微分の考え ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「定義にしたがって」とあるから、公式($x^n$ の微分は $n{x}^{n-1}$)は使わない。定義の式に $f(x)=x^2+x$ を入れて、極限を自分の手で計算する。

具体的な数($x=1$ など)でなく、$x$ を文字のまま進めるのが今回の課題だ。やることは同じ。分子 $f(x+h)-f(x)$ を展開すると、すべての項に $h$ が残る。$h$ で約分してから $h\to 0$ とすれば、極限が求まる。

① 分子を展開する。

$$f(x+h)=(x+h{)}^2+(x+h)=x^2+2xh+h^2+x+h$$

$$f(x+h)-f(x)=(2xh+h^2+h)$$

② $h$ でくくって約分する。

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h(2x+h+1)}{h}=2x+h+1$$

③ $h\to 0$ とする。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h+1)=2x+1$$

まとめ:定義から導関数を出すときも、分子は必ず $h$ でくくれる。約分して $h$ の残った項を消す($h\to 0$)のが型。公式 $(x^2{)}^{\prime }=2x$、$(x{)}^{\prime }=1$ の裏づけになっている。

発展。 同じ計算を $f(x)=x^3$ でやると、分子は $3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$。$h$ で割って残る先頭が $3x^2$ だ。$x^n$ でも展開の先頭 $2$ 項($x^n+n{x}^{n-1}h+\cdots$)だけが残り、公式 $n{x}^{n-1}$ が得られる。

微分の公式はどれも「定義の計算を1回やっておき、あとは結果を使い回す」ためのものだ。定義の計算を1度自分の手でやっておくと、公式を安心して使えるようになる。

別解

$x^2$ の部分を「正方形の面積」で見ると、$2x$ になる理由が絵でわかる。$1$ 辺 $x$ の正方形の辺を $h$ だけ伸ばす。面積の増え方は

$$(x+h{)}^2-x^2=2xh+h^2$$

増えた部分は「幅 $h$ の帯 $2$ 本(面積 $2xh$)」と「角の小さな正方形($h^2$)」だ。$h$ で割ると $2x+h$。$h$ を $0$ に近づけると、角の小さな正方形の寄与は消えて $2x$ だけが残る。

$x$ の部分は「長さ $x$ の線分を $h$ 伸ばすと $h$ 増える」だけだから、割れば常に $1$。合わせて $f^{\prime }(x)=2x+1$ となり、定義で計算した答えと一致する。今度は図形の意味もついている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 積 $(2x-1)(x+3)$ のままでは、項ごとに微分する道具が使えない。

まず展開して、ふつうの多項式に直す。それから各項を公式で微分する。この問題でやることは、微分できる形に式を整えてから微分することだけだ。数IIの範囲では、積はいつも展開してから微分する。

① 展開する。

$$f(x)=(2x-1)(x+3)=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3$$

② 各項を微分する。

$$f^{\prime }(x)=4x+5$$

まとめ:数II の範囲では、積は展開してから微分するのが基本。かっこのまま微分しようとせず、まず多項式に直す。

発展。 「$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$ ではない」ことは、定義に戻ると納得できる。積の増分は $f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)$ で、$f$ の変化と $g$ の変化が絡み合う。別解の「前を微分+後ろを微分」の2項は、その絡み合いを正確にほどいた結果だ。

$(2x-1)(x+3)$ 程度なら展開が速いが、$(x^2+1{)}^{10}$ のような高いべきは展開が現実的でない。そこで数IIIでは積や合成関数の微分の公式を学ぶ。展開できないほど複雑な関数も微分したいからだ。

別解

先の話になるが、積のまま微分する公式が存在する(数IIIで学ぶ)。「前を微分 × 後ろそのまま + 前そのまま × 後ろを微分」という形で

$$\{(2x-1)(x+3){\}}^{\prime }=2\cdot (x+3)+(2x-1)\cdot 1=2x+6+2x-1=4x+5$$

展開ルートと同じ $4x+5$ が出る。今は「展開してから」が正規ルートだが、この公式を検算に使うと、展開ミスを独立の経路で見抜ける。2つの道が同じ答えに合流することを確かめる習慣は、どの単元でも計算の安全網になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず確かめたいこと。$(0,-1)$ は曲線 $y=x^2$ の上にない($0^2\ne -1$)。だからこの点を接点にはできない。

接点がどこか分からないので、接点を $(t,t^2)$ と文字でおく。$t$ での接線を作り、「それが $(0,-1)$ を通る」という条件で $t$ の方程式を立てる。$t$ が $2$ つ出れば、接線も $2$ 本。「接点を未知数に、通過条件で方程式」が曲線外接線の定跡だ。

① 接点を文字でおき、接線を作る。 接点を $(t,t^2)$ とする。$f^{\prime }(x)=2x$ より傾きは $2t$。

$$y=2t(x-t)+t^2=2tx-t^2$$

② $(0,-1)$ を通る条件を書く。 $x=0$、$y=-1$ を代入。

$$-1=2t\cdot 0-t^2=-t^2\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1$$

③ それぞれの接線を書く。

$$t=1:y=2x-1,t=-1:y=-2x-1$$

まとめ:「曲線の外の点から接線」は、接点 $(t,f(t))$ を文字でおくのが決め手。接線が通る点の条件で $t$ の方程式を作る。$t$ の個数がそのまま接線の本数だ。

発展。 外の点から引ける接線の本数は、点の位置で変わる。放物線の下側(今回の $(0,-1)$)からは $2$ 本、放物線上からは $1$ 本、内側(上側)からは $0$ 本。$t$ の方程式の実数解の個数がそのまま本数になっている。

$3$ 次曲線で同じ問いを立てると「接線が $3$ 本引ける点の範囲」という、入試でよく出る問題になる。そこでも使う方法は今回と同じで、接点を $t$ とおき、通過条件を $t$ の方程式にする。この手順は上の学年でもそのまま使える。

別解

放物線に限っては、微分を使わない判別式ルートがある。$(0,-1)$ を通る直線を $y=mx-1$ とおく($y$ 切片が $-1$ と分かっているから、未知数は傾き $m$ だけ)。曲線と連立して

$$x^2=mx-1⟺x^2-mx+1=0$$

「接する」とは、この $2$ 次方程式が重解をもつこと。判別式で

$$D=m^2-4=0⟺m=\pm 2$$

接線は $y=2x-1$ と $y=-2x-1$。本解と同じ答えだ。接点の $x$ 座標も重解 $x=\frac{m}{2}=\pm 1$ としておまけに出る。「接する=重解」は放物線と直線のときだけ使える方法だが、使える場面では計算が軽い。$3$ 次以上の曲線では判別式が使えないので、本解の「接点を文字でおく」が汎用ルートになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 問われているのは三角形の面積だが、その三角形は「接線と $2$ つの軸」で囲まれる。だから道順は決まっている。

接線を求める → $x$ 軸・$y$ 軸との交点(切片)を出す → 直角三角形の面積。接線までは基本の計算。あとは「切片を読む」だけの作業に落ちる。手順の連結を見通してから動くと迷わない。

① 接線を求める。 $f^{\prime }(x)=2x-4$ なので $f^{\prime }(3)=2$。点 $(3,2)$ を通り傾き $2$。

$$y=2(x-3)+2=2x-4$$

② 座標軸との交点を求める。

$$x\text{ 軸}(y=0):0=2x-4\Rightarrow x=2\text{よって}(2,0)$$

$$y\text{ 軸}(x=0):y=-4\text{よって}(0,-4)$$

③ 三角形の面積を出す。 原点・$(2,0)$・$(0,-4)$ を頂点とする直角三角形。底辺 $2$、高さ $4$(長さなので絶対値)。

$$\text{面積}=\frac{1}{2}\times 2\times 4=4$$

まとめ:「接線が軸と作る三角形」は、接線を求めてから $x$ 切片・$y$ 切片を出す。切片は座標なので負にもなるが、辺の長さはその絶対値を使う。

発展。 接点を $(t,f(t))$ と文字にして同じ計算をすると、三角形の面積は $t$ の関数 $S(t)$ になる。「面積が最小になる接点はどこか」という最適化の問題を考えると、今回の計算はその1回分にあたる。

曲線を双曲線 $y=\frac{1}{x}$ に替えると、接線が軸と作る三角形の面積は接点によらず一定(常に $2$)になる。どちらも今回と同じ接線と切片の計算で確かめられる。

別解

切片を同時に読みたいなら、直線の「切片形」に直すのが手早い。接線 $y=2x-4$ の両辺を $4$ で割って整理すると

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{-4}=1$$

分母がそのまま切片だ。$x$ 切片 $2$、$y$ 切片 $-4$ が一目で読める。三角形は「底辺 $2$、高さ $4$」の直角三角形(切片の符号は向きの情報で、長さは絶対値)だから

$$S=\frac{1}{2}\times 2\times 4=4$$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ の形は「切片の値を式の見た目に埋め込んだ」直線の表し方。軸と交わる問題ではこの形に直すと、交点計算が省略できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず「$x=1$ で極値をとる」という条件を式に直す。極値の場所ではグラフの傾きが $0$。つまり $f^{\prime }(1)=0$。

これは $a$ の $1$ 次方程式で、$a$ が即座に決まる。ただし注意がひとつ。$f^{\prime }(1)=0$ は「極値をとるための必要条件」にすぎない。$a$ を求めたら、増減表で本当に $x=1$ の前後で符号が変わるか(=本当に極値か)を確かめてから、極大・極小の値を出す。

① $f^{\prime }(1)=0$ から $a$ を求める。 $f^{\prime }(x)=3x^2-3a$。

$$f^{\prime }(1)=3-3a=0\Rightarrow a=1$$

② $f^{\prime }$ を因数分解する。 $a=1$ より

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$

③ 極大・極小を求める。 $f^{\prime }$ の符号は 正($x<-1$)→負($-1<x<1$)→正($x>1$)。

• $x=-1$:正→負 で極大。$f(-1)=-1+3+4=6$。
• $x=1$:負→正 で極小。$f(1)=1-3+4=2$。

$$a=1,\text{極大値 }6(x=-1),\text{極小値 }2(x=1)$$

まとめ:係数決定は「極値をとる ⟺ $f^{\prime }=0$」から始める。$a$ を出したら、必ず $f^{\prime }$ の符号を確かめて、本当に極値になっているか(極大か極小か)まで調べる。

発展。 「$f^{\prime }(1)=0$ なのに極値でない」ことが実際にある。$f(x)=x^3$ は $f^{\prime }(0)=0$ だが、$x=0$ の前後で傾きは正のまま(接して通り抜けるだけ)で、極値ではない。⓪で「必要条件にすぎない」と釘を刺したのは、この反例がいるからだ。

今回の問題では $a=1$ で $f^{\prime }=3(x-1)(x+1)$ と符号がきちんと変わるから合格。「求めた値を戻して検分する」一手間が、論理の穴を塞いでいる。

別解

$a=1$ が決まった後の極大・極小は、$3$ 次関数の対称性で片方から他方が出せる。$f(x)=x^3-3x+4$ のグラフは、点 $(0,4)$(定数項が示す中心)について点対称だ。実際、どの $u$ でも

$$f(u)+f(-u)=(u^3-3u+4)+(-u^3+3u+4)=8$$

つまり $x=u$ と $x=-u$ の値の平均が常に $4$。中心の高さ $4$ を挟んで、グラフは上下対称に振る舞う。極小が $f(1)=2$、中心より $2$ だけ下。したがって極大は中心より $2$ だけ上の $4+2=6$ で、対称性から計算なしで分かる($f(-1)=6$ と一致)。

極値が「中心 ± 同じ幅」に来るのは $3$ 次関数の一般的な性質。検算にも、片方の計算を省く近道にもなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^3-3x=k$ を直接解こうとすると、$k$ が動くたびに $3$ 次方程式を解き直すことになり、手に負えない。

そこで見方を変える。左辺と右辺を別々のグラフにする。

$y=x^3-3x$(固定された曲線)と $y=k$(高さ $k$ の横線)。方程式の実数解の個数はこの $2$ つのグラフの交点の個数だ。曲線は $1$ 回描けば終わり。あとは横線を上下に動かして、交点がいくつになるか数えればよい。境目は曲線の極大値・極小値の高さである。

① 曲線の極大・極小を求める。 $y=x^3-3x$ は $f^{\prime }=3(x-1)(x+1)$ より、極大値 $2$($x=-1$)、極小値 $-2$($x=1$)。

② 横線 $y=k$ との交点を数える。 横線を上下に動かして、曲線とぶつかる回数を見る。

• 極大 $2$ より上、または極小 $-2$ より下($k<-2$ または $2<k$):交点 $1$ 個。
• ちょうど極大・極小の高さ($k=2$ または $k=-2$):接する所を含めて $2$ 個。
• 極大と極小のあいだ($-2<k<2$):交点 $3$ 個。

まとめ:「$3$ 次方程式の解の個数」は、片方を横線 $y=k$ にして交点数を数えるのが基本だ。極大値・極小値がしきい値になり、そのあいだで解が $3$ 個・外で $1$ 個・境目で $2$ 個となる。

発展。 この「定数を分離して横線との交点を数える」手筋は、定数分離と呼ばれ、応用範囲がきわめて広い。$x^3-3x-k=0$ のまま扱うと $k$ 入りの $3$ 次式の解の議論になるが、$k$ を右辺に孤立させた瞬間、動くのは横線だけになる。

文字定数を分離して、固定した曲線と動く横線に分けて考える。方程式の解の個数、不等式の成立条件、接線の本数など、この方法で解ける問題は多い。曲線の極値が基準になる考え方は、いつも同じだ。

別解

境目の $k=\pm 2$ で「$2$ 個」になる理由を、式の側から確かめておくと納得が深まる。$k=-2$ のとき。$x^3-3x+2=0$ を因数分解すると

$$(x-1{)}^2(x+2)=0$$

$x=1$ が重解、$x=-2$ が単解。異なる実数解は $2$ 個だ。重解 $x=1$ は極小の位置と一致する。横線 $y=-2$ が谷底に接していることが、式では「重解」として表れている。

$k=2$ も同じで、$x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)=0$。山頂 $x=-1$ で接して重解、ほかに $x=2$。「グラフで接する ⟺ 方程式で重解」。図の読みと式の計算が同じ事実の両面だと分かれば、グラフ勘定に自信が持てる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 閉区間での最大最小は、候補を全部並べて比べる問題だ。

候補は $2$ 種類しかない。区間の中で傾きが $0$ になる点($f^{\prime }=0$)と、区間の両端。極値だけ見て端を忘れると、端で最大になるケースを落とす。

今回はさらにひとつ注意点がある。同じ値が $2$ か所で実現する。候補の値を全部数字でそろえてから、最大・最小を宣言するのが安全だ。

① $f^{\prime }=0$ の候補を出す。 $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ より $x=0,2$。どちらも区間 $[-1,3]$ 内。

② 候補と両端の値を計算する。

$$f(-1)=-1-3+2=-2,f(0)=2$$

$$f(2)=8-12+2=-2,f(3)=27-27+2=2$$

③ 最大・最小を選ぶ。 値は $\{-2,2,-2,2\}$。

$$\text{最大値 }2(x=0,3),\text{最小値 }-2(x=-1,2)$$

まとめ:候補は「区間内の極値」+「両端」。今回は最大も最小も $2$ か所ずつで起こる。値をそろえて書き出せば、同じ値の見落としを防げる。

発展。 区間の幅を変えると答えの顔ぶれが変わる。右端が $3$ より手前なら最大は $x=0$ の $1$ か所、$3$ を超えると端の値が極大を追い越して最大は端だけになる。区間の端がちょうど「接する横線の交点」に乗る今回は、その切り替わりの瞬間を見ていることになる。

区間に文字($-1\leqq x\leqq a$ など)が入ると、この切り替わりを場合分けで追う、入試でよく出る問題になる。今回の「値をそろえて比べる」丁寧さが、そのまま場合分けの境目を見つける力になる。

別解

「最大が $x=0$ と $3$ の $2$ か所」は偶然ではない。最大値の横線 $y=2$ を曲線から引いてみると

$$f(x)-2=x^3-3x^2=x^2(x-3)$$

$x=0$ が重解、$x=3$ が単解。つまり横線 $y=2$ は山頂 $x=0$ で曲線に接し、$x=3$ で曲線を横切る。接した場所(極大)と横切った場所(端)が同じ高さにあるので、最大を与える点が $2$ か所になる。

最小も同じ考え方で

$$f(x)+2=(x+1)(x-2{)}^2$$

谷底 $x=2$ で接し、$x=-1$(端)で横切る。最大・最小の高さの横線は極値点で曲線に接する。このことを使うと、閉区間の答えを式で検算できる(値を引いた式が因数分解できるかを見る)。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文章題でいちばん大事な部分は、微分の前にある。「容積を $1$ つの文字の式で表す」ことだ。

切り取る正方形の辺 $x$ を決めると、箱の形は全部決まる。底面は $1$ 辺 $12-2x$ の正方形(両側から $x$ ずつ消える)、高さは折り上げた $x$。

$$V=x(12-2x{)}^2$$

もうひとつ忘れやすいのが変域。底面の辺も高さも正でなければ箱にならないから $0<x<6$。この範囲の中で $V$ の最大を微分で探す。

① 容積を $x$ で表す。 底面は $1$ 辺 $(12-2x)$、高さ $x$。

$$V=x(12-2x{)}^2(0<x<6)$$

② 展開して微分する。 $(12-2x{)}^2=144-48x+4x^2$ なので $V=4x^3-48x^2+144x$。

$$V^{\prime }=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$$

③ 変域内で増減を調べる。 $0<x<6$ では、$x=2$ の前後で $V^{\prime }$ は 正→負。よって $x=2$ で最大。

$$V(2)=2\times (12-4{)}^2=2\times 64=128$$

$$x=2(\mathrm{cm})\text{ のとき最大容積 }128({\mathrm{cm}}^3)$$

まとめ:文章題は「量を文字で表す → 変域を書く → 微分して増減」。変域 $0<x<6$ を最初に決めるのが大事。$x=6$ は底面がつぶれるので入れない。

発展。 $V^{\prime }=0$ の解は $x=2$ と $x=6$ の $2$ つ出るが、$x=6$ は「切り取ったら何も残らない」箱で、変域の外。式の上の解がそのまま実際の答えになるとは限らない。文章題で最初に変域を書くのはそのためだ。

最大のとき、底面 $8\times 8$・高さ $2$。別解の等号条件 $2x=6-x$ は「高さの $2$ 倍 = 底面の半分」という形の釣り合いを言っている。容器の最適設計(缶の表面積を最小にする問題など)でも、答えはこのような比の釣り合いの形で表される。

別解

微分を使わず、相加相乗平均で最大値を射抜く別ルートがある。$V=x(12-2x{)}^2=4x(6-x{)}^2$。ここで $3$ つの数 $2x,6-x,6-x$ を見ると、和が

$$2x+(6-x)+(6-x)=12(\text{一定!})$$

和が一定の正の数たちは、全部等しいときに積が最大になる($3$ 数の相加相乗平均)。積は

$$2x(6-x{)}^2\leqq {\left(\frac{12}{3}\right)}^3=64$$

等号は $2x=6-x$、つまり $x=2$ のとき。$V=2\times 2x(6-x{)}^2$ と書き直せるから、最大は $V=2\times 64=128$。工夫したのは、$4x(6-x{)}^2$ を $2\times [2x\cdot (6-x)\cdot (6-x)]$ と和が一定になるように係数を仕込んだこと。この設計ができれば、増減表を書かずに答えが出る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「極値をもつ」とは、グラフに山と谷があること。$3$ 次関数で山と谷ができるのは、傾き $f^{\prime }(x)$ の符号が「$+\to -\to +$」と $2$ 回入れ替わるときだ。

$f^{\prime }$ は $2$ 次式。符号が $2$ 回入れ替わるのは、$f^{\prime }(x)=0$ が異なる $2$ つの実数解をもつとき。こうして「極値をもつ」という図の言葉が、「$2$ 次方程式の判別式 $>0$」という式の言葉に言い換えられる。あとは判別式の計算だけだ。

① なぜ導関数の実数解の個数で極値の有無が決まるのかを、まず押さえる。 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+3$ は下に凸の放物線。もし $f^{\prime }=0$ が異なる2つの解をもつと、その2解の前後で $f^{\prime }$ の符号が正 → 負 → 正と入れかわる。$f^{\prime }$ が正のとき $f$ は増加、負のとき減少だから、$f$ は「増加 → 減少 → 増加」となり、山と谷(極大と極小)ができる＝極値をもつ。逆に $f^{\prime }=0$ が解を持たない/重解のとき($D\le 0$)、$f^{\prime }$ は符号を変えず $f$ はずっと増加で、山も谷もできない。だから「極値をもつ ⟺ $f^{\prime }=0$ が異なる2実解 ⟺ $D>0$」。

② 判別式 $>0$ を解く。

$$\frac{D}{4}=a^2-3\times 3=a^2-9>0\Rightarrow (a-3)(a+3)>0$$

$$a<-3\text{または}3<a$$

まとめ:$3$ 次関数の「極値をもつ・もたない」は、導関数($2$ 次式)$=0$ の実数解の個数の問題。2つの実解があると $f^{\prime }$ の符号が $+\to -\to +$ と変わって山と谷ができる。「$D>0$」という条件は、この符号の変化を表している。

発展。 境界 $a=3$ の $f(x)=x^3+3x^2+3x$ は、よく見ると $(x+1{)}^3-1$。つまり $y=x^3$ を平行移動しただけの、階段の踊り場のような単調増加だ。「重解=平らになるが下らない」の実例として覚えておくと、等号の扱いに迷わなくなる。

一般に $3$ 次関数は「極値をもつ(山谷型)」か「単調(常に増または減)」の $2$ 種類しかない。$f^{\prime }$ の判別式がその分類スイッチになっている。

別解

判別式を公式として使う代わりに、$f^{\prime }$ の放物線の「頂点の高さ」で見ると意味がはっきりする。

$$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+3=3{\left(x+\frac{a}{3}\right)}^2+3-\frac{a^2}{3}$$

$f^{\prime }$ は下に凸の放物線。これが $x$ 軸を $2$ 回横切る(=負になる瞬間がある)条件は、頂点が $x$ 軸より下にあること。

$$3-\frac{a^2}{3}<0⟺a^2>9⟺a<-3,3<a$$

判別式と同じ答えだが、「$f^{\prime }$ が負になる区間(グラフが下る区間)が存在するか」という極値の実態が、頂点の高さとして目に見える。境界の $a=3$ では $f^{\prime }(x)=3(x+1{)}^2\geqq 0$ となる。傾きが $0$ になる点はあるが下りには転じないので、極値はない。等号を含めない理由もここから読める。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 手順は素直だ。まず $(1,-2)$ での接線を求め、次に「曲線 $=$ 接線」を解いて交点を全部出す。

ここで使うのが「接する $=$ 重解」。接点 $x=1$ は曲線と接線の方程式の重解になっている。

だから $3$ 次方程式は $(x-1{)}^2\times (\text{残り})$ と因数分解できると最初から分かっている。残りの因数から再交点が出る。解く前に答えの形が見えている、という安心感を持って進めよう。

① 接線を求める。 $f^{\prime }(x)=3x^2-3$、$f^{\prime }(1)=0$。傾き $0$、点 $(1,-2)$ を通るので接線は $y=-2$。

② 曲線と接線の交点方程式を作る。

$$x^3-3x=-2\Rightarrow x^3-3x+2=0$$

③ 重解を利用して因数分解する。 接点 $x=1$ は重解なので $(x-1{)}^2$ でくくれる。

$$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)=0$$

よって $x=1$(接点、重解)と $x=-2$(再交点)。

④ 再交点の座標を出す。 $x=-2$ を曲線に代入($y=-2$ でも同じ)。

$$y=(-2{)}^3-3(-2)=-8+6=-2$$

よって再交点は $(-2,-2)$。

まとめ:接線と曲線の交点は「接点が重解」に注目する。$(x-t{)}^2$ でくくれば、残りの $1$ 次因数から再交点がすぐ求まる。わざわざ $3$ 次方程式を一から解かなくてよい。

発展。 今回の接点 $(1,-2)$ は極小点だったので、接線は水平線 $y=-2$ になった。極値の高さの横線は曲線と接する。これは $3$ 次方程式の実数解の個数を数える問題で使った「境目の横線」と同じものだ。

接点 $t$ を一般の文字にすると、再交点は $-2t$(解の和 $=0$ より $t+t+\beta =0$)。「再交点は接点の $-2$ 倍」という $y=x^3-3x$ 型($x^2$ の項なし)の一般法則が、解と係数の関係から $1$ 行で出る。

別解

因数分解の割り算をせずに、解と係数の関係で再交点を即答できる。「曲線 $=$ 接線」を整理した $3$ 次方程式 $x^3-3x+2=0$ の $3$ つの解は、$1,1$(重解)と再交点の $\beta$。$3$ 次方程式の解の和は「$x^2$ の係数の符号を変えたもの」だから、$x^2$ の項がないこの方程式では

$$1+1+\beta =0⟺\beta =-2$$

割り算なしで $x=-2$。$y$ は曲線に代入して $(-2{)}^3-3(-2)=-2$。再交点は $(-2,-2)$ だ。

$3$ 次の曲線と接線の交点問題では、「解は接点(重解)と再交点の $3$ つ」「和は係数から読める」の $2$ つを組むと、いつでもこの速さで解ける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$\geqq 0$ を示せ」と言われたら、左辺を関数 $f(x)$ とみて、最小値が $0$ 以上であることを示せばよい。すべての $x$ で成り立つことと、いちばん低い所で成り立つことは同じだからだ。

$f^{\prime }$ で増減を調べ、$x\geqq 0$ での最小値を特定する。今回は最小値がちょうど $0$ になる。最小値がちょうど $0$ なので、等号が成り立つ場合($x=1$)がある不等式だと分かる。

① $f(x)$ とおいて微分する。 $f(x)=2x^3-3x^2+1$。

$$f^{\prime }(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$$

② $x\geqq 0$ で増減を調べる。 $f^{\prime }=6x(x-1)$ は、$0<x<1$ で負、$x>1$ で正。よって $x=1$ で最小。

③ 最小値を求める。

$$f(1)=2-3+1=0$$

$x=0$ では $f(0)=1$。$x\geqq 0$ での最小値は $x=1$ のときの $0$。

④ 結論。 $x\geqq 0$ での最小値が $0$ だから、つねに $f(x)\geqq 0$。すなわち

$$2x^3-3x^2+1\geqq 0(x\geqq 0)$$

等号は $x=1$ のとき。

まとめ:不等式 $f(x)\geqq 0$ の証明は「最小値 $\geqq 0$ を示す」に言いかえる。微分で最小値を出し、それが $0$ 以上なら証明完了。等号成立の $x$ も答えると丁寧だ。

発展。 「最小値がちょうど $0$」の不等式は、グラフが $x$ 軸に接する瞬間を持つ。だから左辺は必ず(重根)を含み、今回のように $(\text{何か}{)}^2\times (\text{正の因数})$ へ分解できる可能性が高い。等号付きの不等式証明では、まず等号成立点を探して因数定理を試すのは有力な偵察だ。

ただし因数分解がいつも見つかるとは限らない。指数や三角関数が混ざる不等式(数IIIで登場)では分解が存在せず、微分で最小値を追う方法だけが通用する。汎用の微分ルートを本解に据えるのはそのためだ。

別解

この左辺は、実は微分なしの因数分解で片づく。$x=1$ を代入すると $2-3+1=0$。因数定理で $(x-1)$ をもつ。割ってみると

$$2x^3-3x^2+1=(x-1)(2x^2-x-1)=(x-1{)}^2(2x+1)$$

$(2x^2-x-1$ がさらに $(x-1)(2x+1)$ と割れて、$(x-1)$ が $2$ 乗で現れる$)$。あとは符号を見るだけ。$(x-1{)}^2\geqq 0$ はいつでも成立。$x\geqq 0$ なら $2x+1>0$。よって積は $\geqq 0$ となり、証明が終わる。

微分ルートで「最小値が $0$」だったことと、因数分解で「$(x-1{)}^2$ が現れる」ことは同じ事実の裏表だ。グラフが $x=1$ で $x$ 軸に接しているから、式では重根 $(x-1{)}^2$ になる。等号成立 $x=1$ も因数から一目で読める。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「傾きが $12$ の接線」とあるが、接点は分からない。そこで接点の $x$ 座標を $t$ とおく。

接点 $(t,t^3)$ での傾きは $f^{\prime }(t)=3t^2$。これが $12$ になればよいから

$$3t^2=12$$

$t=\pm 2$ の $2$ つ。接点が $2$ か所あるから、接線も $2$ 本できる。それぞれの接点で接線の式を組み立てる。「傾きの条件を、接点 $t$ の方程式で表す」流れだ。

① 接点 $t$ を求める。 $f^{\prime }(x)=3x^2$。傾きが $12$ なので

$$3t^2=12\Rightarrow t^2=4\Rightarrow t=\pm 2$$

② 各接点で接線を作る。 接点は $(2,8)$ と $(-2,-8)$。傾きはどちらも $12$。

$$t=2:y=12(x-2)+8=12x-16$$

$$t=-2:y=12(x+2)-8=12x+16$$

まとめ:傾きが決まっている接線は、接点が複数あることが多い。$f^{\prime }(t)=$(傾き)で $t$ を全部出し、それぞれで接線を作る。傾きが同じでも通る点がちがうので、別々の直線になる。

発展。 接線 $y=12x-16$ と曲線の交点を調べると $x^3-12x+16=(x-2{)}^2(x+4)=0$。接点 $x=2$ の重解に加え、$x=-4$ で曲線ともう一度交わる。$3$ 次曲線の接線は、ふつうは曲線ともう一度交わる。接点以外で交わらない放物線の接線とは、ここが違う。

また、平行な接線が $2$ 本あるのは $3t^2=12$ が $2$ 解をもつからで、傾きを $k$ に一般化すると「$k>0$ なら $2$ 本、$k=0$ なら $1$ 本、$k<0$ なら $0$ 本」。$y=x^3$ の接線の傾き $3t^2\geqq 0$ という制約が、本数の地図を決めている。

別解

$2$ 本目は対称性から計算なしで出せる。$y=x^3$ は原点について点対称なグラフだ($x$ を $-x$ にすると $y$ も $-y$ になる)。だから接線も含め、図形の部品はすべて原点対称の組で現れる。$1$ 本目 $y=12x-16$(接点 $(2,8)$)を原点対称に移すには、$x\to -x,y\to -y$ と置き換えて

$$-y=-12x-16⟺y=12x+16$$

接点も $(2,8)\to (-2,-8)$ に移る。傾きは対称移動で変わらない($12$ のまま)から、これも確かに「傾き $12$ の接線」だ。$t=\pm 2$ と符号ちがいのペアで出てきた瞬間に「対称性の仕業だな」と気づけると、計算の半分は検算に置き換えられる。