2次関数のグラフと最大・最小 実戦編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「異なる2つの正の解」は、解の符号つきの配置条件だ。グラフの言葉で言い換える。

下に凸の放物線 $y=f(x)$ が「$x$ 軸の正の部分で2回交わる」ためには、3つが同時に要る:

(i) そもそも2回交わる: 判別式 $>0$。(ii) 交点が右半分にある: 軸 $>0$。(iii) 原点の側で持ち上がっている: $f(0)>0$。

この3点セット(判別式・軸・端の値)が、解の配置問題で使う基本の道具になる。

① 判別式。 $\frac{D}{4}=a^2-(a+2)=a^2-a-2>0$。$(a-2)(a+1)>0$ より $a<-1$ または $a>2$。

② 軸。 軸は $x=a$。正の側にあるので $a>0$。

③ $f(0)$。 $f(0)=a+2>0$ より $a>-2$。

④ 連立。 ①($a<-1$ または $a>2$)、②($a>0$)、③($a>-2$)をすべて満たすのは $$a>2.$$

まとめ $2$ 正解は「判別式 $>0$・軸 $>0$・$f(0)>0$」の $3$ 条件。連立して $a>2$。$2$ 次関数(グラフ)と解の配置の融合。$3$ つのうち $1$ つでも欠けると誤答になる。

発展。 「2解がともに区間 $(m,\infty )$ にある」一般形でも、3点セットは「判別式・軸 $>m$・$f(m)>0$」とそのまま拡張される。さらに「$m$ と $n$ の間に2解」なら $f(m)>0,f(n)>0$ と軸の挟み込み、「$m$ を挟んで1解ずつ」なら $f(m)<0$ の1本だけでよい。解の配置はどのパターンでも端の値の符号で判定できる。

別解

解と係数の関係で(グラフを描かない代数ルート)。 2つの解を $\alpha ,\beta$ とすると、解と係数の関係で $\alpha +\beta =2a$、$\alpha \beta =a+2$。「異なる2つの正の解」を代数の言葉で書くと:

• 異なる2実解: 判別式 $a^2-a-2>0$
• ともに正 ⟺ 和が正かつ積が正: $2a>0$ かつ $a+2>0$

(和と積の符号で2数の符号が決まる: 積 $>0$ で同符号、さらに和 $>0$ で両方正。)3つの共通範囲は $a>2$ で、本解と同じ答えだ。

グラフの3点セット(本解)と、解と係数の3点セットは一対一に対応している(軸 $=\frac{\alpha +\beta }{2}$、$f(0)=$ 定数項 $=\alpha \beta$)。「配置はグラフ、符号は和と積」という2つの見方を持っていると、複雑な配置(片方だけ正、など)でも迷わない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文字が2つで、条件(等式)が1つある。それなら1文字消去で1変数の問題に直すのが第一手だ。

$y=2-x$ を代入すると $x^2+y^2=2x^2-4x+4$、$x$ の2次関数になる。見落としやすいのは $x$ の範囲。$x\ge 0$ と $y=2-x\ge 0$ から $0\le x\le 2$ となる。あとは閉区間つきの2次関数の最大最小として、頂点と両端を見比べる。

① $1$ 文字消去。 $y=2-x$ を代入すると $$x^2+y^2=x^2+(2-x{)}^2=2x^2-4x+4=2(x-1{)}^2+2.$$ ② $x$ の範囲。 $x\ge 0$ かつ $y=2-x\ge 0$($x\le 2$)より $0\le x\le 2$。

③ 最大・最小。 $2(x-1{)}^2+2$ は下に凸で頂点 $x=1$。

• 最小:頂点 $x=1$ で $2$($x=y=1$)。
• 最大:頂点から最も遠い端 $x=0$ または $x=2$ で $2(1{)}^2+2=4$($(x,y)=(0,2)$ または $(2,0)$)。

まとめ $x+y=2$ で消去して $x^2+y^2=2(x-1{)}^2+2$($0\le x\le 2$)。最小 $2$(中央)、最大 $4$(端)。$2$ 次関数と条件・領域の融合。

発展。 最小値 $2$ はコーシー・シュワルツ $(x+y{)}^2\le 2(x^2+y^2)$ からも $x^2+y^2\ge \frac{(x+y{)}^2}{2}=2$ と出る(等号 $x=y=1$)。「線分上の距離の最小=垂線」「対称な式の最小=均等配分」「CS の等号=比例」の3つは、どれも同じ点 $(1,1)$ を指す。偶然ではなく、対称性によって最適な点が決まっているからだ。

別解

原点からの距離と見る(幾何の見方)。 $x^2+y^2$ は「点 $(x,y)$ の原点からの距離の2乗」。点 $(x,y)$ は直線 $x+y=2$ のうち第1象限の部分(両端 $(2,0),(0,2)$ の線分)を動く。

• 最小: 原点から線分への最短距離をとるのは垂線の足($(1,1)$、線分上にある)で、距離は $\frac{|0+0-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。よって最小値 $(\sqrt{2}{)}^2=2$。
• 最大: 線分の端が原点から最も遠い。$(2,0)$ も $(0,2)$ も距離 $2$ で、最大値 $4$。

1文字消去(本解)は計算の直進、距離の読み替えは「なぜ真ん中で最小・端で最大か」が図で見える道。$x^2+y^2$ を見たら距離、$x+y$ を見たら直線と読む。式を図形の意味に読みかえる習慣は、対称式の最大最小で繰り返し役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 格子点の数え上げは、1列ずつ数えて足すのが確実だ。

まず $x$ の動ける範囲: $-x^2+4\ge 0$ から $-2\le x\le 2$、整数だから5列。各列($x$ を固定)で、$y$ は $0$ から $-x^2+4$ までの整数なので、個数は $-x^2+5$ 個。列ごとの個数を足し合わせれば終わる。

① $x$ の範囲。 $y\ge 0$ が入る($y=0$ が許される)には $-x^2+4\ge 0$、$x^2\le 4$、$-2\le x\le 2$。整数 $x$ は $-2,-1,0,1,2$。

② 各 $x$ での個数。 $y$ は $0$ から $-x^2+4$ まで、$-x^2+5$ 個。

• $x=0$:$5$ 個($y=0,\dots ,4$)、
• $x=\pm 1$:$4$ 個ずつ($y=0,\dots ,3$)、
• $x=\pm 2$:$1$ 個ずつ($y=0$)。

③ 合計。 $$5+4+4+1+1=15.$$

まとめ $x$ を固定して $y$ の個数($-x^2+5$ 個)を数え、$-2\le x\le 2$ で合計 $15$。$2$ 次関数(放物線)と数え上げ(格子点)の融合。

発展。 放物線を $y\le -x^2+n$ に一般化すると、格子点の総数は ${\sum }_x(-x^2+n+1)$ 型の平方和の計算になり、$n$ が大きいとおよそ $\frac{4}{3}{n}^{3/2}$(面積 $\int (-x^2+n)dx$ に近づく)。「格子点の個数 ≈ 面積」という直感を精密にすると、ピックの定理(格子多角形の面積公式)や数IIIの区分求積につながる。

別解

横に数える(y ごとの数え直し)。 縦の列($x$ ごと)でなく、横の行($y$ ごと)で数え直すこともできる。高さ $y$ の行では、$y\le -x^2+4$ ⟺ $x^2\le 4-y$ ⟺ $|x|\le \sqrt{4-y}$。整数 $x$ の個数は $2\left[\sqrt{4-y}\right]+1$ 個:

• $y=0$: $|x|\le 2$ で5個
• $y=1,2,3$: $\sqrt{4-y}=\sqrt{3},\sqrt{2},1$ で $[\cdot ]=1$、各3個
• $y=4$: $x=0$ の1個

合計 $5+3+3+3+1=15$ で、縦に数えた結果($5+4+4+1+1$)と一致する。同じ15個を縦に切るか横に切るか。2通りで数えて一致させるのは、数え上げの確実な検算法であり、二重和の順序交換の考え方の基礎にもなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「放物線と直線が接する」は、連立した方程式が重解をもつこと。

$x^2=2x-k$ を整理して $x^2-2x+k=0$。接する ⟺ この2次方程式の判別式 $=0$。「共有点の個数=連立方程式の解の個数」という言い換えが、この型のすべての出発点になる。

① 連立する。 $y=x^2$ と $y=2x-k$ から $y$ を消去して $$x^2=2x-k⟹x^2-2x+k=0.$$ ② 判別式 $=0$。 接する条件は $$\frac{D}{4}=(-1{)}^2-k=1-k=0.$$ ③ 結論。 $k=1$。(このとき $x^2-2x+1=(x-1{)}^2=0$、接点 $x=1$、$(1,1)$。)

まとめ接する=連立した $2$ 次方程式が重解=判別式 $0$。$1-k=0$ より $k=1$。$2$ 次関数(接する)と判別式の融合。

発展。 接点 $(1,1)$ での直線の傾きは $2$ だ。これは微分($y^{\prime }=2x$ の $x=1$ での値)を先取りしている。「判別式 $=0$ で接する」と「微分係数=直線の傾き」は、放物線では完全に同じ内容の2つの言い方。数IIで微分を学んだとき、この問題に戻って2つ目の目で見ると、接線の理解が立体的になる。

別解

平方完成で「差の最小値」を見る(接点まで同時に出る)。 放物線と直線の差を作る:

$$x^2-(2x-k)=x^2-2x+k=(x-1{)}^2+(k-1)$$

差は $x=1$ で最小値 $k-1$ をとる。

• $k-1>0$: 差がつねに正なので、離れている(共有点なし)
• $k-1=0$: 差が $x=1$ でだけ $0$ なので、接する(接点 $x=1$、点 $(1,1)$)
• $k-1<0$: 差が符号を変えるので、2点で交わる

接する条件 $k=1$ だけでなく、接点の位置と、$k$ を動かしたときの3態の全体像まで1枚で手に入る。判別式(本解)は「重解の有無」を測る計器、平方完成は「差がどこでどれだけ縮むか」を見る顕微鏡だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「すべての $x$ で $>0$」という全称の条件は、グラフで「放物線が $x$ 軸より完全に上」と読む。

$x^2$ の係数は正(下に凸)だから、軸より上 ⟺ $x$ 軸と交わらない ⟺ 判別式 $<0$。判別式は $a$ の2次式になる。$a^2-a-2<0$ を因数分解して解けば、$a$ の範囲が出る。

① 判別式 $<0$。 $$\frac{D}{4}=a^2-1\cdot (a+2)=a^2-a-2<0.$$ ② $a$ の不等式を解く。 $a^2-a-2=(a-2)(a+1)<0$ より $$-1<a<2.$$

まとめ常に正 $⟺$ 判別式 $<0$ $⟺$ $(a-2)(a+1)<0$ $⟺$ $-1<a<2$。$2$ 次関数(判別式)と全称命題の融合。判別式が $a$ の $2$ 次式になるのが味。

発展。 境界の $a=2$ ではグラフが $x$ 軸に接する($x=2$ で $f=0$)。「常に正」の範囲の端はいつも「接する瞬間」だ。また本問と前問(2正解: $a>2$)と「2負解」「異符号の2解」…を全部並べると、$a$ の数直線が判別式と配置条件で完全に分割される。パラメータの全域を1本の数直線にまとめておくと、それぞれの問題がどの範囲を聞いているかが分かる。

別解

平方完成で最小値を直接押さえる+前問との対比。 平方完成すると

$$x^2-2ax+a+2=(x-a{)}^2+(a+2-a^2)$$

最小値は $a+2-a^2$。「すべての $x$ で正」⟺「最小値 $>0$」⟺ $a^2-a-2<0$ ⟺ $-1<a<2$。同じ関数を使った前問(異なる2つの正の解をもつ条件は $a>2$)との関係に注目する。判別式 $a^2-a-2$ の符号が

• $a^2-a-2<0$($-1<a<2$): 解なし=グラフが浮いている(本問)
• $a^2-a-2>0$: 2実解あり。さらに配置の条件を足すと $a>2$ で2正解(前問)

と、1本の2次式 $a^2-a-2$ が2つの問題の分水嶺を同時に描いている。パラメータの2次式は問題をまたいで何度も使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ${\cos }^{2}x$ と $\cos x$ は、どちらも同じ部品 $\cos x$ でできている。$t=\cos x$ と置きかえると、$y=t^2+t$ のただの2次関数だ。

置きかえたら、必ず新しい変数の範囲を確認する。$t=\cos x$ の動ける範囲は $-1\le t\le 1$。あとは閉区間 $[-1,1]$ での2次関数の最大最小を求める。頂点が区間に入っているかを見て、頂点と両端で決める。

① 置きかえる。 $t=\cos x$ とおくと $y=t^2+t={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$、$t$ の範囲は $-1\le t\le 1$。

② 最大・最小。 下に凸で頂点 $t=-\frac{1}{2}$(範囲内)。

• 最小:頂点 $t=-\frac{1}{2}$ で $-\frac{1}{4}$。
• 最大:頂点から遠い端。$t=-1$ で $0$、$t=1$ で $2$。よって $t=1$ で最大 $2$。

③ 結論。 最大値 $2$($\cos x=1$、$x=0$ など)、最小値 $-\frac{1}{4}$($\cos x=-\frac{1}{2}$、$x=\frac{2\pi }{3}$ など)。

まとめ $t=\cos x$($-1\le t\le 1$)で $y=t^2+t$。頂点 $t=-\frac{1}{2}$ で最小 $-\frac{1}{4}$、端 $t=1$ で最大 $2$。三角関数と $2$ 次関数の融合。$t$ の範囲を忘れると誤答。

発展。 「置きかえたら新変数の範囲を確認」は、$t=\sin x+\cos x$($-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$)、$t=2^x$($t>0$)、$t=x+\frac{1}{x}$($|t|\ge 2$)のように、この先のすべての置換で守る決まりだ。範囲を忘れると、実現しない「最小値」を答えてしまう(たとえば本問で $t=-3$ の値を答える誤り)。置換とは「変数の乗り換え」であり、乗り換え先の路線図(範囲)の確認までがワンセットになる。

別解

候補を並べて比べる(閉区間の最大最小の帳簿)。 閉区間での2次関数の最大最小の候補は、頂点(区間内なら)と両端の高々3つしかない。全部書き出して比べる:

• 頂点 $t=-\frac{1}{2}$(区間 $[-1,1]$ 内): $y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$
• 端 $t=1$: $y=1+1=2$
• 端 $t=-1$: $y=1-1=0$

最小は $-\frac{1}{4}$、最大は $2$。最後に実現の確認: $t=-\frac{1}{2}$ になる $x$($\cos x=-\frac{1}{2}$、たとえば $x=\frac{2\pi }{3}$)も、$t=1$ になる $x$($x=0$)も実在する。置きかえの範囲 $[-1,1]$ の中の値はすべて実現するから、答えは確定だ。増減の議論(本解)は流れを、候補の帳簿は結論を、それぞれ最短で押さえる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 2次関数の式には3つの衣装がある: 一般形 $a{x}^2+bx+c$、頂点形 $a(x-p{)}^2+q$、因数分解形。与えられた情報の形に合った衣装を選ぶ。

本問は「頂点」が与えられているので、迷わず頂点形 $y=a(x-1{)}^2-2$ とおく。未知数は $a$ の1個だけ。通る点 $(3,6)$ を代入すれば、$a$ が1本の方程式で決まる。

① 頂点形でおく。 頂点 $(1,-2)$ より $$y=a(x-1{)}^2-2.$$ ② 通る点を代入。 $(3,6)$ を代入すると $$6=a(3-1{)}^2-2=4a-2⟹4a=8⟹a=2.$$ ③ 結論。 $$y=2(x-1{)}^2-2(=2x^2-4x).$$

まとめ頂点が分かれば頂点形 $y=a(x-1{)}^2-2$、通る点で $a=2$。$y=2(x-1{)}^2-2$。$2$ 次関数の決定は「与えられた情報に合う形」を選ぶのが要。

発展。 2次関数は係数3つで決まる=独立な条件3本で決まる。「頂点」は座標2つ分の情報(軸と頂点の高さ)なので、あと1点で確定する。未知数の数と条件の数が合っている。「3点を通る」なら一般形で3本の連立、「$x$ 軸との交点2つ+1点」なら因数分解形 $y=a(x-\alpha )(x-\beta )$ を使う。与えられた情報の形に合わせて式の形を選べば、決定問題は迷わない。

別解

一般形でも解ける(連立の機械ルート)。 頂点形を思いつかなくても、$y=a{x}^2+bx+c$ とおいて条件を式にすれば解ける。

• 軸が $x=1$: $-\frac{b}{2a}=1$、つまり $b=-2a$
• 頂点の $y$ 座標が $-2$: $f(1)=a+b+c=-2$
• $(3,6)$ を通る: $9a+3b+c=6$

$b=-2a$ を代入して連立を解くと $a=2,b=-4,c=0$ となり、$y=2x^2-4x=2(x-1{)}^2-2$ で本解と一致する。

未知数3個の連立(本ルート)と、未知数1個の代入(本解)。情報が「頂点」の形で来ているときに頂点形を選ぶと、計算量が3分の1になる。2つの解き方を比べると、式の形の選び方で計算量が決まることが分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 条件 $x+2y=8$ で1文字消去するのが直進ルートだ。$x=8-2y$ を代入して

$xy=(8-2y)y=-2y^2+8y$ は上に凸の2次関数だ。範囲($x>0$ から $0<y<4$)の中に頂点 $y=2$ が入っているから、頂点で最大 $8$。「消去 → 2次関数 → 頂点」の3拍子だ。

① $1$ 文字消去。 $x=8-2y$ を積に代入して $$xy=(8-2y)y=-2y^2+8y=-2(y-2{)}^2+8.$$ ② $y$ の範囲。 $x=8-2y>0$ より $y<4$、$y>0$ とあわせて $0<y<4$。

③ 最大。 上に凸で頂点 $y=2$(範囲内)。頂点で最大 $$xy=-2(2-2{)}^2+8=8(y=2,x=8-4=4).$$ よって最大値は $8$。

まとめ $x+2y=8$ で消去して $xy=-2(y-2{)}^2+8$($0<y<4$)、頂点 $y=2$ で最大 $8$($x=4$)。$2$ 次関数の最適化。相加相乗 $x\cdot 2y\le {\left(\frac{x+2y}{2}\right)}^2=16$ から $xy\le 8$ でも同じ。

発展。 これは「周の長さが一定の長方形(横 $x$、縦 $y$ を2枚)で面積を最大に」という等周問題の変形でもある。重みが変わっても($x+3y=$ 一定 など)、相加相乗を「$x$ と $3y$」で組めば同じ形で解ける。さらに数IIの微分、数IIIの多変数へ進んでも、「和が一定 → 均等配分で積が最大」という原理は最適化の第一感であり続ける。

別解

相加相乗平均で(消去しない対称ルート)。 $x>0,2y>0$ の2つの数に相加相乗平均を使うと

$$8=x+2y\ge 2\sqrt{x\cdot 2y}=2\sqrt{2xy}$$

両辺を2で割って2乗すると $16\ge 2xy$、すなわち

$$xy\le 8$$

等号は $x=2y$ のとき。$x+2y=8$ と連立して $x=4,y=2$ となる。範囲内に実在するから、最大値 $8$ が確定する。

1文字消去(本解)はどんな条件でも使える方法で、相加相乗は「和が一定なら、積は等分で最大」という原理を式のまま使う近道だ。$x$ と $2y$ という「係数込みのかたまり」でペアを組むのが、この型の目の付けどころだ。