2次関数のグラフと最大・最小 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 係数が $1$ でなくても、分数でも、平方完成の手順は変わらない。

第一手を固定する。「$x$ の入った項までを係数でくくる。定数はくくらない」。

ここさえ守れば、あとはカッコの中の平方完成、係数の掛け戻し、整理、と機械的に進む。分岐点は最初の1手だけだ。

(1) $x$ の項を2でくくり、カッコの中を平方完成する。

$$\begin{array}{rl}y& =2x^2-8x+5\\ & =2(x^2-4x)+5\\ & =2\{(x-2{)}^2-4\}+5\\ & =2(x-2{)}^2-8+5\\ & =2(x-2{)}^2-3\end{array}$$

$2\times (-4)=-8$ と、くくった2をかけて外に出す。

(2) $x$ の項を $-3$ でくくる。

$$\begin{array}{rl}y& =-3x^2+6x-1\\ & =-3(x^2-2x)-1\\ & =-3\{(x-1{)}^2-1\}-1\\ & =-3(x-1{)}^2+3-1\\ & =-3(x-1{)}^2+2\end{array}$$

$-3\times (-1)=+3$ の符号に注意。

(3) 分数の係数 $\frac{1}{2}$ でくくる。

$$\begin{array}{rl}y& =\frac{1}{2}{x}^2+2x+3\\ & =\frac{1}{2}(x^2+4x)+3\\ & =\frac{1}{2}\{(x+2{)}^2-4\}+3\\ & =\frac{1}{2}(x+2{)}^2-2+3\\ & =\frac{1}{2}(x+2{)}^2+1\end{array}$$

まとめ:$\frac{1}{2}\times (-4)=-2$。分数でも手順は同じ。くくった係数を最後にかけて出す、が共通のコツだ。

発展。 平方完成は「式の形を目的に合わせて変える技術」の代表だ。頂点が読める形に直す、という目的がはっきりしている。

一般形を文字のまま平方完成した結果(頂点の $x$ 座標が $-\frac{b}{2a}$)は、判別式や解の公式ともつながっている。数学IIでは円の方程式の整理でも同じ変形を使う。

別解

慣れてきたら、頂点の位置を先に割り出す方法もある。一般形 $y=a{x}^2+bx+c$ を文字のまま平方完成すると、頂点の $x$ 座標はいつも $x=-\frac{b}{2a}$ になる。この結果を使うのだ。(1)なら $x=\frac{8}{2\times 2}=2$。$y$ 座標は代入して $f(2)=8-16+5=-3$。だから $y=2(x-2{)}^2-3$ と即座に書ける($x^2$ の係数 $2$ はそのまま引き継がれる)。

(2)も $x=\frac{-6}{-6}=1$、$f(1)=2$ で $y=-3(x-1{)}^2+2$。平方完成の変形そのものが求められている問題では本解の手順を書くべきだが、この方法は有効な検算になる。頂点の位置が2通りの道で一致すれば、答えはまず間違いない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) グラフの概形を問われたら、必要な部品を先にリストアップする。頂点・軸・凸の向き・$y$ 軸との交点だ。

次に、部品ごとに入手方法を割り当てる。頂点と軸は平方完成。凸の向きは $x^2$ の係数の符号。$y$ 軸との交点は $x=0$ の代入。

計算より先に「何を集めるか」を決める。この段取りがグラフ問題全般の型になる。

(1) 平方完成する。

$$\begin{array}{rl}y& =-2x^2+4x+3\\ & =-2(x^2-2x)+3\\ & =-2\{(x-1{)}^2-1\}+3\\ & =-2(x-1{)}^2+2+3\\ & =-2(x-1{)}^2+5\end{array}$$

よって

$$\text{頂点 }(1,5),\text{軸は直線 }x=1$$

(2) $y$ 軸との交点は $x=0$ を代入するだけ。

$$y=-2\cdot 0^2+4\cdot 0+3=3$$

だから $y$ 軸との交点は $(0,3)$。また $x^2$ の係数が $-2<0$ なので上に凸。

まとめ:$y$ 軸との交点はいつも $x=0$ を代入して求まる(=定数項)。凸の向きは $x^2$ の係数の符号で決まる。

発展。 この問題で集めた情報(頂点・軸・凸・切片)は、2次関数のグラフ問題すべてで使う。このあとの最大最小も、2次不等式も、結局はこのグラフを読む作業になる。

別解の「同じ高さの2点の真ん中が軸」という対称性は、放物線の基本的な性質だ。$x$ 軸との2交点の真ん中が軸、という形で2次方程式・2次不等式でも使い回せる。

別解

平方完成せずに、軸を「対称性」から見抜く方法もある。放物線は軸について左右対称だ。だから、同じ高さになる2点が見つかれば、その真ん中が軸になる。この関数では $x=0$ のとき $y=3$(定数項)。もう1つ $y=3$ になる点を探すと、$-2x^2+4x+3=3$ から $-2x(x-2)=0$、つまり $x=2$。

$x=0$ と $x=2$ が同じ高さだから、軸はその真ん中の $x=1$。頂点の $y$ 座標は代入して $f(1)=5$。「同じ高さの2点の真ん中が軸」。この対称性に注目する見方は、平方完成が面倒な式や、グラフの読み取り問題で役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (2)の「どう動かせば重なるか」は、式をいくら見比べても分からない。

平行移動は頂点の移動を見れば分かる。だから「頂点の言葉」で言い換える。両方の放物線の頂点を出して、差を取る。移動先の頂点から移動元の頂点を引いた差が、そのまま動かす量になる。

(1) $C:y=x^2-4x+1$ の頂点を求める。

$$y=x^2-4x+1=(x-2{)}^2-4+1=(x-2{)}^2-3$$

頂点 $(2,-3)$。$x$ 方向に $-2$、$y$ 方向に3動かすと頂点は

$$(2+(-2),-3+3)=(0,0)$$

形($a=1$)は変わらないので、頂点 $(0,0)$ の放物線は

$$y=x^2$$

(2) どれだけ動かせば重なるかを求める。移動先 $y=x^2+2x+4$ の頂点は

$$y=x^2+2x+4=(x+1{)}^2-1+4=(x+1{)}^2+3$$

頂点 $(-1,3)$。$C$ の頂点 $(2,-3)$ から、これに動かすには、頂点の差をとって

$$x\text{ 軸方向に }-1-2=-3,y\text{ 軸方向に }3-(-3)=6$$

まとめ:だけ動かせばよい。平行移動は『頂点の移動』。逆問題も2つの頂点の差をとるだけだ。

発展。 置きかえ規則($x$ 方向に $p$ 動かす → $x$ を $x-p$ にする)は、放物線に限らずすべての曲線で同じだ。数学IIの円でも、三角関数のグラフでも、この1つの規則で平行移動が処理できる。

「グラフ上の点が動く向き」と「式の置きかえの符号」が逆になる理由まで説明できれば、この単元の平行移動は卒業だ。

別解

(1)は式で考えてもよい。$x$ 方向に $-2$、$y$ 方向に3動かすには、$x$ を $x+2$、$y$ を $y-3$ に置きかえる。

$$y-3=(x+2{)}^2-4(x+2)+1$$

右辺を展開・整理すると $x^2$ になり、$y=x^2$。頂点で考えても式でも同じだ。

$$y=x^2$$

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 対称移動は、グラフ上の点の行き先で考える。

$x$ 軸対称なら $y$ の符号が反転する。$y$ 軸対称なら $x$ の符号が反転する。原点対称なら両方だ。

式の上では $y$ を $-y$ に、$x$ を $-x$ に置きかえる操作になる。置きかえたあと「$y=$」の形に整理し直すところまでが1セットだ。

もとは $y=2x^2-4x+5$。

(1) $x$ 軸対称は $y\to -y$。

$$-y=2x^2-4x+5$$

$y=$ の形にして

$$y=-2x^2+4x-5$$

(2) $y$ 軸対称は $x\to -x$。

$$y=2(-x{)}^2-4(-x)+5=2x^2+4x+5$$

(3) 原点対称は両方。$x\to -x$、$y\to -y$。

$$-y=2(-x{)}^2-4(-x)+5=2x^2+4x+5$$

$y=$ の形にして

$$y=-2x^2-4x-5$$

まとめ:$x$軸なら $y$、$y$軸なら $x$、原点なら両方を $-$ にする。基本の対称移動と同じで、係数が2に変わっただけだ。

発展。 置きかえ規則($x$ 軸対称は $y\to -y$ など)は、放物線に限らずどんな曲線にも通用する。数学IIの円や、指数・対数のグラフでも同じだ。

さらに先では「$y$ 軸対称なグラフを持つ関数(偶関数)」「原点対称な関数(奇関数)」という分類を学ぶ。今回の3つの対称移動はその分類の基礎になる。

別解

頂点の行き先で組み立てる方法もある。移動後の放物線は「頂点」と「開き具合(凸の向き)」で決まるからだ。元の式を平方完成すると $y=2(x-1{)}^2+3$。頂点は $(1,3)$、下に凸($a=2$)。

• $x$ 軸対称: 頂点は $(1,-3)$ へ。上下が裏返るから上に凸($a=-2$)。式は $y=-2(x-1{)}^2-3$。
• $y$ 軸対称: 頂点は $(-1,3)$ へ。左右の反転では凸の向きは変わらない($a=2$)。式は $y=2(x+1{)}^2+3$。
• 原点対称: 頂点は $(-1,-3)$ へ、凸も反転($a=-2$)。式は $y=-2(x+1{)}^2-3$。

展開すれば置きかえルートと同じ答えになる。「どの点がどこへ行き、向きがどうなるか」を絵で追えるので、符号の意味が腑に落ちやすい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 同じ関数でも、定義域が違えば最大・最小は変わる。

だから最初のチェック項目は「頂点が範囲に入っているか」だ。入っていれば、下に凸なら頂点が最小。入っていなければ、範囲内でグラフは単調(上りか下りの一方通行)なので、端だけ見ればよい。定義域つきの最大最小はこの1つの確認から始まる。

平方完成する。

$$y=x^2-6x+4=(x-3{)}^2-9+4=(x-3{)}^2-5$$

頂点 $(3,-5)$、下に凸。

(1)

定義域 $1\le x\le 6$ に頂点 $x=3$ が入る。下に凸なので頂点で最小 → $x=3$ で最小値 $-5$。最大は端。

$$x=1\text{ のとき }y=1-6+4=-1,x=6\text{ のとき }y=36-36+4=4$$

大きいのは $x=6$ の4。だから $x=6$ で最大値4。

(2)

定義域 $4\le x\le 5$ は、頂点 $x=3$ より右にある(頂点は範囲外)。範囲内ではグラフは右上がり(単調増加)なので、左端で最小、右端で最大。

$$x=4\text{ のとき }y=16-24+4=-4,x=5\text{ のとき }y=25-30+4=-1$$

だから $x=4$ で最小値 $-4$、$x=5$ で最大値 $-1$。

まとめ:頂点が範囲の中か外かで、最大・最小の場所が変わる。外なら単調(端で決まる)、中なら頂点も候補。

発展。 「頂点が範囲の中か外か」で様子が変わる。次の段階(軸が動く問題・定義域の端が動く問題)の場合分けも、この1点を判定しているだけだ。

文字が入って軸や端が動いても、やることはこの問題と同じ「頂点が範囲の中か外かの判定」である。固定の問題で判定の感覚を作っておくと、場合分けを「絵の切り替え」として自然に理解できる。

別解

「候補の値をぜんぶ表にして比べる」やり方も確実だ。最大・最小の候補になれるのは、頂点(範囲内にあるとき)と両端しかない。だから候補の値を並べて選ぶだけでいい。(1) 範囲 $1\le x\le 6$。頂点 $x=3$ は範囲内。候補は $f(1)=-1$、$f(3)=-5$、$f(6)=4$。最大は $4$、最小は $-5$。

(2) 範囲 $4\le x\le 5$。頂点 $x=3$ は範囲外なので候補から外れ、$f(4)=-4$、$f(5)=-1$ の2つだけ。最大は $-1$、最小は $-4$。

表で選ぶだけなら間違えようがない。ただし「頂点が範囲内か」の判定だけはグラフの想像が必要で、ここを飛ばすと(2)で $-5$ を拾う誤りが起きる。表とグラフ、両方をセットで使うのが安全だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 軸 $x=a$ が動き、定義域 $0\le x\le 2$ は固定されている。

下に凸の最小値は、軸の位置がすべてだ。軸が定義域の「左外・中・右外」の3枚の絵を描く。それぞれの絵で、最小の場所を読む。左外なら左端、中なら頂点、右外なら右端。場合分けは「絵が変わる瞬間」で切る、と決めてから計算に入る。

平方完成する。

$$f(x)=x^2-2ax+3=(x-a{)}^2-a^2+3$$

頂点 $(a,-a^2+3)$、軸 $x=a$。下に凸で、軸が $a$ によって左右に動く。定義域 $0\le x\le 2$ 固定。軸の位置で場合分け。

① 軸が左外($a<0$)

範囲内で右上がり。最小は左端 $x=0$。

$$f(0)=3$$

② 軸が範囲内($0\le a\le 2$)

頂点で最小。

$$f(a)=a^2-2a\cdot a+3=-a^2+3$$

③ 軸が右外($a>2$)

範囲内で右下がり。最小は右端 $x=2$。

$$f(2)=4-4a+3=-4a+7$$

まとめ:まとめると、$a<0$ で3、$0\le a\le 2$ で $-a^2+3$、$a>2$ で $-4a+7$。軸が動く最小は『左外・中・右外』の3場合、と型で覚えよう。

発展。 境目の値($a=0$ や $a=2$)では、隣り合う場合の式が同じ値を返す。たとえば $a=2$ で $-a^2+3=-1$、$-4a+7=-1$。場合分けが正しければ、境目で必ず値がつながるのだ。

この「境目の一致」は場合分けの答えの有効な検算になる。文字入りの最大最小を解いたら、境目の値を両側の式に入れて一致を確かめる習慣をつけたい。

別解

3つの場合を、1行の原理にまとめて見ることもできる。「下に凸の放物線の値は、軸に近いほど小さい」。だから最小値をとるのは、定義域の中で軸 $x=a$ に一番近い点だ。

• 軸が左外($a<0$)なら、一番近いのは左端 $x=0$。
• 軸が中($0\le a\le 2$)なら、軸そのもの $x=a$(頂点)。
• 軸が右外($a>2$)なら、一番近いのは右端 $x=2$。

場合分けの3つの式は、「軸に一番近い点はどこか」という1つの問いの答えが切り替わっているだけだ。この見方を持つと、次の最大値の問題も「軸から一番遠い点はどこか」と読み替えるだけで解ける。対で覚えておきたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 最大値版は、最小値のときと場合の分かれ方が違う。下に凸のグラフの最大は必ず端で起きる。

だから比べるのは両端の高さだ。どちらの端が高いかは、どちらが軸から遠いかで決まる。軸が定義域の中央 $x=3$ より左なら右端が遠くて高い。右なら左端。ちょうど中央なら両端が同じ高さ。境目が「中央」になるのが、最小値のときとの違いだ。

平方完成する。

$$f(x)=x^2-2ax+2=(x-a{)}^2-a^2+2$$

頂点 $(a,-a^2+2)$、軸 $x=a$、下に凸。定義域 $0\le x\le 6$ 固定。下に凸の放物線は定義域の端で最大になる。両端の値を比べる。

$$f(0)=2,f(6)=36-12a+2=-12a+38$$

どちらが大きいかは、軸 $x=a$ が定義域の中央 $x=3$ のどちら側にあるかで決まる。

① 軸が中央より左($a<3$)

軸から遠いほうの右端が高い。最大は $x=6$。

$$f(6)=-12a+38(x=6)$$

② 軸が中央($a=3$)

両端が同じ高さ。最大は

$$2(x=0\text{ と }x=6)$$

(このとき $f(6)=-12\times 3+38=2=f(0)$。)

③ 軸が中央より右($a>3$)

軸から遠いほうの左端が高い。最大は $x=0$。

$$f(0)=2(x=0)$$

まとめ:下に凸の最大は『軸から遠いほうの端』でとる。境目は定義域の中央 $x=3$。最小(頂点でとる)とは場合分けの基準が違うので注意しよう。

発展。 最小値は「軸が定義域に入るか」で3分割、最大値は「軸が中央より左か右か」で3分割。境目の位置が違う理由まで言えれば、この型は完成だ。

最大と最小を同時に問う問題では、2種類の境目($0,2$ と中央)が混ざって場合分けが増える。それでも「近い者が最小・遠い者が最大」の物差し1本で全部さばける。

別解

最小値の問題と対にして、1行の原理で覚える方法がある。「下に凸の値は、軸から遠いほど大きい」。最小は「軸に一番近い点」、最大は「軸から一番遠い点」がとる。これだけだ。

定義域 $0\le x\le 6$ で軸 $x=a$ から一番遠い点は、両端 $0$ と $6$ のどちらか。遠さ比べ $|0-a|$ 対 $|6-a|$ の勝敗は、$a$ が中央 $3$ より左か右かで決まる。

• $a<3$: 右端 $6$ が遠い。最大は $f(6)=-12a+38$。
• $a=3$: 同点。両端 $x=0,6$ でともに最大 $2$。
• $a>3$: 左端 $0$ が遠い。最大は $f(0)=2$。

最小値の3場合分けと最大値の3場合分けが、「近い者・遠い者」という同じ物差しの裏表だと分かれば、2つの型を別々に暗記する必要はなくなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 今度は関数が固定で、定義域の右端 $a$ だけが動く。窓が右へ広がっていくイメージだ。

窓が頂点 $x=2$ に届くまでは、グラフは窓の中で下りの一方通行。最小は右端が担う。

窓が頂点を含んだ時点で、最小をとる点は頂点に替わり、それ以降は動かない。最小をとる点が替わるのは、窓の端が頂点に届くときだ。場合分けの境目 $a=2$ はここから自動的に決まる。

平方完成する。

$$f(x)=x^2-4x+1=(x-2{)}^2-4+1=(x-2{)}^2-3$$

頂点 $(2,-3)$、下に凸で固定。定義域 $0\le x\le a$ の右端 $a$ が動く($a>0$)。頂点 $x=2$ が範囲に入るかで場合分け。

① $0<a<2$(頂点が範囲の右外)

頂点 $x=2$ が定義域より右にあると、範囲内でグラフは右下がり。最小は右端 $x=a$。

$$f(a)=a^2-4a+1(x=a)$$

② $a\ge 2$(頂点が範囲内)

頂点 $x=2$ が定義域 $0\le x\le a$ に入るので、頂点で最小。

$$f(2)=-3(x=2)$$

まとめると、$0<a<2$ で最小値 $a^2-4a+1$、$a\ge 2$ で最小値 $-3$。

まとめ:右端だけが動くので、場合分けは『頂点が範囲に入るか(=$a$ が2以上か)』の2つ。$a$ が小さいと頂点まで届かず、右端で最小になる。

発展。 「軸が動く型」と「端が動く型」は、動くものが違うだけで、判定はどちらも「頂点が窓に入っているか」だ。2つの型を1つの問いに圧縮して覚えておくと、初見の変種にも強くなる。

最大値の側も同時に聞かれたら、この問題では左端 $x=0$ と右端 $x=a$ の遠さ比べが加わる。前問の「軸から遠いほうが大きい」がそのまま使える。

別解

答えを「最小値の $a$ の関数」として見直すと、場合分けの正しさを検算できる。最小値を $m(a)$ と書くと、$0<a<2$ では $m(a)=a^2-4a+1$、$a\ge 2$ では $m(a)=-3$。境目の $a=2$ を左側の式に入れると $4-8+1=-3$。右側の値 $-3$ とぴったりつながる。

つながるのは偶然ではない。窓を少しずつ広げても最小値は急に飛ばない(グラフの高さは連続だから)。だから、正しい場合分けなら境目で必ず値が一致する。

もし境目で値が食い違ったら、場合分けの境目か式のどちらかが間違っている。この検算は文字入りの最大最小すべてで使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 壁を使う分だけ、柵の配分がふつうの長方形と違う。まず「柵 $16$ m がどの辺に使われるか」を図で確認する。

壁に垂直な2辺で $2x$ を使うから、平行な辺は $16-2x$。面積は $S=x(16-2x)$ と式になる。式ができたら、定義域(辺の長さが正)を添えて、頂点で最大を読む。文章題は「式を作る → 定義域 → 頂点」の3点セットだ。

(1)

柵は3辺(垂直な2辺と平行な1辺)。垂直な2辺で $2x$ 使うので、壁に平行な辺は

$$16-2x(\text{m})$$

面積 $S$ は 垂直辺 × 平行辺 で $S=x(16-2x)$。定義域は、$x$ も $16-2x$ も正なので

$$x>0\text{かつ}16-2x>0$$

つまり $0<x<8$。

(2)

$S=x(16-2x)$ を平方完成する。

$$\begin{array}{rl}S& =x(16-2x)\\ & =-2x^2+16x\\ & =-2(x^2-8x)\\ & =-2\{(x-4{)}^2-16\}\\ & =-2(x-4{)}^2+32\end{array}$$

頂点 $(4,32)$、上に凸。頂点 $x=4$ は定義域 $0<x<8$ の中なので、$x=4$ のとき最大値 $32{\mathrm{m}}^2$。

まとめ:壁を使う問題は、柵が3辺だけになるのがポイント。周の式を『$2x+(\text{平行辺})=16$』と正しく立てるのが大事だ。

発展。 「和が一定の2数の積は、2数が等しいとき最大」という一般法則がこの問題の裏にある。$2x$ と $16-2x$ の和は常に $16$ で、$2x=16-2x$ すなわち $x=4$ のとき積が最大になる。

この法則は数学IIで相加平均・相乗平均の関係として一般化される。面積・利益・強度など「配分して積を最大にする」問題に共通する考え方だ。

別解

平方完成せずに、「根の真ん中」で頂点を見抜く方法がある。$S=x(16-2x)$ は、$x=0$ と $x=8$ のときに $S=0$ になる(積の形からすぐ読める)。放物線は左右対称だから、頂点はこの2つの根のちょうど真ん中、$x=\frac{0+8}{2}=4$ にある。

最大値は代入して $S(4)=4\times 8=32$。積の形のまま「ゼロになる2点の真ん中」を読むこの方法は、展開も平方完成も要らない。面積の式が積の形で出てくる文章題とは特に相性がよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 2次関数の決定は、条件の種類で式の形を選ぶところから始まる。

頂点が分かっているなら頂点の形 $y=a(x-p{)}^2+q$。軸だけ分かっているなら、$p$ に軸を入れて $a$ と $q$ を残した形。選んだ形に条件を代入し、残った未知数を通る点で決める。「形の選択 → 代入」の2段の設計を、計算の前に立てる。

(1) 頂点 $(2,-1)$ なので

$$y=a(x-2{)}^2-1(a\ne 0)$$

点 $(4,7)$ を代入。

$$7=a(4-2{)}^2-1=4a-1$$

$4a=8$、$a=2$。よって

$$y=2(x-2{)}^2-1(\text{展開すると }y=2x^2-8x+7)$$

(2) 軸 $x=-1$ なので

$$y=a(x+1{)}^2+q(a\ne 0)$$

2点を代入して連立で $a,q$ を求めると $a=-2,q=3$。よって

$$y=-2(x+1{)}^2+3(\text{展開すると }y=-2x^2-4x+1)$$

まとめ:頂点や軸がわかれば $y=a(x-p{)}^2+q$ の形を使い、通る点を代入して残りを決める。

発展。 未知数の数と条件の数は釣り合っている。頂点の形なら未知数は $a$ の1つで、通る点1つで決まる。軸だけなら $a,q$ の2つで、点が2つ要る。次の問題(3点通過)では未知数3つ・条件3つだ。

「条件1つで未知数1つが決まる」という感覚は、方程式の応用すべてで通用する釣り合いの原理である。

別解

$a$ を「開き具合」として、ずれの比で読む方法もある。頂点形 $y=a(x-p{)}^2+q$ は、「$x$ が頂点から $d$ ずれると、$y$ は頂点から $a{d}^2$ ずれる」と読める。

(1) 頂点 $(2,-1)$ に対し、点 $(4,7)$ は $x$ のずれが $2$、$y$ のずれが $8$。だから $a\times 2^2=8$ で $a=2$。式を解いた感覚なしに、比だけで $a$ が出る。

(2)も同じ読み方ができる。軸 $x=-1$ から、点 $(0,1)$ はずれ $1$、点 $(1,-5)$ はずれ $2$。頂点の高さを $q$ とすると $q+a=1$、$q+4a=-5$。差をとって $3a=-6$、$a=-2$、$q=3$。

「$a$ は開き具合、$a{d}^2$ がずれの量」という体感を持つと、グラフから式を読み取る問題全般が速くなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 3点を通る条件は、頂点も軸も分からない。こういうときは一般形 $y=a{x}^2+bx+c$ を使う。

3点を代入すれば、$a,b,c$ の連立方程式が3本できる。3本の連立は、2本ずつ差を取ると文字が1つ消える。「差を取って文字を減らす」という連立の常道を、ここでも使う。

一般形

$$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$

に3点 $(1,2),(2,3),(-1,12)$ を代入する。$(1,2)$ から $a+b+c=2$、$(2,3)$ から $4a+2b+c=3$、$(-1,12)$ から $a-b+c=12$。1つ目と3つ目の差をとると、$c$ が消えて

$$2b=2-12=-10\text{よって}b=-5$$

$b=-5$ を使い、残りの式から $a=2,c=5$。よって

$$y=2x^2-5x+5$$

まとめ:$(0,?)$ の点がなくても、3式の連立を解けば求まる。差をとって文字を消すのがコツ。

発展。 別解の形 $y=a(x-1)(x-2)+(直線)$ は、「2点を通る」という条件を式の構造で先に満たしておく設計だ。条件を後から方程式で課すか、最初から形に埋め込むか。同じ問題でも設計思想が違う。

異なる3点を通る2次関数(または直線)はただ1つに決まる。この一意性の理由は数学IIの恒等式・因数定理で学ぶ。

別解

連立を小さくする、うまい形の選び方がある。通る2点を先に「食わせて」しまうのだ。$(1,2)$ と $(2,3)$ を通る直線は $y=x+1$(傾き $1$)。そこで、求める2次関数を

$$y=a(x-1)(x-2)+x+1$$

の形におく。$x=1$ でも $x=2$ でも $a(x-1)(x-2)$ の部分が $0$ になるから、この形は $a$ が何であっても2点 $(1,2)$、$(2,3)$ を自動的に通る。残る条件は $(-1,12)$ だけ。代入すると $a\times (-2)\times (-3)+0=12$ で $a=2$。

展開して $y=2(x-1)(x-2)+x+1=2x^2-5x+5$。3元連立が1元の方程式1本に縮んだ。「条件を式の形に埋め込む」この発想は、数学IIの恒等式や、より進んだ補間の考え方につながる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^4$ と $x^2$ の式は、$t=x^2$ の置きかえで $t$ の2次関数になる。

置きかえで一番間違えやすいのは $t$ の範囲だ。$x$ の範囲の両端をそのまま2乗してはいけない。

$t=x^2$ のグラフを思い浮かべる。$-1\le x\le 3$ の間に $x=0$ が入っているから、$t$ は $0$ まで下がる。最大は $x=3$ の $9$。だから $0\le t\le 9$。「新しい変数の範囲はグラフで求める」を合言葉にする。

$x^2=t$ と置きかえる。$x^4=(x^2{)}^2=t^2$ なので

$$y=(x^2{)}^2-8x^2+5=t^2-8t+5$$

次に $t$ の範囲を求める。$t=x^2$ で、$x$ が $-1\le x\le 3$ を動くとき、$x^2$ は $x=0$ で最小0、$x=3$ で最大9(端の $x=-1$ では $x^2=1$)。だから

$$0\le t\le 9$$

$t$ の2次関数を平方完成する。

$$y=t^2-8t+5=(t-4{)}^2-16+5=(t-4{)}^2-11$$

頂点 $(4,-11)$、下に凸。頂点 $t=4$ は範囲 $0\le t\le 9$ の中なので、$t=4$ で最小値 $-11$。最大は端。

$$t=0\text{ のとき }y=5,t=9\text{ のとき }y=81-72+5=14$$

大きいのは $t=9$ の14。よって最大値14、最小値 $-11$。$t=4$ は $x^2=4$ で $x=2$(範囲内)、$t=9$ は $x^2=9$ で $x=3$。

まとめ:置きかえでは『$t$ の範囲を、$x$ の範囲から正しく求める』ことが大事だ。$t=x^2$ は $x=0$ で0になるので、$0\le t\le 9$ となる(単純に $x$ の端を2乗するだけではない)。

発展。 置きかえたら新変数の範囲を必ず求め直す。この作法はこの先の置きかえ全部($t=\sin \theta$、$t=2^x$、$t=x+\frac{1}{x}$ など)で毎回の関門になる。この問題の「両端の2乗ではない」という失敗例を、その原点として覚えておくとよい。

2つの変数 $x$ と $t$ の2段のグラフを行き来する考え方は、数学IIIの合成関数でも使う。

別解

式を先に「距離の形」に直してから読む方法もある。$y=x^4-8x^2+5=(x^2-4{)}^2-11$ と平方完成できる($x^2$ をひとかたまりに見た平方完成だ)。この形は「$x^2$ が $4$ からどれだけ離れているか」の2乗、と読める。

• $y$ が最小になるのは $x^2=4$ のとき。範囲内の $x=2$ で実現でき、最小値は $-11$。
• $y$ が最大になるのは、$x^2$ が $4$ から一番遠いとき。$x^2$ のとりうる範囲は $0$ から $9$ で、$4$ からの距離は $9$ の側が $5$、$0$ の側が $4$。遠いのは $x^2=9$、つまり $x=3$ で、最大値は $5^2-11=14$。

「$4$ からの遠さ比べ」という1つの物差しで最大も最小も決まる。置きかえの2次関数と同じ結論だが、図として覚えやすい。