2次関数のグラフと最大・最小 最難関編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「最大値を最小にする」。ミニマックスの問題だ。$x^2$ の山を、直線の項 $ax+b$ でどれだけ打ち消せるかが問われている。

この型の最適化は、両側から挟むのが基本だ。下からは「どんな $a,b$ でも $M\ge c$」という不等式。上からは「$M=c$ になる実例」。両方そろって初めて、最小値が確定する。

下からの評価には区間の端と中央の値から「2次の係数だけを取り出す」組合せを使う。

① 下からの評価。 $g(x)=x^2+ax+b$ とし、$x=1,0,-1$ での値を見る。$g(1)=1+a+b$、$g(-1)=1-a+b$、$g(0)=b$ だから

$$g(1)+g(-1)-2g(0)=2$$

$a,b$ が消えて $2$ になった。三角不等式で

$$|g(1)|+|g(-1)|+2|g(0)|\ge |g(1)+g(-1)-2g(0)|=2$$

もし3つの値がすべて絶対値 $<\frac{1}{2}$ なら、左辺 $<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}=2$ となって矛盾する。よってどれかは $\frac{1}{2}$ 以上。すなわち $M(a,b)\ge \frac{1}{2}$ だ。

② 上からの評価(等号の実現)。 $a=0,b=-\frac{1}{2}$ をとると $g(x)=x^2-\frac{1}{2}$。$-1\le x\le 1$ で $x^2\in [0,1]$ だから $g(x)\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$。すなわち $|g(x)|\le \frac{1}{2}$ だ。しかも $x=0$ で $-\frac{1}{2}$、$x=\pm 1$ で $\frac{1}{2}$ に達する。よって $M\left(0,-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。

①②より最小値は $\frac{1}{2}$。

まとめ: ミニマックスは「下から(不等式)」と「上から(実例)」で挟む。決め手は $g(1)+g(-1)-2g(0)=2$ という、2次の係数だけを残す組合せだ。等号を与える $x^2-\frac{1}{2}$ は、両端と中央で符号を変えながら等しい大きさ $\frac{1}{2}$ に達する(チェビシェフ多項式 $\frac{1}{2}{T}_2$)。

発展。 区間全体でなく、3点 $x=-1,0,1$ だけで最大を測っても答えは同じ $\frac{1}{2}$ になる(①はその3点しか使っていない)。さらに一般に、$n$ 次の係数1の多項式が区間 $[-1,1]$ で達しうる最大絶対値の最小は $\frac{1}{2^{n-1}}$ で、実現するのがチェビシェフ多項式だ。本問はその $n=2$ の姿である。

別解

対称性で当たりを付ける(直感ルート)。 区間 $[-1,1]$ も $y=x^2$ も $y$ 軸に関して左右対称だ。なら、最適な直線も左右対称のはず。傾きは $a=0$ と当たりを付けてよい。

残るは $b$ だけ。$g(x)=x^2+b$ を考える。$x^2$ は区間上で $0$ から $1$ まで動くから、$g$ の値は $b$ から $1+b$ までの帯になる。帯の中の絶対値の最大は

$$\max (|b|,|1+b|)$$

2つの値は $b=-\frac{1}{2}$ のとき等しくなり、そのとき最大は $\frac{1}{2}$。帯 $[0,1]$ を上下対称の $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ に置いた瞬間が、いちばん「薄く」見える瞬間だ。

これで候補 $M=\frac{1}{2}$($a=0,b=-\frac{1}{2}$)が立つ。「これより小さくできない」ことは本解①の不等式で保証されている。対称性で候補を絞り、不等式で締める。分業させると、それぞれの仕事が軽くなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 拘束 $x^2+y^2=1$ のもとでの2次式の最大最小だ。$x=\cos \theta ,y=\sin \theta$ とおけば、拘束は自動的に満たされ、1変数 $\theta$ の問題に落ちる。

2次の項は2倍角の公式で $\sin ,\cos$ の1次にそろえる。すると振れ幅がそのまま読める。

① 単位円のパラメータ表示。 $x=\cos \theta ,y=\sin \theta$ とおく。

$$Q=3({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )+2\cos \theta \sin \theta =3+\sin 2\theta$$

(${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$、$2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ を使った。)

② 振れ幅を読む。 $-1\le \sin 2\theta \le 1$ だから、$Q=3+\sin 2\theta$ は

$$\text{最大値 }4(\sin 2\theta =1),\text{最小値 }2(\sin 2\theta =-1)$$

まとめ: 拘束つき2次式は「単位円のパラメータ表示 → 2倍角 → 振れ幅」で出る。定数 $3$ は対角の係数から、振れ幅 $1$ は交差項 $2xy$ から来ている。これは行列 $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$ の固有値 $4,2$ に一致する(2次形式の最大最小=固有値)。

別解

三角関数を使わない(数Iの道具だけの最短路)。 拘束 $x^2+y^2=1$ を、式にそのまま食べさせてしまう。

$$Q=3(x^2+y^2)+2xy=3+2xy$$

問題は「円の上で $xy$ はどこまで動けるか」に縮んだ。ここで実数の基本不等式 $x^2+y^2\ge 2|xy|$($(x\mp y{)}^2\ge 0$ の言い換え)を使うと、$1\ge 2|xy|$。つまり

$$-\frac{1}{2}\le xy\le \frac{1}{2}$$

端も実現する。$x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ で $xy=\frac{1}{2}$(このとき $Q=4$)。$x=-y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ で $xy=-\frac{1}{2}$($Q=2$)。

よって $2\le Q\le 4$。三角関数も合成も要らず、実質2行で終わる。「拘束を代入して式を縮める」と「$(x\pm y{)}^2\ge 0$」。対称式の2大道具の見本だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $f(f(x))=x$ は4次方程式。正面から解くのは重い。

ここで構造に気づきたい。$f(x)=x$ を満たす $x$(不動点)は、2回写しても動かない。つまり自動的に $f(f(x))=x$ を満たす。すると $f(f(x))-x$ は $f(x)-x$ を因数にもち、2つの2次式の積に分かれる。

あとは、それぞれの判別式と、共通解の排除で条件を出すだけだ。

① 因数分解する。 $f(x)-x=x^2-x+c$。実際に割ると(または展開して確かめると)

$$f(f(x))-x=(x^2-x+c)(x^2+x+c+1)$$

② 2つの2次式が実数解をもつ条件。 相異なる4実数解 ⟺ 各2次式が相異なる実数解をもち、かつ共通解をもたない。

• $x^2-x+c=0$: 判別式 $1-4c>0⟺c<\frac{1}{4}$
• $x^2+x+c+1=0$: 判別式 $1-4(c+1)=-3-4c>0⟺c<-\frac{3}{4}$

③ 共通解を排除する。 2式を引くと $-2x-1=0$。共通解の候補は $x=-\frac{1}{2}$ だけだ。$x^2-x+c=0$ に代入すると $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+c=c+\frac{3}{4}=0$。つまり $c=-\frac{3}{4}$ のときだけ共通解をもつ。$c<-\frac{3}{4}$ なら共通解はない。

以上より、求める範囲は $c<-\frac{3}{4}$。

まとめ: 「不動点は周期2の点でもある」から $f(x)-x$ が因数に出る。ここに気づけば解ける。4次を2つの2次に割れば、判別式2本と共通解の排除で条件が決まる。厳しいほうの $c<-\frac{3}{4}$ が答えを支配する。

発展。 3回写して戻る点($f(f(f(x)))=x$)を求めると、8次方程式になる。そこから先は「周期点がどう増えていくか」という力学系の問いだ。$x^2+c$ という単純な式が、$c$ しだいで極めて複雑な軌道(カオス)を生むことが知られている。本問で扱った周期2の点は、その中でいちばん単純な場合である。

別解

縦の放物線と横の放物線で見る(図形ルート)。 $y=f(x)$ のグラフと、それを直線 $y=x$ で折り返した曲線 $x=f(y)$(横向きの放物線)を重ねてみる。

実は、$f(f(x))=x$ の実数解は、この2曲線の交点の $x$ 座標と一致する。$y=f(x)$ かつ $x=f(y)$ なら $f(f(x))=f(y)=x$ となるからだ(逆に $f(f(x))=x$ なら、$y=f(x)$ とおけば2式が立つ)。

交点を計算しよう。2式 $y=x^2+c,x=y^2+c$ を引き算すると

$$y-x=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$

整理して $(x-y)(x+y+1)=0$。つまり交点は対角線 $y=x$ 上(不動点、$x^2-x+c=0$)にあるか、直線 $x+y=-1$ 上(2回で入れ替わるペア、代入して $x^2+x+c+1=0$)にある。

本解の2つの2次式が「対角線上の交点」と「対角線をはさんで対になる交点」という図形の言葉で言い換えられた。相異なる4解の条件は、2つの放物線が4回交わる条件そのものだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「実数解をもつ」を条件式で表す。目は $1\sim 6$ だから $a\ge 1\ne 0$。必ず2次方程式で、実数解 ⟺ 判別式 $b^2-4ac\ge 0$、すなわち $b^2\ge 4ac$ だ。

$a,b,c$ は独立で全 $216$ 通り。$b$ を固定して「$4ac\le b^2$ となる $(a,c)$ の個数」を数えるのが整理しやすい。

① $b$ ごとに $ac\le \frac{b^2}{4}$ となる $(a,c)$ を数える。

• $b=1$: $ac\le \frac{1}{4}$。$ac\ge 1$ より $0$ 個
• $b=2$: $ac\le 1$。$(1,1)$ の $1$ 個
• $b=3$: $ac\le 2.25$。$ac=1,2$: $(1,1),(1,2),(2,1)$ の $3$ 個
• $b=4$: $ac\le 4$。$ac=1,2,3,4$ の個数 $1+2+2+3=8$ 個
• $b=5$: $ac\le 6.25$。$ac=1,\dots ,6$ の個数 $1+2+2+3+2+4=14$ 個
• $b=6$: $ac\le 9$。上の $14$ に $ac=8$(2個)と $ac=9$(1個)を加えて $17$ 個($ac=7$ は目の積で作れない)

② 合計する。

$$0+1+3+8+14+17=43,\text{全体 }{6}^3=216$$

$$\text{確率}=\frac{43}{216}$$

まとめ: 判別式 $b^2\ge 4ac$ に書き直し、$b$ ごとに $ac\le b^2/4$ の $(a,c)$ を数える。$ac$ の各値を作る組の個数を丁寧に数えるのが確実だ。2次関数(判別式)と確率(数え上げ)の融合になっている。

別解

集計の向きを変えて検算する($(a,c)$ を固定)。 数え上げは集計の向きを変えると独立な検算になる。今度は積 $ac$ の側から数えてみよう。

$ac$ の値ごとに「その積を作る組の数」と「$b^2\ge 4ac$ となる $b$ の個数」を掛けて足す。$4ac\le 36$、つまり $ac\le 9$ だけが残る。

• $ac=1$(1組): $b\ge 2$ の5個
• $ac=2$(2組): $b\ge 3$ の4個
• $ac=3$(2組): $b\ge 4$ の3個
• $ac=4$(3組): $b\ge 4$ の3個
• $ac=5$(2組): $b\ge 5$ の2個
• $ac=6$(4組): $b\ge 5$ の2個
• $ac=8$(2組): $b=6$ の1個
• $ac=9$(1組): $b=6$ の1個

合計は $1\cdot 5+2\cdot 4+2\cdot 3+3\cdot 3+2\cdot 2+4\cdot 2+2\cdot 1+1\cdot 1=43$。本解と一致した。二重の数え上げは、どちらの文字を固定するかで数え方が変わる。両方の向きで数えて一致させるのは、答えの信頼を自前で作る技術だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 放物線 $y=x^2$ を、直線 $y=ax+b$ で区間 $[0,1]$ 上「最もよく近似」する問題(最小二乗)だ。

$J$ を展開すれば $a,b$ の2次式になる。だから各文字で平方完成すれば解ける。ただ、同じことを「残差の2乗和が最小 ⟺ 残差が、近似に使った関数($x$ と定数 $1$)に直交する」と見ると、連立がすぐに立つ。

① 直交条件を書く。 ${\int }_0^1{x}^{k}dx=\frac{1}{k+1}$ を使う。

$${\int }_0^1(x^2-ax-b)dx=\frac{1}{3}-\frac{a}{2}-b=0$$ $${\int }_0^1(x^2-ax-b)xdx=\frac{1}{4}-\frac{a}{3}-\frac{b}{2}=0$$

② 連立を解く。 上の式から $b=\frac{1}{3}-\frac{a}{2}$。下に代入すると $\frac{1}{4}-\frac{a}{3}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{2}\right)=\frac{1}{12}-\frac{a}{12}=0$。よって $a=1$、$b=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$。

③ 最小値を求める。 残差は近似 $ax+b$ に直交するから、$J_{\min }={\int }_0^1{x}^2(x^2-x+\frac{1}{6})dx=\frac{1}{5}-\frac{1}{4}+\frac{1}{18}=\frac{36-45+10}{180}=\frac{1}{180}$。

まとめ: $J$ の最小化は「残差が $x$ と $1$ に直交」、つまり $\int (\text{残差})dx=\int (\text{残差})xdx=0$ の連立になる。最小値は $\int (\text{残差})\cdot x^2$ だけで出る(残差 ⊥ $ax+b$ だから)。2次関数と定積分の融合だ。

発展。 「残差を、使った関数たちに直交させる」のは最小二乗法の一般原理で、データの分析で学ぶ回帰直線とまったく同じ考え方だ(和が積分に変わっただけ)。近似に使う関数を増やしても、直交条件を並べるだけで最良近似が求まる。

別解

平方完成だけで押し切る(2次関数の基本の方法)。 直交という言葉を使わなくても、$J$ は $a,b$ の2次式だから、平方完成の腕力で最小化できる。展開する(${\int }_0^1{x}^{k}dx=\frac{1}{k+1}$ を各項に使う):

$$J=\frac{1}{5}-\frac{a}{2}-\frac{2b}{3}+\frac{a^2}{3}+ab+b^2$$

まず $b$ について平方完成:

$$J={\left(b+\frac{a}{2}-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{a^2}{12}-\frac{a}{6}+\frac{4}{45}$$

残った $a$ の部分も平方完成:

$$J={\left(b+\frac{a}{2}-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{1}{12}(a-1{)}^2+\frac{1}{180}$$

2つの平方は $a=1,b=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$ で同時に0にできる。よって最小値 $\frac{1}{180}$。積分は最初の展開の1回だけ。あとは数Iの平方完成そのものだ。最小値 $\frac{1}{180}$ が式の定数項として直接目に見えるのが、この方法の利点である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 幅1の区間を数直線の上で滑らせながら、放物線 $y=x^2$ の「区間内での山と谷の差」を測る問題だ。

放物線は $x=0$ で最小。だから、区間が原点をまたぐかどうかで、最小値の場所(端か、頂点か)が変わる。$a$ で場合分けする。

① 場合分け。

• $a\ge 0$: 区間は $x\ge 0$ で増加。最大 $(a+1{)}^2$、最小 $a^2$。$D=(a+1{)}^2-a^2=2a+1\ge 1$
• $a+1\le 0$(すなわち $a\le -1$): 区間は $x\le 0$ で減少。最大 $a^2$、最小 $(a+1{)}^2$。$D=a^2-(a+1{)}^2=-2a-1\ge 1$
• $-1<a<0$: 区間は頂点 $0$ を含む。最小は $0$、最大は両端のうち遠いほう $\max \{a^2,(a+1{)}^2\}$。$D=\max \{a^2,(a+1{)}^2\}$

② 頂点を含む場合の最小化。 $a^2=(a+1{)}^2⟺a=-\frac{1}{2}$。このとき両端は頂点から等距離で、$D={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$。$a$ が $-\frac{1}{2}$ から離れると、遠い側の端が高くなって $\max$ は増える。

③ 全体。 各場合の最小は、$a\ge 0$ で $1$、$a\le -1$ で $1$、$-1<a<0$ で $\frac{1}{4}$。よって $D(a)$ の最小値は $\frac{1}{4}$。

まとめ: 動く区間の最大最小は「区間が頂点を含むか」で場合分けする。含むとき最小は頂点、最大は遠い側の端だ。両端が頂点から等距離になる $a=-\frac{1}{2}$ で、差がいちばん縮む。図で区間を滑らせると、その瞬間が見える。

発展。 区間の幅を $h$ に変えると、同じ議論で最小値は ${\left(\frac{h}{2}\right)}^2$ になる(本問は $h=1$)。さらに、下に凸ならどんな関数でも「両端の高さが等しい位置」が差を最小にする。放物線に限らない、凸さだけから出る原理だ。

別解

鏡映しの対称性で当たりを付ける(得意な人向け)。 $y=x^2$ は偶関数だ。区間 $[a,a+1]$ を原点で折り返すと、区間 $[-a-1,-a]$ に移る。折り返しても $x^2$ の値の集まりは変わらない。だから

$$D(-1-a)=D(a)$$

つまり関数 $D$ は $a=-\frac{1}{2}$ を中心に左右対称だ。対称な関数の最小は対称の中心で起こると当たりを付けたくなる。実際、$a\ge -\frac{1}{2}$ の側で $D$ が増える一方であることを(場合分けで)確かめれば、正当化できる。中心 $a=-\frac{1}{2}$ での値は、区間 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ で最大 $\frac{1}{4}$・最小 $0$、差は $\frac{1}{4}$。

場合分けの計算(本解)と同じ答えに、対称性という一段高い視点から降りてくるルートだ。「問題の対称性は、答えの場所を教える」。この感覚は最適化の問題のあちこちで役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「点から放物線への2接線」は、接点のパラメータ $t$ の2次方程式に持ち込むのが基本だ。

接線の傾きは $2t$。だから2本の直交条件は2解 $t_1,t_2$ の積で書ける。解と係数の関係で $t_1{t}_2$ を点 $\mathrm{A}$ の座標で表せば、軌跡が出る。

① $\mathrm{A}(X,Y)$ を通る条件。 $Y=2tX-t^2$、すなわち

$$t^2-2Xt+Y=0$$

2本の接線 ⟺ この $t$ の2次方程式が相異なる2実解 $t_1,t_2$ をもつ(判別式 $4X^2-4Y>0$、つまり $Y<X^2$)。解と係数の関係で $t_1{t}_2=Y$。

② 直交条件。 2接線の傾きは $2t_1,2t_2$ だから、直交 ⟺ $(2t_1)(2t_2)=-1$、すなわち $4t_1{t}_2=-1$。$t_1{t}_2=Y$ を代入して

$$4Y=-1⟹Y=-\frac{1}{4}$$

③ 逆の確認。 $Y=-\frac{1}{4}$ なら $Y<X^2$($-\frac{1}{4}<X^2$)がどの $X$ でも成り立ち、たしかに2本引ける。よって軌跡は直線 $y=-\frac{1}{4}$。

まとめ: 接点パラメータ $t$ の2次方程式に直し、「2接線=2解」「直交=傾きの積 $-1$」を解と係数の関係でつなぐ。得られた $y=-\frac{1}{4}$ は放物線の準線(焦点は $(0,\frac{1}{4})$)。「準線上の点から引いた2接線は直交する」という有名な事実になっている。

発展。 楕円で同じ問い(直交2接線の交点の軌跡)を立てると、答えは円になる(準円と呼ばれる)。放物線の準線は、その円が無限に大きくなった極限の姿だ。曲線が変わっても、「直交2接線の交点」という問いの構造は生きている。

別解

傾き $m$ を未知数にする(もう1つの2次方程式)。 接点でなく、接線の傾きをパラメータにしても解ける。点 $\mathrm{A}(X,Y)$ を通る傾き $m$ の直線は $y=m(x-X)+Y$。放物線 $y=x^2$ と接する条件は、連立した

$$x^2-mx+(mX-Y)=0$$

が重解をもつことだ。判別式 $=0$ から

$$m^2-4Xm+4Y=0$$

これは $m$ の2次方程式。2本の接線の傾き $m_1,m_2$ はその2解で、解と係数の関係から $m_1{m}_2=4Y$。直交 $m_1{m}_2=-1$ とあわせて $4Y=-1$、すなわち $Y=-\frac{1}{4}$。

接点 $t$ を使う本解と、傾き $m$ を使う本ルート。どちらも「2本の接線=ある2次方程式の2解」という同じ形で、変数の選び方だけが違う。微分を知らなくても接線を扱えるのは、判別式 $=0$(重解)が「接する」を表すからだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 拘束も目標も対称式だ。こういうときは、基本対称式 $x+y,xy$ よりも、$s=x^2+y^2,p=xy$ の言葉で書くと見通しがよい。

拘束は $s+p=3$、目標は $x^2-xy+y^2=s-p$。$s=3-p$ を代入すれば、目標は $p$ だけの式になる。あとは $p=xy$ のとりうる範囲を、「$x,y$ が実数」という条件から出せばよい。

① $s,p$ で書き換える。 $s=x^2+y^2,p=xy$ とおく。拘束 $s+p=3$、目標 $s-p$。$s=3-p$ より

$$x^2-xy+y^2=s-p=(3-p)-p=3-2p$$

② $p=xy$ の範囲。 $x,y$ が実数だから $x^2+y^2\ge 2|xy|$。すなわち $s\ge 2|p|$、$3-p\ge 2|p|$ だ。

• $p\ge 0$ のとき: $3-p\ge 2p⟺p\le 1$。よって $0\le p\le 1$
• $p<0$ のとき: $3-p\ge -2p⟺p\ge -3$。よって $-3\le p<0$

あわせて $-3\le p\le 1$(端は $x=y=\pm 1$ で $p=1$、$x=-y=\pm \sqrt{3}$ で $p=-3$ が実現)。

③ 目標の範囲。 $3-2p$ は $p$ の減少関数。$p=-3$ で最大 $3-2(-3)=9$、$p=1$ で最小 $3-2=1$。

$$1\le x^2-xy+y^2\le 9$$

まとめ: 対称式は $s=x^2+y^2,p=xy$ に置き換える。拘束と目標がともに $s,p$ の1次で書けるから、$s=3-p$ の代入で1変数に落ちる。$p$ の範囲は実数条件 $s\ge 2|p|$ から出る。2次形式の値域問題の典型だ。

別解

和と差の座標に乗り換える(得意な人向け)。 $u=x+y,v=x-y$ とおくと、対称式はきれいに割れる。$x^2+y^2=\frac{u^2+v^2}{2}$、$xy=\frac{u^2-v^2}{4}$ だから、拘束は

$$\frac{u^2+v^2}{2}+\frac{u^2-v^2}{4}=\frac{3u^2+v^2}{4}=3⟺3u^2+v^2=12$$

目標は

$$x^2-xy+y^2=\frac{u^2+v^2}{2}-\frac{u^2-v^2}{4}=\frac{u^2+3v^2}{4}$$

拘束から $u^2=\frac{12-v^2}{3}$($0\le v^2\le 12$)。代入して

$$\frac{u^2+3v^2}{4}=1+\frac{2}{3}{v}^2$$

$v^2$ が $0$ から $12$ まで動くので、値域は $1$ から $1+8=9$。最小は $v=0$($x=y$ の方向)、最大は $u=0$($x=-y$ の方向)で起こる。

拘束の曲線は $u,v$ 座標で見ればまっすぐな楕円 $3u^2+v^2=12$ だ。斜めに置かれた2次式は45°回した座標(和と差)で対角化される。数Cで学ぶ主軸変換の、いちばん素朴な形である。