微分の考え 実戦編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「解の個数」は方程式のままでは見えない。定数 $k$ を分離して、曲線 $y=x^3-3x$ と横線 $y=k$ の交点数に言い換える。

曲線の形は微分で分かる。極大 $f(-1)=2$、極小 $f(1)=-2$。横線が2つの山谷の間にあるとき、ちょうど3回交わる。

後半の平方和は解を求めずに解と係数の関係で出す。$3$ 解は $x^3-3x-k=0$ の解で、$k$ は定数項にしか現れない。この係数の配置が、答えが「$k$ によらない」理由になる。

① 解の個数。 $f(x)=x^3-3x$、$f^{\prime }(x)=3(x^2-1)$。$x=-1$ で極大 $f(-1)=2$、$x=1$ で極小 $f(1)=-2$。横線 $y=k$ と $3$ 交点をもつのは $$-2<k<2.$$

② 平方和。 $3$ 解 $\alpha ,\beta ,\gamma$ は $x^3-3x-k=0$ の解。解と係数の関係より $$\alpha +\beta +\gamma =0,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-3(x^1\text{ の係数}).$$ ($k$ は定数項なので、これらには現れない。)よって $${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=0-2(-3)=6.$$ $k$ に依存せず一定で、値は $6$。

まとめグラフと横線で $-2<k<2$、解と係数で平方和 $=6$($k$ によらない)。微分(定数分離)と解と係数(対称式)の融合。$k$ が定数項なので対称式に影響しないことが大事だ。

発展。 一般の $x^3+px=k$ でも、3解の平方和は $-2p$ で $k$ に依らない。横線 $y=k$ を上下させると3つの解は動くのに、平方和(原点からの散らばり)は変わらない。平方和はグラフの形($p$)だけで決まる量である。解の対称式のうち「どれが $k$ に依るか」は、係数のどの位置に $k$ がいるかで即座に読める。

別解

別解:「極値の積が負」で条件を書く(得意な人向けの高い視点)。 横線との交点数を絵で数える代わりに、$g(x)=x^3-3x-k$ の符号で言い切る。

3次関数が異なる3つの実数解をもつ $⟺$ 極大値と極小値が異符号、すなわち

$$g(-1)\cdot g(1)=(2-k)(-2-k)<0.$$

展開すると $k^2-4<0$、つまり $-2<k<2$。境界(積 $=0$)は重解をもつ場合で、解は2個に減る。「極大 $>0>$ 極小」という2本の不等式が、「積 $<0$」の1本にまとまる。文字が増えた問題(係数に文字が2つあるときなど)ほど、この書き方が役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 曲線の外の点から引く接線は、接点を文字でおいて考えるのが基本だ。接点 $(t,t^3)$ での接線をまず書く。

その接線が $(1,b)$ を通る、という条件を式にすると、$t$ の3次方程式になる。3次曲線では接点が異なれば接線も異なる。だから「接線の本数=この $t$ 方程式の実数解の個数」。あとは前問と同じく、$t$ の3次関数の極大・極小と横線 $y=b$ の位置関係を調べればよい。

① 接線が通る条件。 接点 $(t,t^3)$ での接線は $y=3t^2(x-t)+t^3=3t^{2}x-2t^3$。これが $(1,b)$ を通るので $$b=3t^2-2t^3⟺2t^3-3t^2+b=0.$$ ② 解の個数。 $g(t)=2t^3-3t^2$ とおくと $g^{\prime }(t)=6t^2-6t=6t(t-1)$。極大 $g(0)=0$、極小 $g(1)=2-3=-1$。方程式 $g(t)=-b$ が $3$ 実解をもつ条件は $$-1<-b<0⟺0<b<1.$$ ③ 結論。 接点 $t$ が $3$ 個 $⟺$ 接線が $3$ 本 $⟺$ $$0<b<1.$$

まとめ接点の方程式 $2t^3-3t^2+b=0$ の実数解が $3$ 個になる条件を極値で調べ、$0<b<1$。接線(微分)と解の個数の融合。本数を接点の個数に言い換えるのが、この問題の中心だ。

発展。 「接点が違えば接線も違う」は3次曲線の特権で、4次になると崩れる。たとえば W 字型の4次曲線には、2つの谷に同時に接する1本の直線(複接線)があり、接点2つで接線1本。接線の本数を数える問題は、次数が上がると「接点の数え方」から設計し直しになる。

別解

別解:「曲線と変曲点接線の間」という領域で読む(得意な人向けの高い視点)。 答え $0<b<1$ の図形的な意味を見る。

$b=0$ は、変曲点(原点)での接線 $y=0$ の上に点 $(1,b)$ が乗る瞬間。$b=1$ は、点が曲線 $y=x^3$ そのものの上($x=1$ で $y=1$)に乗る瞬間だ。つまり「3本引ける」のは、点 $(1,b)$ が変曲点での接線と曲線にはさまれた領域の内部にあるとき。一般に点 $(a,b)$($a\ne 0$)からの接線の本数は

$$(b-a^3)b<0\text{なら3本},=0\text{なら2本},>0\text{なら1本}.$$

たとえば $a=2$ なら $0<b<8$ で3本となり、計算と一致する。3次曲線と変曲点接線が平面を4つに分け、各領域で接線の本数が決まっている。この「地図」を知っていると、答えの検算がすぐにできる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず極値をとる $x$ を求める。$f^{\prime }(x)=3x^2+p=0$ から $x=\pm \sqrt{-\frac{p}{3}}$($p<0$ だから2つある)。

$m=\sqrt{-\frac{p}{3}}$ と名前をつける。増減表から極大は $x=-m$、極小は $x=m$。差 $f(-m)-f(m)$ を計算すると、定数 $q$ は引き算で消え、奇数次の項だけが2倍になって残る。対称性を使うので計算は短い。

① 極値をとる $x$。 $f^{\prime }(x)=3x^2+p=0\Rightarrow x^2=-\frac{p}{3}$、$x=\pm m$($m=\sqrt{-p/3}>0$)。$f^{\prime }$ の符号から $x=-m$ で極大、$x=m$ で極小。

② 差を計算。 $$f(-m)-f(m)=\{(-m{)}^3+p(-m)+q\}-\{m^3+pm+q\}=-2m^3-2pm=-2m(m^2+p).$$ $m^2=-\frac{p}{3}$ なので $m^2+p=-\frac{p}{3}+p=\frac{2p}{3}$。よって $$f(-m)-f(m)=-2m\cdot \frac{2p}{3}=-\frac{4pm}{3}.$$ ③ $p$ で表す。 $m=\sqrt{-p/3}=\frac{\sqrt{-p}}{\sqrt{3}}$ を入れて、$-p>0$ に注意すると $$\text{極大値}-\text{極小値}=-\frac{4p}{3}\cdot \frac{\sqrt{-p}}{\sqrt{3}}=\frac{4(-p)\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}(-p{)}^{3/2}.$$ (例:$p=-3$ なら $\frac{4}{3\sqrt{3}}\cdot 3\sqrt{3}=4$。)

まとめ極値の $x=\pm m$($m^2=-p/3$)を代入し、差 $=-\frac{4pm}{3}=\frac{4}{3\sqrt{3}}(-p{)}^{3/2}$。微分(極値)と式変形の融合。$x^2$ の項がなく対称であることを使う。

発展。 極値をとる2点の間隔は $\beta -\alpha =2m$。差 $4m^3$ をこれで書き直すと $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$ となる。「極値の差は、極値点の間隔の3乗の半分」という一般式だ($x^3$ の係数が $a$ なら $\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^3}{2}$)。積分の見方(別解)を使うと、この公式は1/6公式の親戚だと分かる。

別解

別解:差を「$-f^{\prime }$ の面積」として積分で出す(得意な人向けの高い視点)。 極大から極小へ下る区間 $[-m,m]$ では $f^{\prime }\le 0$。微分積分の基本定理から

$$f(-m)-f(m)=-{\int }_{-m}^m{f}^{\prime }(x)dx={\int }_{-m}^m\{-(3x^2+p)\}dx={\int }_{-m}^{m}3(m^2-x^2)dx$$

($p=-3m^2$ を使った)。最後の積分は放物線と $x$ 軸で囲む面積、1/6公式そのものだ。

$$3\cdot \frac{1}{6}\{m-(-m){\}}^3=3\cdot \frac{8m^3}{6}=4m^3=4{\left(-\frac{p}{3}\right)}^{3/2}.$$

「極値の差 $=$ 導関数のグラフの面積」という見方は、値の代入計算(本解)より間違えにくく、極値の差の公式たちの共通の出どころでもある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文章題は「何を変数にして、何を最大化するか」を式にするところが本体だ。切り取る辺 $x$ を変数にすると、底面は1辺 $24-2x$、高さは $x$。

容積は $V=x(24-2x{)}^2$。定義域も忘れない。底面が残るには $0<x<12$。

あとは微分して増減を調べる。$V^{\prime }$ は因数分解した形のまま計算すると、解 $x=4$ と $x=12$ が素直に見える。

① 容積を式に。 底面 $1$ 辺 $(24-2x)$、高さ $x$ より $$V=x(24-2x{)}^2(0<x<12).$$ ② 微分。 積の微分で $$V^{\prime }=(24-2x{)}^2+x\cdot 2(24-2x)(-2)=(24-2x)\{(24-2x)-4x\}=(24-2x)(24-6x).$$ $0<x<12$ で $24-2x>0$ だから、$V^{\prime }=0⟺24-6x=0⟺x=4$。

③ 増減と最大。 $x<4$ で $V^{\prime }>0$、$x>4$ で $V^{\prime }<0$ だから $x=4$ で極大かつ最大。 $$V(4)=4\cdot (24-8{)}^2=4\cdot 16^2=4\cdot 256=1024.$$ よって $x=4\mathrm{cm}$ のとき最大容積 $1024{\mathrm{cm}}^3$。

まとめ $V=x(24-2x{)}^2$($0<x<12$)を微分し $V^{\prime }=(24-2x)(24-6x)$、$x=4$ で最大 $1024{\mathrm{cm}}^3$。微分(最大最小)と文章題の融合。定義域を忘れない。

発展。 1辺 $a$ の紙なら、同じ計算で最適は $x=\frac{a}{6}$、最大容積は $\frac{2a^3}{27}$。切り取る正方形の1辺は「紙の1辺の6分の1」で、24cm のときの 4cm はその特別な場合だ。相加相乗の設計(別解)も $4x+(a-2x)+(a-2x)=2a$ 一定でそのまま通る。

別解

別解:相加相乗平均で微分なしに最大化(得意な人向けの設計)。 $V=x(24-2x{)}^2$ の3因数を、和が一定になるように重みづけする。

$4x,24-2x,24-2x$ の3つなら、和は $4x+48-4x=48$ で一定だ。相加相乗平均から

$$4x(24-2x{)}^2\le {\left(\frac{48}{3}\right)}^3=4096⟹V\le 1024.$$

等号は $4x=24-2x$、すなわち $x=4$ のとき($0<x<12$ の範囲内)。最大値 $1024{\mathrm{cm}}^3$。「係数 $4$ を掛けて和を一定にする」ところが工夫のしどころだ。微分(本解)はどんな場合にも使えるが、積の最大化はこの型にはまるとほとんど計算がいらない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 4次関数の最小値。微分すると $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$ ときれいに因数分解できる。

極値の候補は $x=0,\pm 2$ の3つ。W字型のグラフで、両側の谷 $x=\pm 2$ が最小の候補、真ん中 $x=0$ は極大だ。$f$ は偶関数だから $f(2)=f(-2)$。谷の値を1つ計算すれば最小値が決まる。

① 極値をとる $x$。 $f^{\prime }(x)=4x(x^2-4)=0\Rightarrow x=0,\pm 2$。

② 各極値。 $$f(0)=3(\text{極大}),f(\pm 2)=2^4-8\cdot 2^2+3=16-32+3=-13(\text{極小}).$$ ③ 最小。 $x\to \pm \infty$ で $f\to +\infty$、$W$ 字型だから最小は極小値 $$f(\pm 2)=-13.$$

まとめ $f^{\prime }=4x(x-2)(x+2)$、極小 $f(\pm 2)=-13$、極大 $f(0)=3$。$W$ 字の谷が最小 $-13$。微分(最大最小)と偶関数の対称性の融合。

発展。 $x^2$ のかたまりしか含まない4次(複2次)は、いつでも $u=x^2$ で2次に落ちる。頂点の $u$ が負になる式(たとえば $x^4+8x^2$)では、$u\ge 0$ の端 $u=0$ が最小になり、「頂点か端か」という閉区間の2次関数と同じ議論が現れる。微分と置換、2つの道を持っておくと検算し合える。

別解

別解:$u=x^2$ で2次関数に落とす(苦手な人向け)。 $f(x)=x^4-8x^2+3$ は $x^2$ のかたまりしか含まない。$u=x^2$ とおくと

$$f=u^2-8u+3=(u-4{)}^2-13(u\ge 0).$$

平方完成した2次関数の最小は頂点 $u=4$ で $-13$。$u=4$ は範囲 $u\ge 0$ に入っており、$x^2=4$、すなわち $x=\pm 2$ で実現する。

微分を使わず、2次関数の知識だけで最小値 $-13$ に着いた。注意点はただ1つ、置換後の範囲 $u\ge 0$。もし頂点が $u<0$ に出る式なら、最小は端 $u=0$ に移る。置換したら、新しい変数の範囲を必ず確かめる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 交点の $x$ 座標は、連立して得られる3次方程式 $x^3-mx-n=0$ の3つの解だ。

解を求める必要はない。ほしいのは「和」だから、解と係数の関係を見る。この方程式には $x^2$ の項がない。つまり3解の和は $0$ だ。これで重心の $x$ 座標が $0$ と即決する。

$y$ 座標の和は工夫のしどころ。3点は直線上にあるから、$y=mx+n$ に通せば $\sum y=m\sum x+3n=3n$ とすぐに出る。

① $x$ 座標の和。 交点は $x^3=mx+n\Rightarrow x^3-mx-n=0$ の解。$x^2$ の係数が $0$ だから、解と係数の関係より $$x_1+x_2+x_3=0.$$ よって重心の $x$ 座標 $=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=0$。

② $y$ 座標の和。 各交点は直線上にあるので $y_i=m{x}_i+n$。和は $$y_1+y_2+y_3=m(x_1+x_2+x_3)+3n=m\cdot 0+3n=3n,$$ 重心の $y$ 座標 $=\frac{3n}{3}=n$。

③ 重心。 $$(0,n).$$

まとめ $x^3-mx-n=0$ に $x^2$ の項がないので和 $=0$、$y$ の和 $=3n$。重心は $(0,n)$。$3$ 次曲線と直線の交点と解と係数の融合。

発展。 一般の3次曲線 $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ でも、直線との3交点の $x$ 座標の和は常に $-a$(直線の $m,n$ に依らない)。つまり交点の重心はどんな直線で切っても「変曲点を通る鉛直線」の上に乗る。3次のグラフの点対称性が解と係数の関係の中に埋め込まれている。

別解

別解:「重心は変曲点の真上」と読む(得意な人向けの高い視点)。 和が $0$ になった理由を、係数でなく図形で見る。

$3$ 交点の $x$ 座標の平均は方程式 $x^3+a{x}^2+\cdots =0$ でいえば $-\frac{a}{3}$。一方、3次関数 $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ の変曲点(グラフの点対称の中心)の $x$ 座標も $-\frac{a}{3}$ である。

つまり一般に、直線との3交点の $x$ 座標の平均は、直線によらず変曲点の $x$ 座標に一致する。$y=x^3$ の変曲点は原点だから、平均は常に $0$ になる。本解の「$x^2$ の項がない」ことを図形で見ると、こういう意味になる。

重心はさらに直線上にもあるから、「変曲点を通る鉛直線」と「直線 $y=mx+n$」の交点、すなわち $(0,n)$ と即答できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 不等式の証明は、差 $g(x)=x^3-3x+2$ を作って符号を調べるのが出発点。

3次式の符号は因数分解が最短だ。$g(1)=0$ に気づけば $(x-1)$ で割れる。商をさらに見ると、また $x=1$ で消える。$x=1$ は重解で、$g(x)=(x-1{)}^2(x+2)$ となる。

平方 $(x-1{)}^2$ は常に $0$ 以上。残る $x+2$ の符号が条件 $x\ge -2$ でちょうど非負になる。条件の出どころまで、因数分解から分かる。

① 差を因数分解。 $g(x)=x^3-3x+2$。$g(1)=1-3+2=0$、$g^{\prime }(x)=3x^2-3$ で $g^{\prime }(1)=0$ より $x=1$ は重解。組立除法などで $$g(x)=(x-1{)}^2(x+2).$$ ② 符号。 $x\ge -2$ のとき $(x-1{)}^2\ge 0$、$x+2\ge 0$ だから $$g(x)=(x-1{)}^2(x+2)\ge 0,$$ すなわち $x^3\ge 3x-2$。

③ 等号。 $g(x)=0⟺(x-1{)}^2=0$ または $x+2=0$、すなわち $x=1$ または $x=-2$。

まとめ差 $x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$ が $x\ge -2$ で $\ge 0$、等号は $x=1,-2$。不等式(差の符号)と因数分解(重解)の融合。

発展。 一般に $y=x^3$ の $x=t$ での接線と曲線の差は $(x-t{)}^2(x+2t)$ と因数分解される。接線は必ず $x=-2t$ で曲線を再び横切り、その点での曲線の傾きは接点での傾きのちょうど4倍($12t^2=4\cdot 3t^2$)になる。「重解2つ+残り1つ」という3次の解の配置が、接線の幾何を全部決めている。

別解

別解:$y=3x-2$ は接線である(得意な人向けの視点)。 右辺の直線 $y=3x-2$ を、曲線 $y=x^3$ と見比べる。$x=1$ で値は $1$ と $1$、傾きは $3x^2=3$ と $3$ で、どちらも一致する。

つまり $y=3x-2$ は、$y=x^3$ の $x=1$ における接線である。すると差 $x^3-(3x-2)$ が $(x-1{)}^2(x+2)$ と因数分解される理由も見える。接する点は重解 $(x-1{)}^2$ を、接線が曲線を再び横切る点 $x=-2$ が因数 $(x+2)$ を担う。

不等式 $x^3\ge 3x-2$($x\ge -2$)の主張は、「3次曲線は、再交点から先では接線の上側にいる」という絵そのものだった。増減表で示すこともできるが、この理由を知っておくと忘れない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず $x$ 軸との交点。$y=x(x-1)(x-2)$ と因数分解でき、交点は $x=0,1,2$。囲まれる部分は $[0,1]$ の山と $[1,2]$ の谷の2つだ。

「面積が等しい」を積分で確かめてもよいが、もっと根本的な理由がある。3次曲線は変曲点について点対称で、この曲線の変曲点はちょうど真ん中の交点 $(1,0)$。$f(1+t)=-f(1-t)$ を確かめれば、山と谷は $(1,0)$ を中心に180度回すと重なる合同な図形だと分かる。したがって面積は等しい。

① 交点と対称性。 $f(x)=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)$、$x$ 軸との交点は $x=0,1,2$。$f^{\prime \prime }(x)=6x-6=0\Rightarrow x=1$、$f(1)=0$ より変曲点 $(1,0)$。$t$ を用いて $$f(1+t)=(1+t)t(t-1)=t(t^2-1)=t^3-t,f(1-t)=(1-t)(-t)(-t-1)=-t(t^2-1)=-(t^3-t).$$ よって $f(1+t)=-f(1-t)$、グラフは $(1,0)$ に関して点対称。

② 面積が等しい。 $[0,1]$ の部分($x$ 軸の上、$f\ge 0$)と $[1,2]$ の部分($x$ 軸の下、$f\le 0$)は、点 $(1,0)$ のまわりの $180^{\circ }$ 回転で互いに移り合う。合同だから面積は等しい。

③ 確認(積分)。 $${\int }_0^1(x^3-3x^2+2x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]}_0^1=\frac{1}{4}-1+1=\frac{1}{4},$$ $${\int }_1^2(x^3-3x^2+2x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]}_1^2=(4-8+4)-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}.$$ どちらも大きさ $\frac{1}{4}$ で、$2$ つの部分の面積は等しい。

まとめ変曲点 $(1,0)$ 対称($f(1+t)=-f(1-t)$)により $2$ 部分が合同、面積はともに $\frac{1}{4}$。微分(対称性)と積分(面積)の融合。

発展。 面積が等しいのは、変曲点(点対称の中心)がちょうど $x$ 軸上の真ん中の交点にあるからだ。たとえば $y=x(x-1)(x-3)$ では変曲点が $x$ 軸から外れ、2つの部分の面積は等しくならない。「3次と直線で囲む2つの面積が等しい $⟺$ 直線が変曲点を通る」という一般則を覚えておくと、他の問題でもすぐに判定できる。

別解

別解:平行移動して奇関数にする(計算で示すルート)。 対称の中心 $(1,0)$ を原点に移す。$x=u+1$ を代入すると

$$y=(u+1)u(u-1)=u^3-u.$$

奇関数だ。奇関数のグラフは原点対称だから、$[-1,0]$ の部分($x$ でいえば $[0,1]$ の山)と $[0,1]$ の部分($[1,2]$ の谷)は合同で、面積は等しい。値も出る。${\int }_0^1(u^3-u)du=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ より、谷(下側)の面積は $\frac{1}{4}$、対称性から山も $\frac{1}{4}$。

「点対称の確認 $f(1+t)=-f(1-t)$」(本解)と「移動して奇関数」は同じことだが、移動してしまえば偶奇性という手慣れた道具で全部片づく。