\sin 3\theta =0$ は項が $3$ つ。どの $2$ 項を組ませるかで決まる。

両端の $\sin \theta$ と $\sin 3\theta$ を和積でまとめると、$\sin 2\theta$ が現れる。これは真ん中の項 $\sin 2\theta$ と同じ形。だから全体を $\sin 2\theta$ でくくれる。対称な両端を先にまとめると中央と同じ因数が出る、という多項の三角方程式の発想だ。

両端 $\sin \theta +\sin 3\theta$ を和積でまとめる。

$$\sin \theta +\sin 3\theta =2\sin 2\theta \cos \theta$$

これに真ん中の $\sin 2\theta$ を加えると

$$2\sin 2\theta \cos \theta +\sin 2\theta =\sin 2\theta (2\cos \theta +1)=0$$

よって $\sin 2\theta =0$ または $\cos \theta =-\frac{1}{2}$。$\sin 2\theta =0$ から $\theta =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3}{2}\pi$。$\cos \theta =-\frac{1}{2}$ から $\theta =\frac{2}{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi$。

まとめて $\theta =0,\frac{\pi }{2},\frac{2}{3}\pi ,\pi ,\frac{4}{3}\pi ,\frac{3}{2}\pi$。

発展。 項を増やした $\sin \theta +\sin 2\theta +\cdots +\sin n\theta$ にも、閉じた形の公式がある。等比数列のように $\sin k\theta$ を足し上げると $\sin \theta +\sin 2\theta +\cdots +\sin n\theta =\frac{\sin \frac{n\theta }{2}\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}$ と書ける($\sin \frac{\theta }{2}\ne 0$ のとき)。

この分子が $0$ になる角が解だ。$n=3$ なら分子は $\sin \frac{3\theta }{2}\sin 2\theta$ で、本問の $6$ 個の解が過不足なく出てくる。この和は複素数の等比和 $e^{i\theta }+e^{2i\theta }+\cdots$ の虚部から導け、フーリエ級数に現れる「ディリクレ核」の親戚でもある。項が何個でも $1$ つの分数式にまとまるのが強みだ。

別解

別解:全部 $\sin \theta ,\cos \theta$ に開いて因数分解する(和積を使わないルート)。 和積を思い出せなくても、$\sin 2\theta$ と $\sin 3\theta$ を開けば $\sin \theta$ でくくれる。$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$、$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ を代入する。

$$\sin \theta +\sin 2\theta +\sin 3\theta =\sin \theta +2\sin \theta \cos \theta +3\sin \theta -4{\sin }^3\theta =\sin \theta (4+2\cos \theta -4{\sin }^2\theta ).$$

$4-4{\sin }^2\theta =4{\cos }^2\theta$ だから、かっこの中は $4{\cos }^2\theta +2\cos \theta =2\cos \theta (2\cos \theta +1)$。よって

$$\sin \theta +\sin 2\theta +\sin 3\theta =2\sin \theta \cos \theta (2\cos \theta +1)=\sin 2\theta (2\cos \theta +1)=0.$$

$\sin 2\theta =0$ または $\cos \theta =-\frac{1}{2}$。$0\le \theta <2\pi$ で $\sin 2\theta =0$ は $\theta =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3}{2}\pi$、$\cos \theta =-\frac{1}{2}$ は $\theta =\frac{2}{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi$。合わせて $\theta =0,\frac{\pi }{2},\frac{2}{3}\pi ,\pi ,\frac{4}{3}\pi ,\frac{3}{2}\pi$。両端を和積でまとめる本解と、同じ因数 $\sin 2\theta (2\cos \theta +1)$ にたどり着く。