三角関数 最難関編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 見た目はばらばらな4つの正接だが、$9^{\circ }+81^{\circ }=90^{\circ }$、$27^{\circ }+63^{\circ }=90^{\circ }$。余角の組が2つ隠れている。

$\tan 81^{\circ }=\frac{1}{\tan 9^{\circ }}$ だから、組ごとに束ねると $\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }$ の形。これは通分すると $\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{2}{\sin 2\theta }$ と、1つの分数にまとまる。残るのは $\frac{2}{\sin 18^{\circ }}-\frac{2}{\sin 54^{\circ }}$。差は通分して和積で崩す、といういつもの流れに乗る。

① 余角で束ねる。

$$\tan 9^{\circ }+\tan 81^{\circ }=\tan 9^{\circ }+\frac{1}{\tan 9^{\circ }}=\frac{{\sin }^2{9}^{\circ }+{\cos }^2{9}^{\circ }}{\sin 9^{\circ }\cos 9^{\circ }}=\frac{2}{\sin 18^{\circ }}$$

同様に $\tan 27^{\circ }+\tan 63^{\circ }=\frac{2}{\sin 54^{\circ }}$。よって

$$\text{与式}=\frac{2}{\sin 18^{\circ }}-\frac{2}{\sin 54^{\circ }}$$

② 差を和積で崩す。 通分して

$$\frac{2(\sin 54^{\circ }-\sin 18^{\circ })}{\sin 18^{\circ }\sin 54^{\circ }}$$

和積の公式より $\sin 54^{\circ }-\sin 18^{\circ }=2\cos 36^{\circ }\sin 18^{\circ }$ だから

$$=\frac{4\cos 36^{\circ }\sin 18^{\circ }}{\sin 18^{\circ }\sin 54^{\circ }}=\frac{4\cos 36^{\circ }}{\sin 54^{\circ }}$$

③ 余角でとどめ。 $\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }$ だから、値は $4$。

まとめ: 「足して90°の組を見つけて束ねる → $\frac{2}{\sin 2\theta }$ にまとめる → 差は和積」。具体的な角の値($\sin 18^{\circ }$ など)を一度も求めずに、式の構造だけで整数になる。

発展。 同じ設計で $\tan 6^{\circ }-\tan 42^{\circ }-\tan 66^{\circ }+\tan 78^{\circ }$ のような類題も落ちる($6^{\circ }+78^{\circ }=42^{\circ }+66^{\circ }=84^{\circ }$ ではなく余角の組を探し直す)。「角をばらばらに見ず、和が特別な値になる組を探す」ことが、4項タイプに共通する最初の一手だ。

別解

差で組む(もう1つの束ね方)。 符号に合わせて $(\tan 81^{\circ }-\tan 63^{\circ })+(\tan 9^{\circ }-\tan 27^{\circ })$ と組み替えてもよい。差の公式

$$\tan A-\tan B=\frac{\sin (A-B)}{\cos A\cos B}$$

を使うと、どちらの組も分子が $\sin 18^{\circ }$ にそろう:

$$\frac{\sin 18^{\circ }}{\cos 81^{\circ }\cos 63^{\circ }}+\frac{\sin 18^{\circ }}{\cos 9^{\circ }\cos 27^{\circ }}\cdot (-1)\cdot (-1)$$

余角 $\cos 81^{\circ }=\sin 9^{\circ },\cos 63^{\circ }=\sin 27^{\circ }$ で書き直し、通分すると分子に加法定理の形 $\cos 9^{\circ }\cos 27^{\circ }-\sin 9^{\circ }\sin 27^{\circ }=\cos 36^{\circ }$ が現れる。分母は倍角で $\sin 18^{\circ }\sin 54^{\circ }$ の $\frac{1}{4}$ 倍となり、約分の末に $\frac{4\cos 36^{\circ }}{\sin 54^{\circ }}=4$。

和で組む(本解)か差で組むか。どちらでも $\sin 18^{\circ }$ という共通の芯が現れて4に落ちる。組み方の選択肢を2つ持っておくと、符号の並びが違う類題にも即応できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (2)の角 $20^{\circ },40^{\circ },80^{\circ }$ は等間隔ではないので、和積の公式をそのまま使えない。だが $40^{\circ }=60^{\circ }-20^{\circ }$、$80^{\circ }=60^{\circ }+20^{\circ }$。$60^{\circ }$ をはさんで対称な3つ組だ。

この形の積が3倍角1個にまとまるのが、(1)の恒等式である。(1)の証明は対称な2つの積 $\sin (60^{\circ }-\theta )\sin (60^{\circ }+\theta )$ を先に処理すれば解ける。加法定理の積を展開すると、2乗の差 ${\sin }^{2}60^{\circ }-{\sin }^2\theta$ にまとまる。

① 対称な2つの積をまとめる。 加法定理で展開した積は

$$\sin (A-B)\sin (A+B)=(\sin A\cos B{)}^2-(\cos A\sin B{)}^2={\sin }^{2}A(1-{\sin }^{2}B)-(1-{\sin }^{2}A){\sin }^{2}B={\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B$$

$A=60^{\circ },B=\theta$ として

$$\sin (60^{\circ }-\theta )\sin (60^{\circ }+\theta )={\sin }^{2}60^{\circ }-{\sin }^2\theta =\frac{3}{4}-{\sin }^2\theta$$

② $\sin \theta$ を掛けて3倍角へ((1)の完成)。

$$\sin \theta \left(\frac{3}{4}-{\sin }^2\theta \right)=\frac{3\sin \theta -4{\sin }^3\theta }{4}=\frac{1}{4}\sin 3\theta$$

③ (2) に適用する。 $\theta =20^{\circ }$ とすると

$$\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }=\frac{1}{4}\sin 60^{\circ }=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$$

まとめ: $60^{\circ }$ をはさむ対称積は「3倍角を因数分解した形」になっている。3倍角の公式 $3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ が3つの1次式の積に割れていることの言い換えだ。等間隔に見えない角の組も、中心をもつ対称形に読み替えられないかを疑うとよい。

発展。 (1)は3倍角の公式 $\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ を「3つの1次因子の積」に割った姿でもある。さらに一般に、$\sin \frac{\pi }{n}\sin \frac{2\pi }{n}\cdots \sin \frac{(n-1)\pi }{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$ という積の公式も知られている。

別解

積和を2回、機械的に(公式発見が不要なルート)。 (1)の恒等式に気づかなくても、(2)は積和の公式だけで押し切れる。まず後ろ2つを積和で:

$$\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }=\frac{\cos 40^{\circ }-\cos 120^{\circ }}{2}=\frac{\cos 40^{\circ }+\frac{1}{2}}{2}$$

$\sin 20^{\circ }$ を掛けて、もう一度積和($\sin 20^{\circ }\cos 40^{\circ }$)を使う:

$$\sin 20^{\circ }\cos 40^{\circ }=\frac{\sin 60^{\circ }+\sin (-20^{\circ })}{2}=\frac{\sin 60^{\circ }-\sin 20^{\circ }}{2}$$

合わせると

$$\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }=\frac{\sin 60^{\circ }-\sin 20^{\circ }}{4}+\frac{\sin 20^{\circ }}{4}=\frac{\sin 60^{\circ }}{4}=\frac{\sqrt{3}}{8}$$

途中で $\sin 20^{\circ }$ がぴったり打ち消し合うのが見どころだ。ひらめき(対称形の発見)の代わりに、積和という機械を2回まわす。確実さを重視するならこちら、構造を見たいなら本解、と使い分けるとよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 方程式は「積 = 0」の形に持ち込むのが原則だ。4項の和を積にするには和積の公式だが、組み方に設計がいる。

隣どうし($\theta$ と $3\theta$ など)で組むと、平均の角がばらける。外側どうし($\theta$ と $7\theta$)・内側どうし($3\theta$ と $5\theta$)で組めば、平均の角がどちらも $4\theta$ にそろい、共通因数 $\cos 4\theta$ が現れる。

残った $\cos 3\theta +\cos \theta$ にもう一度和積。等差に並んだ角の和はこの繰り返しで階段状に積へまとまる。

① 外・内で組んで共通因数を出す。

$$(\cos \theta +\cos 7\theta )+(\cos 3\theta +\cos 5\theta )=2\cos 4\theta \cos 3\theta +2\cos 4\theta \cos \theta =2\cos 4\theta (\cos 3\theta +\cos \theta )$$

② もう一度和積。 $\cos 3\theta +\cos \theta =2\cos 2\theta \cos \theta$ だから、方程式は

$$4\cos 4\theta \cos 2\theta \cos \theta =0$$

③ 積=0 を範囲内で解く。 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ に注意して

• $\cos 4\theta =0$: $4\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$($0\le 4\theta \le 2\pi$)→ $\theta =\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8}$
• $\cos 2\theta =0$: $2\theta =\frac{\pi }{2}$($0\le 2\theta \le \pi$)→ $\theta =\frac{\pi }{4}$
• $\cos \theta =0$: $\theta =\frac{\pi }{2}$

よって $\theta =\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{8},\frac{\pi }{2}$。

まとめ: 「平均の角がそろう組み方(外外・内内)」が決め手だ。等差に並んだ角の余弦の和は $2^k\cos (2^k\text{倍角})\cdots$ の積へと繰り返しまとめられる。因数の個数だけ解の系列が現れることまで分かれば、解の書き落としもなくなる。

発展。 別解の畳み込みは一般化できて、$\cos \theta +\cos 3\theta +\cdots +\cos (2n-1)\theta =\frac{\sin 2n\theta }{2\sin \theta }$。等差の角の和が1つの分数で書ける、という事実は波の重ね合わせ(物理の干渉)の計算そのものでもある。

別解

$2\sin \theta$ を掛けて畳む(望遠鏡ルート)。 等差に並んだ角の和には、名品の一手がある。両辺に $2\sin \theta$ を掛けるのだ。

積和の公式 $2\sin \theta \cos (2k-1)\theta =\sin 2k\theta -\sin (2k-2)\theta$ を各項に使うと

$$2\sin \theta (\cos \theta +\cos 3\theta +\cos 5\theta +\cos 7\theta )=(\sin 2\theta -0)+(\sin 4\theta -\sin 2\theta )+(\sin 6\theta -\sin 4\theta )+(\sin 8\theta -\sin 6\theta )=\sin 8\theta$$

隣どうしが打ち消し合い、$\sin 8\theta$ だけが残った。よって $\sin \theta \ne 0$ の範囲では、方程式は $\sin 8\theta =0$ と同値。$0<\theta \le \frac{\pi }{2}$ で $8\theta =\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{8},\frac{\pi }{2}$。

残る $\theta =0$($\sin \theta =0$ の場合)は、元の式に入れると和が4で不適。掛けた因子の零点を最後に検品する、この一手間までがルートの作法だ。等差角の和はこの畳み込みで一般の項数でも閉じた式になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\alpha +\beta$ が固定され、$\alpha -\beta$ は自由。この問題の変数は実質 $\alpha -\beta$ の1つだけだ。

それを式の上で見えるようにする手順が「次数下げ → 和積」。${\cos }^2$ を $\cos 2\alpha$ の1次に直すと、和 $\cos 2\alpha +\cos 2\beta$ が和積で $2\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )$ と、固定の角と自由の角の積に分離する。あとは、自由な角の余弦が $-1$ から $1$ まで動けることを確かめれば範囲が出る。

① 次数を下げて分離する。

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta =1+\frac{\cos 2\alpha +\cos 2\beta }{2}=1+\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )=1+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos (\alpha -\beta )$$

($\cos (\alpha +\beta )=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ は定数になった。)

② 自由な角の動ける範囲。 $\alpha$ は任意の実数を動け、$\beta =\frac{\pi }{4}-\alpha$ だから $\alpha -\beta =2\alpha -\frac{\pi }{4}$ はすべての実数を動く。よって $\cos (\alpha -\beta )$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての値をとる。

③ 最大・最小。

$$\text{最大値}1+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}(\alpha -\beta =0、たとえば\alpha =\beta =\frac{\pi }{8})$$

$$\text{最小値}1-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\alpha -\beta =\pi 、たとえば\alpha =\frac{5\pi }{8},\beta =-\frac{3\pi }{8})$$

まとめ: 束縛つきの2角の三角関数は和の角と差の角に座標を取り替えると1変数になる。次数下げと和積はそのための道具だ。最大・最小の答案では「自由な角が本当に端まで動けるか」の一言(②)が欠かせない。

発展。 和の固定値を一般の $c$ に変えても、値は $1+\cos c\cdot \cos (\alpha -\beta )$ で、振幅 $|\cos c|$ の振動になる。$c=\frac{\pi }{2}$(直角)なら振幅0で値は定数1になる。${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ の恒等式は、この式の特別な場合だったと分かる。

別解

1変数に代入して合成する(機械ルート)。 分離の構造に気づかなくても、$\beta =\frac{\pi }{4}-\alpha$ を代入して1変数にすれば必ず進む。

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=1+\frac{\cos 2\alpha +\cos \left(\frac{\pi }{2}-2\alpha \right)}{2}=1+\frac{\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }{2}$$

(次数下げと余角を使った。)最後は合成:

$$=1+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$$

$\alpha$ は全実数を動くから $\sin$ は $\pm 1$ まで振れて、最大 $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$・最小 $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。本解の「和積で固定と自由に分離」と、本ルートの「代入して合成」。着地は同じ振幅 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ の振動で、$\cos (\alpha -\beta )$ と $\sin (2\alpha +\frac{\pi }{4})$ が同じ自由度の2つの名前だったことが分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sin$ の式と $\cos$ の式が対で与えられたら、2乗して足すのが第一手だ。${\sin }^2+{\cos }^2=1$ が $x$ でも $y$ でも使えて未知数が大幅に消える。

残るのは加法定理でまとまる交差項、すなわち差の角 $x-y$ の情報だけ。差が決まれば実質1変数だ。ただし2乗は同値変形ではない。最後に元の式で確かめる作法までがワンセットになる。

① 2乗して足す。

$$(\sin x+\sin y{)}^2+(\cos x+\cos y{)}^2=2+2(\cos x\cos y+\sin x\sin y)=2+2\cos (x-y)$$

左辺は $1^2+(\sqrt{3}{)}^2=4$ だから

$$2+2\cos (x-y)=4⟺\cos (x-y)=1$$

② 差を確定する。 $0\le x<2\pi ,0\le y<2\pi$ より $-2\pi <x-y<2\pi$。この範囲で $\cos (x-y)=1$ となるのは $x-y=0$、すなわち $x=y$ だけ。

③ 1変数にして解く。 $x=y$ を元の式に入れると

$$2\sin x=1,2\cos x=\sqrt{3}$$

$\sin x=\frac{1}{2}$ かつ $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を同時に満たすのは $x=\frac{\pi }{6}$ のみ($\sin$ だけなら $\frac{5\pi }{6}$ もあるが、$\cos$ の符号が弾く)。よって

$$(x,y)=\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right)$$

これは元の2式をともに満たす(確かめ: $2\cdot \frac{1}{2}=1$、$2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$)。

まとめ: 対称な連立は「2乗和で差の角を取り出す」。消える量($x,y$ 個別の情報)と残る量($x-y$)を見抜けば解ける。2乗した後の逆の確認、$\sin$ と $\cos$ の両方で角を確定する詰め、の2つの作法で完答になる。

別解

和積で中点の角を取り出す(分解ルート)。 2乗する代わりに、両式をそれぞれ和積で分解してもよい。

$$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=1,\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=\sqrt{3}$$

共通因子 $\cos \frac{x-y}{2}$ は0でない(0なら両式とも左辺0になり矛盾)。辺々割って

$$\tan \frac{x+y}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

中点の角がまず決まる。$\frac{x+y}{2}=\frac{\pi }{6}$ の場合、第2式から $2\cos \frac{\pi }{6}\cos \frac{x-y}{2}=\sqrt{3}$、つまり $\cos \frac{x-y}{2}=1$ で $x=y$。よって $x=y=\frac{\pi }{6}$($\frac{x+y}{2}=\frac{7\pi }{6}$ の場合は $\cos \frac{x+y}{2}<0$ で第2式の符号に合わず不適)。

2乗和(本解)は差の角を、和積の比は中点の角を先に取り出す。どちらも「対称な2式を、和の角と差の角の言葉に言い換える」という同じ考え方だ。

なお、もう1つ別の見方も添えておく。左辺は単位ベクトル $(\cos x,\sin x)$ と $(\cos y,\sin y)$ の和で、右辺の長さは $\sqrt{3+1}=2$ となり、単位ベクトル2本の和の長さの最大値そのものだ。最大になるのは2本が同じ向きのときだけだから、その場で $x=y$ が出る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\frac{\pi }{10}$ の余弦は、普通の変形では出ない。この角の特別さは「5倍すると $\frac{\pi }{2}$」になること。つまり $\cos 5\theta =0$ という方程式に $\theta =\frac{\pi }{10}$ が乗っている。

そこで(1)の5倍角の公式を作り、$c=\cos \frac{\pi }{10}$ の満たす多項式の方程式に直す。解くと候補が2つ出る。だが $\cos \frac{\pi }{10}$ が $\cos \frac{\pi }{6}$ より大きいことなど、既知の角との大小で1つに選べる。

① 5倍角の公式を作る((1))。 $5\theta =2\theta +3\theta$ の加法定理で

$$\cos 5\theta =\cos 2\theta \cos 3\theta -\sin 2\theta \sin 3\theta =(2c^2-1)(4c^3-3c)-2sc\cdot s(4c^2-1)$$

$s^2=1-c^2$ を代入して整理すると

$$\cos 5\theta =c\{(2c^2-1)(4c^2-3)-2(1-c^2)(4c^2-1)\}=c(16c^4-20c^2+5)=16c^5-20c^3+5c$$

② 方程式に直す。 $\theta =\frac{\pi }{10}$ のとき $\cos 5\theta =\cos \frac{\pi }{2}=0$。$c=\cos \frac{\pi }{10}>0$ だから

$$16c^4-20c^2+5=0⟹c^2=\frac{20\pm \sqrt{400-320}}{32}=\frac{5\pm \sqrt{5}}{8}$$

③ 候補を選ぶ。 $\frac{\pi }{10}<\frac{\pi }{6}$ で余弦は減少するから $c>\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、すなわち $c^2>\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$。$\frac{5+\sqrt{5}}{8}>\frac{6}{8}$、$\frac{5-\sqrt{5}}{8}<\frac{6}{8}$ だから

$$c^2=\frac{5+\sqrt{5}}{8}⟹c=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}=\frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{4}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$$

まとめ: 「特別な角は、何倍かすると自明になる」。その1点から多項式の方程式に持ち込むのがこの型だ。捨てた候補 $\frac{5-\sqrt{5}}{8}$ は $\cos \frac{3\pi }{10}$ の平方だ。同じ方程式に別の角の値も含まれているので、大小比較による選別が答案の中心になる。

発展。 方程式 $16c^4-20c^2+5=0$ の4つの解は $\pm \cos \frac{\pi }{10},\pm \cos \frac{3\pi }{10}$。捨てた候補は兄弟の角の値だった。1本の方程式の解に、同じ系列の角の値がすべて含まれている。これは倍角系の方程式に共通する性質だ。

別解

半角の公式で $\cos 36^{\circ }$ から降ろす(既知の値の再利用)。 $\frac{\pi }{10}=18^{\circ }$ は $36^{\circ }$ の半分だ。$\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$(倍角の連鎖から求まる有名値)を認めれば、半角の公式1回で求められる。

$${\cos }^{2}18^{\circ }=\frac{1+\cos 36^{\circ }}{2}=\frac{1+\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$$

$\cos 18^{\circ }>0$ だから

$$\cos \frac{\pi }{10}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$$

本解の4次方程式の解 $c^2=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$ と、半角の $\frac{1+\cos 36^{\circ }}{2}$ は同じ値になる。5倍角の方程式の中に、倍角・半角の関係がまとめて含まれていた。$36^{\circ }$ 系の値を1つ知っていれば、$18^{\circ },72^{\circ },54^{\circ }$ の一族は倍角・半角・余角の乗り継ぎで全部手に入る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ で $t=\sin \theta$ の2次方程式に直すところまでは一本道だ。

注意が要るのはそのあとだ。$t$ の解1つに $\theta$ が何個対応するかの対応表($|t|<1$ なら2個、$t=\pm 1$ なら1個、$|t|>1$ なら0個)を通して数え直すことだ。

2次方程式 $2t^2-at-1=0$ は積が $-\frac{1}{2}$。解は必ず正と負に1つずつあり、しかも絶対値の積が $\frac{1}{2}$ だから、両方同時には区間の外に出られない。境目は、解が $t=\pm 1$ を通過する瞬間だけだ。

① 置き換える。 $1-2t^2+at=0$、すなわち

$$2t^2-at-1=0$$

判別式は $a^2+8>0$ で常に相異なる2実解 $t_1<0<t_2$(積が $t_1{t}_2=-\frac{1}{2}<0$)。また $|t_1||t_2|=\frac{1}{2}$。

② 境目を求める。 $f(t)=2t^2-at-1$ とおく。$t_2=1$ ⟺ $f(1)=1-a=0$ ⟺ $a=1$(このとき $t_1=-\frac{1}{2}$)。$t_1=-1$ ⟺ $f(-1)=1+a=0$ ⟺ $a=-1$($t_2=\frac{1}{2}$)。

③ 場合分けして数える。

• $|a|<1$ のとき: $f(1)=1-a>0$ かつ $f(-1)=1+a>0$。正負に1つずつの解が端点の外にはみ出せないから $-1<t_1<0<t_2<1$ となり、対応表で $2+2=4$ 個。
• $a=1$ のとき: $t=1$($\theta =\frac{\pi }{2}$ の1個)と $t=-\frac{1}{2}$(2個)で3個。$a=-1$ も対称に3個。
• $a>1$ のとき: $f(1)<0$ より $t_2>1$(対応0個)。このとき $|t_1|=\frac{1}{2t_2}<\frac{1}{2}<1$ だから $t_1$ は2個に対応し、計2個となる。$a<-1$ も対称に2個。

まとめ: 置き換えの方程式を解いて終わりではなく、「$t$ の個数 → $\theta$ の個数」の読みかえまでが問題。2次の側は端点の値 $f(\pm 1)$ と積の情報で配置が読める。解の配置と三角関数のグラフの対応という、2つの単元の道具がここで結びつく。

別解

定数分離してグラフで数える(得意な人向け)。 $\sin \theta =0$(このとき $\cos 2\theta =1\ne 0$ で解にならない)を除けば、$t=\sin \theta (t\ne 0)$ で $a$ を分離できる:

$$a=\frac{2t^2-1}{t}=2t-\frac{1}{t}$$

右辺 $g(t)=2t-\frac{1}{t}$ のグラフを $-1\le t<0,0<t\le 1$ で描くと、どちらの枝も増加で、値域は左の枝が $[-1,\infty )$、右の枝が $(-\infty ,1]$。水平線 $y=a$ との交点の $t$ に、対応表($|t|<1$ で2個、$t=\pm 1$ で1個)を掛けて数える。

• $|a|<1$: 両方の枝と1回ずつ交わり、どちらも $|t|<1$ → $2+2=4$ 個
• $a=1$: 右の枝と端 $t=1$ で交わり(1個)、左の枝と $|t|<1$ で交わる(2個)→ 3個($a=-1$ も対称)
• $a>1$: 右の枝(値域 $\le 1$)とは交わらず、左の枝の1点のみ → 2個($a<-1$ も対称)

2次方程式の解の配置(本解)と、分離したグラフの交点(本ルート)。同じ場合分けが「端点の符号」と「枝の値域」という2つの言葉で書けることを、見比べて確かめておきたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $36^{\circ }$ の特別さは、倍角の連鎖が閉じることだ。$72^{\circ }=2\times 36^{\circ }$、$144^{\circ }=2\times 72^{\circ }$、そして $144^{\circ }=180^{\circ }-36^{\circ }$ で出発点に戻る。

$a=\cos 36^{\circ },b=\cos 72^{\circ }$ とおくと、倍角2回で「$b$ は $a$ の式」「$a$ は $b$ の式」という対の連立ができる。これを解きにいく前に、辺々加えるとよい。右辺に $a^2-b^2$ が現れ、左辺の $a+b$ と共通因数になって割れるので、個々の値より先に差 $a-b$ が求まってしまう。

① 連立を作る((1)の証明)。 $72^{\circ }=2\times 36^{\circ }$ に倍角の公式を使えばそのまま

$$\cos 72^{\circ }=2{\cos }^{2}36^{\circ }-1$$

次に $144^{\circ }=2\times 72^{\circ }$ に倍角: $\cos 144^{\circ }=2{\cos }^{2}72^{\circ }-1$。左辺は補角の公式で $\cos 144^{\circ }=\cos (180^{\circ }-36^{\circ })=-\cos 36^{\circ }$。よって $-\cos 36^{\circ }=2{\cos }^{2}72^{\circ }-1$、すなわち

$$\cos 36^{\circ }=1-2{\cos }^{2}72^{\circ }$$

② 加えて割る((2)の証明)。 $a=\cos 36^{\circ },b=\cos 72^{\circ }$(ともに正)とおくと、①の2式は $b=2a^2-1$、$a=1-2b^2$。辺々加えて

$$a+b=2a^2-2b^2=2(a+b)(a-b)$$

$a+b>0$ だから両辺を $a+b$ で割れて

$$1=2(a-b)⟺a-b=\cos 36^{\circ }-\cos 72^{\circ }=\frac{1}{2}$$

③ 値を求める((3))。 $b=a-\frac{1}{2}$ を $b=2a^2-1$ に代入:

$$a-\frac{1}{2}=2a^2-1⟺4a^2-2a-1=0⟹a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$$

$a=\cos 36^{\circ }>0$ だから

$$\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$

まとめ: 「連立を解く前に足して、共通因数 $(a+b)$ で割る」ことが決め手だ。割る前に $a+b\ne 0$ を確かめる一言まで含めて答案になる。$36^{\circ },72^{\circ }$ は正五角形の内側に住む角で、答えに現れる $\sqrt{5}$ は対角線と辺の比(黄金比)の影だ。

発展。 $\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\phi }{2}$($\phi$ は黄金比)。正五角形の対角線と辺の比が $\phi$ であることと、この値はひとつながりだ。$36^{\circ }$ 一族($18^{\circ },54^{\circ },72^{\circ }$)の三角比には、すべて $\sqrt{5}$ が現れる。

別解

$18^{\circ }$ の方程式から攻める($\sin$ 側のルート)。 $s=\sin 18^{\circ }$ を未知数にしても、同じ黄金比の値が得られる。$18^{\circ }$ の特別さは $3\times 18^{\circ }=90^{\circ }-2\times 18^{\circ }$。両辺の正弦をとると $\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }$、すなわち

$$3s-4s^3=1-2s^2$$

(左辺は3倍角、右辺は倍角。)整理して $4s^3-2s^2-3s+1=0$。$s=1$ が解だと気づけば因数分解できて

$$(s-1)(4s^2+2s-1)=0$$

$0<s<1$ だから $s\ne 1$ で、$4s^2+2s-1=0$ より $s=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$。すると

$$\cos 36^{\circ }=1-2s^2=1-2\cdot \frac{6-2\sqrt{5}}{16}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$

差も $\cos 36^{\circ }-\cos 72^{\circ }=(1-2s^2)-s\cdot$… ではなく $\cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }=s$ を直接使って $\frac{1+\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{1}{2}$。「$3\theta =90^{\circ }-2\theta$」型の角の関係は、$36^{\circ }$ 一族の値を生む第2の蛇口だ。倍角の連鎖(本解)と使い比べてほしい。