微分の考え ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「点から曲線に引ける接線の本数」。接線は接点で決まるので、接点を文字でおくのが第一歩。

接点を $(t,t^3-3t)$ とおき、そこでの接線を作る。この接線が点 $\mathrm{A}(2,a)$ を通る条件を、$t$ の方程式にする。$3$ 次曲線では、接点が違えば接線も必ず違う。だから接線の本数はこの $t$ の方程式の異なる実数解の個数に等しい。

あとは $a$ を分離して、グラフと横線 $y=a$ の交点の数を数える。

① 接点をおいて接線を作る。 接点を $(t,t^3-3t)$ とする。$y^{\prime }=3x^2-3$ だから、接線は

$$y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t$$

② $\mathrm{A}(2,a)$ を通る条件を $t$ の方程式にする。 $x=2$、$y=a$ を代入して整理する。

$$a=-2t^3+6t^2-6$$

この方程式の異なる実数解 $t$ の個数が、そのまま接線の本数になる。なぜ「そのまま」かというと、3次曲線では $1$ 本の直線が $2$ か所で接することはできない(接点 $2$ つなら方程式が $4$ 次以上必要になる)からだ。

③ 定数 $a$ を分離してグラフで数える。 $g(t)=-2t^3+6t^2-6$ とおく。$g^{\prime }(t)=-6t^2+12t=-6t(t-2)$ より、$g$ は $t=0$ で極小値 $g(0)=-6$、$t=2$ で極大値 $g(2)=2$ をとる。

横線 $y=a$ との交点を数えると、

• $a<-6$ のとき $1$ 個 → 接線 $1$ 本
• $a=-6$ のとき $2$ 個 → 接線 $2$ 本
• $-6<a<2$ のとき $3$ 個 → 接線 $3$ 本
• $a=2$ のとき $2$ 個 → 接線 $2$ 本
• $2<a$ のとき $1$ 個 → 接線 $1$ 本

まとめ:「点から引ける接線の本数」は、接点の方程式の実数解の個数に言い換えるのがいつもの流れだ。境目の $a=-6,2$ は横線が山・谷にちょうど触れる瞬間で、このとき接線の $2$ 本が $1$ 本に重なる。

発展。 $3$ 次曲線の外の点から引ける接線は、平面をどの領域で見るかで $1$ 本か $3$ 本に変わる。境界は曲線自身と変曲点の接線。一般に「点から曲線に引ける接線の本数」は、接点パラメータの方程式の実数解の個数で、$3$ 次では最大 $3$ 本。この「本数の地図」は、曲線の双対(接線を点とみる双対曲線)の考えにつながる。

別解

別解:境界 $a=2,-6$ の図形的な意味を読む(得意な人向けの視点)。 本数が変わる境界 $a=2$ と $a=-6$ には、はっきりした図形の意味がある。

$a=2$ のとき $\mathrm{A}=(2,2)$。じつはこれは曲線 $C$ 上の点だ($f(2)=2^3-3\cdot 2=2$)。曲線上の点からは、その点自身での接線が必ず $1$ 本引け、加えて反対側から $1$ 本引けるので、ちょうど $2$ 本。

$a=-6$ のとき $\mathrm{A}=(2,-6)$。これは変曲点 $(0,0)$ での接線 $y=-3x$ 上の点($-3\cdot 2=-6$)。変曲点の接線がからむと接点が重なり、やはり $2$ 本になる。

この $2$ 本の「境目」を境に、外側では $1$ 本、内側($-6<a<2$)では $3$ 本。$a$ を分離して $g(t)=-2t^3+6t^2-6$ と横線 $y=a$ の交点を数える本解と同じ結論。境界値が「曲線上」「変曲点の接線上」という位置と対応しているのが、$3$ 次曲線の接線の特徴だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値つきの最大値。まず $y=|x^3-3x|$ のグラフを $x\ge 0$ で描く。$x$ 軸より下の部分を上へ折り返す。

区間の右端 $a$ を $0$ から少しずつ増やしていくと、最大値をとる場所が移り変わる。はじめは折り返した山を登るが、山の頂上(高さ $2$)で頭打ちになる。

さらに $a$ を進めると、$x$ が大きい側で $x^3-3x$ が再び高さ $2$ に並び、そこを追い越すと右端で最大になる。最大値を与える点が入れかわる $a$ を境に場合分けする。

① グラフを作る。 $x\geqq 0$ で $x^3-3x=x(x^2-3)$ は $0\leqq x\leqq \sqrt{3}$ で $0$ 以下、$x\geqq \sqrt{3}$ で $0$ 以上。だから

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-x^3& (0\leqq x\leqq \sqrt{3})\\ x^3-3x& (x\geqq \sqrt{3})\end{array}$$

前半は $(3x-x^3{)}^{\prime }=3-3x^2=0$ より $x=1$ で山になり、高さは $f(1)=2$。その後 $x=\sqrt{3}$ で $0$ まで下がり、以降は増加する。

② 「高さ $2$ に追いつく位置」を求める。 増加部分が山の高さ $2$ と並ぶのは $x^3-3x=2$ のとき。移項して因数分解すると

$$x^3-3x-2=(x-2)(x+1{)}^2=0$$

$x\geqq \sqrt{3}$ の解は $x=2$。つまり $x=2$ で再び高さ $2$ に到達する。

③ 右端 $a$ を動かして場合分けする。

• $0<a\leqq 1$:区間内で $f$ は増加中。最大は右端で $M(a)=3a-a^3$。
• $1\leqq a\leqq 2$:山 $x=1$ が区間に入り、右端はまだ高さ $2$ 未満。$M(a)=2$。
• $a\geqq 2$:右端が山を追い越す。$M(a)=a^3-3a$。

境目では $a=1$ で $3-1=2$、$a=2$ で $8-6=2$ となり、どちらもつながっている(場合分けの検算になる)。

まとめ:区間の端が動く最大値問題は、「グラフのどの部分が最大を担当しているか」の交代劇を追う。絶対値の折り返しで山ができるため、山の高さと『追いつく位置』の $2$ つが場合分けの境目になる。

発展。 区間の端を動かしたときの最大値 $M(a)$ は、いくつかの区間ごとに違う式になる「区分関数」。境目では左右の式の値がつながる(連続)。パラメータつきの最大最小は、このように最大値を与える点が入れかわるところで場合分けする。$M(a)$ 自身のグラフを描くと、折れ線的につながる様子が見える。

別解

別解:$2$ つの候補の大小を比べる(苦手な人向けの整理ルート)。 最大値の候補は $2$ つしかない。ひとつは折り返した山の頂上の高さ $2$。もうひとつは区間の右端 $x=a$ での値 $|a^3-3a|$。

$a$ が小さいうち($0<a\le 1$)は、まだ山を登っている途中。右端 $x=a$ が一番高い。$3x-x^3$ の値で $M(a)=3a-a^3$。

$a$ が $1$ を超えると山の頂上(高さ $2$)を過ぎる。しばらくは頂上の $2$ が最大。右端の値が $2$ に追いつくのは、$x^3-3x=2$ すなわち $(x+1{)}^2(x-2)=0$ から $x=2$ のとき。

$a\ge 2$ になると、右端で登っていく $a^3-3a$ が $2$ を追い越し、再び右端で最大になる。$M(a)=a^3-3a$。グラフを描いて追う本解と同じ $3$ 段の場合分け。「頂上の $2$」と「右端の値」のどちらが大きいかを比べる、と割り切ると境目 $a=1,2$ がはっきりする。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「異なる $2$ 点で接する直線」。$1$ 点で接するなら重解 $1$ つ。$2$ 点で接するなら重解が $2$ つだ。

直線を $y=mx+n$ とおく。曲線と直線の共有点は $x^4-2x^2+x-(mx+n)=0$ の解。$2$ 点で接する $⟺$ この $4$ 次式が $2$ つの重解をもつ $⟺$ $(x^2+px+q{)}^2$ の形(完全平方)に書ける。

だから左辺を $(x^2+px+q{)}^2$ とおいて展開し、係数を比べれば $m,n$ が決まる。

① 「2点で接する」を式の形で表す。 直線を $y=mx+n$ とおく。曲線と直線の差

$$x^4-2x^2+x-mx-n$$

が $x=\alpha$ と $x=\beta$ の両方で重解をもてばよい。$4$ 次式で重解が $2$ つだから、差はちょうど $(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2$、すなわち $(x^2+px+q{)}^2$ の形になる。

② 係数比較する。 $(x^2+px+q{)}^2=x^4+2p{x}^3+(p^2+2q)x^2+2pqx+q^2$。これと $x^4+0\cdot x^3-2x^2+(1-m)x-n$ を比べる。

• $x^3$:$2p=0$ より $p=0$
• $x^2$:$p^2+2q=-2$ より $q=-1$
• $x^1$:$2pq=1-m$ より $0=1-m$、$m=1$
• 定数:$q^2=-n$ より $n=-1$

よって $\ell :y=x-1$。

③ 接点を求める。 差は $(x^2-1{)}^2=(x-1{)}^2(x+1{)}^2$ となるから、接点の $x$ 座標は $x=\pm 1$。実際、$(1,0)$ と $(-1,-2)$ はどちらも直線 $y=x-1$ の上にある。

まとめ:$4$ 次曲線と直線が $2$ 点で接する条件は、「差が完全平方式」という恒等式の問題に言い換えられる。微分を使って $2$ か所の接線一致を追いかけるより、この言い換えのほうが計算が軽い。

発展。 $4$ 次曲線に $2$ 点で接する直線(複接線)は、$W$ 字型のグラフの $2$ つの谷に渡した「橋」。曲線から引くとどこでも下側にあり、触れるのは $2$ 点だけ。$x^3$ の項がない曲線では接点が原点対称に並ぶ。複接線は代数曲線論の古典的な話題で、$4$ 次曲線には一般に $28$ 本の複接線がある(実数とは限らない)ことが知られる。

別解

別解:接点の和が $0$(消えた $x^3$ の項から)(得意な人向けの視点)。 $2$ つの接点の $x$ 座標を $p,q$ とする。曲線と接線の差は、この $2$ 点で重解だから $(x-p{)}^2(x-q{)}^2$ に等しい。

これは $\{(x-p)(x-q){\}}^2=(x^2-(p+q)x+pq{)}^2$ と書ける。展開すると $x^3$ の係数は $-2(p+q)$。一方、もとの曲線 $x^4-2x^2+x$ には $x^3$ の項がない(係数 $0$)。直線を引いても $x^3$ の係数は変わらない。

だから $-2(p+q)=0$、すなわち $p+q=0$。接点は原点対称に $p,-p$ と並ぶ。$x^2$ の係数から $p^2=1$… と続けると $p=\pm 1$。接点は $x=\pm 1$、そこでの直線が $y=x-1$。完全平方とおいて係数比較する本解と同じだが、「$x^3$ の項がない $\Rightarrow$ 接点の和 $0$」とすぐに見抜けるのが速い。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $3$ 次方程式の解の「符号」を指定する問題。定数 $a$ を分離してグラフで見るのが基本だ。

$2x^3-3x^2-12x=-a$ と変形し、$\phi (x)=2x^3-3x^2-12x$ のグラフと横線 $y=-a$ の交点を考える。まず交点が $3$ つ(異なる $3$ 実解)必要。これは $y=-a$ が極大値と極小値の間にある条件。さらに「$2$ つが正・$1$ つが負」を、$\phi (0)=0$ を境に読み取る。原点での値が符号の分かれ目だ。

① 定数を分離する。 方程式を $2x^3-3x^2-12x=-a$ と変形し、$\phi (x)=2x^3-3x^2-12x$ のグラフと横線 $y=-a$ の交点を調べる。

② グラフの形を調べる。 ${\phi }^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$ より、$x=-1$ で極大 $\phi (-1)=7$、$x=2$ で極小 $\phi (2)=-20$。また $\phi (0)=0$ である。

③ 「正 $2$ つ・負 $1$ つ」を横線の高さの条件に直す。 まず異なる $3$ 実解をもつには、横線が極大と極小の間にあること:

$$-20<-a<7$$

$3$ つの解は増加部分($x<-1$)・減少部分($-1<x<2$)・増加部分($x>2$)に $1$ つずつある。

• $x<-1$ の解はつねに負。
• $x>2$ の解はつねに正。
• 真ん中の解の符号が問題になる。$\phi$ は $-1<x<2$ で減少していて $\phi (0)=0$ だから、真ん中の解が正 ⟺ 横線が $\phi (0)=0$ より下、すなわち $-a<0$。

④ 条件を合わせる。 $-20<-a<7$ かつ $-a<0$ より $-20<-a<0$、すなわち

$$0<a<20$$

まとめ:解の「個数」は極値との比較で、「位置(符号)」は境目の $x$ での関数の値との比較で決まる。定数分離の横線を、極大・極小・$\phi (0)$ の $3$ つの高さと見比べれば答えが出る。

発展。 解の符号は要所の値の符号で決まる。$P(0)$ の符号が「$0$ をまたぐ回数」を、極大・極小の符号が「実解の個数」を制御する。連続関数が符号を変えれば間に根がある(中間値の定理)ので、テスト点の符号表を作れば、グラフを厳密に描かなくても根の配置が読める。数値解法の「符号変化で根を挟む」考えの基礎だ。

別解

別解:$2$ か所の符号だけで決める(得意な人向けの視点)。 グラフを細かく追わなくても、$P(x)=2x^3-3x^2-12x+a$ の値を要所で調べれば符号配置が決まる。

$P(x)$ は下に開いて上がる $3$ 次関数(最高次が正)。極大は $x=-1$、極小は $x=2$。「$2$ つの正の解と $1$ つの負の解」になるには、$2$ か所を見ればよい。

まず原点での値 $P(0)=a$。負の解が $1$ つだけで正の解が $2$ つなら、グラフは $x=0$ の左で $1$ 回だけ軸を横切り、$x=0$ で正の側にいる。よって $P(0)=a>0$。

次に正の側で $2$ 回横切るには、極小(谷)$x=2$ が軸より下でなければならない。$P(2)=16-12-24+a=a-20<0$、すなわち $a<20$。$2$ つを合わせて $0<a<20$。$\phi (x)=-a$ の交点を数える本解と同じ範囲。$P(0)$ と極小 $P(2)$ の $2$ つの符号だけで、解の符号配置が確定する。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 接線が曲線と「再び交わる」点を追う問題。点 $\mathrm{P}$ を文字でおくのが出発点。

$\mathrm{P}(t,t^3)$($t\ne 0$)とおいて接線を作り、曲線 $y=x^3$ との交点方程式を立てる。$\mathrm{P}$ は接点だから、この方程式で $x=t$ は重解になる。重解を因数にくくり出せば、残りの解=$\mathrm{Q}$ の $x$ 座標が $t$ で表せる。あとは $y^{\prime }=3x^2$ に $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ の $x$ を入れて、傾きを比べるだけ。

① 接線を作る。 $\mathrm{P}(t,t^3)$($t\ne 0$)とおく。$y^{\prime }=3x^2$ より接線は

$$y=3t^2(x-t)+t^3=3t^{2}x-2t^3$$

② 再交点 $\mathrm{Q}$ を求める。 曲線との交点は $x^3=3t^{2}x-2t^3$、すなわち

$$x^3-3t^{2}x+2t^3=0$$

$x=t$ で接している(重解)ことが分かっているから、$(x-t{)}^2$ でくくれるはずだ。実際に割ると

$$(x-t{)}^2(x+2t)=0$$

よって再交点は $x=-2t$、すなわち $\mathrm{Q}(-2t,-8t^3)$。$t\ne 0$ だから $\mathrm{Q}\ne \mathrm{P}$ で、確かに「再び交わる」。

③ 傾きを比べる。 $\mathrm{P}$ での傾きは $3t^2$。$\mathrm{Q}$ での傾きは

$$3(-2t{)}^2=12t^2=4\times 3t^2$$

$t\ne 0$ より $3t^2\ne 0$ だから、比はつねに $4$ 倍である。(証明終)

まとめ:接線と曲線の交点方程式では「接点=重解」を使うと、因数分解が機械的に進む。再交点が $-2t$ になることは、$3$ 解の和が $0$($x^2$ の項がない)ことからも $t+t+(-2t)=0$ とすぐに分かる。つまり、解と係数の関係で検算できる。

発展。 $y=x^3$ の接線が曲線と再び交わる点は、いつも接点の $-2$ 倍の位置。これは $3$ 次曲線上の点の「足し算」(楕円曲線の群構造)の原型で、$1$ 点の接線が曲線と交わる第 $3$ 点をとる操作が「$2$ 倍」に対応する。暗号にも使われる楕円曲線の加法の、最も簡単な姿がここにある。

別解

別解:解と係数の関係で $\mathrm{Q}$ を直接出す(得意な人向けの視点)。 接線と曲線の交点方程式は $x^3-3t^{2}x+2t^3=0$。この $3$ 次方程式の解が $2$ つの交点の $x$ 座標だ。

$\mathrm{P}$ は接点なので $x=t$ が重解。つまり解は $t,t$ と、もう $1$ つ $q$。ここで解と係数の関係を使う。$x^3-3t^{2}x+2t^3=0$ には $x^2$ の項がない(係数 $0$)から、$3$ 解の和は $0$。

$$t+t+q=0⟹q=-2t.$$

因数分解せずに $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標 $-2t$ が出た。$y^{\prime }=3x^2$ に入れると傾きは $3(-2t{)}^2=12t^2=4\cdot 3t^2$ で $4$ 倍。$(x-t{)}^2(x+2t)$ と因数分解する本解と同じ $\mathrm{Q}(-2t,-8t^3)$。「$x^2$ の項がない $\Rightarrow$ 解の和 $0$」を使うと、割り算いらずで第 $3$ の解が求まる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「係数によらず一定」を示す問題。$f^{\prime }(x)$ が極値の情報を持つので、そこから攻める。

$x=\alpha ,\beta$ で極値をとるから $f^{\prime }(x)=3(x-\alpha )(x-\beta )$ と書ける($f^{\prime }$ は $3x^2+\dots$ で最高次係数 $3$)。これを展開して係数を比べると、$a,b$ が $\alpha ,\beta$ で表せる。そのうえで $f(\alpha )-f(\beta )$ を計算し、$\alpha +\beta$ と $\alpha \beta$ の対称式にまとめると、じつは $\beta -\alpha$ だけで決まる。$\beta -\alpha =2$ を入れれば値が確定する。

① 係数を $\alpha$、$\beta$ で表す。 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b=3(x-\alpha )(x-\beta )$ を展開して比べると、$s=\alpha +\beta$、$p=\alpha \beta$ として

$$2a=-3s,b=3p$$

② 差を計算する。 $c$ は引き算で消えることに注意して、

$$f(\alpha )-f(\beta )=({\alpha }^3-{\beta }^3)+a({\alpha }^2-{\beta }^2)+b(\alpha -\beta )$$

共通因数 $\alpha -\beta$ でくくる。

$$=(\alpha -\beta )\left\{({\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2)+a(\alpha +\beta )+b\right\}$$

③ 対称式に直して整理する。 ${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=s^2-p$、$a=-\frac{3}{2}s$、$b=3p$ を代入すると、中かっこの中は

$$(s^2-p)-\frac{3}{2}{s}^2+3p=-\frac{1}{2}{s}^2+2p=-\frac{1}{2}(s^2-4p)=-\frac{1}{2}(\alpha -\beta {)}^2$$

よって

$$f(\alpha )-f(\beta )=-\frac{1}{2}(\alpha -\beta {)}^3=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$$

$a$、$b$、$c$ は式から消えており、差は極値点の間隔 $\beta -\alpha$ だけで決まる。(証明終)

④ 値を求める。 $\beta -\alpha =2$ だから $f(\alpha )-f(\beta )=\frac{2^3}{2}=4$。

まとめ:最高次の係数が $1$ の $3$ 次関数では、極値の差はつねに $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$。グラフを平行移動しても差が変わらない(=$c$ や中心の位置によらない)ことの、式による裏づけになっている。

発展。 極大値と極小値の差 $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$ は、極値点の間隔だけで決まり、グラフの上下位置($c$)や左右位置には無関係。これは $3$ 次関数がすべて相似(拡大・平行移動で重なる)であることの現れ。$\frac{1}{6}$ 公式で面積とつながるのも、両方が「区間幅の $3$ 乗」に比例するからだ。

別解

別解:$\frac{1}{6}$ 公式(定積分)で差を出す(得意な人向けの視点)。 極大値と極小値の差は、$f^{\prime }$ の定積分で書ける。

$$f(\alpha )-f(\beta )=-{\int }_{\alpha }^{\beta }{f}^{\prime }(x)dx=-{\int }_{\alpha }^{\beta }3(x-\alpha )(x-\beta )dx.$$

ここで有名な $\frac{1}{6}$ 公式 ${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ を使う。

$$f(\alpha )-f(\beta )=-3\cdot \left(-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}\right)=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}.$$

$\beta -\alpha =2$ を入れて $\frac{8}{2}=4$。$a,b$ を $\alpha ,\beta$ で表して対称式にまとめる本解と同じ結果。極値の差が「極値点の間隔 $\beta -\alpha$ の $3$ 乗」だけで決まる仕組みが、$\frac{1}{6}$ 公式でスッキリ見える。面積(積分)と極値の差が同じ式でつながる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)「点 $(2,2)$ に関して対称」とは何か。点対称は「その点を中心に $180°$ 回すと重なる」こと。

式で書くと、$x=2+h$ と $x=2-h$(中心から左右に等距離)での値の平均が、つねに中心の高さ $2$ に等しいこと。つまり、すべての $h$ で $f(2+h)+f(2-h)=2\cdot 2=4$。左辺を実際に展開して確かめる。

(2)は、直線と曲線の交点全体が点 $\mathrm{A}$ を中心とする対称移動で保たれること、そして $\mathrm{A}$ 自身も交点であること、を組み合わせる。

① (1) 中心の値を確認する。 $f(2)=8-24+18=2$。示すべきことはすべての実数 $h$ について $f(2+h)+f(2-h)=4$ となることである。

② 実際に計算する。 $f(2+h)=(2+h{)}^3-6(2+h{)}^2+9(2+h)$ を展開すると

$$f(2+h)=h^3-3h+2$$

$h$ を $-h$ に置きかえると $f(2-h)=-h^3+3h+2$。足すと

$$f(2+h)+f(2-h)=4$$

奇数次の項($h^3$、$h$)がすべて打ち消し合い、$h$ によらず一定になる。よって、点 $(2+h,f(2+h))$ と点 $(2-h,f(2-h))$ はつねに $\mathrm{A}(2,2)$ に関して対称の位置にあり、$C$ は $\mathrm{A}$ に関して対称である。(証明終)

③ (2) 交点の集合に対称性を働かせる。 $\mathrm{A}$ を通る直線 $\ell$ は、$\mathrm{A}$ に関する対称移動で自分自身に移る。曲線 $C$ も(1)より自分自身に移る。したがって「$\ell$ と $C$ の交点の集合」も、この対称移動でそっくり自分自身に移る。

交点が異なる $3$ 点のとき、対称移動は $3$ 点の集合を入れかえるが、$2$ 点ずつ組になって移り合うと $1$ 点が必ず余る。余った $1$ 点は対称移動で動かない点、すなわち中心 $\mathrm{A}$ 自身である($f(2)=2$ より $\mathrm{A}$ は実際に $C$ 上にあり、交点になり得る)。残りの $2$ 点は互いに移り合うから、$\mathrm{A}$ はその $2$ 点の中点である。(証明終)

まとめ:$3$ 次関数のグラフはどれも $1$ 点(この問題では $(2,2)$)に関して点対称で、その中心は極大点と極小点の中点でもある。(2)のように「図形の対称性を、集合の言葉で使う」論証は難関大の頻出パターンだ。

発展。 どんな $3$ 次関数 $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ も、変曲点 $x=-\frac{b}{3a}$ に関して点対称。本問の $x=2$ は変曲点になっている($f^{\prime \prime }(2)=0$)。中心を原点にずらすと $y=a{X}^3+(\text{1次})$ の奇関数になる。「$3$ 次関数は変曲点に関して対称」という事実は、グラフの概形を素早くつかむのに役に立つ。

別解

別解:中心を原点にずらして「奇関数」を見る(得意な人向けの視点)。 点 $(2,2)$ が対称の中心なら、中心を原点に移すと「原点対称=奇関数」になるはず。座標を平行移動して確かめる。

$x=X+2$、$Y=y-2$ とおく。$Y=f(X+2)-2$ を計算する。

$$f(X+2)=(X+2{)}^3-6(X+2{)}^2+9(X+2)=X^3-3X+2.$$

だから $Y=f(X+2)-2=X^3-3X$。これは $X$ の奇数乗だけの奇関数($X\to -X$ で符号が反転)。奇関数は原点対称。もとに戻せば、曲線は点 $(2,2)$ に関して対称。

$f(2+h)+f(2-h)=4$ を展開で示す本解と同じ。「対称の中心を原点に運ぶと奇関数」という見方は、$3$ 次関数がつねに変曲点に関して点対称であること(変曲点 $x=-\frac{(\text{2次係数})}{3\times 3}$)の一般論にそのままつながる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 球に内接する円錐の体積を最大化する。立体のままでは扱いにくい。

球の中心を通る平面で切ると、円の中に三角形が入った平面の図になる。ここで三平方の定理が使える。高さを $h$ とおくと、底面の半径の $2$ 乗が $r^2=6h-h^2$ と書ける。

体積 $V=\frac{\pi }{3}{r}^{2}h$ に代入すると、$V$ は $h$ だけの $3$ 次関数。微分して最大を探す。定義域は $0<h<6$。

① 断面図で関係式を作る。 球の中心 $\mathrm{O}$ を通り、円錐の軸を含む平面で切る。円錐の高さを $h$($0<h<6$)、底面の半径を $r$ とすると、底面の中心は軸の上にあり、$\mathrm{O}$ から底面までの距離は $|h-3|$。底面の円周上の点までが球の半径 $3$ だから、三平方の定理で

$$r^2+(h-3{)}^2=3^2\text{すなわち}{r}^2=6h-h^2$$

② 体積を $h$ だけの式にする。

$$V(h)=\frac{\pi }{3}{r}^{2}h=\frac{\pi }{3}(6h^2-h^3)$$

③ 微分して最大を探す。

$$V^{\prime }(h)=\frac{\pi }{3}(12h-3h^2)=\pi h(4-h)$$

$0<h<6$ で $V^{\prime }$ の符号は、$h<4$ で正、$h>4$ で負。よって $h=4$ で極大かつ最大になる。なぜ端を調べなくてよいかというと、$h\to 0$、$h\to 6$ ではどちらも $V\to 0$ となり、内部の極大が全体の最大になるからだ。

④ 最大値を計算する。

$$V(4)=\frac{\pi }{3}(6\cdot 16-64)=\frac{32}{3}\pi$$

高さ $4$ のとき最大体積 $\frac{32}{3}\pi$。このとき $r^2=24-16=8$ で、底面の半径は $2\sqrt{2}$ である。

まとめ:立体の最大最小は「断面で切って三平方 → $1$ 変数化 → 微分」の三段跳びが基本。高さ $4$ は直径 $6$ の $\frac{2}{3}$ にあたる。球に内接する円錐の体積が最大になるのは「高さが直径の $2/3$」のときだと覚えておくと、検算に使える。

発展。 制約つき最大化は微分でも相加相乗平均でも解ける。相加相乗は「和が一定なら積は等しいとき最大」を使うので、$V\propto h^2(6-h)$ を和が一定な $3$ 数の積に変形するのがコツ。より一般には、比を保つ分割(ラグランジュの未定乗数法)で、球に内接する最大体積の円錐が高さ:半径をどう選ぶかが決まる。

別解

別解:相加相乗平均で微分なしに最大を求める(得意な人向けの視点)。 体積を整理すると、$r^2=6h-h^2=h(6-h)$ だから

$$V=\frac{\pi }{3}{r}^{2}h=\frac{\pi }{3}h(6-h)\cdot h=\frac{\pi }{3}{h}^2(6-h).$$

$h^2(6-h)$ を最大にしたい。相加相乗平均を使うため、和が一定になる $3$ つに分ける。$\frac{h}{2},\frac{h}{2},6-h$ の和は $\frac{h}{2}+\frac{h}{2}+(6-h)=6$ で一定。

相加相乗平均より、和が一定なら積は $3$ つが等しいとき最大。$\frac{h}{2}=6-h$ から $h=4$。このとき $\frac{h}{2}=6-h=2$、$h^2(6-h)=16\cdot 2=32$。よって $V=\frac{\pi }{3}\cdot 32=\frac{32}{3}\pi$。

微分して $V^{\prime }=\pi h(4-h)$ から $h=4$ を出す本解と同じ。和が一定な $3$ 数に割って相加相乗平均、という一手で、微分せずに最大の高さ $h=4$ が出る。