微分の考え ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^3-3x^2+k=0$ の異なる $3$ 実解を、そのまま探すのは難しい。

そこで定数 $k$ を分離する。$x^3-3x^2=-k$ と移項すると、左辺は $k$ を含まない決まった曲線になる。すると問題は「曲線 $y=x^3-3x^2$ と横線 $y=-k$ が $3$ 点で交わる条件」に変わる。

交点が $3$ 個になるのは、横線が曲線の谷(極小)と山(極大)のあいだを通るとき。あとは極値を計算して不等式にする。

① 定数を分離する。

$$x^3-3x^2=-k$$

② 曲線の極大・極小を求める。 $g(x)=x^3-3x^2$、$g^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。

• 極大 $g(0)=0$($x=0$)
• 極小 $g(2)=8-12=-4$($x=2$)

③ 横線が $3$ 回ぶつかる条件を書く。 横線 $y=-k$ が極小 $-4$ と極大 $0$ のあいだにあればよい。

$$-4<-k<0$$

各辺を $-1$ 倍して不等号を逆にする。

$$0<k<4$$

まとめ:「$3$ 実解」は定数分離して横線との交点 $3$ 個に言いかえる。$-4<-k<0$ を解くとき、$-1$ 倍で不等号が逆になる点に注意。答えは $0<k<4$。

発展。 $3$ 次方程式の実数解の個数は、じつは「極大値と極小値の積の符号」で決まる。積が負なら異なる $3$ 実解、$0$ なら重解、正なら実解は $1$ つだ。

この判定は判別式と結びつく。$x=u+1$ とおいて $2$ 次の項を消すと $u^3-3u=2-k$ となり、標準形 $u^3+pu+q$ の判別式 $-4p^3-27q^2$ が正であることが $3$ 実解の条件になる。

$p=-3,q=k-2$ を入れると $108-27(k-2{)}^2>0$、すなわち $(k-2{)}^2<4$。ここからも $0<k<4$ が出る。定数分離のグラフと判別式の代数は、同じ答えを別の形で表している。

別解

別解:$2$ 次の項を消して標準形にする(得意な人向けの視点)。 $x^3-3x^2$ の $x^2$ の項が山と谷の高さの計算を少し面倒にしている。この項を消してみる。

$x=u+1$ とおいて代入する。

$$x^3-3x^2+k=(u+1{)}^3-3(u+1{)}^2+k=u^3-3u+(k-2).$$

方程式は $u^3-3u=2-k$ となった。左辺 $u^3-3u$ は決まった関数で、微分 $3u^2-3$ から $u=-1$ で極大値 $2$、$u=1$ で極小値 $-2$ をとる。異なる $3$ 実解をもつのは、横線 $y=2-k$ がこの極小 $-2$ と極大 $2$ のあいだにあるとき。

$$-2<2-k<2⟹0<k<4.$$

平行移動で山と谷の高さが $\pm 2$ という覚えやすい値になった。定数分離して $y=x^3-3x^2$ の極値を直接求める本解と同じ $0<k<4$ に至る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 極大値と極小値の差を、文字 $a$ のままで求めたい。

まず極値の「場所」を押さえる。$f^{\prime }(x)=0$ を解くと $x=\pm \sqrt{a}$ となり、極値をとる $x$ が $a$ で表せる。あとはこの $2$ か所を $f$ に代入し、極大値から極小値を引く。$\sqrt{a}$ を含む計算になるが、$(\sqrt{a}{)}^3=a\sqrt{a}$ の変形に慣れれば怖くない。

差が $4a\sqrt{a}$ という簡単な式にまとまるのが見どころだ。

① $f^{\prime }=0$ を解く。 $f^{\prime }(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)$。$a>0$ より

$$x=\pm \sqrt{a}$$

$f^{\prime }$ の符号は 正→負→正 なので、$x=-\sqrt{a}$ で極大、$x=\sqrt{a}$ で極小。

② 極大値・極小値を計算する。 $x^3=x\cdot x^2$ で $x^2=a$ を使うと速い。

$$f(-\sqrt{a})=(-\sqrt{a}{)}^3-3a(-\sqrt{a})=-a\sqrt{a}+3a\sqrt{a}=2a\sqrt{a}$$

$$f(\sqrt{a})=(\sqrt{a}{)}^3-3a\sqrt{a}=a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}=-2a\sqrt{a}$$

③ 差をとる。 (極大)$-$(極小)。

$$2a\sqrt{a}-(-2a\sqrt{a})=4a\sqrt{a}$$

まとめ:文字係数でも「$f^{\prime }=0$ の解を代入」は変わらない。$(\sqrt{a}{)}^3=a\sqrt{a}$ の変形に慣れておく。差は $4a\sqrt{a}=4a^{\frac{3}{2}}$。

発展。 極大値と極小値の差は、じつは極値をとる $2$ 点の間隔だけで決まる。最高次の係数が $1$ の $3$ 次関数では、極値点を $\alpha ,\beta$ とすると差は $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$ に等しい。

この問題では極値点が $x=\pm \sqrt{a}$ だから間隔は $2\sqrt{a}$。差は $\frac{(2\sqrt{a}{)}^3}{2}=4a\sqrt{a}$ と、代入計算なしでも出せる。

差が $a$ の $\frac{3}{2}$ 乗に比例するのは、$f(x)=x^3-3ax$ が基本形 $g(u)=u^3-3u$ を横に $\sqrt{a}$ 倍・縦に $a^{3/2}$ 倍に引き伸ばした形($f(x)=a^{3/2}g\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)$)だから。縦と横で倍率が違う拡大(アフィン変換)であって、形をそのまま保つ相似ではない。極値差 $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$ の関係は、極値をもつ最高次係数 $1$ の $3$ 次関数すべてに成り立つ不変式だ。

別解

別解:奇関数の対称性で片方だけ計算する(得意な人向けの視点)。 $f(x)=x^3-3ax$ は奇数次の項しかない。つまり奇関数で、$f(-x)=-f(x)$ が成り立つ。

グラフは原点に関して点対称。だから極大値と極小値は、符号だけが逆で絶対値が等しい。極大は $x=-\sqrt{a}$ でとるので、その値だけ計算すればよい。

$$f(-\sqrt{a})=(-\sqrt{a}{)}^3-3a(-\sqrt{a})=-a\sqrt{a}+3a\sqrt{a}=2a\sqrt{a}.$$

極小値はこの符号違いで $-2a\sqrt{a}$。差は

$$2a\sqrt{a}-(-2a\sqrt{a})=4a\sqrt{a}.$$

$2$ 点とも代入する本解と違い、対称性に気づけば計算は半分で済む。答えはもちろん同じ $4a\sqrt{a}$ だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$3$ 本の接線が引ける」条件を、直接扱うのは難しい。接線を $1$ 本ずつ数える発想から離れたい。

接線は接点で決まる。そこで接点を $(t,t^3)$ と文字でおく。この点での接線が $(2,a)$ を通る、という条件を立てると、$a$ が $t$ の式で表せる。

すると「接線の本数」は「その $t$ の方程式の実数解の個数」に言い換えられる。本数を解の個数に言い換えることが、この問題の主題だ。

① 接線を作り、通る条件を書く。 接点 $(t,t^3)$、$f^{\prime }(t)=3t^2$ より接線は

$$y=3t^2(x-t)+t^3$$

これが $(2,a)$ を通るので $x=2$、$y=a$ を代入する。

$$a=3t^2(2-t)+t^3=6t^2-3t^3+t^3=-2t^3+6t^2$$

② 本数を $t$ の解の個数に言い換える。 接線 $3$ 本 ⟺ この方程式が異なる $3$ 個の $t$ をもつ。$g(t)=-2t^3+6t^2$ と横線 $y=a$ の交点が $3$ 個になればよい。

③ $g(t)$ の極大・極小を求める。 $g^{\prime }(t)=-6t^2+12t=-6t(t-2)$。

• 極小 $g(0)=0$($t=0$)
• 極大 $g(2)=-16+24=8$($t=2$)

④ $3$ 交点の条件を書く。 横線 $y=a$ が極小 $0$ と極大 $8$ のあいだ。

$$0<a<8$$

まとめ:接線の本数問題は「接点 $t$ を文字におく → 通る条件で $t$ の方程式 → 解の個数を極値で調べる」。本数 = $t$ の解の個数、が発想の要だ。

発展。 「点から曲線に何本接線が引けるか」は、いつでも「接点を $t$ とおいたときの方程式が何個の実数解をもつか」に言い換えられる。接点が違えば接線も違うので、接点の個数がそのまま接線の本数になる。

だからこの種の問題は、見た目は接線でも、中身は $t$ の方程式の実数解の個数を数える問題。定数分離や極値の積の符号など、方程式の解の個数を調べる道具がそのまま使える。

接線・法線・共通接線など「曲線に触れる直線」を数える問題は、この「触れる位置をパラメータにして方程式に落とす」一手でほぼ解ける。

別解

別解:極大値と極小値の積の符号で判定する(得意な人向けの視点)。 通過条件から得た方程式 $-2t^3+6t^2=a$、すなわち

$$F(t)=-2t^3+6t^2-a=0$$

が異なる $3$ つの実数解 $t$ をもてばよい。定数分離してグラフを描かなくても、$F$ の極大値と極小値の積が負であればよい、と言い換えられる。$F^{\prime }(t)=-6t^2+12t=-6t(t-2)$ より、極値は $t=0$ と $t=2$。

$$F(0)=-a,F(2)=8-a.$$

異なる $3$ 実解の条件は、この $2$ つの積が負であること。

$$F(0)\cdot F(2)=(-a)(8-a)<0⟹a(8-a)>0⟹0<a<8.$$

横線と曲線の交点を数える本解と同じ $0<a<8$。$3$ 次関数のグラフが軸を $3$ 回横切るのは山が上・谷が下にあるとき、という「極値の積が負」の判定を使うと、グラフを描かずに済む。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 閉じた区間 $-2\leqq x\leqq 3$ での $3$ 次関数の最大・最小。

この型は候補が決まっている。区間の内部で $f^{\prime }=0$ になる点(極値)と、区間の両端。この中に最大と最小がある。

だから候補の値をすべて出してくらべればよい。方針で悩む問題ではなく、係数が大きく計算がかさむので、$4$ つの値を落ち着いて正確に出しそろえる実行力が問われる。

① $f^{\prime }=0$ の候補を出す。

$$f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)=0\Rightarrow x=-1,2$$

どちらも区間 $[-2,3]$ 内。

② 候補と両端の値を計算する。

$$f(-2)=-16-12+24=-4,f(-1)=-2-3+12=7$$

$$f(2)=16-12-24=-20,f(3)=54-27-36=-9$$

③ 最大・最小を選ぶ。 値は $\{-4,7,-20,-9\}$。

$$\text{最大値 }7(x=-1),\text{最小値 }-20(x=2)$$

まとめ:手順は $3$ 次でも同じ。$f^{\prime }=0$ の解と両端、合わせて $4$ つの値を出してくらべる。極大値 $7$ が最大、極小値 $-20$ が最小になり、端点は中間の値だった。

発展。 どんな $3$ 次関数も変曲点を中心にして点対称になる。この問題の $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ は $f^{\prime \prime }(x)=12x-6=0$ より $x=\frac{1}{2}$ が対称の中心だ。

区間 $[-2,3]$ の真ん中もちょうど $x=\frac{1}{2}$。区間が対称の中心にそろっているので、両端の値は中心の高さを軸に上下対称になり、極大の相手が極小になる。

「最大最小の候補を全部くらべる」基本は、区間が対称なときには半分の手間で済む。対称性に気づくと、出した値の検算にもなる。

別解

別解:対称の中心をとらえて候補を半分にする(得意な人向けの視点)。 $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ の変曲点(対称の中心)は $f^{\prime \prime }(x)=12x-6=0$ より $x=\frac{1}{2}$。中心の高さは

$$f\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{8}-3\cdot \frac{1}{4}-12\cdot \frac{1}{2}=-\frac{13}{2}.$$

$3$ 次関数はこの点に関して点対称だから、中心から等距離の $2$ 点の値の和はつねに $2f\left(\frac{1}{2}\right)=-13$ になる。区間 $[-2,3]$ の中点も $x=\frac{1}{2}$。だから左端と右端、極大点と極小点が、それぞれ中心をはさんで向かい合う。

極値の $x=-1$ と $x=2$ は中心について対称。片方 $f(-1)=7$ を出せば、もう片方は

$$f(2)=-13-f(-1)=-13-7=-20.$$

両端も $f(-2)+f(3)=-13$ で確かめられる。最大 $7$($x=-1$)・最小 $-20$($x=2$)。$4$ つを別々に計算する本解と同じ答えに、対称性を使えば半分の計算でたどり着く。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $4$ 次関数でも、極値を探す手順は $3$ 次とまったく同じ。

$f^{\prime }(x)$ を計算し、$f^{\prime }=0$ の解を求める。今回は $f^{\prime }$ が $3$ 次式なので、因数分解して解を出す。各解の前後で $f^{\prime }$ の符号がどう変わるかを見て、極大か極小かを判定する。

$4$ 次関数は「谷・山・谷」と極値が $3$ つになりうる。増減の形が $3$ 次より豊かになる点を、増減表で確認する。

① $f^{\prime }(x)$ を因数分解する。

$$f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x-2)(x+1)$$

$f^{\prime }=0$ は $x=-1,0,2$。

② 符号を左から調べる。 $12x(x-2)(x+1)$ の符号は、$x<-1$ で負、$-1<x<0$ で正、$0<x<2$ で負、$x>2$ で正。

• $x=-1$:負→正 で極小。$f(-1)=3+4-12+5=0$。
• $x=0$:正→負 で極大。$f(0)=5$。
• $x=2$:負→正 で極小。$f(2)=48-32-48+5=-27$。

$$\text{極大値 }5(x=0),\text{極小値 }0(x=-1),\text{極小値 }-27(x=2)$$

まとめ:$4$ 次関数は導関数が $3$ 次なので、$f^{\prime }=0$ が最大 $3$ 解。符号が「負・正・負・正」と $3$ 回変わり、谷・山・谷の $3$ 極値になる。左から順に符号を追うのがコツだ。

発展。 $3$ つの極値の値は、じつは $1$ つの放物線の上に並ぶ。$f$ を導関数 $f^{\prime }$ で割った余りを $R(x)$ とすると、極値点では $f^{\prime }=0$ だから、極値の値は $f=R$ に一致する。

この問題では $R(x)=-7x^2-2x+5$ で、極値 $(-1,0),(0,5),(2,-27)$ はすべてこの放物線上にある。実際 $R(-1)=0,R(0)=5,R(2)=-27$ と合う。極値を結ぶこの曲線を「極値曲線」と呼ぶ。個々の代入をせずとも、余りの多項式から極値の高さがまとめて分かる、というのが一歩先の視点だ。

別解

別解:$f$ を $f^{\prime }$ で割った余りで極値を一度に出す(得意な人向けの視点)。 極値をとる $x$ では $f^{\prime }(x)=0$。だから $f$ を $f^{\prime }$ で割り算して

$$f(x)=Q(x)f^{\prime }(x)+R(x)$$

の形にすれば、極値点では $f^{\prime }=0$ となり、極値の値は余り $R(x)$ の値に等しい。$R$ は次数が $1$ つ下がって $2$ 次式なので、代入がぐっと軽くなる。実際に $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5$ を $f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x$ で割ると

$$f(x)=\left(\frac{x}{4}-\frac{1}{12}\right)f^{\prime }(x)+(-7x^2-2x+5).$$

余りは $R(x)=-7x^2-2x+5$。極値点 $x=-1,0,2$ を $R$ に入れると

$$R(-1)=0,R(0)=5,R(2)=-27.$$

$4$ 次式にそのまま代入する本解と同じ極値 $0,5,-27$ が、$2$ 次式への代入で得られる。極大・極小の区別は本解どおり $f^{\prime }$ の符号から付ければよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 条件は $4$ つ。$x=1$ と $x=3$ で極値をとること、そしてその極値が $6$ と $2$ であること。未知数は $a,b,c$ の $3$ つ。

条件を「位置」と「大きさ」に振り分けるのがコツ。極値の「位置」$x=1,3$ は、$f^{\prime }(1)=0$ かつ $f^{\prime }(3)=0$ を意味する。$f^{\prime }$ は $2$ 次式なので、$1,3$ を解にもつことから $a,b$ が決まる。

極値の「大きさ」は $f$ の値。$f(1)=6$ から残る $c$ を決める。位置で $f^{\prime }$ を、大きさで $f$ を使う、という割り振りが発想だ。

① $f^{\prime }$ の解が $1,3$ であることを使う。 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b=3(x-1)(x-3)$ と書けるはず。展開して係数をくらべる。

$$3(x-1)(x-3)=3x^2-12x+9$$

よって $2a=-12$、$b=9$、つまり $a=-6$、$b=9$。

② $c$ を極値の条件で決める。 $x=1$ で $f(1)=6$。

$$f(1)=1+a+b+c=1-6+9+c=4+c=6\Rightarrow c=2$$

③ 確かめる。 $f(3)=27-54+27+2=2$ となり、$x=3$ で極小値 $2$ も満たす。

$$a=-6,b=9,c=2$$

まとめ:極値の位置 $2$ つは「$f^{\prime }=0$ の $2$ 解」。$f^{\prime }=3(x-1)(x-3)$ と因数分解の形で書けば、展開・係数比較で $a,b$ がすぐに出る。$c$ は極値そのものの条件で最後に決める。

発展。 極値をとる $2$ 点の中点は $3$ 次関数の対称の中心(変曲点)にあたる。この問題では中点が $\frac{1+3}{2}=2$ で、$f^{\prime \prime }(x)=6x+2a=0$ の解 $x=-\frac{a}{3}$ と一致する。

$-\frac{a}{3}=2$ から $a=-6$ が、極値の位置だけで即座に決まる。さらに変曲点の高さは極大値と極小値の平均 $\frac{6+2}{2}=4$ だから、曲線は点 $(2,4)$ を通る。「変曲点=極値点の中点=対称の中心」という関係を知っていると、係数決定の見通しがよくなる。

別解

別解:$f^{\prime }(1)=0,f^{\prime }(3)=0$ を素直に連立する(苦手な人向けのルート)。 因数分解の形を見抜かなくても、条件をそのまま式にすればよい。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。極値の位置が $x=1,3$ だから、そこで $f^{\prime }=0$。

$$f^{\prime }(1)=3+2a+b=0,f^{\prime }(3)=27+6a+b=0.$$

$2$ 本の式を引き算すると $b$ が消える。

$$(27+6a+b)-(3+2a+b)=24+4a=0⟹a=-6.$$

$a=-6$ を上の式に戻して $3-12+b=0$、つまり $b=9$。最後に極値の大きさ。$f(1)=1+a+b+c=1-6+9+c=6$ より $c=2$。検算として $f(3)=27-54+27+2=2$ となり、$x=3$ で極小値 $2$ も満たす。因数分解 $f^{\prime }=3(x-1)(x-3)$ を展開して係数を比べる本解と同じ $a=-6,b=9,c=2$。形の工夫より、$2$ 本の式を機械的に連立するほうが手が動く人には、こちらが確実だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 定数 $k$ が $1$ か所にまとまっているので、定数分離の型だ。

$x^3-3x^2-9x=k$ と移項する。左辺 $y=x^3-3x^2-9x$ は決まった曲線、右辺 $y=k$ は横線になる。異なる $3$ 実解をもつのは、横線が曲線の山(極大)と谷(極小)のあいだを通るとき。

だから左辺の極大値と極小値を求め、そのあいだに $k$ がある、という不等式に落とせばよい。

① 定数を分離する。

$$x^3-3x^2-9x=k$$

② 極大・極小を求める。 $g(x)=x^3-3x^2-9x$、$g^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$。

• 極大 $g(-1)=-1-3+9=5$($x=-1$)
• 極小 $g(3)=27-27-27=-27$($x=3$)

③ $3$ 交点の条件を書く。 横線 $y=k$ が極小 $-27$ と極大 $5$ のあいだ。

$$-27<k<5$$

まとめ:$k$ の分離ができれば、あとは横線との交点数。極大値 $5$・極小値 $-27$ のあいだに $k$ があるとき、交点が $3$ 個(異なる $3$ 実解)になる。

発展。 $y=x^3-3x^2-9x$ の極大値は $5$($x=-1$)、極小値は $-27$($x=3$)。$3$ 交点をもつ境界 $k=5,-27$ は、この極値そのものだ。

別解の判別式 $\Delta =-27(k-5)(k+27)$ が同じ $k=5,-27$ で $0$ になるのも、これで説明がつく。$k$ が極値に等しいと横線 $y=k$ が曲線に接し(重解)、そのとき $\Delta =0$ になるからだ。

$3$ 実解の条件を、極値の高低で見るか、判別式の符号で見るか。グラフと代数の $2$ つの見方が、同じ境界で一致する。

別解

別解:$3$ 次方程式の判別式で判定する(得意な人向けの視点)。 グラフを描かなくても、$3$ 次方程式の判別式 $\Delta$ の符号だけで実数解の個数が決まる。$\Delta >0$ が「異なる $3$ 実解」の条件だ。

$P(x)=x^3-3x^2-9x-k$ は $a=1,b=-3,c=-9,d=-k$。$3$ 次の判別式

$$\Delta =18abcd-4b^{3}d+b^2{c}^2-4a{c}^3-27a^2{d}^2$$

に代入する。各項を順に計算すると

$$\Delta =-486k-108k+729+2916-27k^2=-27k^2-594k+3645.$$

これを因数分解すると

$$\Delta =-27(k^2+22k-135)=-27(k-5)(k+27).$$

異なる $3$ 実解の条件 $\Delta >0$ は $(k-5)(k+27)<0$、すなわち

$$-27<k<5.$$

極値のあいだに横線がある、と読む本解と同じ範囲。判別式はグラフを描かずに解の個数を代数だけで判定できる道具だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 円柱には底面半径 $r$ と高さの半分 $h$ の $2$ つの変数がある。このままでは最大化しにくい。

そこで「球に内接する」条件を使う。球の中心を通る断面で見ると、$r$ と $h$ が直角三角形をなし、$r^2+h^2=3$ という関係が $1$ 本立つ。この式で $r^2$ を消せば、体積 $V=\pi r^2\cdot 2h$ が $h$ だけの式になる。

あとは $0<h<\sqrt{3}$ の範囲で微分して最大を探す。拘束条件で変数を $1$ つに減らし、$1$ 変数の最大化に帰着する、という空間の最適化の発想だ。

① 内接条件を立てる。 球の中心から、円柱の上面のふちまでの距離が球の半径 $\sqrt{3}$。底面半径 $r$、高さの半分 $h$ で直角三角形ができるので

$$r^2+h^2=3\Rightarrow r^2=3-h^2$$

② 体積を $h$ で表す。 $V=\pi r^2\times (\text{高さ }2h)$。

$$V=\pi (3-h^2)\cdot 2h=2\pi (3h-h^3)(0<h<\sqrt{3})$$

③ 微分して増減を調べる。

$$V^{\prime }=2\pi (3-3h^2)=6\pi (1-h^2)=6\pi (1-h)(1+h)$$

$0<h<\sqrt{3}$ では、$h=1$ の前後で $V^{\prime }$ は 正→負。よって $h=1$ で最大。

④ 最大体積を求める。

$$V(1)=2\pi (3-1)=4\pi$$

このとき高さは $2h=2$、底面半径は $r=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$。

まとめ:立体の最大最小は「拘束条件で変数を $1$ つに減らす」のが第一歩。$r^2+h^2=3$ で $r^2$ を消し、$V$ を $h$ だけの式にしてから微分する。答えは $h=1$ で $V=4\pi$。

発展。 半径 $R$ の球に内接する円柱の最大体積は、高さの半分が $h=\frac{R}{\sqrt{3}}$ のときにとる。このとき円柱の体積は球の体積のちょうど $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 倍(およそ $0.577$ 倍)になる。

比が $R$ によらない一定値なのは、すべての球が相似で、内接する最大円柱も相似に決まるからだ。$R=\sqrt{3}$ を入れると $h=1$、$V=4\pi$ と本問の答えに合う。

制約つきの最大化は微分のほかに相加相乗平均やラグランジュの未定乗数法でも解ける。どの方法でも、最適な「高さと半径の比」は同じ値に落ち着く。

別解

別解:拘束条件を角度でパラメータ表示する(得意な人向けの視点)。 球の中心を通る断面で見ると、円柱の軸断面は半径 $\sqrt{3}$ の大円に内接する長方形(横 $2r$、縦 $2h$)。この長方形の頂点が円周上を動く、と考えて角度 $\theta$ を導入する。

$$r=\sqrt{3}\sin \theta ,h=\sqrt{3}\cos \theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right).$$

これなら $r^2+h^2=3{\sin }^2\theta +3{\cos }^2\theta =3$ が自動で成り立つ。体積は

$$V=2\pi r^{2}h=2\pi \cdot 3{\sin }^2\theta \cdot \sqrt{3}\cos \theta =6\sqrt{3}\pi {\sin }^2\theta \cos \theta .$$

${\sin }^2\theta \cos \theta$ を最大にすればよい。$\theta$ で微分すると

$$\frac{d}{d\theta }\left({\sin }^2\theta \cos \theta \right)=\sin \theta (3{\cos }^2\theta -1).$$

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ でこれが $0$ になるのは ${\cos }^2\theta =\frac{1}{3}$ のとき。このとき $h=\sqrt{3}\cos \theta =\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=1$。体積は $V=6\sqrt{3}\pi \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=4\pi$。$h$ を変数にして微分する本解と同じ、高さ $2$・最大体積 $4\pi$ にたどり着く。拘束を角度で表すと $r^2+h^2=3$ を自動的に満たせるのが利点だ。