2次関数のグラフと最大・最小 ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1) は軸が動く $3$ 場合分けの復習だ。この問題の山場は (2) にある。

(2) で視点が切り替わる。出来上がった最小値 $m(a)$ を、今度は「$a$ の関数」として見直す。$1$ つの問題の中で、考える対象が「$x$ の関数」から「$a$ の関数」へ移る。この二段構えに気づくことが、全体を貫く発想になる。

① 平方完成して、頂点・軸を出す。

$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+a+2$$

頂点 $(a,-a^2+a+2)$、軸 $x=a$、下に凸。

② 軸の位置で3つに場合分けして、最小値 $m(a)$ を出す。 下に凸なので、軸が定義域 $0\le x\le 2$ の左外・中・右外のどこにあるかで、最小をとる場所が変わる。

軸が左外($a<0$): 左端で最小。

$$m(a)=f(0)=a+2$$

軸が範囲内($0\le a\le 2$): 頂点で最小。

$$m(a)=f(a)=-a^2+a+2$$

軸が右外($a>2$): 右端で最小。

$$m(a)=f(2)=4-4a+a+2=-3a+6$$

③ 今度は $m(a)$ を「$a$ の関数」とみて、その最大を探す。 (1)で出た $m(a)$ は $a$ ごとに式が変わる。3つの区間それぞれで最大を調べ、いちばん大きいものを選ぶ。

・$a<0$ で $m(a)=a+2$: $a$ が増えると増える。$a=0$ に近づくほど大きく、$m=2$ に近づく。 ・$0\le a\le 2$ で $m(a)=-a^2+a+2$: これは $a$ の2次関数(上に凸)。平方完成すると

$$m(a)=-a^2+a+2=-{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{4}$$

頂点 $a=\frac{1}{2}$ で最大 $\frac{9}{4}$。$a=\frac{1}{2}$ は区間 $0\le a\le 2$ の中にある。 ・$a>2$ で $m(a)=-3a+6$: $a$ が増えると減る。$a=2$ で $m=0$ から下がる一方。

3区間を比べると、いちばん大きいのは真ん中の区間の $\frac{9}{4}$。よって

$$a=\frac{1}{2}\text{ のとき最大値 }\frac{9}{4}$$

まとめ:『最小値 $m(a)$ の最大』という2段構え。(1)で場合分けした $m(a)$ を、(2)では $a$ の関数として、各区間で最大を調べるのがコツだ。

発展。 じつは $f(x)=x^2-2ax+a+2$ は、$x$ を固定して $a$ の式と見ると $1$ 次式だ。$f=a(1-2x)+(x^2+2)$ と、$a$ について直線になっている。

各 $x$ ごとに $a$ の直線が $1$ 本あり、$m(a)$ はそれらの中でいちばん下を通る線をつないだもの(下側の包絡線)にあたる。直線たちの最小をとった関数は、必ず上に凸になる。だから $m(a)$ は上に凸で、最大が一点で決まる。

このように「最小の最大」を求める問題を、一般にマクシミン(最悪の値をできるだけ良くする)という。最適化や意思決定の理論で中心となる考え方で、$2$ 次関数の場合分けはそのいちばん簡単な例になっている。

別解

別解:すべての放物線が通る定点に注目する(得意な人向けの高い視点)。 $f(x)=x^2-2ax+a+2$ を $a$ について整理すると、$f(x)=(x^2+2)+a(1-2x)$ となる。$a$ の係数 $1-2x$ が $0$ になる $x=\frac{1}{2}$ では、$a$ が何であっても値が変わらない。実際 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$ で一定だ。

つまり $a$ をどう選んでも、放物線は必ず定点 $\left(\frac{1}{2},\frac{9}{4}\right)$ を通る。$x=\frac{1}{2}$ は定義域 $0\le x\le 2$ の中にある。だから区間内の最小値 $m(a)$ はこの定点の高さを超えられない。

$$m(a)\le f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}(\text{どの }a\text{ でも}).$$

あとは、この上限に届く $a$ があるかを確かめればよい。頂点が $x=\frac{1}{2}$ に来る $a=\frac{1}{2}$ をとると、$f(x)={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{4}\ge \frac{9}{4}$ となり、区間内の最小はちょうど $\frac{9}{4}$。

上限 $\frac{9}{4}$ に実際に届いたので、これが $m(a)$ の最大だ。$3$ 場合に分けて各区間の最大を比べる本解に対し、こちらは「この放物線の族が共有する定点」を $1$ つ見抜くだけで上限が出る。本解と同じく、$a=\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{9}{4}$。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 幅 $2$ の窓が動く中で、最大と最小の両方を問われている。

最大と最小で、決め手になる原理が違うことが大事だ。最小は「頂点が窓の中にあるか」で決まる。最大は「窓のどちらの端が頂点から遠いか」で決まる。

$2$ つを混ぜず、別々の場合分けとして設計する。これがこの問題の出発点になる。

平方完成する。

$$f(x)=(x-2{)}^2+1$$

頂点 $(2,1)$、下に凸。定義域 $a\le x\le a+2$(幅2の窓)が動く。

① 最小 $m(a)$ を求める。

頂点 $x=2$ が窓のどこにあるかで場合分け。窓が頂点より左($a<0$)なら右端で最小。

$$m(a)=f(a+2)=(a+2-2{)}^2+1=a^2+1$$

窓が頂点を含む($0\le a\le 2$)なら頂点で最小。

$$m(a)=1$$

窓が頂点より右($a>2$)なら左端で最小。

$$m(a)=f(a)=(a-2{)}^2+1$$

② 最大 $M(a)$ を求める。

下に凸の最大は窓の両端のうち頂点2から遠いほうでとる。窓の中央は $a+1$。中央が頂点2より左($a\le 1$)のとき、頂点は窓の右寄りにあり、左端 $x=a$ が遠い。

$$M(a)=f(a)=(a-2{)}^2+1$$

中央が頂点2より右($a\ge 1$)のとき、右端 $x=a+2$ が遠い。

$$M(a)=f(a+2)=a^2+1$$

(境目 $a=1$ では両端が同じ高さ。)

まとめ:最小は頂点と窓の位置で3場合、最大は窓の中央と頂点の位置で2場合。どちらもグラフをかいて『頂点から近い・遠い』を見るのがコツだ。

発展。 $m(a)$ と $M(a)$ は、幅 $2$ の窓を位置 $a$ でずらしながら、その窓の中の最小値・最大値を読み取ったものだ。これは「移動窓の最小・最大」と呼ばれ、信号処理や画像処理の基本的な操作になっている。

とくに $m(a)$ には平らな部分がある。窓が頂点をまたぐ間($0\le a\le 2$)、窓の中の最小はずっと $1$ のまま動かない。移動窓の最小をとると、谷が平らにならされて広がる。この「最小フィルタ」は画像処理では収縮(エロージョン)、最大をとる「最大フィルタ」は膨張(ダイレーション)と呼ばれる。

$1$ つの放物線から、窓を動かすだけで $m(a)$(下に平らな谷をもつ曲線)と $M(a)$($V$ 字に折れる曲線)という別々の形が生まれる。もとの関数と、窓越しに見た関数は別物になる、という視点が大事だ。

別解

別解:頂点を原点に移し、距離だけで考える(苦手な人向けの視覚ルート)。 $u=x-2$ と置いて、頂点が原点に来るようにずらす。すると $f=(x-2{)}^2+1=u^2+1$ で、定義域 $a\le x\le a+2$ は $u$ では $a-2\le u\le a$ になる。

こうすると問題は「区間 $[a-2,a]$ の上で $u^2$ が最小・最大になる場所」に言い換えられる。$u^2$ は原点から遠いほど大きい。話が原点(=頂点)からの距離だけになった。

最小は、区間が原点 $u=0$ をまたぐ($a-2\le 0\le a$、すなわち $0\le a\le 2$)なら、原点で $u^2=0$、$f$ の最小は $1$。またがないなら、$0$ に近い端で最小。

最大は区間の両端 $u=a-2$ と $u=a$ のうち $0$ から遠いほう。$|a|$ と $|a-2|$ を比べると、$|a-2|>|a|$ となるのは $a<1$ のとき。だから $a<1$ では左端が遠くて最大、$a>1$ では右端が遠くて最大。

「窓の中央と頂点」を追う本解に対し、こちらは「原点からの距離」だけを見る。同じ場合分けの境目($a=0,2$ と $a=1$)にたどり着き、本解と同じ $m(a),M(a)$ が得られる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文字が $x,y$ の $2$ つあるが、条件式は $1$ 本ある。「条件式は文字を $1$ つ減らすための道具」と読み替えよう。ここでは $y^2$ を消す。

ただし、消して終わりではない。消された文字にも「実数として存在できる」条件があった。$y^2\ge 0$ だ。

これが $x$ の動ける範囲として残る。この型でいちばん多い失敗はこの範囲の取りこぼしだ。

① 条件式で1文字を消す。 条件 $x^2+y^2=1$ から $y^2=1-x^2$。$y^2$ は0以上なので

$$y^2=1-x^2\geqq 0\text{すなわち}-1\leqq x\leqq 1$$

これが $x$ の範囲(定義域)になる。② 消した文字の範囲をおさえてから代入する。 $z$ に $y^2=1-x^2$ を代入すると、$x$ だけの2次関数になる。

$$z=2x+(1-x^2)=-x^2+2x+1$$

平方完成する。

$$z=-(x-1{)}^2+2$$

頂点 $(1,2)$、上に凸。定義域 $-1\le x\le 1$ で見ると、頂点 $x=1$ は範囲の右端。上に凸なので $x=1$ で最大、反対の端 $x=-1$ で最小。

$$\text{最大値 }2(x=1,y=0),\text{最小値 }-2(x=-1,y=0)$$

($x=1$ なら $y^2=1-1=0$ で $y=0$。$x=-1$ でも $y=0$。)

まとめ:2変数でも、条件式で1文字を消せば2次関数になる。消したあとの文字の範囲($y^2\ge 0$ から出る)を必ず求めるのが最大のポイントだ。

発展。 この問題の最大が端 $x=1$ で起きたのは、たまたまではない。$z=2x+y^2$ を一般化して $z=kx+y^2$($k>0$)としてみる。

代入すると $z=kx+(1-x^2)=-{\left(x-\frac{k}{2}\right)}^2+1+\frac{k^2}{4}$ で、頂点は $x=\frac{k}{2}$。$x$ の動ける範囲は変わらず $-1\le x\le 1$ だ。

$k<2$ なら頂点 $\frac{k}{2}$ は範囲の内側にあり、最大は頂点の高さ $1+\frac{k^2}{4}$。$k\ge 2$ になると頂点が範囲の右端 $x=1$ に届き、そこから外へ出る。この問題は $k=2$ で、頂点がちょうど右端 $x=1$ に乗った境目の場合である。係数を動かすと、最大の起きる場所が内部から境界へ移る瞬間が見える。

別解

別解:上と下を因数分解で挟む(得意な人向けの視点)。 代入して $z=-x^2+2x+1$ になったところで、平方完成して端で評価する代わりに、$z$ が $2$ と $-2$ のあいだに収まることを因数分解で直接示す。

まず上から。$2-z=2-(-x^2+2x+1)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ だから、

$$2-z=(x-1{)}^2\ge 0⟹z\le 2,$$

等号は $x=1$。$(x-1{)}^2$ はつねに $0$ 以上なので、範囲を気にせず $z\le 2$ が言える。次に下から。$z-(-2)=z+2=-x^2+2x+3=-(x-3)(x+1)=(3-x)(x+1)$。定義域 $-1\le x\le 1$ では $3-x>0$ かつ $x+1\ge 0$ なので、

$$z+2=(3-x)(x+1)\ge 0⟹z\ge -2,$$

等号は $x=-1$。ここで初めて定義域 $x\ge -1$(=消した $y^2\ge 0$)が意味をもつ。こうして $-2\le z\le 2$。最大値 $2$($x=1,y=0$)、最小値 $-2$($x=-1,y=0$)で、本解と同じ結論に至る。因数の符号を見るだけなので、頂点が端にあるかどうかの吟味が要らない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 式をよく見ると、同じかたまり $x^2-2x$ が $2$ 回現れている。これは置きかえのサインだ。$t=x^2-2x$ とおく。

ただし、置きかえには注意点がある。$t$ が自由に何でもとれるとは限らない。$t=x^2-2x$ 自身が $x$ の $2$ 次関数だからだ。

だから $t$ の動ける範囲を、自分で求める必要がある。「置きかえたら範囲もセットで引っ越す」が合言葉になる。

① 置きかえた $t$ の範囲を出す。 $t=x^2-2x$ を平方完成する。

$$t=(x-1{)}^2-1$$

$x$ は全実数を動くので、$(x-1{)}^2$ は0以上、$t$ は $-1$ 以上。

$$t\geqq -1$$

② $t$ の式にして、$t$ の範囲で最小を探す。 $f$ を $t$ で表すと $g(t)=t^2-4t+1$。平方完成する。

$$g(t)=t^2-4t+1=(t-2{)}^2-3$$

頂点 $t=2$、下に凸。頂点 $t=2$ は範囲 $t\ge -1$ の中にあるので、$t=2$ で最小値 $-3$。

③ 見つけた $t$ を $x$ に戻す。 $t=x^2-2x=2$ から

$$x^2-2x=2\text{すなわち}{x}^2-2x-2=0$$

解の公式で

$$x=\frac{2\pm \sqrt{4+8}}{2}=1\pm \sqrt{3}$$

よって

$$x=1\pm \sqrt{3}\text{ のとき最小値 }-3$$

まとめ:置きかえの $t$ の範囲は、$t=x^2-2x$ 自体が2次関数なので、その最小($-1$)から $t\ge -1$ と決まる。$t$ が単純に全実数になるわけではない点に注意。

発展。 別解で得た形 $f(x)=(x^2-2x-2{)}^2-3$ をもう少し詳しく見る。$x^2-2x-2=(x-1{)}^2-3$ だから、$f$ は $(x-1)$ だけで書ける。$f$ のグラフは直線 $x=1$ を軸に左右対称だ。

対称なので、最小をとる点も左右にペアで現れる。実際 $x=1+\sqrt{3}$ と $x=1-\sqrt{3}$ はどちらも $x=1$ から等しく離れていて、ともに最小値 $-3$ を与える。真ん中の $x=1$ では $f(1)=(-3{)}^2-3=6$ と、逆に山になる。

この「谷・山・谷」の形は $2$ つの底をもつ $4$ 次関数の典型で、物理では二重井戸ポテンシャルと呼ばれる。$1$ つのかたまりの $2$ 次式に落ちる $4$ 次関数は、こうした対称な二重谷の構造をもちやすい。

別解

別解:置きかえずにそのまま完全平方にする(得意な人向けの視点)。 $t$ の範囲を気にせず、$f(x)$ をそのまま平方の形にまとめてしまう手もある。$x^2-2x$ を $1$ つのかたまりと見て、$f$ を「かたまりの $2$ 次式」として平方完成する。

$$f(x)=(x^2-2x{)}^2-4(x^2-2x)+1=\{(x^2-2x)-2{\}}^2-3=(x^2-2x-2{)}^2-3.$$

$f(x)$ は「何かの $2$ 乗」から $3$ を引いた形になった。$2$ 乗は $0$ 以上だから、つねに $f(x)\ge -3$。あとは $f(x)=-3$、つまり $x^2-2x-2=0$ が実数解をもつかを確かめるだけ。判別式は $(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=12>0$ で、実際に解ける。

$$x=\frac{2\pm \sqrt{12}}{2}=1\pm \sqrt{3}.$$

$t$ の範囲を調べる本解に対し、こちらは $f$ を完全平方に押し込み、平方の中身が $0$ になれるか(方程式が解けるか)だけを見る。等号が届くので、本解と同じく $x=1\pm \sqrt{3}$ で最小値 $-3$。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) かなめは「$x$ 軸から切り取る線分の長さ」を、どう式で表すかだ。これは $x$ 軸との $2$ つの交点の、$x$ 座標の差にほかならない。

放物線は軸について左右対称だから、「軸から左右に $2$ ずつ」とも読める。長さ $4$ という条件が、こうして交点の座標へつながる。

条件は $2$ つ(頂点が直線上・長さ $4$)、決めたい未知数も $2$ つ(頂点の位置)。数がそろっているので、$2$ 式を連立すれば決まる、と見通しを立てる。

$x^2$ の係数が1なので $y=(x-p{)}^2+q$ とおく。頂点は $(p,q)$。

条件①(頂点が直線上): 頂点 $(p,q)$ が $y=-2x-1$ 上にあるので $q=-2p-1$。これを代入すると

$$y=(x-p{)}^2-2p-1$$

条件②(切り取る線分の長さ): $x$ 軸との交点は $y=0$ とおいて求める。

$$(x-p{)}^2=2p+1$$

$$x=p\pm \sqrt{2p+1}$$

2つの交点の $x$ 座標の差が切り取る線分の長さ。これが4なので

$$\left(p+\sqrt{2p+1}\right)-\left(p-\sqrt{2p+1}\right)=2\sqrt{2p+1}=4$$

$\sqrt{2p+1}=2$、両辺2乗して $2p+1=4$、$p=\frac{3}{2}$。すると $q=-2\times \frac{3}{2}-1=-4$。よって

$$y={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-4=x^2-3x-\frac{7}{4}$$

まとめ:『$x$ 軸から切り取る線分の長さ』は2解の差、と読みかえるのがポイント。頂点の条件と合わせて、2つの式から決める。

発展。 「$x$ 軸から切り取る長さ」を、もっと一般の水平線 $y=k$ で切る長さに広げてみる。$y=(x-p{)}^2+q$ を $y=k$ で切ると $(x-p{)}^2=k-q$、交点は $x=p\pm \sqrt{k-q}$ で、弦の長さは $2\sqrt{k-q}$ になる。

長さは頂点の位置 $p$ にはよらず、線が頂点よりどれだけ上か($k-q$)だけで決まる。しかも長さはその深さの平方根に比例して伸びる。

この「弦は深さの平方根で伸びる」性質は放物線に固有のものだ。$x$ 軸($k=0$)の場合が $2\sqrt{-q}$ で、この問題では $-q=4$、すなわち頂点が $x$ 軸の $4$ だけ下にある、と言い換えられる。切り取る長さは、じつは頂点の深さそのものを測っている。

別解

別解:一般形 $y=x^2+bx+c$ と判別式で押す(得意な人向けの視点)。 頂点の形を使わず、$y=x^2+bx+c$ とおいて係数 $b,c$ を直接決める。

$x$ 軸との交点は $x^2+bx+c=0$ の $2$ 解。その差は、解と係数の関係から

$$|\alpha -\beta |=\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }=\sqrt{b^2-4c}.$$

これが切り取る線分の長さ $4$ だから $b^2-4c=16$。$x^2$ の係数が $1$ の放物線では、切り取る長さの $2$ 乗がそのまま判別式になる。次に頂点 $\left(-\frac{b}{2},c-\frac{b^2}{4}\right)$ が直線 $y=-2x-1$ 上にある条件。$c-\frac{b^2}{4}=-2\cdot \left(-\frac{b}{2}\right)-1=b-1$、すなわち $c=\frac{b^2}{4}+b-1$。

これを $b^2-4c=16$ に代入すると $b^2-4\left(\frac{b^2}{4}+b-1\right)=-4b+4=16$、よって $b=-3$。すると $c=\frac{9}{4}-3-1=-\frac{7}{4}$。

$$y=x^2-3x-\frac{7}{4}.$$

頂点形で解く本解と同じ答えだが、こちらは「切り取る長さの $2$ 乗 $=$ 判別式」という関係を軸に、一般形の係数をまとめて決めている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文章題では、まず「何を変数にすれば全部が $1$ 文字で書けるか」を決める。ここでは切る位置を $x$ とおく。

一方が $x$ cm、もう一方が $16-x$ cm。それぞれの正方形の面積を $x$ で表せば、面積の和は $x$ の $2$ 次関数になる。変数を決めたら、定義域も同時に書き留める。$x$ も $16-x$ も正の長さだから $0<x<16$。これを式とセットで押さえておく。

① 片方を $x$ とおいて立式する。 針金を $x$ cmと $(16-x)$ cmに切る。それぞれで正方形を作るので、1辺は周の $\frac{1}{4}$。定義域は $x$ も $16-x$ も正なので

$$0<x<16$$

② 面積の和を $x$ の式にする。 $x$ cmの正方形は1辺 $\frac{x}{4}$、面積 $\frac{x^2}{16}$。$(16-x)$ cmの正方形は面積 $\frac{(16-x{)}^2}{16}$。面積の和は

$$S=\frac{x^2}{16}+\frac{(16-x{)}^2}{16}=\frac{x^2+(16-x{)}^2}{16}=\frac{2x^2-32x+256}{16}=\frac{x^2-16x+128}{8}$$

③ 平方完成して最小を読む。 分子を平方完成する。

$$S=\frac{(x-8{)}^2+64}{8}=\frac{(x-8{)}^2}{8}+8$$

頂点 $x=8$、下に凸。頂点 $x=8$ は定義域 $0<x<16$ の中なので、$x=8$ で最小値 $S=8$。つまり針金を8cmずつ(等しく2等分)に切ると、面積の和が最小の $8\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ になる。

まとめ:『2つに分けて、それぞれの面積の和を最小に』は、片方を $x$、もう片方を $16-x$ として和を $x$ の式にする。等分するとき最小、というきれいな結果になる。

発展。 本解の $S=\frac{(x-8{)}^2}{8}+8$ を見ると、$x$ が $8$ から離れるほど $S$ は大きくなる。では逆に、面積の和を最大にするにはどう切ればよいか。

最大は「片方へ寄せる」方向にある。一方の針金を $0$ に近づけると、もう一方は $16$ cm、$1$ 辺 $4$ cm で、面積の和は $16\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ に近づく。ただし「$2$ つに切る」条件では両端 $x=0,16$ に届かない。だからこれは達しない上限で、最大値そのものは存在しない。

一般に、長さ $L$ の針金を $n$ 個に切って正方形を作るとき、面積の和は $\frac{1}{16}\sum x_i^2$ と書ける。切り分け $x_i$ の和 $\sum x_i=L$ が一定のもとでは、全部等しく $x_i=\frac{L}{n}$ のとき最小 $\frac{L^2}{16n}$ になる。和が一定なら $2$ 乗の和は「均等にばらす」ほど小さい、という性質だ。ここでは $L=16,n=2$ で $\frac{256}{32}=8$。分ける数 $n$ を増やすほど、作れる面積の最小はいくらでも小さくできる。

別解

別解:「辺の和が一定」に気づいて不等式で(得意な人向けの視点)。 $x$ を追う代わりに、$2$ つの正方形の $1$ 辺そのものを $a,b$ とおく。針金の総和は $16$ で、$4a+4b=16$、つまり

$$a+b=4(\text{辺の和は一定}).$$

面積の和は $a^2+b^2$。これを $a+b=4$ の条件のもとで最小にしたい。ここで次の不等式が使える。

$$a^2+b^2\ge \frac{(a+b{)}^2}{2}=\frac{4^2}{2}=8.$$

等号は $a=b$、すなわち $a=b=2$ のとき。辺が $2$ cm の正方形が $2$ つで、針金は $8$ cm ずつだ。

$2$ 次関数に直して平方完成する本解に対し、こちらは「辺の和が $4$ で一定」と見抜き、$2$ 乗和の不等式からすぐに下限 $8$ を出す。等号成立の条件から、そのまま切り方が分かる。本解と同じく $8$ cm ずつで最小値 $8\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) かなめは $a$ の符号だ。$a$ の正負でグラフが上に凸か下に凸かが変わり、最大・最小を与える場所が入れかわる。

だから「$a>0$ の場合」と「$a<0$ の場合」を、最初から $2$ つに分けて進めると決める。向きを決めずに計算を始めると、どちらの端が最大か分からず混乱する。場合分けを先に宣言してから手を動かすのがコツだ。

平方完成する。

$$f(x)=a(x^2-2x)+b=a(x-1{)}^2-a+b$$

軸は $x=1$ で、これは定義域 $1\le x\le 3$ の左端。定義域内での値は両端 $x=1$ と $x=3$ で決まる。

$$f(1)=b-a,f(3)=9a-6a+b=3a+b$$

$a$ の符号で、どちらが最大・最小か変わるので場合分けする。

① $a>0$(下に凸)

頂点(左端 $x=1$)で最小、右端 $x=3$ で最大。

$$\text{最小値}=f(1)=b-a=-3,\text{最大値}=f(3)=3a+b=5$$

連立を解く。引き算すると $4a=8$、$a=2$、$b=-1$。$a=2>0$ で条件に合う。

② $a<0$(上に凸)

頂点(左端 $x=1$)で最大、右端 $x=3$ で最小。

$$\text{最大値}=f(1)=b-a=5,\text{最小値}=f(3)=3a+b=-3$$

連立を解くと $4a=-8$、$a=-2$、$b=3$。$a=-2<0$ で条件に合う。よって

$$(a,b)=(2,-1)\text{または}(a,b)=(-2,3)$$

まとめ:$a$ の符号が不明なので、下に凸・上に凸の2通りを両方調べるのがポイント。最大と最小がどちらの端でとるかが入れかわる。

発展。 $2$ 組の答え $(2,-1)$ と $(-2,3)$ には、きれいな対称性がある。最大 $5$ と最小 $-3$ の真ん中の高さは $\frac{5+(-3)}{2}=1$。この横線 $y=1$ を鏡にして、$2$ つのグラフは上下反転の関係にある。

実際、$a=2$ の $f_1(x)=2(x-1{)}^2-3$ を $y=1$ で折り返すと $2-f_1(x)=-2(x-1{)}^2+5$ で、これが $a=-2$ の $f_2(x)$ に一致する。横線で折り返すと最大と最小が入れかわるが、$2$ 値の集合 $\{5,-3\}$ は変わらない。

「最大 $M$・最小 $m$ を指定して係数を決める」問題で解が $2$ 組出るのは、多くの場合この鏡映のペアだ。中央値 $\frac{M+m}{2}$ を軸に上下をひっくり返しても条件を満たす、という対称性がもとになっている。

別解

別解:端の値の和と差でまとめて決める(得意な人向けの視点)。 軸 $x=1$ は定義域 $1\le x\le 3$ の左端にある。だから $f$ はこの区間で単調で、最大と最小はかならず両端 $x=1,3$ の値だ。どちらが最大かは分からないが、$2$ 値の集合 $\{f(1),f(3)\}$ が $\{5,-3\}$ になる。

そこで和と差をとる。まず和は、

$$f(1)+f(3)=(b-a)+(3a+b)=2a+2b=5+(-3)=2,$$

よって $a+b=1$。次に差の絶対値は最大と最小の差 $5-(-3)=8$ に等しい。

$$|f(3)-f(1)|=|4a|=8⟹a=\pm 2.$$

$a+b=1$ と合わせて、$a=2$ なら $b=-1$、$a=-2$ なら $b=3$。

$$(a,b)=(2,-1)\text{または}(-2,3).$$

$a$ の符号で場合分けする本解に対し、こちらは「端の値の和 $=$ 最大 $+$ 最小」「端の値の差の絶対値 $=$ 範囲」を使い、$\pm$ が両方の解を一度に出す。本解と同じ $2$ 組に至る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) これは、最小値「が」先に与えられて係数を逆算する逆問題だ。まず順問題(最小値を求める)の場合分けを、そのまま流用する。

軸の位置で $3$ つに分け、各場合で「最小値 $=-4$」という方程式を立てて $a$ を解く。ただし、解いて終わりではない。出した $a$ がその場合の前提範囲に本当に入っているかを吟味する。ここまでがワンセットだ。逆問題は吟味が命になる。

平方完成する。

$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+4a$$

頂点 $(a,-a^2+4a)$、軸 $x=a$、下に凸。定義域 $-1\le x\le 1$ での最小値が $-4$ になる $a$ を、軸の位置で場合分けして求める。

② 軸が範囲内($-1\le a\le 1$): 頂点で最小。

$$-a^2+4a=-4\text{すなわち}{a}^2-4a-4=0$$

解の公式で $a=2\pm 2\sqrt{2}$。数値で見ると

$$2-2\sqrt{2}=-0.82\dots ,2+2\sqrt{2}=4.82\dots$$

条件 $-1\le a\le 1$ に合うのは $a=2-2\sqrt{2}$($=-0.82\dots$)だけ。$2+2\sqrt{2}$ は範囲外なので不適。

③ 軸が右外($a>1$): 最小は右端 $x=1$。

$$f(1)=1-2a+4a=2a+1$$

これが $-4$ なら $2a=-5$、$a=-\frac{5}{2}$。でもこれは $a>1$ を満たさないので不適。

① 軸が左外($a<-1$): 最小は左端 $x=-1$。

$$f(-1)=1+2a+4a=6a+1$$

これが $-4$ なら $6a=-5$、$a=-\frac{5}{6}$。でもこれは $a<-1$ を満たさないので不適。結局、条件に合うのは②の $a=2-2\sqrt{2}$ だけ。よって

$$a=2-2\sqrt{2}$$

まとめ:係数決定は『各場合で方程式を解く → 求めた $a$ がその場合の条件に合うか吟味』が命。合わない解を除くのを忘れると、不適な答えまで書いてしまう。

発展。 この問題で $2+2\sqrt{2}$ を捨てたのは、偶然のミス防止ではなく、場合分けで定義された関数を逆に解くと、必ず「幽霊解」が混じるからだ。

頂点の高さ $-a^2+4a=-4$ という式は、$a$ が定義域内($-1\le a\le 1$)にあるときだけ「最小値」を表す。この前提を外して式だけ解くと、前提の外にいる $2+2\sqrt{2}$ まで出てくる。これは最小値ではなく、ただ頂点の高さがたまたま $-4$ になる点にすぎない。

同じ構造は絶対値の方程式や、両辺を $2$ 乗して解く問題での無縁解と同じだ。式変形や場合分けは解の候補を広げるので、最後に必ず元の前提(その場合の範囲・元の等式)に照らして検算し、幽霊を振り落とす。逆問題での吟味はこの一般原則の一例になっている。

別解

別解:本命の頂点ケースを先に解き、端は評価ですぐに除く(得意な人向けの視点)。 $3$ 場合を平等に解く前に、最小値 $-4$ という深い値に届きうるのはどの場合かを見積もる。

軸が右外($a>1$)なら最小は右端で $f(1)=1+2a$。$a>1$ だから $f(1)>3$。軸が左外($a<-1$)なら最小は左端で $f(-1)=1+6a$。$a<-1$ だから $f(-1)<-5$。どちらもその範囲では $-4$ になりえない。範囲の端の値を入れて評価するだけで、$2$ つの場合が消える。

残るは軸が定義域内($-1\le a\le 1$)の場合だけ。頂点の高さは $-a^2+4a$ で、これが $-4$。

$$-a^2+4a=-4⟹a^2-4a-4=0⟹a=2\pm 2\sqrt{2}.$$

$2-2\sqrt{2}\approx -0.83$ は $-1\le a\le 1$ に入り、$2+2\sqrt{2}\approx 4.83$ は入らない。よって $a=2-2\sqrt{2}$。$3$ 場合を機械的に解いて後で吟味する本解に対し、こちらは端の $2$ 場合を値域の評価だけで先に落とし、本命の $1$ 場合に絞る。本解と同じ $a=2-2\sqrt{2}$ に至る。