微分の考え ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平均変化率とは、「$y$ がどれだけ変わったか」を「$x$ がどれだけ変わったか」で割ったもの。

$$(\text{平均変化率})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{(y\text{の変化})}{(x\text{の変化})}$$

これは、$2$ 点を結ぶ直線の傾きそのものである。

計算する。

$$f(1)=1,f(3)=9$$

$$\frac{9-1}{3-1}=\frac{8}{2}=4$$

「$x$ が $1$ から $3$ へ $2$ 増えるあいだに、$y$ は $1$ から $9$ へ $8$ 増えた。$1$ あたり $4$ の増加」。これが平均変化率の意味だ。

中学で習った「変化の割合」と、まったく同じものである。名前が変わっただけ。

$y$ の増加量を $x$ の増加量で割る。

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{3-1}=\frac{8}{2}=4$$

平均変化率は $4$。これはグラフ上の $2$ 点 $(1,1)$、$(3,9)$ を結ぶ直線の傾きと同じ。

発展。 「平均」と「瞬間」を結びつける定理がある。平均値の定理だ。

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)(\text{a と b のあいだに、そんな c が必ず存在する})$$

「平均の傾きと同じ傾きを持つ点が、区間内に必ずある。」

今回の例で確かめる。 平均変化率は $4$、$f^{\prime }(x)=2x$ だから

$$2c=4⟹c=2$$

$c=2$ は、確かに $1$ と $3$ のあいだにある

この定理を車で読むとこうなる。「$2$ 時間で $100$ km 走った(平均時速 $50$ km)なら、途中のどこかで、ちょうど時速 $50$ km だった瞬間が必ずある。」

当たり前に思えるが、証明が必要な事実である。(常に時速 $50$ km 未満なら $100$ km 走れないし、常に $50$ km 超なら $100$ km を超えてしまう。だから途中で $50$ km ちょうどを「通過」するはずだ。)

そして、この定理には実用的な応用がある。

高速道路の「平均速度違反」の取り締まり。 入口と出口の通過時刻から平均速度を計算し、制限速度を超えていれば「どこかで必ず速度超過していた」と断定できる。平均値の定理が法的な根拠になっている(実際にイタリアなどで導入されている)。

「平均から、瞬間を保証する」。微分法の最も基本的な定理が道路の取り締まりに使われている。

別解

平均変化率が「割線の傾き」であることを、絵で確認しよう。 そして、これが微分の出発点であることを見る。

グラフで見る。

放物線 $y=x^2$ の上に、$2$ 点をとる。

$$\mathrm{A}(1,1),\mathrm{B}(3,9)$$

この $2$ 点を、まっすぐな線で結ぶ。 この直線を割線(せっせん、曲線を「割る」線)という。

割線の傾きは?

$$\frac{9-1}{3-1}=4$$

平均変化率と、同じ値

$$\boxed{\text{平均変化率}=\text{割線の傾き}}$$

「平均」という名前の意味。放物線は $x=1$ の付近ではゆるやかで、$x=3$ の付近では急だ(グラフを見れば分かる)。傾きは場所によって違う。

しかし「$1$ から $3$ まで、ならして見れば、$1$ あたり $4$ 増えた」。これが平均変化率である。車で考えると分かりやすい。

「$2$ 時間で $100$ km 走った」→ 平均時速 $50$ km。

しかし、ずっと時速 $50$ km で走っていたわけではなく、信号で止まったり、高速で $100$ km 出したりしている。「ならせば $50$ km/h」。それが平均速度だ。

では、「今この瞬間の速度」は、どうやって測るのか。これが、次の問題(微分係数)の主題である。発想: 区間をどんどん狭くする。

区間を狭めていくと、平均変化率は $2$ に近づく。

この極限が「$x=1$ における瞬間の変化率」。つまり微分係数 $f^{\prime }(1)=2$ である。

そして、割線はどうなるか。 $\mathrm{B}$ を $\mathrm{A}$ に近づけていくと、割線は「接線」に近づいていく。

$$\boxed{\text{割線の傾き}\stackrel{\text{2 点を近づける}}{\to }\text{接線の傾き}}$$

「平均」から「瞬間」へ。「割線」から「接線」へ。 この $1$ 歩が微分という数学を生んだ。

ちなみに $y=x^2$ の場合、区間 $[a,b]$ の平均変化率には、きれいな公式がある。

$$\frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{(b+a)(b-a)}{b-a}=a+b$$

$2$ 点の $x$ 座標を、ただ足すだけでよい。 $1+3=4$。計算はすぐに終わる。

そして $b\to a$ とすれば $a+a=2a$ となり、$f^{\prime }(x)=2x$ という導関数が、この式から分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 微分係数の定義は、「区間を限りなく狭めた平均変化率」だ。

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

$h$ は「$a$ からのズレ」。 これを $0$ に近づける。

計算する。 $f(x)=x^2+x$、$a=2$。

分子を計算する。

$$f(2+h)=(2+h{)}^2+(2+h)=4+4h+h^2+2+h=h^2+5h+6$$

$$f(2)=4+2=6$$

$$f(2+h)-f(2)=h^2+5h$$

$h$ で割る。

$$\frac{h^2+5h}{h}=h+5$$

ここが大事なところだ。$h$ で約分できた。$h\to 0$ としても $\frac{0}{0}$ にならない。

$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }(h+5)=5$$

「約分してから、$h\to 0$」。この順序を守ることが大切だ。

① 分子を計算する。 $f(2)=4+2=6$、$f(2+h)=(2+h{)}^2+(2+h)=4+4h+h^2+2+h=6+5h+h^2$。

$$f(2+h)-f(2)=(6+5h+h^2)-6=5h+h^2$$

② $h$ で割って極限をとる。

$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5h+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(5+h)=5$$

微分係数 $f^{\prime }(2)=5$。これは点 $(2,f(2))$ での接線の傾き。

まとめ:微分係数は平均変化率の極限。分子を展開すると必ず $h$ がくくり出せて約分できる。約分してから $h\to 0$ とするのが手順だ。

発展。 微分の定義に現れる $\frac{0}{0}$ という不定形は、$17$ 世紀の数学者たちを悩ませ続けた。

ニュートンとライプニッツは、$1670$ 年代に微分法を発明した。 しかし、その基礎は危うかった。

当時の議論はこうだ。 「$h$ を $0$ でない微小な量とする。$h+5$ を計算した後で、$h$ を $0$ とみなす。」

哲学者バークリーはこれを痛烈に批判した($1734$ 年)。「$h$ は $0$ なのか、$0$ でないのか。$0$ でないなら約分できるが、最後に $0$ とみなすのは詐欺だ。これは「死んだ量の亡霊」ではないか。」

この批判は正当だった。 「無限小」という曖昧な概念に頼っていたのだ。

決着がついたのは、$150$ 年後。 コーシーとワイエルシュトラスが、「極限」を厳密に定義した($\epsilon$-$\delta$ 論法)。

$$\underset{h\to 0}{\lim }g(h)=L⟺\text{どんな }\epsilon >0\text{ にも }\delta >0\text{ があり、}0<|h|<\delta \Rightarrow |g(h)-L|<\epsilon$$

「$h$ を $0$ にする」のではない。「$h$ を $0$ に『いくらでも近づけたとき』、値が $L$ にいくらでも近くなる」と言い換えた。

$h$ は決して $0$ にならない($0<|h|$ という条件がある)。だから約分は正当だ。 そして「近づく先」だけを問題にする。「亡霊」の批判はこれで解消された。

微分積分は $200$ 年かけて、ようやく厳密な基礎を得た。

数学はしばしば「使えるが、なぜ使えるか分からない」状態から始まる。 厳密化は後からついてくる。しかし、厳密になってはじめて、その先の理論を積み上げられる。

この問題の $h$ での約分もその例である。 その操作の正当性のために、$150$ 年の議論があった。

別解

導関数の公式を使えば、すぐに終わる。 しかし、それでも定義を学ぶ意味がある。その理由を説明する。

公式ルート。

$$f(x)=x^2+x⟹f^{\prime }(x)=2x+1$$

$$f^{\prime }(2)=2\times 2+1=5$$

$1$ 行で終わった。 定義の計算(展開、約分、極限)が、公式では $1$ ステップに圧縮されている。では、なぜわざわざ定義から計算するのか。

理由1: 公式は定義から作られる。$f(x)=x^2$ の導関数を、定義から導いてみよう。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2xh+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x$$

公式 $(x^2{)}^{\prime }=2x$ が出てきた。 公式は天から降ってきたのではなく、定義から作られたのだ。理由2: 公式が使えない関数に出会ったとき、定義に戻るしかない。

数IIIで学ぶ $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$、$(e^x{)}^{\prime }=e^x$ も、すべて定義から証明される。

理由3: $\frac{0}{0}$ という不定形の意味が分かる。$h\to 0$ とすると、分子も分母も $0$ に近づく。

$$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\to \frac{0}{0}?$$

$\frac{0}{0}$ はそのままでは意味を持たない(何にでもなりうる)。しかし、「どう $0$ に近づくか」の速さの比なら、意味がある。

$$\frac{h^2+5h}{h}=h+5$$

約分すると、意味が分かる。 分子は「$h$ の $1$ 次の速さ」で $0$ に近づき、分母も同じ速さで近づく。だから比は有限の値に収束する。

「$0$ に近づく $2$ つの量の比」。微分とはこの比の極限のことだ。$\frac{0}{0}$ の形になるからこそ、意味がある。

極限の値が、割り切れた形($h+5$)の $h=0$ での値になるのは、$h+5$ が $h=0$ で連続だからである。約分してしまえば、あとは代入するだけでよい。

数値で確かめよう。

$5$ に収束していく。極限の意味が数値で見える。

負の側から近づけても同じ。 $h=-0.01$ なら $4.99$ で、やはり $5$ に近づく。

「左右どちらから近づいても同じ値になる」ことが、微分可能であることの条件である。$y=|x|$ が原点で微分できないのは、左からは $-1$、右からは $+1$ と、食い違うからだった。定義の計算は遠回りに見えて、微分のすべてを含んでいる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 導関数の計算は、$3$ つの公式で全部片づく。

$$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

$$(\text{定数}{)}^{\prime }=0$$

$$\{af(x)+bg(x){\}}^{\prime }=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x)(\text{項ごとにバラして計算してよい})$$

$1$ 項ずつ処理する。

$$(x^3{)}^{\prime }=3x^2$$

$$(-2x^2{)}^{\prime }=-2\times 2x=-4x$$

$$(5x{)}^{\prime }=5$$

$$(-1{)}^{\prime }=0$$

足し合わせる。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-4x+5$$

「指数を前に降ろして、指数を $1$ 減らす」。これが $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ の意味だ。

定数の微分は $0$。 定数は変化しないから、変化率も $0$ になる。当たり前の話である。

各項を別々に微分する。

$$(x^3{)}^{\prime }=3x^2,(-2x^2{)}^{\prime }=-4x,(5x{)}^{\prime }=5,(-1{)}^{\prime }=0$$

まとめて

$$f^{\prime }(x)=3x^2-4x+5$$

発展。 「微分すると、次数が $1$ 下がる」という性質から、次のことが分かる。

$$x^3\stackrel{{}^{\prime }}{\to }3x^2\stackrel{{}^{\prime }}{\to }6x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }6\stackrel{{}^{\prime }}{\to }0\stackrel{{}^{\prime }}{\to }0\cdots$$

$n$ 次の多項式を $n+1$ 回微分すると、必ず $0$ になる。

この事実が「多項式を特徴づける」ことに使える。 逆に言えば、「何回か微分すると $0$ になる関数」は、多項式に限られる。では、微分しても $0$ にならない関数は?

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x(\text{何回微分しても、自分自身})$$

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x\to -\sin x\to -\cos x\to \sin x(\text{4 回で 1 周})$$

指数関数は「不動」、三角関数は「$4$ 周期で循環」、多項式は「やがて消える」。微分という操作の下での振る舞いが、関数の「個性」を決めている。この視点は微分方程式で大事になる。

$$y^{\prime \prime }+y=0$$

「$2$ 回微分すると、符号が反転して元に戻る関数は?」 答えは $\sin x$ と $\cos x$ だ。

この方程式は単振動(バネの振動、振り子)を記述する。 だから振動は $\sin$ 波になる。運動の形は方程式で決まる。

$$y^{\prime }=y$$

「微分しても変わらない関数は?」 答えは $e^x$。これは指数的成長(細菌、複利、放射性崩壊)を記述する。

微分方程式とは「関数の微分の振る舞い」から「関数そのもの」を逆算する技術である。

そして自然法則は、ほとんどが微分方程式で書かれている。 ニュートンの運動方程式 $F=ma$ も $a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ という $2$ 階微分の式だ。

$(x^3{)}^{\prime }=3x^2$ という素朴な計算。 この計算は物理法則を表す微分方程式の基礎になる。

別解

公式 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ を、定義から証明してみよう。 「なぜ指数が前に降りてくるのか」が分かる。

$n=2$ の場合(すでに見た)。

$$(x^2{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2xh+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x$$

$n=3$ の場合。

$$(x+h{)}^3=x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$$

$$\frac{(x+h{)}^3-x^3}{h}=\frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3}{h}=3x^2+3xh+h^2$$

$$h\to 0⟹3x^2$$

$$(x^3{)}^{\prime }=3x^2$$

一般の $n$ でも、同じ構造だ。二項定理で展開すると

$$(x+h{)}^n=x^n+\underset{\text{h の 1 次}}{\underbrace{n{x}^{n-1}h}}+\underset{\text{h の 2 次以上}}{\underbrace{\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}{h}^2+\cdots }}$$

$x^n$ が引き算で消え、$h$ で割ると

$$\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}=n{x}^{n-1}+(\text{h を含む項})$$

$h\to 0$ とすると、$h$ を含む項はすべて消える。

$$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

「指数が前に降りてくる」理由は、二項定理の $2$ 番目の項の係数が ${}_n{\mathrm{C}}_1=n$ だからだった。

$h$ の $1$ 次の項だけが残り、$2$ 次以上は消える。これが微分の仕組みである。「$1$ 次の項だけが結果に影響する」という考え方は、微分のあらゆる場面に現れる。関数を「直線で近似する」のが微分だから、$1$ 次の情報だけを取り出しているのだ。

$$f(x+h)\approx f(x)+f^{\prime }(x)h(h\text{が小さいとき})$$

この近似式($1$ 次近似)が微分の実用的な意味である。

検算の習慣をつけよう。 導関数を求めたら、数値で確かめる。

$f(x)=x^3-2x^2+5x-1$ の $x=1$ での傾きを、$2$ 通りに計算する。

公式から: $f^{\prime }(1)=3-4+5=4$

数値から($h=0.001$ として):

$$\frac{f(1.001)-f(0.999)}{0.002}\approx 4.000$$

一致した

「公式の答えを、数値で検算する」。計算ミスがあれば、ここで見つかる。そして、微分の順序を間違えないこと。

$$(-2x^2{)}^{\prime }=-2\cdot (x^2{)}^{\prime }=-2\cdot 2x=-4x$$

係数はそのまま、$x$ の部分だけ微分する。 $(-2{)}^{\prime }\times (x^2{)}^{\prime }=0\times 2x=0$ などとしてはいけない。積の微分はそんなに単純ではない(数IIIで学ぶ)。定数倍は外に出したままでよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 微分係数 $f^{\prime }(a)$ とは、導関数 $f^{\prime }(x)$ に $x=a$ を代入した値である。

手順は $2$ 段階。

手順1: 導関数を求める。

$$f(x)=x^3⟹f^{\prime }(x)=3x^2$$

手順2: $x=-1$ を代入する。

$$f^{\prime }(-1)=3\times (-1{)}^2=3\times 1=3$$

$(-1{)}^2=+1$ なので、符号に注意する。$-1$ を $2$ 乗すれば正になる。

答えは $3$(負ではない)。

この $3$ という値の意味。 曲線 $y=x^3$ の、点 $(-1,-1)$ における接線の傾きが $3$ ということだ。傾きが正 → その点で、グラフは右上がり(増加している)。

導関数は $f^{\prime }(x)=3x^2$。$x=-1$ を代入する。

$$f^{\prime }(-1)=3\times (-1{)}^2=3\times 1=3$$

$(-1{)}^2=1$(負の $2$ 乗は正)なので $f^{\prime }(-1)=3$。

まとめ:微分係数は「導関数に代入」で速く出せる。定義の極限は $2$ 番の問題のように、意味を確かめるときに使う。

発展。 導関数 $f^{\prime }(x)$ はもとの関数の設計図である。$f^{\prime }$ の符号を読むだけで、グラフの形が分かる。

$$\boxed{f^{\prime }(x)>0\to \text{増加},f^{\prime }(x)<0\to \text{減少},f^{\prime }(x)=0\to \text{水平}}$$

$y=x^3$ の場合、$f^{\prime }(x)=3x^2\geqq 0$ だから常に増加する。では、$f^{\prime }$ をもう $1$ 回微分したら?

$$f^{\prime \prime }(x)=6x$$

この $f^{\prime \prime }$(第 $2$ 次導関数)は「傾きの変化率」を表す。

• $f^{\prime \prime }>0$($x>0$)→ 傾きが増えていく → グラフは下に凸(お椀型)
• $f^{\prime \prime }<0$($x<0$)→ 傾きが減っていく → グラフは上に凸(山型)
• $f^{\prime \prime }=0$($x=0$)→ 凸の向きが変わる → 変曲点

$y=x^3$ の原点は上に凸から下に凸へ切り替わる「変曲点」だった。$f^{\prime }$ が「速度」なら、$f^{\prime \prime }$ は「加速度」だ。車の運転で言えば:

• $f$: 位置(どこにいるか)
• $f^{\prime }$: 速度(どれだけ速く動いているか)
• $f^{\prime \prime }$: 加速度(どれだけ速度が変わっているか)

アクセルを踏むと加速度が正、ブレーキを踏むと負。そして、ニュートンの運動方程式は

$$F=ma=m{f}^{\prime \prime }(t)$$

「力は、位置の $2$ 階微分に比例する」。物体の運動はこの $1$ 本の式から計算される。

$f^{\prime }(-1)=3$ という小さな計算。 そこから、微分・$2$ 階微分・運動方程式へと、道は一直線につながっている。

別解

定義から直接計算して、公式の答えを検証しよう。 そして、$f^{\prime }(-1)=3$ という値が「グラフの形」について何を表しているかを読む。

定義から計算する。

$$f^{\prime }(-1)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$$

分子を展開する。

$$f(-1+h)=(-1+h{)}^3=-1+3h-3h^2+h^3$$

($(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ に $a=-1$、$b=h$ を代入。符号に注意:$a^3=-1$、$3a^{2}b=3h$、$3a{b}^2=-3h^2$、$b^3=h^3$。)

$$f(-1)=-1$$

$$f(-1+h)-f(-1)=3h-3h^2+h^3$$

$h$ で割る。

$$\frac{3h-3h^2+h^3}{h}=3-3h+h^2$$

$h\to 0$ とする。

$$f^{\prime }(-1)=3$$

公式と一致した。 定義から計算しても、確かに $3$ になる。$f^{\prime }(-1)=3$ という値は、何を表しているのか。

$y=x^3$ のグラフの、点 $(-1,-1)$ での接線の傾きが $3$。

傾き $3$ はかなり急だ。 $x$ が $1$ 増えると $y$ が $3$ 増える勢いで、グラフは上昇している。$y=x^3$ の導関数を、もう $1$ 度見てほしい。

$$f^{\prime }(x)=3x^2$$

これは常に $0$ 以上($2$ 乗だから)。

$$\boxed{f^{\prime }(x)\geqq 0⟹y=x^3\text{は、つねに増加している}}$$

$x$ が負でも正でも、グラフは右上がり。 どこにも「下り坂」がない。

唯一の例外は $x=0$ である。ここで $f^{\prime }(0)=0$ で、傾きが $0$ になり、水平になる。

しかし、そこで極値をとるわけではない。 前後を見ると

• $x=-0.1$ で $f^{\prime }=0.03>0$(上り)
• $x=0$ で $f^{\prime }=0$(水平)
• $x=0.1$ で $f^{\prime }=0.03>0$(上り)

上り → 水平 → 上り。 1点だけで平らになるが、下がらずにまた上る。

これを「変曲点で接線が水平になる」という。 極大でも極小でもない。$f^{\prime }(a)=0$ でも、極値とは限らないのだ。

この事実は次に学ぶ「極値」の議論で使う。

$$\boxed{f^{\prime }(a)=0\text{は、極値であるための"必要条件"にすぎない}}$$

$f^{\prime }$ が $0$ になる点を見つけたら、その前後で $f^{\prime }$ の符号が「変わるか」を必ず確かめる。変わらなければ、極値ではない。$y=x^3$ の原点はその最も有名な反例である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 接線を決めるには、「傾き」と「通る点」が要る。

通る点は与えられている: $(1,1)$。傾きは微分係数で求まる。

$$f(x)=x^2⟹f^{\prime }(x)=2x⟹f^{\prime }(1)=2$$

$\boxed{\text{接線の傾き}=\text{その点での微分係数}}$。これが微分の最も基本的な意味だ。$1$ 点と傾きが分かれば、直線の式が書ける。

$$y-1=2(x-1)⟹y=2x-1$$

接線の公式として書くと

$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$

「点 $(a,f(a))$ を通り、傾き $f^{\prime }(a)$ の直線」。覚えるのは、この $1$ 本でよい。

① 接線の傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=2x$ なので、$x=1$ での傾きは

$$f^{\prime }(1)=2\times 1=2$$

② 点 $(1,1)$ を通る直線を作る。

$$y-1=2(x-1)\Rightarrow y=2x-1$$

まとめ:接線は「傾き $=f^{\prime }(a)$、通る点 $=(a,f(a))$」の直線。傾きを微分で出して、点を通る直線の式に入れるだけだ。

発展。 接線には、実用的な使い道がある。複雑な関数を、直線で近似することだ。

$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)(x\text{が}a\text{に近いとき})$$

接線はその点の近くで、曲線のよい近似になっている。例: $\sqrt{4.1}$ を、電卓なしで計算する。$f(x)=\sqrt{x}$、$a=4$ とする($\sqrt{4}=2$ は分かっている)。

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}⟹f^{\prime }(4)=\frac{1}{4}$$

接線による近似。

$$\sqrt{4.1}\approx 2+\frac{1}{4}(4.1-4)=2+0.025=2.025$$

真の値は $2.02485\dots$ なので、誤差は $0.0002$ 未満だ。曲線を直線で置きかえただけなのに、かなり正確だ。この「$1$ 次近似」は科学と工学の至るところで使われている。

振り子の運動。 厳密な方程式は解けないが、$\sin \theta \approx \theta$ と近似する($\theta$ が小さいとき)と方程式が解けて、振り子の等時性が導かれる。

相対性理論。 光速に比べて遅い速度では $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx 1-\frac{v^2}{2c^2}$ と近似でき、ニュートン力学の式に戻る。相対論が古典力学を含むことが、この近似で示される。

機械学習。 損失関数の最小値を探すとき、現在地での接線(勾配)の向きへ、少しずつ進む(勾配降下法)。AI の学習は $1$ 次近似の繰り返しである。

「曲がったものを、まっすぐなもので近似する」。これが微分の最も実用的な意味だ。接線の方程式 $y=2x-1$ を求めることは、「放物線を、点 $(1,1)$ の近くで直線とみなす」という単純化の第一歩である。

別解

微分を使わずに、接線を求める方法がある。 判別式を使う、数Iの発想だ。$2$ つのルートを比べると、「接する」ということの意味がよく分かる。

判別式ルート: 「接する $=$ 重解」を使う。点 $(1,1)$ を通る直線を、傾き $m$ として置く。

$$y=m(x-1)+1$$

この直線が放物線 $y=x^2$ と「接する」とはどういうことか。$2$ つの式を連立して、共有点を求める。

$$x^2=m(x-1)+1⟹x^2-mx+(m-1)=0$$

「接する」とは「共有点がちょうど $1$ つ」。つまりこの $2$ 次方程式が重解を持つということ。

$$D=m^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2{)}^2=0$$

$$m=2$$

傾きが $2$ と決まった。

$$y=2(x-1)+1=2x-1$$

微分と同じ答え。

この $2$ つのルートは「接する」ことの $2$ つの意味を表している。

どちらも正しく、そして同じ答えに着く。「接する」ことを、代数的に確かめよう。

$$x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$$

曲線と接線の差が、$(x-1{)}^2$ という「完全平方」になった。

$$\boxed{(\text{曲線})-(\text{接線})=(x-a{)}^2\times (\cdots )}$$

この形が「接する」ことの代数的な特徴だ。 $(x-1{)}^2\geqq 0$ だから、曲線は接線の上にあり、$x=1$ でだけ触れる。

判別式ルートの限界。 この方法は、$2$ 次関数にしか使えない($3$ 次以上では、判別式が使えない)。

微分ルートなら、どんな関数でも通用する。 $y=x^3$ でも $y=\sin x$ でも $y=e^x$ でも、接線の傾きは $f^{\prime }(a)$ である。これが「微分の発明」の意義だ。

$2$ 次関数だけの特殊技(判別式)から、すべての関数に通用する一般理論(微分)へと、方法が一般化された。

ニュートンとライプニッツが微分を発明する前、接線を引くのは「職人芸」だった。 曲線ごとに、特別な工夫が必要だった。

微分はそれを「機械的な手続き」に変えた。 $f^{\prime }(x)$ を計算して、$x=a$ を代入するだけだ。誰でも、どんな曲線でも、同じ手順で接線が引ける。

「特殊な技巧」を「一般的な手続き」に変える。 微分はそうした一般化の例の1つである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 前問と、まったく同じ手順だ。

手順1: 導関数を求める。

$$f(x)=x^2-3x⟹f^{\prime }(x)=2x-3$$

手順2: 接点での傾きを計算する。

$$f^{\prime }(2)=2\times 2-3=1$$

手順3: 点 $(2,-2)$ を通り、傾き $1$ の直線。

$$y-(-2)=1\times (x-2)$$

$$y+2=x-2⟹y=x-4$$

符号に注意。 $y-(-2)=y+2$ となる。接点の $y$ 座標が負のとき、ここでミスが起きやすい。

検算しよう。 接点 $(2,-2)$ を代入すると $-2=2-4$。確かに通る。

① 傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=2x-3$ なので

$$f^{\prime }(2)=2\times 2-3=1$$

② 点 $(2,-2)$ を通る直線を作る。

$$y-(-2)=1\times (x-2)\Rightarrow y=x-4$$

発展。 $y=x^2-3x$ は、$y=x^2$ を平行移動したグラフだ。平行移動と接線の関係を見ておこう。

平方完成する。

$$y=x^2-3x={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}$$

頂点は $\left(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}\right)$。 $y=x^2$ を、右に $\frac{3}{2}$、下に $\frac{9}{4}$ 動かしたものだ。では、接線はどうなるか。

$y=x^2$ の $(1,1)$ での接線は傾き $2$ だった。平行移動すると、$(1,1)$ は $\left(1+\frac{3}{2},1-\frac{9}{4}\right)=\left(\frac{5}{2},-\frac{5}{4}\right)$ に移る。この点での接線の傾きを計算すると

$$f^{\prime }\left(\frac{5}{2}\right)=2\times \frac{5}{2}-3=2$$

傾きは $2$ のままだ。

$$\boxed{\text{平行移動しても、対応する点での接線の傾きは変わらない}}$$

当然だ。 グラフ全体を、形を変えずにずらしただけなのだから、各点での「傾き」もそのまま平行移動される。

式でも確かめられる。

$$g(x)=f(x-p)+q⟹g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-p)$$

微分すると、$q$(縦の移動)は消え、$p$ は $x$ の中に残る。 つまり「$p$ だけずれた場所での、元の傾き」になる。傾きの分布ごと、平行移動している。

この性質は「微分は平行移動に対して自然に振る舞う」ことを意味する。

そして、これは物理の「ガリレイの相対性」に対応する。 「等速で動く電車の中で物を落としても、地上と同じように落ちる」ということだ。座標を平行移動しても、物理法則(微分方程式)は変わらない。

「移動しても変わらないもの」を探すことは、物理学の中心的な問いであり、対称性と保存則(ネーターの定理)の理論につながっていく。

接線の傾きが平行移動で変わらない、という小さな観察。 これも、平行移動に対する対称性の一例だ。

別解

公式を使わず、微分係数の定義から傾きを出してみる。 そして「本当に接しているか」を、代数的に検証する。

定義から $f^{\prime }(2)$ を計算する。

$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$

分子を計算する。

$$f(2+h)=(2+h{)}^2-3(2+h)=4+4h+h^2-6-3h=h^2+h-2$$

$$f(2)=4-6=-2$$

$$f(2+h)-f(2)=h^2+h$$

$h$ で割る。

$$\frac{h^2+h}{h}=h+1$$

$$h\to 0⟹f^{\prime }(2)=1$$

公式($2x-3$ に $x=2$)と同じ答え。さて、「本当に接しているか」を確かめよう。曲線と接線の差を計算する。

$$(\text{曲線})-(\text{接線})=(x^2-3x)-(x-4)=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$$

完全平方の形だ。 $(x-2{)}^2$ になった。

この式から分かること。

$$(x-2{)}^2\geqq 0(\text{等号は }x=2\text{ のときのみ})$$

つまり

• 曲線は接線より「上」にある(または同じ高さ)
• $x=2$ でだけ、ぴったり触れる(等号成立)
• 他の点では、必ず接線より上(離れている)

これが「接する」ということの、代数的な姿だ。

「$1$ 点でだけ触れて、他では離れている」。交わる(突き抜ける)のとは違う。比較: 接線でない直線ならどうなるか。

たとえば $y=2x-6$($(2,-2)$ を通るが、傾きが違う)。

$$(x^2-3x)-(2x-6)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

$2$ つの $1$ 次式の積なので、$x=2$ と $x=3$ で $0$ になる。$2$ 点で交わっている。

符号も変わる($2<x<3$ では負、その外では正)。曲線が直線を「突き抜けて」いる。

$$\boxed{\text{接する}\to (x-a{)}^2\text{の形(符号が変わらない)}}$$ $$\boxed{\text{交わる}\to (x-a)(x-b)\text{の形(符号が変わる)}}$$

「重解になる $=$ 接する」。数Iで学んだこの事実が微分で求めた接線でも、確かに成り立っている。

$2$ つの単元($2$ 次関数と微分)が、同じ結論に到達した。 異なる道具で同じ結論が出るので、答えが正しいことを確かめられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 極値とは「山の頂上(極大)と、谷の底(極小)」。

そこでは、接線が水平になる。 つまり

$$f^{\prime }(x)=0$$

$3$ 段階で進める。

手順1: 導関数を求め、$f^{\prime }(x)=0$ を解く。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$$

$$f^{\prime }(x)=0⟹x=-1,1$$

手順2: 増減表を書く。 $f^{\prime }$ の符号を調べる。

手順3: 極値を計算する。

$$f(-1)=-1+3=2(\text{極大値})$$ $$f(1)=1-3=-2(\text{極小値})$$

$f^{\prime }=0$ を解くだけでは終わらない。符号の変化を必ず調べる。

① $f^{\prime }(x)$ を求めて $0$ とおく。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=-1,1$$

② 符号を調べる。 $f^{\prime }=3(x-1)(x+1)$ は下に凸の放物線。$x<-1$ で正、$-1<x<1$ で負、$x>1$ で正。

• $x=-1$:正→負 なので極大。$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)=-1+3=2$。
• $x=1$:負→正 なので極小。$f(1)=1-3=-2$。

$$\text{極大値 }2(x=-1),\text{極小値 }-2(x=1)$$

まとめ:極値は「$f^{\prime }=0$ の点で、$f^{\prime }$ の符号が入れかわる所」。正→負は山(極大)、負→正は谷(極小)。増減表か数直線で符号を必ず確かめる。

発展。 極値を求める方法は最適化という応用分野の基本である。

「最も良い状態を探す」問題はすべて「極値を探す問題」に言い換えられる。

• 利益を最大にする価格は? → 利益関数の極大値
• 材料を最小にする容器の形は? → 表面積関数の極小値
• 最も速く着く経路は? → 時間関数の極小値
• AI の誤差を最小にするパラメータは? → 損失関数の極小値

そして、その解法はいつも同じ。「微分して $0$ とおく」。光の屈折(スネルの法則)もこの原理から導かれる。

フェルマーの原理: 「光は、$2$ 点間を最短時間で進む経路を選ぶ。」空気中と水中では光の速さが違う。最短の距離ではなく、最短の時間になる経路を、微分して $0$ とおいて求めると、屈折の法則 $\frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}=\frac{v_1}{v_2}$ が出てくる。

光は微分方程式を解いてから進んでいるかのようだ。自然界はしばしば「何かを最小化(または最大化)」している。

• 石けん膜: 表面積を最小にする(だから球などの曲面になる)
• 蜂の巣: 材料を最小にして最大の容積(正六角形)
• 物体の運動: 「作用」という量を最小にする経路を通る(最小作用の原理)

物理法則そのものが「ある量の極値をとる」という形で書けるのである。ニュートンの運動方程式も、電磁気学のマクスウェル方程式も、一般相対性理論も、すべて最小作用の原理から導かれる。

$f^{\prime }(x)=0$ を解く。 この単純な作業は、「自然はなぜこう振る舞うのか」という物理の大きな問いにもつながっている。

別解

この関数には、隠れた対称性がある。 それに気づくと、計算が半分で済み、答えの検算もできる。

対称性に気づく。

$$f(x)=x^3-3x$$

$-x$ を代入してみる。

$$f(-x)=(-x{)}^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)$$

$$\boxed{f(-x)=-f(x)}$$

奇関数だ。 グラフは原点対称である。この対称性から、何が言えるか。$x=-1$ で極大値 $2$ をとるなら、原点対称な位置 $x=1$ では、$y$ の符号が反転して極小値 $-2$ をとる。

片方を計算すれば、もう片方は「ただで」分かる。

$$f(-1)=2⟹f(1)=-f(-1)=-2$$

計算量が半分になった。 そして検算にもなる。もし $f(1)=-2$ にならなければ、どこかで計算ミスをしている。

グラフの形も対称性から読める。

• 左端($x\to -\infty$)から上ってきて
• $x=-1$ で山($y=2$)
• 下って原点を通り($f(0)=0$)
• $x=1$ で谷($y=-2$)
• また上っていく

原点を中心に、点対称なS字カーブになる。これが $3$ 次関数の典型的な形だ。そして、$3$ 次関数の「極大と極小の関係」には、一般的な法則がある。

$3$ 次関数のグラフは必ず「変曲点」に関して点対称である。$f(x)=x^3-3x$ の変曲点は?

$$f^{\prime \prime }(x)=6x=0⟹x=0$$

変曲点は原点。だからグラフは原点対称だった。

一般の $3$ 次関数でも同じ。 $y=x^3-3x^2$(次の問題)なら、変曲点は $x=1$ で、その点に関して点対称である(頂点が原点でないだけ)。

この事実の実用的な帰結。

「極大値と極小値の『中点』は、必ず変曲点の高さになる。」

$$\frac{2+(-2)}{2}=0=f(0)$$

$3$ 次関数の $2$ つの極値と、変曲点は、一直線上に等間隔で並んでいる。

$x$ 座標でも同じ。 極大の $x=-1$、変曲点の $x=0$、極小の $x=1$ は等間隔

「$3$ 次関数は、変曲点に関して点対称」。この $1$ 文を知っているだけで、グラフの概形がすぐに描ける。極値を $1$ つ求めたら、もう $1$ つは対称性から出る。

対称性を見抜くことは、計算を減らし、間違いを減らす。 そして、グラフの「かたち」が分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 手順は前問と同じ。微分して、$0$ とおいて、増減表。

手順1: 導関数を求め、因数分解する。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$

因数分解しておくと、符号が読みやすい。

$$f^{\prime }(x)=0⟹x=0,2$$

手順2: 増減表。 $3x(x-2)$ の符号を、$3$ つの区間で調べる。

手順3: 極値を計算する。

$$f(0)=0(\text{極大値})$$ $$f(2)=8-12=-4(\text{極小値})$$

$f^{\prime }$ を因数分解すると、符号の判定がすぐにできる。展開したままだと、符号を読み違えやすい。

① $f^{\prime }(x)=0$ を解く。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0,2$$

② 符号と極値を調べる。 $f^{\prime }=3x(x-2)$ は $x<0$ で正、$0<x<2$ で負、$x>2$ で正。

• $x=0$:正→負 で極大。$f(0)=0$。
• $x=2$:負→正 で極小。$f(2)=8-12=-4$。

$$\text{極大値 }0(x=0),\text{極小値 }-4(x=2)$$

まとめ:手順は極値の基本と同じ。$f^{\prime }=3x(x-2)$ の符号を数直線で見て、山と谷を決め、$f$ に代入して値を出す。

発展。 極大・極小の判定には、$2$ 階微分を使う方法もある。増減表より速いことがある。

$$\boxed{f^{\prime }(a)=0\text{のとき},f^{\prime \prime }(a)<0\to \text{極大},f^{\prime \prime }(a)>0\to \text{極小}}$$

なぜか。

• $f^{\prime \prime }<0$ → 傾きが減っていく → グラフは上に凸(山型)→ その頂上だから極大
• $f^{\prime \prime }>0$ → 傾きが増えていく → グラフは下に凸(谷型)→ その底だから極小

この問題で確かめる。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x⟹f^{\prime \prime }(x)=6x-6$$

$x=0$ で: $f^{\prime \prime }(0)=-6<0$ → 極大

$x=2$ で: $f^{\prime \prime }(2)=12-6=6>0$ → 極小

増減表を書かずに、代入 $2$ 回で判定できた。しかし、この方法には注意点がある。$f^{\prime \prime }(a)=0$ のときは、判定できない。

例: $f(x)=x^4$。 $f^{\prime }(x)=4x^3$、$f^{\prime \prime }(x)=12x^2$。$x=0$ で $f^{\prime }(0)=0$、そして $f^{\prime \prime }(0)=0$ なので、$2$ 階微分の判定法が使えない。

しかし、実際には $x=0$ で極小($y=x^4$ は $\mathrm{U}$ 字型で、原点が最下点)。

もう $1$ つの例: $f(x)=x^3$。 $f^{\prime }(0)=0$、$f^{\prime \prime }(0)=0$ だが、こちらは極値でない(変曲点)。

$f^{\prime \prime }=0$ のときは、極値かもしれないし、そうでないかもしれない。 増減表に戻って、$f^{\prime }$ の符号変化を調べるしかない。

$2$ つの方法の使い分け。

答案では増減表を書くのが安全(グラフの概形も同時に示せる)。検算には $2$ 階微分が速い。

道具は複数持ち、状況で使い分けるとよい。

別解

微分する前に、グラフの概形を「予想」する。 元の関数を因数分解すれば、$x$ 軸との交点が分かり、形の見当がつく。答えを予測してから計算するのが、上級者の作法だ。

まず、元の関数を因数分解する。

$$f(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)$$

$x$ 軸との交点($f(x)=0$ となる $x$)を読む。

$$x=0(\text{重解!}),x=3$$

$x=0$ が重解であることに注目する。重解 $=$ グラフが $x$ 軸に「接する」。ここまでで、グラフの形がほぼ分かる。

• $x=0$ で $x$ 軸に接する(突き抜けない)
• $x=3$ で $x$ 軸を横切る
• $3$ 次の係数が正なので、右端は上がり、左端は下がる

この $3$ つから、グラフを描いてみよう。左から上ってきて、$x=0$ で $x$ 軸に接し(ここが山の頂上)、いったん下がって谷を作り、$x=3$ で $x$ 軸を突き抜けて、上昇していく。

$$⟹x=0\text{で極大値}0,0<x<3\text{のどこかで極小}$$

微分する前に、答えの形が予想できた。

なぜ「$x$ 軸に接する $=$ 極値」なのか。 グラフが $x$ 軸に接するとき、そこで接線が水平になる($x$ 軸そのものが接線だから)。接線が水平 $=$ $f^{\prime }=0$ $=$ 極値の候補

さて、微分で確かめる。

$$f^{\prime }(x)=3x(x-2)⟹x=0,2$$

予想通り、$x=0$ が極値(極大値 $0$)

極小は $x=2$(予想した「$0$ と $3$ のあいだ」に、確かに入っている)

$$f(2)=8-12=-4$$

予想と計算が一致した。

この「予想 → 計算 → 照合」というプロセスが、ミスを防ぐ。

もし計算結果が「極大値 $-4$、極小値 $0$」などと出たら、予想と食い違う。その時点で、計算ミスに気づける。

因数分解から読み取れる情報を、整理しておこう。

$y=x^3$ の原点が「$f^{\prime }=0$ なのに極値でない」のは、$(x-0{)}^3$ という $3$ 乗の形だからだ。この表がその理由を説明している。

式の「形」を読むだけで、グラフが見える。 微分はその予想を確認し、正確な値を与えてくれる道具である。