2次関数のグラフと最大・最小 ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず平方完成。$f(x)=(x-a{)}^2+2-a^2$ で、軸は $x=a$、頂点の高さは $2-a^2$。軸 $a$ が動くので、定義域 $[0,2]$ との位置関係で場合分けする。

最小値は「軸が定義域の左・中・右」の $3$ 場合。軸が区間内なら頂点で最小、外なら近い端で最小。

最大値は考え方が違う。下に凸の放物線は区間内で「軸から最も遠い端」で最大になる。軸が区間の中点 $x=1$ の左か右かで、遠い端($x=2$ か $x=0$)が入れ替わる。だから $2$ 通りに場合分けする。

① 平方完成する。 $f(x)=(x-a{)}^2+2-a^2$。軸は $x=a$、頂点の $y$ 座標は $2-a^2$。

② 最小値 $m(a)$(軸の位置で $3$ 場合)。

• $a<0$(軸が左外):区間で増加、最小は左端 $f(0)=2$。
• $0\le a\le 2$(軸が内):最小は頂点 $f(a)=2-a^2$。
• $a>2$(軸が右外):区間で減少、最小は右端 $f(2)=6-4a$。

③ 最大値 $M(a)$(中点 $x=1$ が境目)。 最大は軸 $x=a$ から遠いほうの端点。端 $0$ までの距離 $a$、端 $2$ までの距離 $2-a$ を比べる。

• $a<1$:$2-a>a$ で $x=2$ が遠い。$M(a)=f(2)=6-4a$。
• $a\ge 1$:$a\ge 2-a$ で $x=0$ が遠い(等号は同点)。$M(a)=f(0)=2$。

まとめ:軸が動く最大最小は「最小=近い側で $3$ 場合、最大=遠い側で $2$ 場合」と、境目が別々になるのがポイント。最小の境目は定義域の両端、最大の境目は定義域の中点。混同すると場合分けを取り違える。

発展。 「軸が動く $2$ 次関数の最大最小」は、最小が $3$ 場合(軸が左・中・右)、最大が $2$ 場合(軸が中点の左・右)と決まっている。定義域が $[p,q]$ なら、$\min$ の境界は $a=p,q$、$\max$ の境界は $a=\frac{p+q}{2}$(中点)。この「$3$ と $2$」の型を覚えると、どんな係数でも即座に場合分けが書ける。

別解

別解:最大は「軸から遠い端」で機械的に決める(得意な人向けの視点)。 下に凸の放物線は、区間内で頂点から離れるほど値が大きい。だから最大は「軸 $x=a$ から最も遠い端」で起こる。

区間 $[0,2]$ の端は $0$ と $2$。軸 $a$ から遠いのはどちらか。両端の中点は $x=1$ だから、$a<1$ なら遠い端は $x=2$、$a>1$ なら $x=0$。

• $a<1$: 最大は $f(2)=4-4a+2=6-4a$。
• $a>1$: 最大は $f(0)=2$。
• $a=1$: 両端が等距離で $f(0)=f(2)=2$。

$$M(a)=\{\begin{array}{ll}6-4a& (a<1)\\ 2& (a\ge 1)\end{array}$$

グラフを毎回描く代わりに、「最大は軸から遠い端」「その境目は区間の中点」と覚えると、$2$ 場合が即座に書ける。最小の $3$ 場合(軸が左・中・右)とセットで、下に凸の最大最小はこの $2$ つの原則で尽きる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y=|x^2-2x|$ のグラフをまず描く。$x^2-2x=x(x-2)$ は $0\le x\le 2$ で負だから、そこは $x$ 軸で折り返して「山」になる。山の頂上は $x=1$ で高さ $1$。$x\ge 2$ では折り返さず増加。

右端 $a$ を $0$ から大きくしていくと、最大値を担当する場所が移っていく。

$0<a\le 1$ は山を登る途中で右端が最大。$a$ が山を越えると、しばらく山の頂上 $1$ が最大。さらに $a$ が大きくなり、右側の増加部分が再び高さ $1$ に達する($x^2-2x=1$、$x=1+\sqrt{2}$)と、そこから先は右端 $a$ が最大に返り咲く。$3$ 場合だ。

① グラフを作る。 $0\le x\le 2$ では $f(x)=2x-x^2$(折り返し)、$x\ge 2$ では $f(x)=x^2-2x$。折り返した山の頂点は $(2x-x^2{)}^{\prime }=2-2x=0$ より $x=1$、高さ $f(1)=1$。$x=2$ で $0$ に戻り、以降は増加。

② 追いつく位置を求める。 右側の増加部分が山の高さ $1$ に達するのは $x^2-2x=1$、すなわち $x^2-2x-1=0$ より $x=1+\sqrt{2}$($x\ge 2$ 側の解)。

③ 右端 $a$ で場合分けする。

• $0<a\le 1$:区間内で $f$ は増加中。最大は右端 $M(a)=2a-a^2$。
• $1\le a\le 1+\sqrt{2}$:山 $x=1$ が入り、右端はまだ高さ $1$ に届かない。$M(a)=1$。
• $a\ge 1+\sqrt{2}$:右端が山を追い越す。$M(a)=a^2-2a$。

(境目:$a=1$ で $2-1=1$、$a=1+\sqrt{2}$ で $(1+\sqrt{2}{)}^2-2(1+\sqrt{2})=1$。どちらもつながる。)

まとめ:絶対値つきの最大値は「折り返してできた山の高さ」と「右側でその高さに追いつく位置」の $2$ つが境目。$x^2-2x=1$ の解 $1+\sqrt{2}$ が第 $2$ の境目になる。境目で値がつながるかは検算に使える。

発展。 絶対値つき関数の「動く区間での最大」は、$y=|f(x)|$ のグラフの山と谷を、区間の端がどこまで動いたかで追う問題。境界は「区間の端の値 $=$ 山の高さ」となる方程式の解として出る。折れ線・折り返しのグラフを正確に描くことが、この型では欠かせない。

別解

別解:$x^2-2x$ と水平線 $y=\pm 1$ の交わりで境界を出す(視覚で捉えるルート)。 折り返しで山ができるので、最大値の候補は「山の頂上 $1$」か「右端 $f(a)$」のどちらか。境目は $f(a)$ が $1$ に等しくなる $a$ だ。

右端 $a$ が山の中($0\le a\le 2$)なら、$f(a)=|a^2-2a|=2a-a^2$(山を登る値)。これが頂上 $1$ を超えないのは $a\le 1$ まで。右端が谷を越えて増加部分($a\ge 2$)に入ると $f(a)=a^2-2a$。これが再び $1$ になるのは $a^2-2a=1$、すなわち $a=1+\sqrt{2}$。

だから

$$M(a)=\{\begin{array}{ll}2a-a^2& (0<a\le 1)\\ 1& (1\le a\le 1+\sqrt{2})\\ a^2-2a& (a\ge 1+\sqrt{2})\end{array}$$

「右端の値 $f(a)$ と山の高さ $1$ の大小」だけを追えば、境界 $a=1$ と $a=1+\sqrt{2}$ が方程式 $f(a)=1$ の解として出る。グラフの上下動を丁寧に追うより、$2$ つの候補の大小比較に絞ると見通しがよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $-1\le x\le 1$ で $x^2$ が動く範囲を先に押さえる。$t=x^2$ とおくと $0\le t\le 1$。すると $|x^2-c|=|t-c|$ で、$t$ の $1$ 次(絶対値)の問題になる。

$|t-c|$ を $0\le t\le 1$ で最大にするのは、区間の端 $t=0$ か $t=1$。だから最大値 $g(c)=\max (|c|,|1-c|)$。$g(c)$ を最小にしたい(ミニマックス)。$2$ つの候補 $|c|$ と $|1-c|$ の大きい方が全体だから、$2$ つが等しくなる $c$ で最小。$|c|=|1-c|$ から $c=\frac{1}{2}$、そのとき $g=\frac{1}{2}$。

① 置きかえる。 $-1\le x\le 1$ のとき $t=x^2$ は $0\le t\le 1$ を動く(端 $x=\pm 1$ で $t=1$、$x=0$ で $t=0$)。求めるのは $|t-c|$ の $0\le t\le 1$ での最大 $g(c)$。

② 最大を端で表す。 $|t-c|$ は $t$ の $1$ 次(折れ線)なので、最大は区間の端。

$$g(c)=\max (|0-c|,|1-c|)=\max (|c|,|1-c|)$$

③ つり合わせる。 $2$ つの折れ線 $|c|$ と $|1-c|$ の大きいほうを最小にするのは、両者が交わる(等しくなる)ところ。$|c|=|1-c|$ より $c=\frac{1}{2}$。このとき $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。

まとめ:「最大を最小にする」は動く量を端に集約し、端での値をつり合わせる。$c=\frac{1}{2}$ は区間 $[0,1]$ のちょうど中央で、$t=0$ と $t=1$ からの距離が等しくなる点。中央に置くと最大のずれが最小になる、という自然な結論。

発展。 「最大値を最小にする(ミニマックス)」の答えは、$2$ つの候補が等しくなる点で釣り合う。これは近似理論の中心にある性質で、区間で関数を多項式で近似するとき「最大誤差を最小にする」最良近似(チェビシェフ近似)は、誤差の山と谷が同じ高さで交互に並ぶ。$c=\frac{1}{2}$ で $|c|=|1-c|$ が釣り合うのは、その最も簡単な例だ。

別解

別解:放物線 $y=x^2$ を水平線 $y=c$ で挟む絵で見る(視覚で納得するルート)。 $|x^2-c|$ は放物線 $y=x^2$ と水平線 $y=c$ の「縦の隔たり」。$-1\le x\le 1$ でこの隔たりが最も大きくなる場所を探し、それを最小にする $c$ を選ぶ。

$y=x^2$ は $x\in [-1,1]$ で $0$(中央 $x=0$)から $1$(両端 $x=\pm 1$)まで動く。水平線 $y=c$ からの隔たりが最大なのは、放物線の「下端 $0$」か「上端 $1$」のどちらか遠い方。すなわち $\max (|c-0|,|c-1|)=\max (|c|,|1-c|)$。

この最大を最小にするには、水平線 $y=c$ を $0$ と $1$ のちょうど真ん中 $c=\frac{1}{2}$ に置く。すると上下どちらへの隔たりも $\frac{1}{2}$ で釣り合い、最大の隔たりが最小の $\frac{1}{2}$ になる。

$t=x^2$ で $1$ 変数化する(本解)のと同じだが、「放物線と水平線の隙間を最小にする=真ん中に線を引く」という絵で見ると、ミニマックスの心(最悪を最小に=釣り合わせる)が直感的につかめる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値は $x=1$ を境に外す。$x\ge 1$ では $|x-1|=x-1$、$x<1$ では $|x-1|=1-x$。

それぞれ $2$ 次関数になる。$x\ge 1$ では $f=x^2+x-1$、$x<1$ では $f=x^2-x+1$。平方完成して頂点を調べる。ただし「頂点がその区間に入っているか」が大事だ。区間外に頂点があるなら、区間の端が最小候補。両区間の最小を比べて全体の最小を決める。

① 絶対値をはずす。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x-1& (x\ge 1)\\ x^2-x+1& (x<1)\end{array}$$

② 各区間で最小を調べる。

• $x<1$ の部分:$x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$。頂点 $x=\frac{1}{2}$ は $x<1$ に入るので、この部分の最小は $\frac{3}{4}$。
• $x\ge 1$ の部分:$x^2+x-1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}$。頂点 $x=-\frac{1}{2}$ は $x\ge 1$ に入らない。区間 $x\ge 1$ で増加だから、最小は左端 $f(1)=1$。

③ 比べる。 $\frac{3}{4}<1$ より、全体の最小値は $x=\frac{1}{2}$ のとき $\frac{3}{4}$。

まとめ:絶対値と $2$ 次の和は「境目で $2$ つの放物線に分割」。分けたあと、各放物線の頂点が「はずした側」にあるかどうかを必ず確認する。$x\ge 1$ 側の頂点は範囲外なので端 $x=1$ が最小、という点が引っかかりどころ。

発展。 $x^2+|x-1|$ のグラフは、$x=1$ で $2$ 本の放物線を貼り合わせた形。貼り目 $x=1$ で値は連続だが、傾きは折れる(左からの傾き $2\cdot 1-1=1$、右からは $2\cdot 1+1=3$)。絶対値を含む関数は「区間ごとに別の式・貼り目で折れる」のが特徴で、最小は各区間の頂点か貼り目で起こる。

別解

別解:$2$ 本の放物線の「低い方」をたどる(視覚で捉えるルート)。 $f(x)=x^2+|x-1|$ は、$x<1$ では放物線 $y=x^2-x+1$、$x\ge 1$ では放物線 $y=x^2+x-1$。この $2$ 本を $x=1$ で貼り合わせたグラフの、いちばん低い点が最小値だ。

$y=x^2-x+1$ は頂点 $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right)$。頂点の $x=\frac{1}{2}$ は「$x<1$」の側に確かに入っている。だからこの放物線の最小 $\frac{3}{4}$ は実際に達成される。

$y=x^2+x-1$ は頂点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{5}{4}\right)$ だが、$x=-\frac{1}{2}$ は「$x\ge 1$」の外。だからこちら側では区間の左端 $x=1$ が最小で、$f(1)=1$。$2$ つの候補 $\frac{3}{4}$ と $1$ を比べて、小さい $\frac{3}{4}$ が全体の最小。

場合分けで平方完成する(本解)のと同じだが、「$2$ 本の放物線を貼り合わせ、頂点が自分の区間に入るか」を絵で確認すると、なぜ左側の頂点だけが有効かが見える。頂点が区間外なら端、という判断が要になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ つの因数 $x^2-4x+3$ と $x^2-4x+5$ に共通の $x^2-4x$ が見える。これを $t$ とおけば解ける。

ただし置換したら $t$ の動く範囲を必ず押さえる。$t=x^2-4x=(x-2{)}^2-4\ge -4$。だから $t\ge -4$。

$y=(t+3)(t+5)=t^2+8t+15=(t+4{)}^2-1$。頂点は $t=-4$。この $t=-4$ は $t$ の動ける範囲の左端でちょうど達成できる($x=2$)から、そこが最小 $-1$。「置換後の範囲の端で頂点に届くか」の確認が肝心だ。

① 共通のかたまりを置きかえる。 $t=x^2-4x$ とおくと

$$y=(t+3)(t+5)=t^2+8t+15=(t+4{)}^2-1$$

② $t$ の範囲を求める。 $t=x^2-4x=(x-2{)}^2-4$ だから、$t$ の最小値は $-4$(=$x=2$ のとき)。よって $t\ge -4$。

③ 最小を決める。 $y=(t+4{)}^2-1$ の頂点は $t=-4$。これは範囲 $t\ge -4$ の左端にちょうど含まれるから、$t=-4$ で最小 $y=-1$。このとき $x=2$。

まとめ:「共通のかたまりを置きかえて $2$ 次式」に落とすとき、置きかえた文字の範囲を出すのが必須。ここでは $t$ の頂点 $-4$ が範囲の左端に一致していて、うまく最小が取れた。もし頂点が範囲の外なら、最小は範囲の端になる。

発展。 「共通のかたまりを置換」は $4$ 次以上の関数を $2$ 次に下げる、よく使う方法だ。ただし置換後の変数の範囲($t\ge -4$ や $u\ge 0$)を必ず押さえないと、達成できない頂点を最小値と誤る。今回は頂点 $t=-4$ が範囲の端でちょうど取れたが、範囲外に頂点があれば端が最小になる。「置換したら範囲」が合言葉だ。

別解

別解:$2$ 因数の「平均」からのずれで見る(得意な人向けの視点)。 $y=(x^2-4x+3)(x^2-4x+5)$ の $2$ 因数は、$x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ を中心に $\pm 1$ ずれている: $(u-1)(u+1)$ ただし $u=(x-2{)}^2$。

$$y=(u-1)(u+1)=u^2-1,u=(x-2{)}^2\ge 0.$$

$u\ge 0$ の範囲で $u^2-1$ が最小なのは $u=0$、すなわち $x=2$。最小値は $0-1=-1$。

$t=x^2-4x$ とおく(本解)より、$u=(x-2{)}^2$(頂点からの距離の$2$乗)を中心に据えると、$2$ 因数が $u\pm 1$ と対称になり、積がすぐに $u^2-1$ とまとまる。$2$ 因数の定数 $3,5$ の平均が $4=(x-2{)}^2$ の「芯」で、そこからの $\pm 1$ が積を平方差にする。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $f$ が $2$ 次関数と分かっているので、$f(x)=a{x}^2+bx+c$ とおいて係数を決める。

条件 $f(x+1)-f(x)=4x$ を計算する。$a(x+1{)}^2+b(x+1)+c-(a{x}^2+bx+c)=2ax+a+b$。これが $4x$ に等しい(恒等式)。

$x$ の係数を比べて $2a=4$($a=2$)、定数項を比べて $a+b=0$($b=-2$)。最後に $f(0)=c=1$。これで $f$ が決まる。

① おいて差を作る。 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ とおく。

$$f(x+1)-f(x)=a\{(x+1{)}^2-x^2\}+b\{(x+1)-x\}=a(2x+1)+b=2ax+(a+b)$$

② 係数を比べる。 これが $4x$(=$4x+0$)に恒等的に等しいから

$$2a=4,a+b=0$$

よって $a=2$、$b=-2$。

③ 定数を決める。 $f(0)=c=1$。したがって

$$f(x)=2x^2-2x+1$$

(検算:$f(x+1)-f(x)=2(2x+1)-2=4x$、$f(0)=1$。条件どおり。)

まとめ:未知の関数は「$f(x)=a{x}^2+bx+c$ とおく」。差の条件は恒等式として係数比較に持ち込み、定数項は $1$ 点の値で決める。$3$ 未知数に $3$ 条件で過不足なく決まる。

発展。 $f(x+1)-f(x)$(前進差分)は微分 $f^{\prime }(x)$ の離散版。「差分が $n$ 次多項式 $\Rightarrow$ 元は $n+1$ 次多項式」という関係は、微分と積分の関係($f^{\prime }$ が $n$ 次なら $f$ は $n+1$ 次)とそっくり。$\Delta (x^2)=2x+1$、$\Delta \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k-1}\right)$ など、差分の計算は組合せ論で重要な道具になる。

別解

別解:「階差が $4x$ なら和で $2x^2$」と離散和で捉える(得意な人向けの視点)。 $f(x+1)-f(x)=4x$ は、数列の階差が $4x$ という関係。階差から元を復元するには、和をとる(積分の離散版)。

整数 $n$ で $f(n)-f(0)=\sum _{k=0}^{n-1}\{f(k+1)-f(k)\}=\sum _{k=0}^{n-1}4k=4\cdot \frac{(n-1)n}{2}=2n^2-2n$。$f(0)=1$ を足して $f(n)=2n^2-2n+1$。整数点でこの式が成り立つ。$f$ は $2$ 次関数で、$2$ 次関数は $3$ 点で一致すれば全体で一致するので、$f(x)=2x^2-2x+1$ となる。

係数比較(本解)は代数的で速いが、「階差 $1$ 次 → 元は $2$ 次($\sum k=\frac{n(n-1)}{2}$)」という離散の和の感覚でも同じ式が出る。$\Delta f=4x$ と $\frac{df}{dx}=4x$($\to f=2x^2$)が似た形なのは、階差と微分が親戚だからだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平方完成 $f(x)=(x-a{)}^2+3-a^2$ で軸は $x=a$。定義域 $[-1,1]$ に対する軸の位置で最小値を $3$ 場合に分ける。

軸が区間の左外($a<-1$)なら左端 $x=-1$ で最小、区間内($-1\le a\le 1$)なら頂点で最小、右外($a>1$)なら右端 $x=1$ で最小。

(2) は各場合の式 $=1$ を解く。ただし出た $a$ が「その場合の範囲」に入るかを必ず確認する。範囲外の解は捨てる。この手の問題ではここを見落としやすい。

① (1) $m(a)$ を求める。 $f(x)=(x-a{)}^2+3-a^2$、軸 $x=a$。

• $a<-1$(軸が左外):区間で増加、最小は左端 $f(-1)=1+2a+3=2a+4$。
• $-1\le a\le 1$(軸が内):最小は頂点 $f(a)=3-a^2$。
• $a>1$(軸が右外):区間で減少、最小は右端 $f(1)=1-2a+3=4-2a$。

② (2) $m(a)=1$ を解く。 各場合で解き、範囲を確認する。

• $a<-1$:$2a+4=1$ より $a=-\frac{3}{2}$。$-\frac{3}{2}<-1$ を満たす → 採用。
• $-1\le a\le 1$:$3-a^2=1$ より $a^2=2$、$a=\pm \sqrt{2}$。どちらも $|a|=\sqrt{2}>1$ で範囲外 → 不適。
• $a>1$:$4-2a=1$ より $a=\frac{3}{2}$。$\frac{3}{2}>1$ を満たす → 採用。

よって $a=-\frac{3}{2},\frac{3}{2}$。

まとめ:場合分けの最小値 $m(a)$ を逆に使う問題は、各場合の式を解いて「前提範囲との整合」で採否を決める。中央の場合の解 $\pm \sqrt{2}$ が範囲外で消えるのが、この問題の注意点だ。

発展。 $m(a)=1$ の解が $2$ つ出るのは、$m(a)$ のグラフ(山型:直線・放物線・直線)が水平線 $m=1$ と $2$ 点で交わるから。$m(a)$ の最大値は頂点の $3-a^2=3$($a=0$)。$m(a)=k$ の解の個数は $k$ の値で変わり、$k>3$ で $0$ 個、$k=3$ で $1$ 個…と読める。パラメータ入り最大最小は、$m(a)$ 自体をもう一度グラフにすると全体が見える。

別解

別解:$(2)$ を「$m(a)=1$ の解の存在範囲」で図的に絞る(得意な人向けの視点)。 $m(a)$ のグラフ($a$ の関数)を描くと、$3$ つの部分がつながった曲線になる。$a<-1$ で直線 $2a+4$(右上がり)、$-1\le a\le 1$ で放物線 $3-a^2$(上に凸、頂点 $3$)、$a>1$ で直線 $4-2a$(右下がり)。

水平線 $m=1$ とこの曲線の交点を数える。

• 中央の放物線 $3-a^2=1$ は $a=\pm \sqrt{2}$ だが、$|\sqrt{2}|>1$ で「$-1\le a\le 1$」の外。この部分では交点なし。
• 左の直線 $2a+4=1$ は $a=-\frac{3}{2}$。これは「$a<-1$」に入る。○
• 右の直線 $4-2a=1$ は $a=\frac{3}{2}$。これは「$a>1$」に入る。○

交点は $a=-\frac{3}{2},\frac{3}{2}$ の $2$ つ。各場合の式を解いて範囲を確認する(本解)のと同じだが、$m(a)$ のグラフを描いて水平線 $m=1$ との交点を見ると、「中央の放物線は最小値 $3-1=2$ 止まりで $1$ に届かない」ことが一目で分かり、解の採否で迷わない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 条件 $x^2+y^2=2$ から $y^2=2-x^2$。これを $x+y^2$ に代入して $1$ 変数にする。

$x+y^2=x+(2-x^2)=-x^2+x+2$。$x$ だけの $2$ 次関数になった。ただし $x$ の動ける範囲に制限がある。$y^2=2-x^2\ge 0$ より $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$。この範囲で $-x^2+x+2$(上に凸)の最大・最小を、頂点と端で調べる。

① $1$ 変数にする。 条件 $x^2+y^2=2$ より $y^2=2-x^2$。目標の式に代入して

$$x+y^2=x+(2-x^2)=-x^2+x+2$$

② $x$ の範囲を出す。 $y$ は実数だから $y^2=2-x^2\ge 0$、すなわち $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$。

③ 範囲つきで最大最小を調べる。 $g(x)=-x^2+x+2=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{4}$(上に凸、軸 $x=\frac{1}{2}$)。

• 最大:軸 $x=\frac{1}{2}$ は範囲内なので頂点で $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}$。
• 最小:上に凸だから軸から遠い端。$x=-\sqrt{2}$ までの距離のほうが大きく、$g(-\sqrt{2})=-2-\sqrt{2}+2=-\sqrt{2}$。

よって最大値 $\frac{9}{4}$($x=\frac{1}{2}$)、最小値 $-\sqrt{2}$($x=-\sqrt{2}$)。

まとめ:条件つき $2$ 変数は「代入して $1$ 変数化」+「実数条件から変数の範囲」。$y^2\ge 0$ が生む範囲 $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$ を落とすと、最小の場所(端)を取り違える。

発展。 「制約 $g(x,y)=0$ のもとで $f(x,y)$ の最大最小」は、$1$ 変数に減らす(本問)か、円ならパラメータ表示(別解)で解ける。大学ではラグランジュの未定乗数法という一般的な道具を学ぶ。$x+y^2$ の最大が円周上の $\left(\frac{1}{2},\pm \sqrt{7}/2\right)$ で起こることも、$f$ の等高線と円が接する点として捉えられる。

別解

別解:円のパラメータ表示で三角関数に直す(単元横断の視点)。 $x^2+y^2=2$ 上の点は $x=\sqrt{2}\cos \theta$、$y=\sqrt{2}\sin \theta$ と書ける。代入すると

$$x+y^2=\sqrt{2}\cos \theta +2{\sin }^2\theta =\sqrt{2}\cos \theta +2(1-{\cos }^2\theta ).$$

$\cos \theta =s$($-1\le s\le 1$)とおくと $-2s^2+\sqrt{2}s+2$。$s$ の $2$ 次関数(上に凸)だ。頂点は $s=\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$。これは $[-1,1]$ 内で、$x=\sqrt{2}s=\frac{1}{2}$ に対応。値は $\frac{9}{4}$。最小は端 $s=-1$($x=-\sqrt{2}$)で $-2-\sqrt{2}+2=-\sqrt{2}$。

$y^2=2-x^2$ を代入する(本解)のと同じ $2$ 次関数に着くが、$s=\cos \theta$ の範囲が $[-1,1]$ と自動的に出る。$y^2\ge 0$ の条件が「$\cos \theta$ が $[-1,1]$」に置き換わり、範囲の取り忘れを防げる。円上の最大最小は三角関数のパラメータでも解ける。