複素数と方程式 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 複素数の計算は、$i$ を普通の文字だと思って計算し、最後に $i^2=-1$ を使う。やることはこれだけだ。

新しい計算法則を覚える必要はない。中学でやった文字式の計算そのものである。

(1) 足し算: 実部どうし、虚部どうしを足す($3x+2y$ と $x-4y$ を足すのと同じ)。

$$(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i$$

(2) 掛け算: 分配法則で展開する。ここで $i^2$ が出てくる。

$$2i\times (-4i)=-8i^2=-8\times (-1)=\boxed{+8}$$

$i^2=-1$ のせいで、符号が反転する。ここだけが注意するところだ。$i^2$ を $1$ としてしまうと、答えがずれる。

(3) も同じ。$(2+i{)}^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i$。

$i^2$ を見たら $-1$ に置きかえる。これを意識しながら計算する。

(1) 実部どうし・虚部どうしを足す。

$$(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i$$

(2) 展開して $i^2=-1$ を使う。

$$(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^2=3-10i+8=11-10i$$

(3) $(a+b{)}^2$ の展開。

$$(2+i{)}^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i$$

発展。 なぜ、こんな「ありえない数」が考え出されたのか。

きっかけは $2$ 次方程式ではなく、$3$ 次方程式だった。$16$ 世紀のイタリアで、$3$ 次方程式の解の公式が発見されたとき、思いがけないことが起きた。

$$x^3=15x+4$$

この方程式は $x=4$ という実数解を持つ(代入すれば $64=60+4$)。ところが解の公式に当てはめると、途中で $\sqrt{-121}$ が現れる。「実数の答えを出すために、途中で『存在しない数』を通らねばならない。」

数学者たちは困惑した。しかし計算を続けると、虚数の部分がきれいに打ち消し合い、最後には $4$ という正しい答えが出てくるのだ。

「存在しない数」を経由すると、正しい答えにたどり着く。 この経験が複素数を受け入れるきっかけになった。

名前が示す偏見。 「虚数(imaginary)」という名は、当時の「こんなものは想像上の産物だ」という不信感の名残である。「実数(real)」と対にされ、$2$ 級市民の扱いを受けていた。

しかし現在、複素数は物理学で欠かせない道具だ。量子力学の波動関数は複素数値で、電気回路の交流計算も複素数なしには成り立たない。現実を記述するのに、虚数が要る。

「役に立つから正しい」のではなく、「使ってみたら現実の現象が説明できてしまった」。数学と現実のあいだには、こうした対応がある。

別解

複素数の計算には、便利な検算法がある。 「絶対値」を使う方法だ。これを知っていると、掛け算のミスがその場で見つかる。

複素数の絶対値とは。 $z=a+bi$ に対して

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

複素数を座標平面の点 $(a,b)$ と見たときの、原点からの距離である(数Cの複素数平面で詳しく学ぶ)。そして、次の性質がある。

$$\boxed{|z_1{z}_2|=|z_1|\times |z_2|}$$

「積の絶対値は、絶対値の積」。 掛け算をすると、距離も掛け算される。

(2)の検算に使う。

• $|3+2i|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
• $|1-4i|=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$

積の絶対値はこの $2$ つを掛けたものでなければならない。

$$\sqrt{13}\times \sqrt{17}=\sqrt{221}$$

答え $11-10i$ の絶対値を計算してみる。

$$|11-10i|=\sqrt{121+100}=\sqrt{221}$$

ぴったり一致した。 もし計算を間違えて $11+10i$ や $19-10i$ などとしていたら、絶対値が合わなくなる。すぐにミスが見つかる。

なぜこの性質が成り立つのか。 $z_1=a+bi$、$z_2=c+di$ として、実際に計算してみると

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$$

という恒等式に行き着く。これはブラーマグプタ・フィボナッチの恒等式と呼ばれ、「$2$ つの平方和の積は、また平方和になる」という整数論の有名な事実だ。

$$13\times 17=221=11^2+10^2$$

$13=3^2+2^2$ と $17=1^2+4^2$ の積が、$221=11^2+10^2$ になった。複素数の掛け算から、そのまま整数の等式が得られている。

複素数は「計算のための便宜的な記号」ではなく、$2$ 次元の量($a$、$b$ の組)を、$1$ つの数として掛け算できるようにしたものだ。だから絶対値(距離)や、この後で学ぶ回転と、深く結びついている。

検算としての使い方をまとめる。 複素数の掛け算をしたら、両辺の絶対値の $2$ 乗($a^2+b^2$)を比べる。

$$(3^2+2^2)(1^2+4^2)=13\times 17=221,11^2+10^2=221$$

$5$ 秒ほどで、掛け算全体の正しさが確認できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分母に $i$ が残っていると「計算した」ことにならない。分母を実数にするのが目標だ。

手は $1$ つ。分母の共役複素数を、分子と分母の両方に掛ける。

$$\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$$

なぜ共役を掛けるのか。 分母がこうなるからだ。

$$(1-i)(1+i)=1-i^2=1-(-1)=2$$

$i$ が消えて、実数 $2$ になった。 和と差の積 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ の形で、$i^2=-1$ を使っている。

$$1-i^2=1+1=2$$

$1-1=0$ としてはいけない。 $i^2$ は $-1$ なので、引くと足し算になる。分子は普通に展開して $(2+i)(1+i)=2+2i+i+i^2=1+3i$。

$$\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

分母 $1-i$ の共役 $1+i$ を、分母・分子にかける。

$$\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1-i^2}=\frac{2+3i-1}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

発展。 「割り算ができる」ということは、実は当たり前ではない。

複素数では、$0$ 以外のどんな数でも割ることができる。$z\ne 0$ なら

$$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$$

と、必ず逆数が作れるからだ($|z{|}^2$ は正の実数なので、割れる)。

この性質を持つ数の集まりを「体(たい)」という。 有理数、実数、複素数は、どれも体だ。では、$3$ 次元の数(空間ベクトルのようなもの)で、掛け算と割り算ができるものは作れるか?

答えは 「ノー」。$3$ 次元では、うまい掛け算が定義できない。しかし $4$ 次元なら可能で、それを四元数という($1843$ 年、ハミルトンが発見した)。ただし、掛け算の順序を入れかえると答えが変わる($ab\ne ba$)という代償を払う。

$8$ 次元にも「八元数」があるが、今度は結合法則($(ab)c=a(bc)$)まで壊れる。そして $16$ 次元以上では、もう何も作れないことが証明されている。掛け算と割り算ができる数の体系は、$1$、$2$、$4$、$8$ 次元のものしかない。

$2$ 次元(複素数)までは掛け算の交換法則などの性質を失わずに済む。だから複素数はこれほど広く使われる。$\frac{2+i}{1-i}$ という単純な割り算ができるのも、複素数がこの性質をもつからである。

別解

この計算は中学で習った「分母の有理化」とまったく同じ構造をしている。そう気づくと、共役を掛ける理由が腑に落ちる。そして掛け戻しの検算を習慣にしたい。

有理化との対応を見る。

まったく同じである。共役を掛けるのは、「$2$ 乗すると、目障りなものが消える」からだ。$\sqrt{2}$ を消したいなら $(\sqrt{2}{)}^2=2$ を使う。$i$ を消したいなら $i^2=-1$ を使う。どちらも「和と差の積」で $2$ 乗を作り出している。

唯一の違いは符号。 $1-(\sqrt{2}{)}^2=1-2=-1$ に対し、$1-i^2=1+1=2$。$i^2$ が負なので、引くと増える。この一点だけ気をつければよい。

そして検算。答えに分母を掛け戻す。

$$\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\right)(1-i)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i+\frac{3}{2}i-\frac{3}{2}{i}^2$$

$$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)i=2+i$$

元の分子 $2+i$ に戻った。 割り算をしたら掛け戻す。これは分数の計算の原則である。

絶対値でも検算できる。 割り算では絶対値も割り算される。

$$\left|\frac{2+i}{1-i}\right|=\frac{|2+i|}{|1-i|}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$$

答えの絶対値は $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$

一致した。

もっと高い視点から。 数Cで複素数平面を学ぶと、複素数の割り算は「絶対値を割り、偏角を引く」操作だと分かる。

$$\frac{z_1}{z_2}:\text{距離は }\frac{|z_1|}{|z_2|},\text{角度は }\arg z_1-\arg z_2$$

掛け算は回転と拡大、割り算は逆回転と縮小。 共役を掛けて分母を実数化する計算は、この幾何的な意味を式で表したものだ。$2$ つの見方、つまり代数(共役を掛ける)と幾何(回転と拡大) を持つと、複素数がずっと扱いやすくなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $i^{100}$ を $100$ 回掛けるのは無理だ。周期に気づくのが第一手である。

$$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$$

$4$ 乗すると $1$ に戻る。 ということは、そこから先は同じ $4$ つが繰り返す。

$$i^5=i,i^6=-1,i^7=-i,i^8=1,\dots$$

周期 $4$ のサイクル。 だから指数を $4$ で割った余りだけを見ればよい。

• 余り $1$ → $i$
• 余り $2$ → $-1$
• 余り $3$ → $-i$
• 余り $0$ → $1$

(1) $100=4\times 25$ で余り $0$ → $i^{100}=1$

(2) $2023=4\times 505+3$ で余り $3$ → $i^{2023}=-i$

(1) $100=4\times 25$ で余り $0$。$i^{100}=(i^4{)}^{25}=1^{25}=1$。

(2) $2023=4\times 505+3$ で余り $3$。$i^{2023}=i^3=-i$。

発展。 「$i$ を掛けると $90^{\circ }$ 回転」という事実は、複素数の最も重要な性質だ。数Cで、これが一般化される。

$$(\cos \theta +i\sin \theta )\text{を掛けると、}\theta \text{だけ回転する}$$

$i=\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }$ なので、$i$ を掛けるのは $90^{\circ }$ 回転の特別な場合である。そして、$n$ 乗すると回転が $n$ 倍になる。

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$

ド・モアブルの定理である。$i^n$ の周期性はこの定理の $\theta =90^{\circ }$ の場合にすぎない。

この定理は意外なところで役に立つ。 たとえば $3$ 倍角の公式。

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3=\cos 3\theta +i\sin 3\theta$$

左辺を二項定理で展開し、実部どうしを比べると

$$\cos 3\theta ={\cos }^3\theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$

三角関数の公式が複素数の計算から出てきた。

回転を「数」として扱えるようにしたことが、複素数が役に立つ大きな理由の1つだ。だから、平面上の回転が関わるあらゆる場面(交流回路、波動、量子力学)に複素数が現れる。$i^{2023}$ という単純な計算も、回転として理解できる。

別解

なぜ周期 $4$ なのか。 座標平面で見ると、その理由が絵で分かる。そして計算を短縮する別の方法も紹介する。

$i$ を掛けることは、$90^{\circ }$ の回転である。複素数を座標平面の点と見よう($a+bi$ を点 $(a,b)$ に対応させる)。実数 $1$ は点 $(1,0)$、虚数 $i$ は点 $(0,1)$ だ。

$1$ に $i$ を掛けると $i$。 点 $(1,0)$ が点 $(0,1)$ に移った。原点まわりに $90^{\circ }$ 回転している。

$i$ に $i$ を掛けると $i^2=-1$。 点 $(0,1)$ が点 $(-1,0)$ へ移り、また $90^{\circ }$ 回転した。

$$1\stackrel{\times i}{\to }i\stackrel{\times i}{\to }-1\stackrel{\times i}{\to }-i\stackrel{\times i}{\to }1$$

$4$ 回まわると $360^{\circ }$、つまり元の位置に戻る。

「周期 $4$」は $90^{\circ }\times 4=360^{\circ }$ から来ていた。 暗記する必要はまったくない。時計の針が $1$ 周するのと同じことだ。

$i^{2023}$ を、この目で見る。 $2023$ 回、$90^{\circ }$ ずつ回る。

$$2023\times 90^{\circ }=182070^{\circ }$$

$360^{\circ }$ で割った余りを見ると

$$182070=360\times 505+270$$

$270^{\circ }$ の位置にあるのは $-i$ である。「回転の余り」と「指数の余り」は、同じことを言っている。計算を短くする方法もある。

$i^{2023}$ を計算するのに、$2023$ を $4$ で割るのは面倒だ($2023=4\times 505+3$)。もっと楽な手がある。キリのいい指数から、逆算する。

$$i^{2024}=1(2024\text{は 4 の倍数だと、すぐ分かる})$$

$$i^{2023}=\frac{i^{2024}}{i}=\frac{1}{i}$$

$$\frac{1}{i}=\frac{1\times i}{i\times i}=\frac{i}{-1}=-i$$

$4$ の倍数を探すほうが、割り算より速いことが多い。 $2024$ は下 $2$ 桁 $24$ が $4$ で割れるので、$4$ の倍数だとすぐ分かる($4$ の倍数は下 $2$ 桁で判定できる。整数の性質で学んだ通りだ)。

$\frac{1}{i}=-i$ という関係も、覚えておくと便利。 $i$ の逆数は $-i$ なので、$i$ で割ることは、$-i$ を掛けること($90^{\circ }$ の逆回転)である。

まとめ。

• 代数の目: 指数を $4$ で割った余りで決まる
• 幾何の目: $90^{\circ }$ 回転が $4$ 回で $1$ 周する

同じ事実の $2$ つの表し方。 どちらか一方でも解けるが、両方持っていると忘れない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 複素数の相等とは、「実部どうしが等しく、虚部どうしが等しい」こと。

$$a+bi=c+di⟺a=c\text{かつ}b=d(a,b,c,d\text{は実数})$$

$1$ つの複素数の等式は実数の等式 $2$ 本ぶんの情報を持っている。だから、未知数が $2$ つでも解ける。

手順は「左辺を $\square +\square i$ の形に整理する」だけ。

$$(a+bi)(1+2i)=a+2ai+bi+2b{i}^2=(a-2b)+(2a+b)i$$

$2b{i}^2=-2b$ が実部に移る。ここを忘れない。

右辺 $5i$ の実部は $0$(見えていないだけで $0+5i$)。

$$a-2b=0,2a+b=5$$

$2$ 元 $1$ 次の連立方程式になった。複素数の問題が中学の連立方程式になった。

左辺を展開する。

$$(a+bi)(1+2i)=a+2ai+bi+2b{i}^2=(a-2b)+(2a+b)i$$

右辺 $5i$ は実部 $0$、虚部 $5$。実部・虚部を比べて

$$a-2b=0,2a+b=5$$

第1式より $a=2b$。第2式に入れて $4b+b=5$、$b=1$、$a=2$。

$$a=2,b=1$$

発展。 「実部と虚部を比べてよい」のは、$a$、$b$ が実数だからである。ここは意外に見落とされる。

$$a+bi=c+di⟹a=c,b=d$$

この推論は、$a$、$b$、$c$、$d$ がすべて実数のときにしか使えない。

なぜか。 もし $a$ や $b$ が複素数でもよいなら、たとえば

$$\underset{a}{\underbrace{0}}+\underset{b}{\underbrace{1}}\cdot i=\underset{c}{\underbrace{i}}+\underset{d}{\underbrace{0}}\cdot i$$

のように、同じ数を違う形で書けてしまう($a=0,b=1$ でも $c=i,d=0$ でも、どちらも $i$ を表す)。これでは「係数を比べる」ことに意味がない。

実数 $a$、$b$ を使った $a+bi$ という表し方は、$1$ 通りに決まる(一意性)。この一意性があるからこそ、係数比較が正当化される。同じ構造は他の場面にもある。

• ベクトルの $1$ 次独立: $\vec{a}$、$\vec{b}$ が $1$ 次独立なら、$s\vec{a}+t\vec{b}=s^{\prime }\vec{a}+t^{\prime }\vec{b}$ から $s=s^{\prime }$、$t=t^{\prime }$ が言える
• 恒等式の係数比較: $x$ が任意の実数なら、多項式の係数が一致する
• $\sqrt{2}$ の無理性: $a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$($a,b,c,d$ 有理数)なら $a=c$、$b=d$

共通するのは、$1$ 通りにしか表せないという一意性だ。$1$ と $i$ は実数の係数で見ると独立した $2$ 方向である($1$ 次独立、という言葉がそのまま当てはまる)。

係数比較という当たり前の操作の裏に、一意性という保証書がある。 数学では当たり前に見えるものほど、根拠を確かめておく価値がある。

別解

連立方程式を立てずに、割り算 $1$ 回で終わらせる。 「$a+bi$ を求めよ」と読み替えれば、これはただの除法だ。方程式を $a+bi$ について解く。

$$(a+bi)(1+2i)=5i$$

両辺を $(1+2i)$ で割る。

$$a+bi=\frac{5i}{1+2i}$$

あとは、分母の実数化(前問の技)。 分母の共役 $1-2i$ を、分子・分母に掛ける。

$$\frac{5i}{1+2i}=\frac{5i(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{5i-10i^2}{1-4i^2}=\frac{5i+10}{1+4}=\frac{10+5i}{5}=2+i$$

$a+bi=2+i$ だから、実部と虚部を見比べて

$$a=2,b=1$$

連立方程式を解かずに、答えが出た。どちらのルートを選ぶべきか。

• 未知数が「$a+bi$ の形にまとまっている」 → 割り算ルートが速い
• 未知数がバラバラに散らばっている(例: $a(1+i)+b(2-i)=3$)→ 係数比較ルート

この問題は、$a+bi$ がひとかたまりで掛けられているので、割り算が使える。式の形を見て、道具を選ぶ。

検算は代入で。

$$(2+i)(1+2i)=2+4i+i+2i^2=2+5i-2=5i$$

ぴったり $5i$。 実部がきれいに $0$ になっている。

「実部が $0$」という条件の意味。 右辺 $5i$ は純虚数(実部が $0$ の複素数)だ。この問題は、実は

$$\text{「(a+bi)(1+2i) が純虚数になるような a、b を求めよ」}$$

と(絶対値の条件を除けば)似た問いになっている。純虚数である、とは実部が $0$ ということだ。この言い換えは複素数の問題でよく使う。

• 実数である → 虚部が $0$($z=\bar{z}$ とも書ける)
• 純虚数である → 実部が $0$、かつ $z\ne 0$($z=-\bar{z}$ とも書ける)

条件を「実部・虚部の言葉」で書き直す。 複素数の問題を解くとき、最初にやるべきはいつもこれである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 共役複素数 $\bar{z}$ とは、虚部の符号だけを反転させたもの。

$$z=3-2i⟹\bar{z}=3+2i$$

実部はそのまま、虚部だけひっくり返す。(1) 足すと、虚部が打ち消し合う。

$$z+\bar{z}=(3-2i)+(3+2i)=6$$

$i$ が消えて実数になった。 これは偶然ではない。$z+\bar{z}=2\times (\text{実部})$ なので、いつでも実数だ。

(2) 掛けても、実数になる。

$$z\bar{z}=(3-2i)(3+2i)=9-(2i{)}^2=9-(-4)=13$$

和と差の積の形($a^2-b^2$)で計算するのが速い。$(2i{)}^2=4i^2=-4$ に注意。

$z^2$ と $z\bar{z}$ は別物だ。 $(3-2i{)}^2=5-12i$ で、複素数のまま。共役を掛けるから、実数になる。

$z=3-2i$ の共役は $\bar{z}=3+2i$。

(1) $z+\bar{z}=(3-2i)+(3+2i)=6$。

(2) $z\bar{z}=(3-2i)(3+2i)=3^2-(2i{)}^2=9+4=13$。

(共役どうしの和・積は、いつも実数になる。$z\bar{z}=a^2+b^2$ は $|z{|}^2$ でもある。)

発展。 共役をとる操作($z\mapsto \bar{z}$)は、四則演算と完全に交換するという性質を持つ。

$$\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w},\overline{zw}=\bar{z}\bar{w},\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}$$

「先に計算してから共役をとる」と「先に共役をとってから計算する」が、同じ結果になる。この性質を使うと、方程式の解の共役も、また解になることが証明できる。実数係数の方程式 $P(z)=0$ で、$P$ の係数が実数なら

$$\overline{P(z)}=P(\bar{z})$$

(係数は実数なので、共役をとっても変わらない。)だから

$$P(z)=0⟹P(\bar{z})=\overline{P(z)}=\bar{0}=0$$

$z$ が解なら、$\bar{z}$ も解。 前問で見た「虚数解はペアで現れる」が、$1$ 行で証明された。

共役は複素数平面の「鏡映」である。 実軸を鏡にして、上下をひっくり返す操作だ。

「鏡に映しても、方程式は同じ形をしている」というのが、係数が実数であるということの幾何的な意味である。実数だけで書かれた式は上下を入れかえても変わらない。

対称性が解の構造を決める。 この視点は大学で学ぶガロア理論(方程式が解けるかどうかを、解の対称性で判定する理論)へまっすぐ続いている。$5$ 次以上の方程式に解の公式がないという有名な定理も、この道の先にある。

別解

文字で一般化すると、この $2$ つの値が何を表しているかが分かる。 そして、それがこの後の学習(解と係数の関係、$2$ 次方程式の虚数解)に直結する。$z=a+bi$($a$、$b$ は実数)として計算する。

$$\bar{z}=a-bi$$

和。

$$z+\bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a$$

$$\boxed{z+\bar{z}=2\times (\text{実部})}$$

積。

$$z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2$$

$$\boxed{z\bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2}$$

積は絶対値の $2$ 乗になる。 $z=3-2i$ なら $3^2+2^2=13$ で、三平方の定理の形になっている。

この $2$ つは、必ず実数になる。 だから複素数を実数に変える手段として使える。分母の実数化で共役を掛けたのは、この性質を利用していた。

そして、ここからが本題だ。この $2$ 数には、隠れた意味がある。和 $6$、積 $13$ という $2$ つの値から、何か思い出さないだろうか。

解と係数の関係だ。$z$ と $\bar{z}$ を $2$ 解とする $2$ 次方程式は

$$x^2-(z+\bar{z})x+z\bar{z}=0$$

$$x^2-6x+13=0$$

係数がすべて実数になっている。

確かめる。 この方程式を解くと

$$x=\frac{6\pm \sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{6\pm 4i}{2}=3\pm 2i$$

元の $z=3-2i$ と $\bar{z}=3+2i$ が出てきた。

ここに重要な原理がある。

$$\boxed{\text{実数係数の 2 次方程式が虚数解を持つとき、その 2 解は必ず共役の組}}$$

虚数解は必ずペアで現れる。 片方だけ、ということはありえない。理由はこの計算から分かる。共役どうしの和と積は実数だから、係数が実数になれるのだ。

この事実は $3$ 次以上でも成り立つ。 実数係数の方程式が $2+i$ を解に持てば、$2-i$ も必ず解である。だから

• $3$ 次方程式(実数係数)は必ず実数解を $1$ つ以上持つ(虚数解は $2$ 個ずつペアで現れるので、$3$ 個全部が虚数にはなれない)

共役という単純な操作が方程式の解の構造を支配している。 この問題で計算した $z+\bar{z}$ と $z\bar{z}$ が、その基礎になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず判別式で、解の様子を確認する。

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 13=16-52=-36<0$$

負だから、実数解はない。 しかし複素数の範囲なら、必ず解ける。

$$x=\frac{4\pm \sqrt{-36}}{2}$$

$\sqrt{-36}$ をどう扱うか。 これが山場だ。

$$\sqrt{-36}=\sqrt{36}\times \sqrt{-1}=6i$$

$-6$ ではない。$6i$ である。 負の数の平方根は $i$ を使って書く。

$$x=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$$

$2$ 解は $2+3i$ と $2-3i$ で、共役のペアになっている。実数係数の方程式だから、当然だ。

「解なし」ではない。 複素数を学んだ今、$2$ 次方程式は必ず $2$ つの解を持つ。

$a=1$、$b=-4$、$c=13$。判別式は

$$b^2-4ac=16-52=-36<0$$

負なので虚数解になる。$\sqrt{-36}=6i$ を使って

$$x=\frac{4\pm \sqrt{-36}}{2}=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$$

(判別式が負なら、$\sqrt{(\text{負})}=(\text{正})i$ と書きかえるだけ。共役な2解 $2+3i$、$2-3i$ がペアで出る。)

発展。 複素数を導入したことで、判別式の意味が変わった。

中学・数Iまで: $D<0$ なら「解なし」

複素数を知った今: $D<0$ なら「虚数解を $2$ つ持つ」

「解なし」という言葉が消えた。 $2$ 次方程式は複素数の範囲で必ず $2$ つの解を持つ($D=0$ なら重解を $2$ つと数える)。そして、これが一般化される。

$$\boxed{n\text{次方程式は、複素数の範囲で必ず }n\text{個の解を持つ(重解も数えて)}}$$

代数学の基本定理である($19$ 世紀にガウスが証明した)。

この定理の内容を具体的に見てみる。 どんなに複雑な方程式でも(たとえば $x^{100}-3x^{47}+\sqrt{2}x-\pi =0$ でも)、複素数の中には、ちょうど $100$ 個の解がある。$1$ つも欠けず、$1$ つも余らない。

数の範囲を複素数まで広げると、方程式の解が「ちょうど」収まる。 これ以上広げる必要はない($5$ 次方程式の解も、$100$ 次方程式の解も、すべて複素数の中にいる)。

複素数は代数的に閉じている、という。方程式を解くために数の範囲を広げてきたが、複素数でそれ以上広げる必要がなくなった。

$$\mathbb{N}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Q}\to \mathbb{R}\to \mathbb{C}$$

自然数から始まり、引き算のために負の数を、割り算のために分数を、$\sqrt{2}$ のために実数を、$\sqrt{-1}$ のために複素数を付け加えてきた。そのたびに数の範囲は広がり、複素数で完成した。$x^2-4x+13=0$ が解けたこと。それは、この長い旅の終点に立っているということである。

別解

解の公式を使わず、平方完成で解く。 公式を忘れても解けるし、$i$ が現れる瞬間が見えるので、理解が深まる。

平方完成する。

$$x^2-4x+13=0$$

$x$ の係数 $-4$ の半分($-2$)を使って

$$(x-2{)}^2-4+13=0$$

$$(x-2{)}^2+9=0$$

$$(x-2{)}^2=-9$$

ここが大事なところだ。

「$2$ 乗して $-9$ になる数」を探している。 実数の範囲では、$2$ 乗は必ず $0$ 以上だ。だから実数解は存在しない(判別式が負、というのはこのことだ)。

しかし複素数なら、ある。

$$(3i{)}^2=9i^2=-9,(-3i{)}^2=9i^2=-9$$

$\pm 3i$ の $2$ つ。 だから

$$x-2=\pm 3i⟹x=2\pm 3i$$

解の公式と同じ答え。

平方完成ルートの利点。

$1$ つ目: 公式を覚えなくてよい。 $x$ の係数の半分を引いて、足して引いた分を調整するだけ。

$2$ つ目: なぜ虚数解が出るのかが見える。 「$2$ 乗 $=$ 負の数」という実数では満たせない要求に、$i$ が答えている。$i$ がなぜ必要なのかが、ここで分かる。

$3$ つ目: 実部 $2$、虚部 $\pm 3$ という構造が直接出る。 $(x-2{)}^2=-9$ という形から、実部は $2$(平方完成でずらした分)、虚部は $\pm 3$ であると読める。解の公式の分数計算より、見通しがよい。

検算は解と係数の関係で。

• $2$ 解の和: $(2+3i)+(2-3i)=4$(係数から $-\frac{-4}{1}=4$)
• $2$ 解の積: $(2+3i)(2-3i)=4-9i^2=4+9=13$(係数から $\frac{13}{1}=13$)

共役の積が実数($13$)になる。前問で見た $z\bar{z}=a^2+b^2$ そのものだ。$2^2+3^2=13$。

$2$ 次方程式が虚数解を持つとき、その解は必ず「実部 $=$ 頂点の $x$ 座標」「虚部 $=$ $\pm \sqrt{|D|}/2$」の形をしている。 グラフで言えば、放物線が $x$ 軸から浮いているとき、その「浮き」の分が虚部として現れるのだ。

$$y=(x-2{)}^2+9$$

頂点 $(2,9)$ は $x$ 軸から $9$ だけ浮いている。 この $9$ が $\sqrt{9}=3$ となって、虚部 $\pm 3i$ になる。虚数解の虚部はグラフの「浮き上がり」を表している。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^2-5x+8=0$ の判別式は $25-32=-7<0$ なので、解は虚数だ。

しかし、解を求める必要はない。 聞かれているのは和と積であり、それは係数から直接読める。

$$a{x}^2+bx+c=0\text{の 2 解 }\alpha ,\beta \text{について}$$

$$\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}$$

今回は $a=1$、$b=-5$、$c=8$。

$$\alpha +\beta =-\frac{-5}{1}=5,\alpha \beta =\frac{8}{1}=8$$

和の符号に注意。 $b=-5$ なので $-\frac{b}{a}=+5$ となる。マイナスが $2$ つで、プラスになる。

解が虚数でも、和と積は実数になる(共役のペアだから)。解を求めずに答えが出る。これが解と係数の関係の値打ちだ。

$a=1$、$b=-5$、$c=8$ なので

$$\alpha +\beta =-\frac{-5}{1}=5,\alpha \beta =\frac{8}{1}=8$$

(解を実際に求めなくても、係数から和と積が即座にわかる。)

発展。 解と係数の関係は、逆向きにも使える。

「和が $5$、積が $8$ である $2$ 数を求めよ」 と言われたら、その $2$ 数は

$$x^2-5x+8=0$$

の解である。「和と積が分かれば、$2$ 数は決まる」ので、方程式を作って解けばよい。

$$x^2-(\text{和})x+(\text{積})=0$$

この $1$ 行はいろいろな場面で使える。

• 連立方程式 $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ xy=8\end{array}$ を解くとき、$2$ 次方程式になる
• $2$ 数の値を求める文章題(面積と周の長さが分かっている長方形の辺、など)
• 数列の隣接 $2$ 項の関係から一般項を出すとき

そして、この問題では「和 $5$、積 $8$」を満たす実数は存在しない(判別式が負)。$2$ 数は虚数になる。

「和が $5$、積が $8$ の $2$ つの実数」を探して、$1+4=5$、$1\times 4=4$、$2+3=5$、$2\times 3=6$ $\dots$ といくら試しても見つからない。積は最大でも ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=6.25$ にしかならないからだ(相加相乗の関係)。$8$ には届かない。

「和が一定なら、積には上限がある」。相加平均・相乗平均の関係と判別式が、ここで結びつく。

$$\frac{\alpha +\beta }{2}\geqq \sqrt{\alpha \beta }⟹{\left(\frac{5}{2}\right)}^2\geqq 8?\text{(成り立たない)}$$

だから実数解はない。 判別式が負であることの、別の説明になっている。

$2$ つの定理が同じ事実を別の言葉で表している。 数学の道具は、思わぬところでつながっている。

別解

本当に解いてみて、和と積を計算してみよう。 公式を疑ってかかるのは、よい態度だ。そして「なぜ係数から和と積が読めるのか」の理由も見る。

実際に解く。

$$x=\frac{5\pm \sqrt{25-32}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{-7}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{7}i}{2}$$

$$\alpha =\frac{5+\sqrt{7}i}{2},\beta =\frac{5-\sqrt{7}i}{2}$$

和を計算する。

$$\alpha +\beta =\frac{5+\sqrt{7}i}{2}+\frac{5-\sqrt{7}i}{2}=\frac{10}{2}=5$$

虚部が打ち消し合った。

積を計算する。 和と差の積の形だ。

$$\alpha \beta =\frac{(5+\sqrt{7}i)(5-\sqrt{7}i)}{4}=\frac{25-7i^2}{4}=\frac{25+7}{4}=\frac{32}{4}=8$$

公式と完全に一致した。 虚数解でも、和と積は確かに実数になる。では、なぜ係数から和と積が分かるのか。

$2$ 解が $\alpha$、$\beta$ なら、方程式は因数分解できる。

$$x^2-5x+8=(x-\alpha )(x-\beta )$$

右辺を展開する。

$$(x-\alpha )(x-\beta )=x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta$$

左辺と係数を比べる。

$$-(\alpha +\beta )=-5⟹\alpha +\beta =5$$

$$\alpha \beta =8$$

解と係数の関係は、恒等式の係数比較そのものだった。難しい定理ではなく、因数分解を展開しただけである。

この見方だと、$3$ 次でも同じように作れる。 $3$ 次方程式 $x^3+p{x}^2+qx+r=0$ の $3$ 解を $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ とすると

$$x^3+p{x}^2+qx+r=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$$

展開して比べれば

$$\alpha +\beta +\gamma =-p,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =q,\alpha \beta \gamma =-r$$

符号が交互($-$、$+$、$-$)になるのがポイントだ。$n$ 次でも同じ規則が続く(根と係数の関係)。

係数を見れば、解の「素性」が分かる。 解そのものは複雑でも(今回は $\frac{5\pm \sqrt{7}i}{2}$ という厄介な形)、和は $5$、積は $8$ とすっきりしている。

「個々の解」より「解の対称式」のほうが単純である。この事実が、次の問題(対称式の計算)につながっていく。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\alpha$、$\beta$ を実際に求めると $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ となる。これを $2$ 乗して足すのは、かなり面倒だ。

しかし、${\alpha }^2+{\beta }^2$ は対称式である。 $\alpha$ と $\beta$ を入れかえても、式の形が変わらない。

対称式は必ず「和」と「積」だけで表せる。 これが決め手になる事実だ。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$$

($\alpha +\beta {)}^2$ を展開すると ${\alpha }^2+2\alpha \beta +{\beta }^2$ なので、余分な $2\alpha \beta$ を引けばよい。解と係数の関係から $\alpha +\beta =3$、$\alpha \beta =1$。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=3^2-2\times 1=9-2=7$$

解を求めずに答えが出た。 無理数の $2$ 乗を計算する必要は、まったくない。

$x^2-3x+1=0$ より $\alpha +\beta =3$、$\alpha \beta =1$。${\alpha }^2+{\beta }^2$ は和と積で表せる対称式だ。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =3^2-2\times 1=9-2=7$$

(解を求めずに、和と積だけで対称式の値が出る。数と式で学んだ対称式がここでも生きる。)

発展。 対称式のべき乗和(${\alpha }^n+{\beta }^n$)には、漸化式という便利な計算法がある。

$s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ と置く。$\alpha$、$\beta$ は $x^2-3x+1=0$ の解だから

$${\alpha }^2=3\alpha -1,{\beta }^2=3\beta -1$$

両辺に ${\alpha }^{n-2}$、${\beta }^{n-2}$ を掛けて足すと

$$s_n=3s_{n-1}-s_{n-2}$$

$3$ 項間漸化式が出た。 $s_0=2$、$s_1=3$ から始めて

$$s_2=3(3)-2=7$$ $$s_3=3(7)-3=18$$ $$s_4=3(18)-7=47$$ $$s_5=3(47)-18=123$$

${\alpha }^{10}+{\beta }^{10}$ でさえ、足し算と掛け算だけで出せる。 展開公式を覚える必要はない。

しかも、次のことに気づく。 $\alpha$、$\beta$ は無理数($\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$)なのに、$s_n$ はすべて整数($2,3,7,18,47,123,\dots$)だ。

漸化式が整数係数だから、整数から始めれば整数のままである。無理数の $10$ 乗の和が整数になる。個々の項の $\sqrt{5}$ が必ず打ち消し合っているのだ。

ちなみに、$\alpha =\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ は黄金比 $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ の $2$ 乗(${\varphi }^2=\varphi +1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$)である。だから $s_n$ の列 $2,3,7,18,47,\dots$ は、フィボナッチ数列と兄弟関係にある(リュカ数列の偶数番目)。

$2$ 次方程式の解の対称式 → 漸化式 → フィボナッチと、別々の単元の内容がつながっている。

別解

本当に解いて、そのまま計算してみる。 手間を比べると、対称式を使う利点がよく分かる。そして、この技がどこまで伸びるかを見よう。

そのまま計算する方法。実際に解く。

$$x=\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$

$$\alpha =\frac{3+\sqrt{5}}{2},\beta =\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

$2$ 乗する。

$${\alpha }^2=\frac{(3+\sqrt{5}{)}^2}{4}=\frac{9+6\sqrt{5}+5}{4}=\frac{14+6\sqrt{5}}{4}$$

$${\beta }^2=\frac{(3-\sqrt{5}{)}^2}{4}=\frac{9-6\sqrt{5}+5}{4}=\frac{14-6\sqrt{5}}{4}$$

足す。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{(14+6\sqrt{5})+(14-6\sqrt{5})}{4}=\frac{28}{4}=7$$

同じ答え。しかし手間は $5$ 倍だ。$\sqrt{5}$ の項が最後にきれいに消えるのを見て、「最初から消えると分かっていたのに」と思わないだろうか。

対称式の技はこの「消えることが分かっている計算」を、丸ごと省略する。そして、この技はどこまでも伸びる。

$3$ 乗の和も出せる。

$${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=27-3\times 1\times 3=18$$

逆数の和も出せる。

$$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }=\frac{3}{1}=3$$

差の $2$ 乗も出せる。

$$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =9-4=5$$

(これは判別式そのものだ。$D=b^2-4ac=5$ となり、判別式は「$2$ 解の差の $2$ 乗」だった。だから $D=0$ なら $\alpha =\beta$、つまり重解になる。)

すべて、和 $3$ と積 $1$ だけから出ている。 解の値($\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$)は $1$ 度も使っていない。これが「対称式の基本定理」の力である。

$$\boxed{\text{α、β の対称式は、すべて (α+β) と αβ で表せる}}$$

個々の解がどんなに汚くても(無理数でも虚数でも)、対称式なら必ずきれいな値になる。 なぜなら、和と積は係数から読めて、係数は最初からきれいな数だからだ。この単元でやっていることをまとめると、次のようになる。

「$1$ つ $1$ つの解を追いかけるより、解の『全体』が持つ性質を見るほうが、はるかに簡単なことがある。」

$\alpha$ と $\beta$ を個別に見れば $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ という扱いにくい数だが、$2$ つセットで見れば「和 $3$、積 $1$」という簡単な値になる。見方を変えると、難しさが消える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「余りを求めよ」とあるが、筆算をする必要はない。

剰余の定理を使う。

$$P(x)\text{を}(x-k)\text{で割った余りは}P(k)$$

割る式を $0$ にする値を、代入するだけ。 $x-2$ なら $x=2$ を入れる。

$$P(2)=2^3-2\cdot 2^2+3\cdot 2-1=8-8+6-1=5$$

余りは $5$。

符号に注意。 $x-2$ で割るなら代入するのは $+2$($x=2$ で $x-2=0$ になるから)。$-2$ ではない。$x+2$ で割るときに $-2$ を代入する。逆にしない。

「割る式 $=0$ とおいて解いた値」を代入すると覚えておくのが確実だ。

① なぜ代入で余りが出るのかを確かめる。 $P(x)$ を $x-2$ で割った商を $Q(x)$、余りを $R$(定数)とすると

$$P(x)=(x-2)Q(x)+R$$

ここに $x=2$ を入れると、$(x-2)$ の部分が $0$ になって $Q(x)$ ごと消え、$R$ だけが残る。つまり $P(2)=R$＝余り。だから割り算をしなくても、$x=2$ を代入するだけで余りが分かる。

② 実際に代入する。

$$P(2)=2^3-2\cdot 2^2+3\cdot 2-1=8-8+6-1=5$$

よって余りは $5$。

まとめ:$x-a$ で割った余り $=P(a)$ となるのは、「$P(x)=(x-a)Q(x)+R$ に $x=a$ を入れると $(x-a)$ が消えて $R$ が残る」からだ。長い割り算が1回の代入で済む。

発展。 剰余の定理は整数の余りの話とそっくり同じ構造をしている。

整式にも「合同式」がある。 $x\equiv 2(\mathrm{mod}(x-2))$ と書けば、$x$ を $2$ に置きかえてよい、ということ。

$$P(x)=x^3-2x^2+3x-1\equiv 2^3-2\cdot 2^2+3\cdot 2-1=5(\mathrm{mod}(x-2))$$

剰余の定理は整式の合同式そのものである。

この対応はさらに先まで続く。 整数で「素数」に当たるものが、整式では「既約多項式」(これ以上因数分解できない式)。整数の素因数分解に当たるのが、整式の因数分解。ユークリッドの互除法もそのまま整式で動く。

$\mathbb{Z}$(整数)と $\mathbb{R}[x]$(実数係数の多項式)は、同じ構造を持つ。 大学の代数学ではこの共通構造をユークリッド整域という言葉で統一的に扱う。

「余りを求める」という同じ問いが、数と式の両方に同じ形で現れる。 整数の余りと整式の余りを、同じ考え方で扱えるということだ。

別解

商まで欲しいときは、組立除法。 そして「$2$ 次式で割ったときの余り」という応用まで、続けて見ておく。組立除法で、商と余りを両方出す。

$P(x)=x^3-2x^2+3x-1$ の係数だけを並べる。$x=2$ で割るので、左に $2$ を置く。

$$\begin{array}{rrrrr}2& 1& -2& 3& -1\\ & & 2& 0& 6\\ & 1& 0& 3& \boxed{5}\end{array}$$

「下ろす → 掛ける → 足す」を繰り返すだけ。

• $1$ をそのまま下ろす
• $1\times 2=2$ → $-2+2=0$
• $0\times 2=0$ → $3+0=3$
• $3\times 2=6$ → $-1+6=5$ ← 余り

下の段 $1,0,3$ が商の係数(次数が $1$ 下がって $2$ 次式)。

$$P(x)=(x-2)(x^2+3)+5$$

検算しよう。

$$(x-2)(x^2+3)+5=x^3+3x-2x^2-6+5=x^3-2x^2+3x-1$$

剰余の定理で出した余り $5$ と一致。なぜ剰余の定理が成り立つのか、この式が答えている。

$$P(x)=(x-2)Q(x)+R$$

$x=2$ を代入すると、$(x-2)$ の部分が $0$ になる。

$$P(2)=0\times Q(2)+R=R$$

商 $Q(x)$ が何であろうと、消えてしまう。 だから代入するだけで余りが出る。さて、応用だ。「$2$ 次式で割った余り」はどうなるか。

$$P(x)\text{を}{x}^2-1\text{で割った余りを求めよ}$$

$2$ 次式で割るので、余りは $1$ 次以下($ax+b$ の形)。

$$P(x)=(x^2-1)Q(x)+ax+b$$

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ が $0$ になる値を、$2$ つとも代入する。

$$x=1:P(1)=a+b$$ $$x=-1:P(-1)=-a+b$$

連立方程式で $a$、$b$ が求まる。今回の $P(x)=x^3-2x^2+3x-1$ なら、$P(1)=1$、$P(-1)=-7$。

$$a+b=1,-a+b=-7$$

解いて $a=4$、$b=-3$。余りは $4x-3$。

「割る式を $0$ にする値を、全部代入する」。これが剰余の定理の一般形だ。$n$ 次式で割るなら、余りは $n-1$ 次以下で、未知数は $n$ 個。$n$ 個の代入値があれば決まる。

この技は入試の頻出テーマである。「$x^{100}$ を $x^2-1$ で割った余りを求めよ」のような問題も、$x=\pm 1$ を代入するだけで解ける($P(1)=1$、$P(-1)=1$ → 余りは $1$)。$100$ 乗を筆算する人はいない。定理を使う人が勝つ。