2次関数のグラフと最大・最小 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平方完成のゴールは「$(x+\text{何か}{)}^2$ のかたまりを作る」こと。$x^2+4x$ を見たら、$x$ の係数 $4$ の半分の $2$ を使って $(x+2{)}^2$ を作りにいく。

ただし $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$ と、余計な $4$ が付いてくる。だから足した分だけ引く。

$$x^2+4x+1=(x+2{)}^2-4+1=(x+2{)}^2-3$$

$x^2$ の係数が $1$ でない(2)(3)は、先に係数でくくるのが原則だ。くくり出した数を最後に掛け戻すのを忘れずに。

(1) $x^2+4x$ の部分を「$(x+\text{なにか}{)}^2$」の形にする。$4$ の半分の2を使って $(x+2{)}^2$ を作り、余分な $2^2=4$ を引く。

$$\begin{array}{rl}y& =x^2+4x+1\\ & =(x+2{)}^2-4+1\\ & =(x+2{)}^2-3\end{array}$$

頂点は $(-2,-3)$ とわかる。

(2) $x^2$ の係数が2なので、まず $x$ の入った項を2でくくる(定数5はくくらない)。

$$y=2(x^2-4x)+5$$

カッコの中 $x^2-4x$ を平方完成($4$ の半分2を使い $(x-2{)}^2-4$)。

$$\begin{array}{rl}y& =2\{(x-2{)}^2-4\}+5\\ & =2(x-2{)}^2-8+5\\ & =2(x-2{)}^2-3\end{array}$$

カッコの外に出すとき、$2\times (-4)=-8$ と、くくった数をかけるのを忘れずに。

(3) $x^2$ の係数が $-1$。$x$ の項を $-1$ でくくる。

$$y=-(x^2-6x)-4$$

カッコの中を平方完成($6$ の半分3で $(x-3{)}^2-9$)。

$$\begin{array}{rl}y& =-\{(x-3{)}^2-9\}-4\\ & =-(x-3{)}^2+9-4\\ & =-(x-3{)}^2+5\end{array}$$

まとめ:$-\{-9\}=+9$ の符号に注意。平方完成の芯は『$x$ の係数の半分で2乗を作り、余分を引く』。係数があるときは先にくくる。

発展。 なぜ平方完成をするのか。$y=a(x-p{)}^2+q$ の形にすると、グラフの全情報が読めるからだ。頂点 $(p,q)$、軸 $x=p$、凸の向き($a$ の符号)、そして最大最小の値まで、$1$ 目で分かる。展開された $a{x}^2+bx+c$ の形からは、グラフの様子が読み取れない。平方完成は「隠れた構造を表に出す」変形だ。

この変形は $2$ 次方程式の解の公式の導出そのものでもある。$a{x}^2+bx+c=0$ を平方完成すると ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ となり、平方根をとれば解の公式が出てくる。判別式 $b^2-4ac$ もこの式の右辺から出てくる。$2$ 次のすべてが平方完成から生まれる。

別解

平方完成の結果(頂点の座標)は公式で直接出すこともできる。検算に最適だ。$y=a{x}^2+bx+c$ の頂点の $x$ 座標は

$$x=-\frac{b}{2a}$$

($x$ の係数を、$x^2$ の係数の $2$ 倍で割ってマイナスをつける。平方完成で「半分にする」操作が、この式にまとめられている。)

(2) $y=2x^2-8x+5$: 頂点の $x$ 座標は $-\frac{-8}{2\times 2}=2$。$y$ 座標は代入して $y=8-16+5=-3$。

$$\text{頂点}(2,-3)⟹y=2(x-2{)}^2-3$$

平方完成の答えと一致する。

(3) $y=-x^2+6x-4$: $x=-\frac{6}{2\times (-1)}=3$、$y=-9+18-4=5$ → $y=-(x-3{)}^2+5$。

公式は速いが、平方完成の過程そのものが後で必要になる(最大最小・グラフの移動)ので、本解の手順が本線。公式は「答えが合っているか」の $10$ 秒チェックに使うのが正しい使い分けだ。

係数のかけ忘れ(2 でくくった後の $-4\times 2=-8$)は最頻ミスだが、公式で頂点を出して照合すれば必ず捕まる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y=a(x-p{)}^2+q$ の形なら、読み取るだけ。

• 頂点 $(p,q)$ はカッコの中を $0$ にする $x$ と、そのときの $y$
• 軸 $x=p$ は頂点を通る縦線
• 凸の向きは、$a>0$ なら下に凸(谷)、$a<0$ なら上に凸(山)

(1)はすでにその形。(2)(3)は平方完成してから読む。$(x+1{)}^2$ の頂点は $x=-1$(符号が逆)になる。ここが最大の引っかけである。

$y=a(x-p{)}^2+q$ の形にすれば、頂点 $(p,q)$、軸 $x=p$。$a$ の符号で凸の向きが決まる。

(1) $y=(x-1{)}^2+2$ はすでにこの形。頂点 $(1,2)$、軸は直線 $x=1$。$a=1>0$ なので下に凸。

(2) 平方完成する。

$$y=x^2+2x-3=(x+1{)}^2-1-3=(x+1{)}^2-4$$

頂点 $(-1,-4)$、軸 $x=-1$、$a=1>0$ で下に凸。

(3) $x^2$ の係数 $-2$ でくくって平方完成する。

$$\begin{array}{rl}y& =-2(x^2-2x)+1\\ & =-2\{(x-1{)}^2-1\}+1\\ & =-2(x-1{)}^2+2+1\\ & =-2(x-1{)}^2+3\end{array}$$

頂点 $(1,3)$、軸 $x=1$、$a=-2<0$ で上に凸。

まとめ:$(x-p{)}^2$ の $p$ は符号が逆になる($(x+1{)}^2$ なら頂点の $x$ は $-1$)ことに注意。

発展。 放物線は軸について左右対称だ。この対称性は計算にも使える。たとえば $x=0$ と $x=2$ が軸 $x=1$ から等距離なら、$y$ の値は必ず等しい。(2)で確かめると $y(0)=-3$、$y(-2)=-3$(軸 $x=-1$ から等距離)。

対称性は「$2$ 次関数のグラフと $x$ 軸の交点は軸について対称」「$2$ 解の平均が軸の位置」という事実も生む。$x^2+2x-3=0$ の解 $x=1,-3$ の平均は $-1$ で、これは軸と一致する。解と軸と頂点が、対称性で結ばれている。

別解

$(x+1{)}^2$ の頂点が $x=-1$ になる理由を、カッコの中を $0$ にする $x$ として捉えると、符号の混乱が消える。$(x-p{)}^2$ の形で、$2$ 乗の中身が $0$ になるのは $x=p$ のとき。$2$ 乗は必ず $0$ 以上なので、中身が $0$ のときに $2$ 乗が最小($=0$)になり、そこが頂点だ。

$(x+1{)}^2$ なら、中身 $x+1$ が $0$ になるのは $x=-1$。だから頂点の $x$ 座標は $-1$。

「$(x-p{)}^2$ の $p$ を読む」のではなく「中身を $0$ にする $x$ を求める」。この $1$ 手間で符号ミスが起きなくなる。

$y$ 座標の求め方もこの見方なら自然だ。頂点では $2$ 乗の部分が $0$ になるので、残りの定数がそのまま $y$ 座標。(2)の $y=(x+1{)}^2-4$ なら頂点は $(-1,-4)$。

凸の向きの意味も押さえておこう。$a>0$ なら「$2$ 乗の正の倍」だから頂点が最小値(下に凸の谷底)、$a<0$ なら「$2$ 乗の負の倍」で頂点が最大値(上に凸の山頂)。(3)の $y=-2(x-1{)}^2+3$ は上に凸だから、頂点 $(1,3)$ の $3$ がこの関数の最大値だ。

グラフを描かなくても、$a$ の符号と頂点だけで「山か谷か、頂点は最大か最小か」が確定する。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平行移動は「頂点がどこへ動くか」で考えるのがいちばん速い。形($a$ の値)は変わらず、位置だけが動く。

(1) $y=x^2$ の頂点 $(0,0)$ が $x$ 方向 $3$・$y$ 方向 $-2$ 動いて $(3,-2)$ へ。$a=1$ のまま

$$y=(x-3{)}^2-2$$

(2)も同じで、まず平方完成して頂点を出し、それを動かして、必要なら展開して戻す。「頂点で考える」が平行移動の基本である。

(1) $y=x^2$ の頂点は原点 $(0,0)$。$x$ 方向に3、$y$ 方向に $-2$ 動かすと、頂点は $(3,-2)$ に移る。形($a=1$)は変わらないので

$$y=(x-3{)}^2-2$$

(2) まず $y=2x^2-4x+3$ の頂点を、平方完成で求める。

$$y=2x^2-4x+3=2(x^2-2x)+3=2\{(x-1{)}^2-1\}+3=2(x-1{)}^2+1$$

頂点は $(1,1)$。これを $x$ 方向に $-1$、$y$ 方向に2動かすと

$$(1+(-1),1+2)=(0,3)$$

形($a=2$)は変わらないので、頂点 $(0,3)$ の放物線は

$$y=2(x-0{)}^2+3=2x^2+3$$

平行移動は『形はそのまま、頂点だけ動かす』と考えると速い。

発展。 平行移動で変わらないものは何か。それは $x^2$ の係数 $a$(グラフの開き具合と凸の向き)だ。動くのは頂点の位置だけ。だから「$y=2x^2-4x+3$ を移動した」答えの $x^2$ の係数は、必ず $2$ のまま。$a$ が変わっていたら、その時点で計算ミスと分かる。

この「$x$ を $x-p$ に置き換える」という規則は、$2$ 次関数に限らずすべての関数で成り立つ。$y=\sin x$ でも $y=\frac{1}{x}$ でも同じで、数IIIまでずっと使う、グラフの移動の共通ルールである。

別解

頂点を経由せず、式の置き換えで直接動かす方法もある。こちらは平方完成が不要だ。規則は次のとおりだ。$x$ 方向に $p$、$y$ 方向に $q$ 動かすには、$x$ を $x-p$ に、$y$ を $y-q$ に置き換える。

(2)は $x$ 方向 $-1$、$y$ 方向 $2$ なので、$x$ を $x-(-1)=x+1$、$y$ を $y-2$ に。

$$y-2=2(x+1{)}^2-4(x+1)+3$$

右辺を展開して整理すると

$$2x^2+4x+2-4x-4+3=2x^2+1$$

よって $y-2=2x^2+1$、つまり $y=2x^2+3$ となり、頂点ルートと同じ答えになる。

この方法では、符号が逆になるところで間違えやすい。「$+3$ 動かすのに $x-3$ を代入する」のは直感に反するが、理由はこうだ。移動後のグラフ上の点 $(x,y)$ は、移動前の点 $(x-p,y-q)$ が動いてきたもの。だから元の式に $(x-p,y-q)$ を入れる。

$2$ つの道は、平方完成が楽なら頂点ルート、面倒なら置き換えルートと使い分ける。そして両方で計算して一致を確かめれば、符号ミスはまず防げる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 対称移動も、置き換えの規則で処理できる。

• $x$ 軸対称(上下ひっくり返す): $y$ を $-y$ に置き換え
• $y$ 軸対称(左右ひっくり返す): $x$ を $-x$ に置き換え
• 原点対称($180°$ 回転): 両方置き換え

$x$ 軸対称なら $-y=x^2-4x+5$、つまり $y=-x^2+4x-5$。どの軸で何を置き換えるか、$3$ つの組み合わせを取り違えないことがすべてだ。

もとの放物線は $y=x^2-4x+5$。

(1) $x$ 軸に関する対称移動は、$y$ を $-y$ に置きかえる。

$$-y=x^2-4x+5$$

両辺に $-1$ をかけて $y=$ の形にする。

$$y=-x^2+4x-5$$

(2) $y$ 軸に関する対称移動は、$x$ を $-x$ に置きかえる。

$$y=(-x{)}^2-4(-x)+5=x^2+4x+5$$

$(-x{)}^2=x^2$、$-4(-x)=+4x$ に注意。

(3) 原点に関する対称移動は、$x$ を $-x$、$y$ を $-y$ に置きかえる。$x$ を $-x$ にした(2)の右辺を、さらに $y\to -y$ にした形なので

$$-y=x^2+4x+5$$

$y=$ の形にして

$$y=-x^2-4x-5$$

まとめ:対称移動は『$x$軸なら $y\to -y$、$y$軸なら $x\to -x$、原点なら両方』の置きかえ。落ち着いて符号を追おう。

発展。 $(-x{)}^2=x^2$ という事実が、$y$ 軸対称の計算で使われている。$x^2$ の項は $x\to -x$ で変わらないが、$x$ の項(奇数次)は符号が反転する。一般に「偶数次の項は $y$ 軸対称で不変、奇数次は符号反転」となる。$y=x^2$($y$ 軸対称な偶関数)と $y=x^3$(原点対称な奇関数)の性質は、ここから来ている。

対称移動を $2$ 回続けると元に戻る($x$ 軸対称を $2$ 回で恒等)。また「$x$ 軸対称 $+$ $y$ 軸対称 $=$ 原点対称」なので、$3$ つの移動は独立ではなく、$2$ つ知れば $3$ つ目は自動的に決まる。移動の合成という見方は、数Cの $1$ 次変換へつながっていく。

別解

頂点の移動で確かめると、置き換えの結果が図形的に納得でき、検算にもなる。$y=x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1$ なので、もとの放物線は頂点 $(2,1)$ の下に凸だ。

(1) $x$ 軸対称: 頂点は上下反転で $(2,-1)$ へ。谷が山になる(上に凸に反転)。

$$y=-(x-2{)}^2-1=-x^2+4x-5$$

(2) $y$ 軸対称: 頂点は左右反転で $(-2,1)$ へ。凸の向きは変わらない(左右に鏡映しても谷は谷)。

$$y=(x+2{)}^2+1=x^2+4x+5$$

(3) 原点対称: 頂点は $(-2,-1)$ へ。$180°$ 回転なので上に凸になる。

$$y=-(x+2{)}^2-1=-x^2-4x-5$$

いずれも置き換えの結果と一致する。

凸の向きが反転するのは、$x$ 軸対称と原点対称($y$ が $-y$ になる場合)だけで、$y$ 軸対称では変わらない。この $1$ 行を覚えておけば、答えの $x^2$ の係数の符号を即座に検算できる。「置き換えで計算し、頂点で検算する」のが、$2$ 重チェックの型である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 定義域がある最大最小は、候補を全部並べて比べるのが基本。候補は $2$ 種類しかない。

頂点(定義域の中にあれば)と、定義域の両端。$y=x^2-4x+1=(x-2{)}^2-3$ の頂点は $(2,-3)$ で、$0\leqq x\leqq 3$ の中にある。端は $x=0$ で $y=1$、$x=3$ で $y=-2$。下に凸だから頂点が最小で、最大は端のどちらかだ。値を比べると $x=0$ の $1$ が最大になる。「グラフを描いて候補を拾う」が原則である。

まず平方完成する。

$$y=x^2-4x+1=(x-2{)}^2-4+1=(x-2{)}^2-3$$

頂点 $(2,-3)$、下に凸の放物線。定義域 $0\le x\le 3$ の範囲でグラフを見る。

最小: 頂点 $x=2$ は定義域 $0\le x\le 3$ の中にある。下に凸なので、頂点で最小。$x=2$ のとき最小値 $-3$。

最大: 下に凸のグラフは定義域の両端のどちらかで最大になる。端の値を計算すると、$x=0$ で $y=1$、$x=3$ で $y=(3-2{)}^2-3=-2$。大きいのは $x=0$ の $y=1$。だから $x=0$ のとき最大値 $1$。

まとめ:定義域つきの最大・最小は、グラフをかいて『頂点が範囲に入るか』『端の値はいくつか』を見るのが確実。頂点だけ見て端を忘れると、最大を取り逃す。

発展。 「定義域がなければどうなるか」を考えると、定義域の役割が分かる。$0\leqq x\leqq 3$ がなければ、この関数は $x$ をどこまでも大きくすれば $y$ もいくらでも大きくなる。つまり最大値は存在しない(最小値 $-3$ だけが存在する)。定義域を切ることで、初めて最大値が生まれた。

「区間の端と内部の候補を比べる」という手法は、$3$ 次関数(数II)でも、微分を使う最大最小(数III)でも、まったく同じ形で使われる。関数の形が複雑になっても、候補を漏れなく拾って比べるという基本は変わらない。この問題はその最初の型である。

別解

端のどちらが大きいかは、値を計算しなくても軸からの距離で分かる。下に凸の放物線は、軸から遠いほど値が大きい(谷底から離れるほど高く登る)。軸は $x=2$。定義域の端との距離を測ると

• 左端 $x=0$: 軸から $|0-2|=2$
• 右端 $x=3$: 軸から $|3-2|=1$

左端の方が遠い → 左端の方が値が大きい → 最大は $x=0$。実際に計算しても $y(0)=1>y(3)=-2$ で、距離の判定と一致する。

この見方の利点は、計算前に答えの見当がつくこと。定義域が $-5\leqq x\leqq 3$ のように広ければ、$x=-5$(軸から $7$)がずっと遠いので、計算するまでもなく最大値の場所が決まる。

上に凸(山)なら逆で、軸から遠いほど値が小さい(最小になる)。「凸の向き × 軸からの距離」の $2$ 情報で、端のどちらが大きいかは計算なしで決まる。

最大最小は $3$ 点(頂点・左端・右端)の値比べで決まる。素朴だが、この $3$ 点を必ず全部拾う習慣が、取り逃しを防ぐ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 前問と同じ「頂点 $+$ 両端」の候補比べだ。ただし今回は頂点が定義域の外にある場合が登場する。

(1) $y=-(x-3{)}^2+6$ の頂点 $x=3$ は、定義域 $1\leqq x\leqq 4$ の中。上に凸なので頂点が最大 $6$。最小は端の遠い方。

(2) $y=(x+1{)}^2-4$ の頂点 $x=-1$ は、定義域 $1\leqq x\leqq 3$ の外(左に外れている)。頂点が外なら、定義域内でグラフは単調(ずっと増加か、ずっと減少)なので、最大最小はどちらも端で起きる。

(1)

平方完成する。

$$y=-x^2+6x-3=-(x^2-6x)-3=-\{(x-3{)}^2-9\}-3=-(x-3{)}^2+6$$

頂点 $(3,6)$、上に凸(山型)。定義域 $1\le x\le 4$ に頂点 $x=3$ は入る。上に凸なので頂点で最大 → $x=3$ で最大値6。最小は端。$x=1$ で $y=-(1-3{)}^2+6=2$、$x=4$ で $y=-(4-3{)}^2+6=5$。小さいのは $x=1$ の2。だから $x=1$ で最小値2。

(2)

平方完成する。

$$y=x^2+2x-1=(x+1{)}^2-2$$

頂点 $(-1,-2)$、下に凸。でも頂点 $x=-1$ は定義域 $1\le x\le 3$ の外(左側)にある。頂点が範囲の左外にあると、範囲内ではグラフはずっと右上がり(単調増加)。だから左端 $x=1$ で最小、右端 $x=3$ で最大。$x=1$ で $y=(1+1{)}^2-2=2$(最小)、$x=3$ で $y=(3+1{)}^2-2=14$(最大)。

まとめ:頂点が定義域の中か外かで、最大・最小の場所が変わる。外なら『範囲内で単調 → 端で決まる』と考える。

発展。 「頂点が定義域の外なら単調」という事実は、放物線が軸を境に片側だけ見れば単調であることから来ている。軸の右側は必ず単調増加(下に凸の場合)、左側は単調減少だ。定義域が軸をまたがなければ、そのどちらか一方に丸ごと収まる。

この「軸と定義域の位置関係で場合分け」は、次の問題($a$ が入って軸が動く)の予行演習だ。今は $a$ がないので $1$ つの型に決まるが、$a$ が入れば $3$ つの型のどれになるかが $a$ の値で変わる。場合分けが必要になるのはこのためだ。

別解

「頂点が定義域の内か外か」で答えの構造がまるごと変わる。$3$ つの型として整理しておこう(下に凸の場合)。

型1: 軸が定義域の左外。定義域内はずっと右上がり(単調増加)。最小は左端、最大は右端。

型2: 軸が定義域の中。谷底が中にある。最小は頂点、最大は軸から遠い方の端。

型3: 軸が定義域の右外。ずっと右下がり(単調減少)。最大は左端、最小は右端。

(2)を型で判定してみる。軸 $x=-1$、定義域 $[1,3]$ で、軸は左外だから型1(単調増加)。

• 最小 = 左端 $x=1$: $y=1+2-1=2$
• 最大 = 右端 $x=3$: $y=9+6-1=14$

グラフを描かずとも、型の判定だけで答えの場所が決まった(値の計算は $2$ 点だけ)。

判定の手順はいつも同じだ。①平方完成して軸を出す ②軸が定義域の左外・中・右外のどれかを見る ③型に応じて最大最小の場所を決める ④その点の値を計算する。

この $3$ 型の整理は次の「軸が動く」「定義域が動く」問題の場合分けそのものでもある。$a$ が入って場所が動いても、起きていることはこの $3$ 型の切り替えにすぎない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $f(x)=(x-a{)}^2+3-a^2$ と平方完成すると、軸は $x=a$ になる。$a$ が動けば軸も動く。

定義域 $0\leqq x\leqq 2$ は固定。だから「動く軸が、固定された窓のどこにいるか」で場合分けする。

• 軸が窓の左外($a<0$)→ 窓の中は増加 → 最小は左端 $x=0$
• 軸が窓の中($0\leqq a\leqq 2$)→ 最小は頂点
• 軸が窓の右外($a>2$)→ 窓の中は減少 → 最小は右端 $x=2$

場合分けとは $3$ つの型を $a$ の範囲で表すことである。

平方完成する。

$$f(x)=x^2-2ax+3=(x-a{)}^2-a^2+3$$

頂点は $(a,-a^2+3)$、軸 $x=a$。下に凸で、$a$ の値によって軸が左右に動く。定義域 $0\le x\le 2$ は固定。軸の位置で3つに場合分けする。

① 軸が左外($a<0$)

軸が定義域より左にあると、範囲内でグラフは右上がり。最小は左端 $x=0$。

$$f(0)=3$$

② 軸が範囲内($0\le a\le 2$)

軸(頂点)が定義域の中にあるので、頂点で最小。

$$f(a)=-a^2+3$$

③ 軸が右外($a>2$)

軸が定義域より右にあると、範囲内でグラフは右下がり。最小は右端 $x=2$。

$$f(2)=4-4a+3=-4a+7$$

まとめると、$a<0$ で最小値3、$0\le a\le 2$ で最小値 $-a^2+3$、$a>2$ で最小値 $-4a+7$。

まとめ:軸が動く問題は『軸が定義域の左外・中・右外』の3パターン。それぞれ、最小がどこ(左端・頂点・右端)になるかをグラフで確認する。

発展。 求めた最小値を $a$ の関数と見ると、$3$ つの区間で異なる式をつないだ折れ線的な関数になる($3\to -a^2+3\to -4a+7$)。定数 $3$、放物線、直線という性格の違う $3$ つの曲線が、境目で滑らかにつながっている。「最小値を $a$ の関数として図示せよ」という発展問題は、この構造を描かせるものだ。

軸が動く型の問題は、$2$ 次関数の応用の中心。動くもの(軸)と固定されたもの(定義域)の位置関係を考える。次の問題(定義域が動く)では役割が入れ替わるが、動くものが何であれ、$3$ つの型の切り替えという基本は変わらない。

別解

場合分けの答えが正しいかを、境目でつながるかで検算できる。$3$ つの式が出た。

• $a<0$: 最小値 $3$
• $0\leqq a\leqq 2$: 最小値 $-a^2+3$
• $a>2$: 最小値 $-4a+7$

境目 $a=0$ で: 左の式は $3$、真ん中の式に $a=0$ を入れると $-0+3=3$ で、一致

境目 $a=2$ で: 真ん中の式に $a=2$ を入れると $-4+3=-1$、右の式に $a=2$ を入れると $-8+7=-1$ で、一致

$2$ つの境目で値がつながった。

なぜつながるべきか。軸 $a$ が連続的に動くとき、最小値も飛び跳ねずに連続的に変わるはずだからだ。もし境目で値が食い違ったら、どこかの場合の式が間違っているという強い証拠になる。

この検算は $1$ 分で終わり、場合分け問題の計算ミス(符号の取り違え、端の値の誤計算)をほぼ確実に捕まえる。場合分けの答えを出したら、必ず境目で照合する。これを習慣にすれば、$a$ が入る問題への不安はだいぶ減る。

余談だが、境目の $a=0$ と $a=2$ をどちらの場合に入れるか(等号の位置)は、どちらでもよい(境目では $2$ つの式が同じ値を与えるから)。等号の置き場所に悩む必要はない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 今度は逆で、軸が固定、定義域が動く。

$f(x)=(x-2{)}^2+1$ の軸は $x=2$(固定)。定義域は $a\leqq x\leqq a+2$ という幅 $2$ の窓が $a$ とともに左右にスライドする。考え方は前問と同じ。「軸 $2$ が、動く窓のどこにいるか」で場合分けだ。

• 窓が軸より左($a+2<2$、つまり $a<0$)→ 最小は窓の右端 $x=a+2$
• 軸が窓の中($a\leqq 2\leqq a+2$、つまり $0\leqq a\leqq 2$)→ 最小は頂点
• 窓が軸より右($a>2$)→ 最小は窓の左端 $x=a$

「動くのは軸か窓か」を最初に見極めるのが、この $2$ 題の分かれ目である。

平方完成する。

$$f(x)=x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1$$

頂点 $(2,1)$、下に凸で固定。定義域 $a\le x\le a+2$(幅2の窓)が $a$ によって左右に動く。頂点 $x=2$ が窓のどこにあるかで場合分けする。

① 窓が頂点より左($a+2<2$、つまり $a<0$)

窓全体が頂点の左にあると、範囲内でグラフは右下がり。最小は右端 $x=a+2$。

$$f(a+2)=\{(a+2)-2{\}}^2+1=a^2+1$$

② 窓が頂点を含む($0\le a\le 2$)

頂点 $x=2$ が窓の中($a\le 2\le a+2$)にあるので、頂点で最小。

$$f(2)=1$$

③ 窓が頂点より右($a>2$)

窓全体が頂点の右にあると、範囲内でグラフは右上がり。最小は左端 $x=a$。

$$f(a)=(a-2{)}^2+1=a^2-4a+5$$

まとめると、$a<0$ で最小値 $a^2+1$、$0\le a\le 2$ で最小値1、$a>2$ で最小値 $a^2-4a+5$。

まとめ:前問は『軸が動く』型、こちらは『定義域が動く』。どちらも『頂点(軸)と定義域の位置関係』の3場合分けで、グラフをかいて考えるのは同じだ。

発展。 場合分けの境目 $a=0$ と $a=2$ が意味するのは「軸 $x=2$ が、窓の端にちょうど重なる瞬間」だ。$a=0$ なら窓は $[0,2]$ で軸が右端に、$a=2$ なら窓は $[2,4]$ で軸が左端に一致する。境目 = 軸が端に触れる $a$ と考える。この見方で境目を求めれば、条件式($a+2\geqq 2$ など)を立てる前に答えが分かる。

最小値を $a$ の関数として見ると、$a^2+1$($a<0$)・$1$($0\leqq a\leqq 2$)・$a^2-4a+5$($a>2$)となり、放物線・水平・放物線という「谷を平らにならした」形になる。動く窓が谷を「すくえる」区間だけ、最小値が一定の $1$ になる。図にすると、この構造がよく分かる。

別解

前問と今回は、見た目は違うがまったく同じ形だ。そのことに気づくと、場合分けの型は $1$ つ覚えれば足りる。どちらも問うているのは

「軸(谷底)は、定義域の窓の中にいるか、左にいるか、右にいるか」だけ。動くのが軸でも窓でも、相対的な位置関係しか結果に影響しない。

軸が窓の左にあれば、窓の中は右上がり(単調増加)。だから窓の左端が最小になる。軸が右なら逆。軸が中にあれば頂点が最小。

$3$ 行目と $4$ 行目で $a$ の条件が入れ替わって見えるのは、「$a$ が何を表すか」が違うだけだ。図で見れば同じ $3$ 型である。

境目の検算も忘れずに。$a=0$ で: 窓の右端の式 $a^2+1=1$、頂点の式 $1$ で、一致。$a=2$ で: 頂点の $1$、左端の式 $a^2-4a+5=4-8+5=1$ で、一致。

「動くのは何か」ではなく「軸と窓の相対位置」で考える。こう考えると、場合分けを $1$ つの型にまとめられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文章題は「式を立てる」までがいちばん大事だ。

針金の長さ $24$ は長方形の周。縦 $x$ なら「縦 $+$ 横 $=$ 周の半分 $=12$」だから、横は $12-x$。

$$S=x(12-x)=-x^2+12x$$

$2$ 次関数になった。あとは最大を求めるだけだ。もうひとつ大事なのが変域。長さは正だから $x>0$ かつ $12-x>0$、つまり $0<x<12$。これを書き忘れると減点される。

(1) 針金24cmが長方形の周。縦2本+横2本 $=24$ なので、縦+横 $=24÷2=12$。

$$24÷2=12\mathrm{cm}$$

縦が $x$ なら横は $12-x$。面積は縦×横で

$$S=x(12-x)=-x^2+12x$$

定義域は、縦も横も正でなければならないので

$$x>0かつ12-x>0$$

つまり $0<x<12$。

(2) $S=-x^2+12x$ を平方完成する。

$$S=-x^2+12x=-(x^2-12x)=-\{(x-6{)}^2-36\}=-(x-6{)}^2+36$$

頂点 $(6,36)$、上に凸。頂点 $x=6$ は定義域 $0<x<12$ の中にあるので、$x=6$ のとき最大値 $S=36$。

まとめ:面積の文章題は『$S$ を $x$ の式にする → 定義域を決める → 平方完成 → 頂点で最大』の流れ。$x$ の範囲(縦も横も正)を必ず添える。

発展。 変域 $0<x<12$ の両端が含まれない($<$)ことに注意したい。$x=0$ や $x=12$ では長方形が潰れて図形にならないからだ。幸い最大値をとる $x=6$ は変域の内側なので影響しないが、もし最大が端で起きる問題なら「端が含まれないので最大値なし」という答えもありうる。変域の端の吟味は文章題の作法である。

逆の問題も考えられる。「面積が一定のとき、周が最小になるのはどんな長方形か」を考えると、答えはやはり正方形だ。「同じ面積なら正方形が最も周が短い」という双対的な事実は、シャボン玉が球になる理由(同じ体積で表面積最小)と同じ原理につながっている。自然界はこうした最適化を「自動的に」解いている。

別解

答えは「$x=6$ で最大」で、縦 $6$、横 $6$ の正方形だ。これは偶然ではない。

周の長さが決まっているとき、面積が最大になるのは正方形だ。これは、$2$ 数の和が一定なら、$2$ 数が等しいときに積が最大という一般法則の一例である(相加平均と相乗平均の関係)。

$$\text{縦}+\text{横}=12(\text{一定})⟹\text{積(面積)は 縦}=\text{横}\text{のとき最大}$$

数値で確かめよう。和が $12$ になる組の積は

まん中(等しいとき)が最大で、偏るほど積は小さくなる。平方完成 $S=-(x-6{)}^2+36$ も同じことを言っている。$(x-6{)}^2$ は「$6$ からのずれの $2$ 乗」で、ずれるほど面積が減る。$36$ から「ずれの $2$ 乗」を引く形になっている。これが最大値 $36$ の意味だ。

この「和一定なら等しいとき積が最大」は、面積・体積の最適化問題で繰り返し現れる(数IIの箱の容積、数IIIの最適化)。答えが対称な形になったら、もとの問題に対称性がある。この見方は検算にも次の問題の予測にも使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 次関数を決めるには未知数 $3$ つ($a,b,c$ または $a,p,q$)を決める必要がある。だから条件も $3$ つ要る。

与えられた条件に合わせて、式の形を選ぶのがコツだ。

• 頂点が分かっている → $y=a(x-p{)}^2+q$ の形で書けば、$p,q$ が即座に埋まり、残る未知数は $a$ だけ($1$ 点通れば決まる)
• 軸だけ分かっている → $p$ が埋まり、未知数は $a$ と $q$($2$ 点通れば決まる)

条件の形に合った式を選べば、連立方程式が最小限になる。

(1) 頂点が $(2,-1)$ なので、$y=a(x-p{)}^2+q$ に $p=2,q=-1$ を入れる。

$$y=a(x-2{)}^2-1(a\ne 0)$$

点 $(0,3)$ を通るので、$x=0,y=3$ を代入して $a$ を求める。

$$3=a(0-2{)}^2-1=4a-1$$

$4a=4$ より $a=1$。よって

$$y=(x-2{)}^2-1(y=x^2-4x+3)$$

(2) 軸が $x=-1$ なので、$y=a(x-p{)}^2+q$ の $p=-1$。

$$y=a(x+1{)}^2+q(a\ne 0)$$

2点 $(0,5)$、$(1,11)$ を代入する。$x=0,y=5$ から $5=a+q$。$x=1,y=11$ から $11=4a+q$。引き算すると $6=3a$、$a=2$、$q=3$。よって

$$y=2(x+1{)}^2+3(y=2x^2+4x+5)$$

まとめ:2次関数の決定は『わかっている条件に合う形を選ぶ』のがコツ。頂点や軸がわかれば $y=a(x-p{)}^2+q$ の形、あとは通る点を代入して $a$ 等を求める。

発展。 「未知数の数 $=$ 必要な条件の数」という勘定は、あらゆる決定問題の基本だ。$2$ 次関数は $3$ 未知数だから $3$ 条件、直線($y=ax+b$)は $2$ 未知数だから $2$ 条件($2$ 点で決まる)、円($3$ 未知数)も $3$ 点で決まる。「いくつ決めれば形が定まるか」= 自由度という見方は、図形の決定問題すべてに通じる。

頂点の条件は $2$ つ分($p$ と $q$)の情報を含むので、あと $1$ 点でよい。条件の「重さ」が違うのだ。$3$ 点を通る、という条件は $3$ つの軽い条件。条件の重さを見積もってから式の形を選ぶ、という段取りが、計算を軽くする。

別解

「どの形の式を使うか」の選択基準を整理しておこう。これが $2$ 次関数の決定問題の全体像だ。

(1) 頂点 $(2,-1)$ が与えられている → 頂点形一択。

$$y=a(x-2{)}^2-1$$

$(0,3)$ を代入: $3=4a-1$ → $a=1$。答え $y=(x-2{)}^2-1$。未知数 $1$ つ、方程式 $1$ 本なので、すぐに終わる。

もしこれを一般形 $y=a{x}^2+bx+c$ でやったら、頂点の条件を「$-\frac{b}{2a}=2$」「頂点の $y$ が $-1$」と $2$ 本の式で書かなければならず、連立が $3$ 元になって大変になる。

(2) 軸 $x=-1$ → $y=a(x+1{)}^2+q$。$2$ 点を代入して $a,q$ の連立($2$ 元)を解く。

条件の形に合わせて式を選ぶ。この $1$ 手の判断で、計算量が数倍変わる。「$3$ 点なら一般形、頂点や軸なら頂点形」と反射的に選べるようになりたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $3$ 点しか情報がない。頂点も軸も分からないので、一般形 $y=a{x}^2+bx+c$ で立てる。

未知数は $a,b,c$ の $3$ つ。$3$ 点を代入して、$3$ 本の方程式を作る。

$$c=1,a+b+c=2,4a+2b+c=7$$

$1$ 本目で $c$ がすぐに決まるのは、通る点に $(0,1)$ があるからだ。$x=0$ の点から $c$ が直接分かる。残り $2$ 本の連立を解けば $a,b$ が出る。

① 一般形に3点を代入する。 一般形 $y=a{x}^2+bx+c$ を使う。

$$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$

3点を代入する。$(0,1)$ から

$$1=c$$

$(1,2)$ から

$$2=a+b+c$$

$(2,7)$ から

$$7=4a+2b+c$$

② 連立を解く。 $c=1$ を残り2式に入れると

$$\{\begin{array}{l}a+b=1\\ 4a+2b=6\end{array}$$

下の式を2で割ると $2a+b=3$。上の式との差をとると

$$a=2$$

$a=2$ を $a+b=1$ に入れて $b=-1$。よって

$$y=2x^2-x+1$$

まとめ:3点通過は『一般形に3点代入 → 連立を解く』。$(0,?)$ の点から $c$ が先に決まると、残りが2元連立になって解きやすい。

発展。 答えが出たら必ず $3$ 点を代入し直す。$y=2x^2-x+1$ に $x=0,1,2$ を入れると $1,2,7$ となる。$3$ 点すべてで一致して初めて確定だ。連立の計算ミスはこの検算で確実に捕まる。

「$3$ 点を通る $2$ 次関数はただ $1$ つ」という一意性は、より一般の補間の理論($n+1$ 点を通る $n$ 次関数がただ $1$ つ)につながる。データから曲線を復元する技術(ラグランジュ補間)の最小例が、この問題である。

別解

$x$ が等間隔($0,1,2$)に並んでいるとき、階差(差の差) から $a$ がすぐに出る。$y$ の値を並べて、隣どうしの差をとる。

$$y:1,2,7$$ $$\text{1 階差}:2-1=1,7-2=5$$ $$\text{2 階差}:5-1=4$$

ここで使う事実は、$x$ が $1$ ずつ増えるとき、$2$ 次関数の $2$ 階差は必ず $2a$ になるということだ。

$$2a=4⟹a=2$$

$a$ が連立なしで決まった。あとは $c=1$($x=0$ の点)、$b$ は $(1,2)$ を代入して $2+b+1=2$ から $b=-1$。

$$y=2x^2-x+1$$

連立ルートと同じ答えだ。

なぜ $2$ 階差が $2a$ になるのか。$f(x)=a{x}^2+bx+c$ で、$1$ 階差は $f(x+1)-f(x)=2ax+a+b$($x$ の $1$ 次式)になる。もう一度差をとると、$1$ 次式の差は定数 $2a$ になる。$2$ 次を $2$ 回差分すると定数になる。微分を $2$ 回して定数になるのと同じ構造だ。

この方法は、$x$ が等間隔のときだけ使える近道だが、$a$ を検算する手段としては常に有効だ。連立を解いた後、階差で $a$ を確かめれば計算ミスが捕まる。