複素数と方程式 ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 複素数の平方根も、実部と虚部の文字でおいて $2$ 乗するのが出発点だ。$z=a+bi$ と書いて $2$ 乗し、実部・虚部を見比べる。

すると連立 $a^2-b^2=-5$、$2ab=12$ が出る。この連立を解くと候補がいくつか出てくる。$a,b$ が実数という条件で、そのうち不適なものを落とす。ここまでが一組の作業だと見通しておく。

① $z=a+bi$ とおいて2乗する。 $z=a+bi$($a$、$b$ は実数)とおく。

$$z^2=(a^2-b^2)+2abi=-5+12i$$

② 実部と虚部を、それぞれ比べる。 実部・虚部を比べて

$$a^2-b^2=-5,2ab=12$$

③ 1文字を消して、$a$ だけの方程式にする。 2つ目から $ab=6$、つまり $b=\frac{6}{a}$。1つ目に代入する。

$$a^2-\frac{36}{a^2}=-5$$

両辺に $a^2$ をかけて整理する。

$$a^4+5a^2-36=0\Rightarrow (a^2+9)(a^2-4)=0$$

④ 実数条件で解を絞る。 $a$ は実数なので $a^2+9>0$。よって $a^2=4$、$a=\pm 2$。

$a=2$ のとき $b=3$、$a=-2$ のとき $b=-3$。

$$z=2+3i\text{または}z=-2-3i$$

まとめ:複素数の平方根も $a+bi$ とおいて相等で連立にする。$a$ が実数($a^2\ge 0$)の条件で、不適な解を落とすのがポイント。

発展。 どんな $0$ でない複素数にも、平方根はちょうど $2$ つあり、符号だけが逆の $\pm (a+bi)$ の形になる。本問の $2$ 解 $\pm (2+3i)$ もこの形になっている。

一般に $w=p+qi$ の平方根は、絶対値の式 $a^2+b^2=|w|$ と実部の式 $a^2-b^2=p$ を連立して求まる。すると $a^2=\frac{|w|+p}{2}$、$b^2=\frac{|w|-p}{2}$ と、絶対値と実部だけで書ける。符号の対応は虚部 $q$ が決める($2ab=q$ の正負)。この別解の絶対値ルートはそのまま平方根の一般公式になっている。

別解

別解:絶対値を使って連立を簡単に解く(得意な人向けの視点)。 $z^2=-5+12i$ の両辺の絶対値をとる。左辺は $|z^2|=|z{|}^2$、右辺は $|-5+12i|=\sqrt{25+144}=13$。

だから $|z{|}^2=a^2+b^2=13$ が手に入る。本解の実部の式 $a^2-b^2=-5$ と、この $a^2+b^2=13$ を並べる。

$$a^2+b^2=13,a^2-b^2=-5$$

辺々を足すと $2a^2=8$ で $a^2=4$、引くと $2b^2=18$ で $b^2=9$。よって $a=\pm 2$、$b=\pm 3$。符号は虚部 $2ab=12>0$、つまり $ab=6>0$ で決まる。$a,b$ は同符号だから $(a,b)=(2,3),(-2,-3)$。

$$z=2+3i\text{または}z=-2-3i$$

$4$ 次方程式に持ち込む本解と同じ答えだが、絶対値の式を $1$ 本足すと、連立が「和と差」ですぐに解ける。$a^2$ の複$2$次を作らずに済むのが利点だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 新しい $2$ 解 ${\alpha }^2$、${\beta }^2$ を解とする方程式に要るのは、和と積の $2$ つだけだ。

その和と積を、もとの $\alpha +\beta$、$\alpha \beta$ で表す。和は $(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$、積は $(\alpha \beta {)}^2$ になる。変換後の基本対称式を、もとの基本対称式で書き直す。これが方程式を作り替える発想だ。

もとの方程式 $x^2-3x+1=0$ から

$$\alpha +\beta =3,\alpha \beta =1$$

新しい解の和 ${\alpha }^2+{\beta }^2$:

$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =9-2=7$$

新しい解の積 ${\alpha }^2{\beta }^2$:

$${\alpha }^2{\beta }^2=(\alpha \beta {)}^2=1^2=1$$

和 $7$、積 $1$ なので、求める方程式は

$$x^2-7x+1=0$$

発展。 「解を $2$ 乗した方程式」を作る操作は、公式化できる。もとの多項式を $p(x)$ とすると、解を $2$ 乗した方程式は $p(\sqrt{x})p(-\sqrt{x})=0$ で得られる。$\sqrt{x}$ の奇数乗が打ち消し合い、$x$ の多項式だけが残る仕掛けだ。

本問なら $p(x)=x^2-3x+1$ で、$p(\sqrt{x})p(-\sqrt{x})=(x+1{)}^2-9x=x^2-7x+1$ となり、答えと一致する。これは終結式による変数消去の一例だ。解を $\alpha +1$ や $\frac{1}{\alpha }$ に変換した方程式も、同じ発想で機械的に作れる。

別解

別解:実際に解を求めて $2$ 乗する(苦手な人向けの具体ルート)。 対称式の変形が不安なら、$\alpha$、$\beta$ をそのまま求めてしまえばよい。

$x^2-3x+1=0$ を解の公式で解くと $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$。だから $\alpha =\frac{3+\sqrt{5}}{2}$、$\beta =\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。これらを $2$ 乗する。

$${\alpha }^2=\frac{(3+\sqrt{5}{)}^2}{4}=\frac{14+6\sqrt{5}}{4}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2},{\beta }^2=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

新しい解の和と積を出す。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}+\frac{7-3\sqrt{5}}{2}=7,{\alpha }^2{\beta }^2=\frac{7^2-(3\sqrt{5}{)}^2}{4}=\frac{49-45}{4}=1$$

和 $7$、積 $1$ だから、求める方程式は $x^2-7x+1=0$。対称式でまとめて出す本解と同じ答えだ。具体的に解いて $2$ 乗すると、何が起きているかが目で見えるのが利点だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 実数係数の方程式は、虚数解が来れば共役も必ず解になる。

この一言で、$3-2i$ から共役な $3+2i$ が得られる。$2$ 解が揃えば、和と積から方程式が復元できる。実数係数なら共役もセットで解、という事実の使いどころだ。

よって、もう1つの解は $3-2i$ の共役 $3+2i$。2解の和と積を出す。

$$(3-2i)+(3+2i)=6$$

$$(3-2i)(3+2i)=3^2+2^2=9+4=13$$

和 $6$、積 $13$ なので、求める2次方程式は

$$x^2-6x+13=0$$

共役な2解の和・積はどちらも実数になるので、係数も確かに実数になる。

発展。 $3-2i$ を解にもつ実数係数の多項式で、最も次数の低いものがこの $x^2-6x+13$ だ。これを $3-2i$ の最小多項式という。実数係数のどんな方程式も $3-2i$ を解にもつなら必ずこの $2$ 次式で割り切れる。

$2$ 解 $3\pm 2i$ は複素数平面では実軸に関して対称な鏡像の位置にある。だから和 $6$ は実数、積 $|3-2i{|}^2=13$ も実数になり、係数が実数にそろう。

同じ「共役をとると解が入れかわる」しくみは、係数を有理数にしても働く。$\sqrt{2}$ が有理数係数の方程式の解なら $-\sqrt{2}$ も必ず解になり、最小の方程式は $x^2-2=0$ だ。係数の範囲を保ったまま共役をとる操作が、解の顔ぶれをそっくり保つ。この解どうしの対称性を調べるのが、いずれ学ぶガロア理論の出発点になる。

別解

別解:共役ペアを差の積の形でまとめる(得意な人向けの視点)。 求める方程式は $2$ 解 $3-2i$、$3+2i$ をもつ。$x^2$ の係数が $1$ だから、$(x-(3-2i))(x-(3+2i))=0$ と書ける。

この $2$ つの因数は $x-3$ を共通のかたまりと見ると差の積になる。

$$(x-(3-2i))(x-(3+2i))=((x-3)+2i)((x-3)-2i)=(x-3{)}^2-(2i{)}^2$$

$(2i{)}^2=-4$ だから、$(x-3{)}^2+4$。展開して

$$(x-3{)}^2+4=x^2-6x+9+4=x^2-6x+13$$

和と積を別々に計算する本解と同じ $x^2-6x+13=0$ にたどり着く。共役ペアは $(x-p{)}^2+q^2$ の形にまとまる、と覚えておくと展開が速い。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 実数係数だから、$1+i$ の共役 $1-i$ も解になる。$3$ 次なので、残る $1$ 解は実数だ。

まず「共役ペア $2$ つと実数 $1$ つ」と、解の顔ぶれを確定させる。あとは解と係数の関係を使う。$a,b$ と残りの解を、芋づる式に決めていく。

よって $1+i$、$1-i$ が解。3次なので、残りの実数解を $r$ とおく。

この方程式は $x^2$ の項がない($p=0$)ので、3解の和は $0$。

$$(1+i)+(1-i)+r=0\Rightarrow 2+r=0\Rightarrow r=-2$$

残りの解は $1-i$ と $-2$。次に $a$、$b$。3解の積は $-b$ にあたる。

$$(1+i)(1-i)(-2)=2\times (-2)=-4=-b\Rightarrow b=4$$

2つずつの積の和が $a$ にあたる。

$$(1+i)(1-i)+(1+i)(-2)+(1-i)(-2)=2+(-2-2i)+(-2+2i)=-2$$

まとめ:よって $a=-2$。まとめると $a=-2$、$b=4$、残りの解は $1-i$ と $-2$。

発展。 $x^3+ax+b$ のように $2$ 次の項がない $3$ 次式を「減次形」という。どんな $3$ 次方程式も $x$ を定数だけ平行移動すればこの形になる。カルダノの公式はこの減次形を解くための公式だ。

減次形 $x^3+ax+b=0$ の解の様子は、判別式 $-4a^3-27b^2$ の符号で決まる。これが負なら実数解 $1$ つと共役な虚数解 $2$ つ、正なら相異なる実数解 $3$ つになる。本問は $a=-2$、$b=4$ で、判別式は $-4(-2{)}^3-27\cdot 4^2=32-432=-400<0$。だから実数解 $1$ つ($-2$)と共役ペア $1\pm i$、という顔ぶれが判別式からも読み取れる。

別解

別解:解を代入して実部・虚部を $0$ にする(計算で押し切るルート)。 共役解や解と係数の関係を持ち出さず、$x=1+i$ を方程式にそのまま代入する。

まず $(1+i{)}^2=2i$、$(1+i{)}^3=(1+i)\cdot 2i=2i+2i^2=-2+2i$。代入すると

$$(1+i{)}^3+a(1+i)+b=(-2+2i)+a(1+i)+b=(-2+a+b)+(2+a)i$$

$a,b$ は実数なので、実部と虚部がそれぞれ $0$ になる。

$$-2+a+b=0,2+a=0$$

$2$ 本目から $a=-2$、$1$ 本目に入れて $b=4$。方程式は $x^3-2x+4=0$。残りの解は因数分解 $x^3-2x+4=(x+2)(x^2-2x+2)$ から $x=-2$ と $x=1\pm i$。

解と係数の関係で攻める本解と同じ $a=-2$、$b=4$ に、代入 $1$ 回と実虚の分離だけで着く。共役解を明示的に使わなくても、実部・虚部を $0$ にする条件で同じことができる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^{100}$ を割るとき、$x^2+x+1$ が $x^3-1$ の因数だと気づけば解ける。

この式で割った余りを考えるときは、$x^3=1$ と置ける。だから指数 $100$ を、$x^3=1$ を使って大きく減らせる。割る式から $x^3=1$ を引き出し、指数を減らす。この飛躍が発想の要だ。

$x^2+x+1$ は $x^3-1$ の因数。だから、この式で割った余りを考えるときは、$x^3$ を $1$ に置きかえてよい。指数 $100$ を $3$ で割ると $100=3\times 33+1$。よって

$$x^{100}=(x^3{)}^{33}\cdot x\equiv 1^{33}\cdot x=x$$

$x$ は1次式(割る式の次数 $2$ より低い)なので、これが余り。

$$\text{余り}=x$$

まとめ:念のため確かめると、$x^{100}-x=x(x^{99}-1)=x\{(x^3{)}^{33}-1\}$ は $x^3-1$、つまり $x^2+x+1$ で割り切れる。だから余りは確かに $x$。

発展。 「$x^2+x+1$ で割った余り」を考えるのは、$x^3=1$ という関係を使って計算するのと同じだ。この計算では $x$ の累乗が $1,x,x^2,1,x,x^2,\dots$ と周期 $3$ でくり返す。だから余りは指数 $100$ を $3$ で割った余りだけで決まる。

$x^2+x+1$ は $x^3-1$ を $x-1$ で割ったもので、$3$ 番目の円分多項式とよばれる。その解は $1$ の原始 $3$ 乗根だ。一般に $x^n$ を $x^k-1$ の因数で割る問題は、指数を $k$ で割った余りに帰着する。整数の余り(合同式)と同じ構造が、多項式にもある。

別解

別解:余りを文字でおき、割る式の解を代入する(得意な人向けの視点)。 割る式 $x^2+x+1$ の $2$ 解を $\omega$、${\omega }^2$ とする($x^2+x+1=0$ の解で、${\omega }^3=1$)。

余りは $1$ 次以下だから、$x^{100}=(x^2+x+1)Q(x)+cx+d$ とおく。両辺に $x=\omega$、$x={\omega }^2$ を代入すると、右辺の第 $1$ 項は消える。

$${\omega }^{100}=c\omega +d,{\omega }^{200}=c{\omega }^2+d$$

${\omega }^3=1$ より ${\omega }^{100}={\omega }^{99}\cdot \omega =\omega$、${\omega }^{200}={\omega }^{198}\cdot {\omega }^2={\omega }^2$。よって

$$c\omega +d=\omega ,c{\omega }^2+d={\omega }^2$$

$2$ 式を引くと $c(\omega -{\omega }^2)=\omega -{\omega }^2$、$\omega \ne {\omega }^2$ だから $c=1$。戻して $d=0$。余りは $x$ で、$x^3=1$ で指数を落とす本解と同じ。割る式の解を代入する方法は、余りを直接連立で決められるのが強みだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 係数の並びが左右対称だ。これは相反方程式の合図。

見たら $x^2$ で割り、$x+\frac{1}{x}=t$ と置く。すると次数が半分になる。相反なら $x^2$ で割って $t$ に置換する。この一連の型を、対称な係数を目印に発動する。

$x=0$ は解ではない(代入すると $1\ne 0$)ので、両辺を $x^2$ で割れる。

$$x^2-3x+4-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$

$x^2+\frac{1}{x^2}$ と $x+\frac{1}{x}$ のかたまりで並べかえる。

$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)+4=0$$

$t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ なので

$$t^2-2-3t+4=0\Rightarrow t^2-3t+2=0\Rightarrow (t-1)(t-2)=0$$

よって $t=1$ または $t=2$。もとの $x$ に戻す。

$t=2$ のとき $x+\frac{1}{x}=2$、両辺に $x$ をかけて $x^2-2x+1=0$、$(x-1{)}^2=0$ より $x=1$(重解)。

$t=1$ のとき $x+\frac{1}{x}=1$、同様に $x^2-x+1=0$。解の公式で

$$x=\frac{1\pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$$

発展。 本問の $4$ 解 $1,1,\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$ は、すべて絶対値が $1$。つまり複素数平面の単位円上に乗る。$\left|\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$ で確かめられる。

実数係数の相反方程式は $2$ 種類の対称性を同時にもつ。相反性による $r\leftrightarrow \frac{1}{r}$ と、実数係数による $r\leftrightarrow \bar{r}$ だ。だから実軸上にも単位円上にもない解は、$r,\frac{1}{r},\bar{r},\frac{1}{\bar{r}}$ の $4$ つ組でまとめて現れる。

解が単位円上にあると $\frac{1}{r}=\bar{r}$ となり、この $4$ つ組は共役ペアに縮む。実数解なら $\frac{1}{r}$ が組になる解だ。本問の解はすべて単位円上か $x=1$ に落ちたので、$4$ つ組がどれもペアに縮んで見えた。相反方程式の根が単位円に並ぶか実軸で逆数を組むか、その分かれ目を決めるのがこの二重の対称性だ。

別解

別解:$2$ つの相反 $2$ 次式の積に因数分解する(得意な人向けの視点)。 係数が左右対称なので、$(x^2+px+1)(x^2+qx+1)$ の形に分解できると見当をつける。

展開すると $x^4+(p+q)x^3+(2+pq)x^2+(p+q)x+1$。もとの式と係数を比べる。

$$p+q=-3,2+pq=4\Rightarrow pq=2$$

$p,q$ は和 $-3$・積 $2$ だから、$s^2+3s+2=0$ の解、すなわち $-1$ と $-2$。よって

$$(x^2-x+1)(x^2-2x+1)=0$$

$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ から $x=1$(重解)、$x^2-x+1=0$ から $x=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$。$t=x+\frac{1}{x}$ で次数を下げる本解と同じ答え。相反 $4$ 次は「相反 $2$ 次 $\times$ 相反 $2$ 次」に割れる、と見抜ければ置換なしで因数分解できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\omega$ は $1+\omega +{\omega }^2=0$ を満たす。ここから $1+\omega =-{\omega }^2$、$1+{\omega }^2=-\omega$ と書き換えられる。

かっこの中が $\omega$ の単項になった。こうなれば $6$ 乗は ${\omega }^3=1$ ですぐに片づく。和の形を単項に直してから累乗する。これが発想の核だ。

$1+\omega +{\omega }^2=0$ を移項すると、次の2つが得られる。

$$1+\omega =-{\omega }^2,1+{\omega }^2=-\omega$$

それぞれ6乗する。

$$(1+\omega {)}^6=(-{\omega }^2{)}^6={\omega }^{12}=({\omega }^3{)}^4=1$$

$$(1+{\omega }^2{)}^6=(-\omega {)}^6={\omega }^6=({\omega }^3{)}^2=1$$

$(-1)$ の6乗は $1$、${\omega }^3=1$ で累乗が消える。よって

$$(1+\omega {)}^6+(1+{\omega }^2{)}^6=1+1=2$$

発展。 $1+\omega +{\omega }^2=0$ は、「$1$ の $n$ 乗根をすべて足すと $0$」($n\ge 2$)の $n=3$ の場合だ。この和が消える性質を使うと、$\omega$ を含む対称的な計算は次々に片づく。

さらにこの性質は二項係数を $3$ 個おきに足す道具になる。$(1+1{)}^n$、$(1+\omega {)}^n$、$(1+{\omega }^2{)}^n$ を足すと、$\omega$ の指数が $3$ の倍数の項だけ $3$ 倍で残り、ほかは $1+\omega +{\omega }^2=0$ で消える。つまり $C(n,0)+C(n,3)+C(n,6)+\cdots =\frac{2^n+(1+\omega {)}^n+(1+{\omega }^2{)}^n}{3}$ となる。本問の $(1+\omega {)}^n+(1+{\omega }^2{)}^n$ は、この「$3$ 個おきの和」を調整する項だ。これを $1$ の $n$ 乗根フィルターという。

別解

別解:$1+\omega$、$1+{\omega }^2$ が満たす $2$ 次式から $z^3=-1$ を引き出す(得意な人向けの視点)。 $s=1+\omega$、$t=1+{\omega }^2$ とおく。この $2$ 数の和と積を出す。

$$s+t=2+(\omega +{\omega }^2)=2-1=1,st=(1+\omega )(1+{\omega }^2)=1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3=0+1=1$$

和 $1$・積 $1$ だから、$s$、$t$ は $z^2-z+1=0$ の $2$ 解。この式から $z^2=z-1$、さらに

$$z^3=z\cdot z^2=z(z-1)=z^2-z=(z-1)-z=-1$$

つまり $s^3=t^3=-1$。よって $s^6=(s^3{)}^2=1$、$t^6=1$。

$$s^6+t^6=1+1=2$$

$1+\omega =-{\omega }^2$ と直す本解と同じ答え。$1+\omega$ が $z^3=-1$ を満たす($1$ の原始 $6$ 乗根)と気づけば、$6$ 乗が計算なしで $1$ だと分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)から(3)は、$3$ 次の解と係数の関係を係数から直読みするだけだ。

(4)の ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$ は少し工夫が要る。$(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )$ と、基本対称式で書ける。$3$ 変数の対称式も基本対称式に還元する。$2$ 次からのこの一般化が主題だ。

この方程式は $x^3-2x^2+3x-4=0$、つまり $p=-2$、$q=3$、$r=-4$。

(1) 3解の和。

$$\alpha +\beta +\gamma =-p=2$$

(2) 2つずつの積の和。

$$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =q=3$$

(3) 3つの積。

$$\alpha \beta \gamma =-r=4$$

(4)

$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=2^2-2\times 3=4-6=-2$$

発展。 根の対称式(どの解を入れ替えても値が変わらない式)は、必ず基本対称式だけで書ける。これを対称式の基本定理という。だから ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$ に限らず、$3$ 乗和や $4$ 乗和も解を求めずに係数だけから計算できる。

その代表例が判別式 $(\alpha -\beta {)}^2(\beta -\gamma {)}^2(\gamma -\alpha {)}^2$ だ。これも対称式なので、係数だけから求まる。本問の $x^3-2x^2+3x-4=0$ では、この判別式が $-200$ になる。

判別式が負なら、解は実数 $1$ つと共役な虚数 $2$ つ。だから(4)の ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$ が $-2$ と負になったのも、解に虚数が混じっているからだと納得できる。

別解

別解:因数分解の形を展開して関係式を導く(苦手な人向けの基本の方法)。 符号つきの公式を覚えていなくても、$x^3-2x^2+3x-4$ が $(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$ に等しいことから全部出せる。

右辺を展開する。

$$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=x^3-(\alpha +\beta +\gamma )x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x-\alpha \beta \gamma$$

もとの式 $x^3-2x^2+3x-4$ と係数を見比べる。

$$\alpha +\beta +\gamma =2,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3,\alpha \beta \gamma =4$$

これで(1)(2)(3)が確定する。符号は展開すれば分かるので、覚え違いが起きない。(4)は $2$ 乗の和なので、和と積の組み合わせに直す。

$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=2^2-2\cdot 3=-2$$

公式を直読みする本解と同じ答え。展開から導くと、覚え違いしやすい符号が自然に出てくるのが利点だ。