実数と1次不等式 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)の判定は「分数で書けるか」の一点。書けるなら有理数、書けないなら無理数だ。

見た目に惑わされない。$\sqrt{16}=4$ は根号付きでも整数、$0.5=\frac{1}{2}$ は小数でも分数だ。中身を確かめてから判定する。

(2)は「循環小数は分数で書ける」ことの実演。$10$ 倍・$100$ 倍してずらし、引き算で無限に続く部分を消す。この一手で、無限小数が分数で表せる。

(1) 無理数とは分数(整数 ÷ 整数)で表せない数のこと。1つずつ見ていく。

• $-\frac{4}{3}$ は分数なので有理数。
• $\sqrt{7}$ は分数で表せないので無理数。
• $0.5=\frac{1}{2}$ で有理数。
• $\sqrt{16}=4$ は整数なので有理数(根号がついていても、中が平方数なら整数になる)。
• $\pi$(円周率)は無理数。

よって無理数は $\sqrt{7}$ と $\pi$。

(2) 循環小数 $0.\dot{4}\dot{5}=0.454545\dots$ を分数にする。$x=0.454545\dots$ とおく。くり返す部分が2桁なので、100倍してずらす。

$$\begin{array}{rl}100x& =45.454545\dots \\ x& =0.454545\dots \end{array}$$

上から下を引くと、循環する部分がぴったり消える。

$$99x=45$$

よって

$$x=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$$

まとめ:くり返しが2桁なら100倍、1桁なら10倍、と『くり返す桁数だけ0をつけた数』をかけるのがコツ。

発展。 逆向きの事実も成り立つ。分数はすべて、有限小数か循環小数になる。$\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}$($6$ 桁循環)のように。理由は割り算の余りにある: $7$ で割る余りは $0$〜$6$ の $7$ 通りしかない。余りが $0$ なら割り切れて有限小数になり、そうでなければ余りは $1$〜$6$ の $6$ 通りなので、遅くとも $6$ 回で同じ余りが再登場し、そこから先は同じ数字が繰り返す。余りの種類が有限だから、必ず循環するのである。

つまり「有理数 ⟺ 有限小数または循環小数」がぴったり同値。だから無理数($\pi$ や $\sqrt{7}$)の小数展開は、永遠に不規則で二度と繰り返さない。数の分類が小数の姿にそのまま刻まれている。

別解

(2)には、覚えておくとすぐに終わる「$9$ の法則」がある。循環小数を分数にすると、分母は必ず $9,99,999,\dots$ の形になる。循環する桁数だけ $9$ を並べるのだ。

• $0.\dot{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$($1$ 桁循環 → 分母 $9$)
• $0.\dot{4}\dot{5}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$($2$ 桁循環 → 分母 $99$)
• $0.\dot{1}2\dot{3}=\frac{123}{999}$($3$ 桁循環 → 分母 $999$)

分子は循環する部分の数字をそのまま置く。今回なら $\frac{45}{99}$、約分して $\frac{5}{11}$。なぜ $9$ が並ぶのかは、本解の計算がそのまま答えになっている。$100x-x=99x$ という引き算で、$100$ 倍と $1$ 倍の差 $=99$ 倍が分母に出てくる。この法則はいつも $10$ 倍のずらし引きから出てくる。

法則で暗算し、不安なら本解のずらし引きで確かめる。「$0.999\cdots =\frac{9}{9}=1$」という有名な等式も、この法則から素直に出てくる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値を外すには、中身の符号を先に決める。中身が $0$ 以上ならそのまま、負ならマイナスを付けて正にひっくり返す。

(3)の $\sqrt{5}-3$ は、パッと見では符号が分からない。$\sqrt{5}$ と $3=\sqrt{9}$ を比べれば $\sqrt{5}<3$ なので、中身は負だ。(4)も同じ手順を $2$ 回。$2>\sqrt{3}$(中身は正)、$1<\sqrt{3}$(中身は負)で、符号が違うので外し方も変わる。

絶対値の定義を確認する。

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a& (a\ge 0)\\ -a& (a<0)\end{array}$$

(1) 中身 $-6$ は負なのでマイナスをつける。

$$|-6|=-(-6)=6$$

(2) まず中身を計算。$3-8=-5$ で負なので

$$|3-8|=|-5|=5$$

(3) $\sqrt{5}$ と3を比べる。$3=\sqrt{9}$ で $\sqrt{5}<\sqrt{9}$ だから、$\sqrt{5}-3$ は負。だからマイナスをつける。

$$|\sqrt{5}-3|=-(\sqrt{5}-3)=3-\sqrt{5}$$

(4) それぞれの符号を調べる。$2-\sqrt{3}$ は $\sqrt{3}<2$($\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$)より正、$1-\sqrt{3}$ は $1<\sqrt{3}$ より負。だから

$$|2-\sqrt{3}|+|1-\sqrt{3}|=(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)=1$$

まとめ:$\sqrt{3}$ が消えて、きれいに1になる。根号を含む絶対値は、まず中身の符号を『 ​ どうしの大小』で調べるのがコツ。

発展。 (4)の答えが $1$ ときれいになったのは、$\sqrt{3}$ が打ち消し合ったから: $(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)=1$。$2$ つの絶対値の符号が逆だったことが、この相殺を生んでいる。もし両方同じ符号なら $\sqrt{3}$ は残る。「符号の吟味」を飛ばすと、この相殺は起きず答えが合わない。

「距離」の見方はこの先の絶対値の方程式($|x-2|=5$ は「$2$ から距離 $5$ の点」)・不等式($|x-1|\le 3$ は「$1$ から距離 $3$ 以内」)で役に立つ。記号の操作ではなく数直線の絵で解けるようになると、絶対値は怖くなくなる。

別解

絶対値を数直線の距離として理解しておくと、記号の意味が実感できる。$|a|$ は「原点 $0$ から $a$ までの距離」。$|-6|=6$ は「$-6$ は $0$ から $6$ の距離」という意味だ。向きを捨てて長さだけを見るのが絶対値である。さらに $|a-b|$ は「$a$ と $b$ の距離」と読める。

• $|3-8|$: $3$ と $8$ の距離 → $5$($|8-3|$ でも同じ。距離に向きはない)
• $|\sqrt{5}-3|$: $\sqrt{5}$($\approx 2.24$)と $3$ の距離 → 大きい方から小さい方を引いて $3-\sqrt{5}$

距離は必ず「大 $-$ 小」。こう考えると、絶対値の外し方の符号ミスがなくなる。中身が負かどうかを考える代わりに、「どっちが大きいか」だけ見ればよい。

$\sqrt{5}$ の大きさが分からなければ、$2^2=4<5<9=3^2$ から $2<\sqrt{5}<3$ と挟む。$2$ 乗して比べる。根号の大小はいつもこの方法で決まる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平方根の計算は、まず「根号の中を小さくする」ことから始める。中を素因数分解して、$2$ 乗を外に出す。

$\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}$ のように整えると、(1)は全部が $\sqrt{2}$ の仲間になり、係数どうしの足し引きになる。(3)(4)は展開公式がそのまま使える。$\sqrt{6}$ を $1$ つの数と思えば、和と差の積・$2$ 乗の公式は根号でも同じように働く。

(1) まず  ​ の中を小さくする。

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2},\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2},\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$$

同じ $\sqrt{2}$ どうしになったので、係数を足し引きできる。

$$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(3+5-2)\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$

(2)  ​ の中を小さくしてからかける。

$$\sqrt{12}\times \sqrt{27}=2\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}=2\times 3\times (\sqrt{3}{)}^2=6\times 3=18$$

(3) 和と差のかけ算 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。

$$(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})=(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=6-2=4$$

(4) 2乗の公式 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$。

$$\begin{array}{rl}(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2& =(\sqrt{5}{)}^2+2\times \sqrt{5}\times \sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2\\ & =5+2\sqrt{15}+3\\ & =8+2\sqrt{15}\end{array}$$

まとめ:$(\sqrt{5}{)}^2=5$ のように、2乗すると根号が外れる。まん中の $2\sqrt{15}$ を忘れずに。

発展。 (3)の答えが $4$ と根号が消えたのは、和と差の積が $(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=6-2$ と $2$ 乗で根号を外すから。この「共役をかけて根号を消す」現象が、次の分母の有理化の原理になる。(3)の計算はそのまま有理化で使う。

$\sqrt{2}$ が無理数(分数で書けない)ことは背理法で証明できる、数学史上有名な定理。「$\sqrt{2}$ を文字のように扱う」計算は、その無理数を正確に(近似値 $1.414$ ではなく)保ったまま操作するための技術である。$6\sqrt{2}$ という答えは $8.485$ より厳密な表現だ。

別解

根号の扱いを 「$\sqrt{2}$ は文字 $a$ だと思え」 と読み替えると、ルールが $1$ つも増えない。(1)は $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}$ で、これは $3a+5a-2a=6a$ という同類項のまとめそのものだ。だから $6\sqrt{2}$。

「$\sqrt{18}+\sqrt{50}=\sqrt{68}$」という誤りは、$3a+5a=8a$ とすべきところを「中身を足して」しまったもの。文字で言えば $3a+5a=a^8$ と書くようなルール違反だと分かる。

足し算は同類項どうし、掛け算は中で掛ける。根号計算で区別するのはこれだけだ。掛け算の方は中で掛けてよいので、(2)は先に中どうしをかけても出せる。

$$\sqrt{12}\times \sqrt{27}=\sqrt{12\times 27}=\sqrt{324}=18$$

$324=18^2$ に気づけば一気だ。ただし、かける数が大きくなるので、ふつうは先に根号の中を小さくするほうがラクである。(4)の $(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2$ も $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ に $a=\sqrt{5},b=\sqrt{3}$ を入れるだけ。$a^2=5$、$b^2=3$ と根号が消え、まん中の $2ab=2\sqrt{15}$ だけが残る。

「根号は新しい数だが、計算のルールは文字と同じ」と分かれば、根号の計算への苦手意識はだいぶ減る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分母に根号があると扱いにくい。分母から根号を追い出すのが有理化だ。

道具は「上下に同じものをかけても分数の値は変わらない」という当たり前の性質。何をかけるかで $2$ 通り。

• 分母が $\sqrt{a}$ $1$ つ → $\sqrt{a}$ をかける($\sqrt{a}\times \sqrt{a}=a$ で消える)
• 分母が $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形 → 符号を変えた $\sqrt{a}-\sqrt{b}$(共役)をかける。和と差の積で $2$ 乗になり、根号が消える

(1) 分母が $\sqrt{3}$ なので、上下に $\sqrt{3}$ をかける。

$$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

(2) 上下に $\sqrt{5}$ をかける。

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$$

(3) 分母が $\sqrt{7}+\sqrt{3}$。符号を変えた $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ を上下にかけると、分母が和と差のかけ算になって根号が消える。

$$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}=\sqrt{7}-\sqrt{3}$$

(4) 分母が $2-\sqrt{3}$。符号を変えた $2+\sqrt{3}$ を上下にかける。

$$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$$

まとめ:分母が $4-3=1$ になって、きれいに根号が消えた。『符号を変えたものをかける』が有理化の決め手。

発展。 (4)の $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$ という結果では、逆数をとったのに、符号が反転しただけだ。これは $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$、つまり $2$ 数が互いに逆数だから。$1$ になるようなペアは特別で、この $2+\sqrt{3}$ は $\tan 75^{\circ }$ の値として図形にも出てくる。

「共役をかけて消す」という発想は、この先ずっと使う。数IIの複素数では $\frac{1}{2-i}$ の実数化(共役 $2+i$ をかける)、極限では $\infty -\infty$ の有理化と、見えない部分を、組になる式をかけて消すという方法が、数学のいろいろな場所で同じ形で現れる。

別解

なぜ符号を変えたものをかけるのかは、前問の(3)を思い出すと分かる。$(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})=6-2=4$ となる。和と差の積は $2$ 乗の差になり、根号が消えて整数になった。

有理化はこの現象を分母に対して意図的に起こす操作だ。(3)の $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ なら、分母と組になる $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ を上下にかけて

$$\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}=\sqrt{7}-\sqrt{3}$$

分母が $4$ になり、約分できれいに消えた。

有理化のご利益も知っておきたい。$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ のままでは、値がどのくらいか見当がつかない(分母が $0.27$ 前後の小さい数)。有理化した $2+\sqrt{3}\approx 3.73$ なら一目瞭然だ。割り算を掛け算に変えて、値を見えるようにする。これが有理化の目的である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 根号の中にまた根号がある。この二重根号は、$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2$ を展開した形が中に隠れていることを示している。

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=a+b+2\sqrt{ab}$$

だから $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ の形なら、根号が外れて $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ になる。探すのは「たして外の数、かけて中の数」の $2$ 数だ。因数分解の $2$ 数探しとまったく同じ作業である。内側の根号の前が $2$ になっていない(3)は、まず $2$ を作る変形から始める。

二重根号を外す公式:

$$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b},\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$

『たして外の数・かけて中の根号の数』になる2つを探すのがコツ。

(1) たして8、かけて15になる2数は5と3。

$$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{(5+3)+2\sqrt{5\times 3}}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$$

(2) たして9、かけて14になる2数は7と2。マイナスなので $\sqrt{7}-\sqrt{2}$(大きいほうから小さいほうを引く)。

$$\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{(7+2)-2\sqrt{7\times 2}}=\sqrt{7}-\sqrt{2}$$

(3) 中の根号の前に $2$ がない。まず $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ にして $2$ を作る。

$$\sqrt{6+\sqrt{20}}=\sqrt{6+2\sqrt{5}}$$

たして6、かけて5になる2数は5と1。

$$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{5}+\sqrt{1}=\sqrt{5}+1$$

$2$ がついていないときは、まず $2$ を作る、という一手を忘れずに。

発展。 「たして $a+b$、かけて $ab$」の $2$ 数探しは、因数分解の $2$ 数探しと同じ構造で、$2$ 次方程式 $t^2-(a+b)t+ab=0$ を解くことにあたる。二重根号・因数分解・$2$ 次方程式が、$1$ つの「$2$ 数を復元する」問題としてつながっている。

すべての二重根号が外れるわけではない。$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$ は「たして $5$、かけて $3$」の $2$ 数が整数にならず、きれいな形にならない($2$ 数は $\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$ で、かえって複雑になる)。外れるのは、$2$ 数が扱いやすい数になるときだけだ。出題される二重根号はその条件を満たすよう作られている。

別解

公式を暗記する代わりに、$2$ 乗して確かめるという素朴な検算法を持っておくと、符号のミスがなくなる。(2)の $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ で、「たして $9$、かけて $14$」の $2$ 数は $7$ と $2$。ここで答えの候補が $2$ つ出る。$\sqrt{7}-\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}-\sqrt{7}$ だ。

判定は簡単: 根号( ​)の値は必ず $0$ 以上。$\sqrt{2}-\sqrt{7}$ は負($\approx -1.0$)だから不適だ。大きい方から小さい方を引く $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ が答えである。

念のため $2$ 乗して確かめる。

$$(\sqrt{7}-\sqrt{2}{)}^2=7-2\sqrt{14}+2=9-2\sqrt{14}✓$$

元の中身に戻ったので、これで確定だ。$2$ 乗の検算はすぐに済み、公式の符号($+$ か $-$ か)の記憶に頼らない。$(3)$ の $\sqrt{5}+1$ も $(\sqrt{5}+1{)}^2=6+2\sqrt{5}$ で確認できる。答えを $2$ 乗して元に戻るかを確かめれば、二重根号の問題は必ず自己採点できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 小数部分を「$0.64\dots$」のような近似値で書かないことに、いちばん注意する。

まず整数部分を挟み撃ちで確定する。$\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$、つまり $2<\sqrt{7}<3$ だから整数部分 $a=2$。小数部分は「もとの数 $-$ 整数部分」なので、式のまま $b=\sqrt{7}-2$ と書く。この正確な表現を保つから、(2)で $b^2+4b=3$ ときれいな整数が出る。近似値では $3$ にはたどり着けない。

(1) $\sqrt{7}$ がどの整数の間にあるかを調べる。$\sqrt{4}=2$、$\sqrt{9}=3$ で、$4<7<9$ だから

$$2<\sqrt{7}<3$$

よって整数部分は

$$a=2$$

小数部分は『元の数 − 整数部分』なので

$$b=\sqrt{7}-2$$

(2) $b^2+4b$ に $b=\sqrt{7}-2$ をそのまま代入すると計算が大変。そこで $b(b+4)$ と因数分解してから代入する。

$$b^2+4b=b(b+4)=(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}-2+4)=(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$$

$(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$ は和と差のかけ算だ。

$$(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)=(\sqrt{7}{)}^2-2^2=7-4=3$$

因数分解してから代入すると、和と差のかけ算で根号が消えてラクになる。

発展。 小数部分 $b=\sqrt{7}-2$ には、必ず $0\leqq b<1$ という性質がある($b\approx 0.646$)。答えが出たら「$0$ と $1$ の間か」を確かめるだけで、整数部分の取り違え(挟み撃ちの失敗)が検出できる。

挟み撃ち $\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$ の技術は、無理数の大きさを掴む基本手段。$\sqrt{50}$ なら $7<\sqrt{50}<8$($49<50<64$)、$\sqrt{200}$ なら $14<\sqrt{200}<15$ となる。近い平方数で挟むという一手で、どんな根号の整数部分も暗算で出せる。

別解

(2)は代入する前に $b$ の満たす方程式を作っておくと、計算がすぐに終わる。$b=\sqrt{7}-2$ を移項すると $b+2=\sqrt{7}$。両辺を $2$ 乗して根号を消すと

$$b^2+4b+4=7⟹b^2+4b=3$$

求める式そのものが出てきた。代入も展開もせずに $3$ が手に入る。理由はこうだ。$b$ は $2$ 次方程式 $b^2+4b-3=0$ の解だ。つまり $b$ には「$b^2+4b$ は $3$」という性質が最初から備わっている。問題はその性質をそのまま聞いていたのだ。

もちろん、そのまま別々に計算しても答えは出る。

$$b^2=(\sqrt{7}-2{)}^2=7-4\sqrt{7}+4=11-4\sqrt{7}$$

$$4b=4(\sqrt{7}-2)=4\sqrt{7}-8$$

足すと $-4\sqrt{7}$ と $4\sqrt{7}$ が打ち消し合って

$$b^2+4b=(11-4\sqrt{7})+(4\sqrt{7}-8)=3$$

どの道でも根号は消えて $3$ になる。だがその方法では途中に $4\sqrt{7}$ という無理数が現れ、最後に偶然のように消える。方程式ルートなら、根号は最初の $2$ 乗で消えて二度と出てこない。

「無理数を、根号を含まない方程式の解として捉える」見方を持つと、$b^3$ や $\frac{1}{b}$ を聞かれても $b^2=3-4b$ で次数を下げるだけで答えが出る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x$ と $y$ を別々に $2$ 乗しないことが、この問題で気をつける点だ。

$x^2+y^2$ も $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ も $x$ と $y$ を入れ替えても変わらない式(対称式)。対称式は $x+y$ と $xy$(基本対称式)だけで表せる、という強い定理がある。

だから第一歩は $x+y$ と $xy$ の計算だ。今回は根号がきれいに消えて $2\sqrt{5}$ と $3$ になる。あとは公式で組み立てるだけで、根号の展開を一切やらずに済む。

(1) まず $x+y$ と $xy$ を求める。

$$x+y=(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2\sqrt{5}$$

$xy$ は和と差のかけ算になる。

$$xy=(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=5-2=3$$

(2) $x^2+y^2$ は公式 $x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$ を使う。

$$x^2+y^2=(2\sqrt{5}{)}^2-2\times 3=20-6=14$$

(3) $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ は通分すると $\frac{x^2+y^2}{xy}$ になる。(2)と(1)の結果を使って

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{14}{3}$$

まとめ:対称式は $x,y$ を1つずつ計算しなくても、$x+y$ と $xy$ から求まる。まずこの2つを出すのがコツだ。

発展。 (3)の $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ は通分すると $\frac{x^2+y^2}{xy}$ となり、すでに求めた部品の割り算になる。$\frac{14}{3}$。対称式の問題は「基本対称式 → 部品 → 組み立て」の $3$ 段で、部品が再利用できるのが強みだ。

$x+y$ と $xy$ がきれいな値($2\sqrt{5}$ と $3$)になったのは、$x$ と $y$ が共役なペア(符号だけ違う)だからだ。和では $\sqrt{2}$ が消え、積では和と差の積で根号が消える。この構造は数IIの「解と係数の関係」($2$ 次方程式の $2$ 解の和と積)にそのまま持ち上がり、$x,y$ は $t^2-2\sqrt{5}t+3=0$ の $2$ 解として再登場する。

別解

「対称式は $x+y$ と $xy$ で書ける」を信じられないなら、そのまま計算して見比べてみよう。遠回りしてみると、公式がどれだけ手間を省くかが分かる。$x=\sqrt{5}+\sqrt{2}$ を直接 $2$ 乗する。

$$x^2=5+2\sqrt{10}+2=7+2\sqrt{10}$$

同様に $y^2=7-2\sqrt{10}$。足すと

$$x^2+y^2=14$$

これは対称式の公式($(x+y{)}^2-2xy=20-6=14$)と一致する。$2$ つの道の手間の差に注目したい。そのまま計算すると $2$ 乗を $2$ 回(各 $3$ 項の展開)、公式は $20-6$ の引き算 $1$ 回。今回は $2$ 乗程度で済んだが、$x^3+y^3$ や $x^5+y^5$ になると差は絶望的に開く(公式なら $(x+y{)}^3-3xy(x+y)$ で終わる)。

そして根号の相殺が公式ルートのいちばんの利点だ。そのまま計算すると $\pm 2\sqrt{10}$ という無理数が現れ、最後に打ち消し合う。公式ルートでは最初に $x+y=2\sqrt{5}$、$xy=3$ と根号を減らしてから組み立てるので、無理数の展開に一度も踏み込まない。

「対称性を先に使う」のは計算量を大きく減らす、数学でよく使う方法である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $1$ 次不等式は、方程式とほとんど同じように解ける。文字を左、数を右に集め、最後に $x$ の係数で割る。

ただし違うルールが $1$ つだけある。負の数で割る(かける)ときは、不等号の向きが逆になる。

ここが方程式との唯一の違いで、最大のミスどころ。(3)は係数が負になるので、この反転が起きる。割る瞬間に「今、負で割ったか?」と自問する習慣をつけたい。

(1) 文字を左、数を右に集める。

$$\begin{array}{rl}4x-7& <x+8\\ 4x-x& <8+7\\ 3x& <15\\ x& <5\end{array}$$

$x$ の係数3は正なので、割っても不等号はそのまま。

(2) カッコを外して整理する。

$$\begin{array}{rl}2(x-3)& \le 5x+9\\ 2x-6& \le 5x+9\\ 2x-5x& \le 9+6\\ -3x& \le 15\end{array}$$

ここで $-3$(負)で割るので、不等号の向きが逆になる。

$$x\ge -5$$

(3) 小数があるので、まず両辺を10倍して整数にする。

$$\begin{array}{rl}2x-5& >7x+10\\ 2x-7x& >10+5\\ -5x& >15\end{array}$$

$-5$(負)で割るので向きが逆になり

$$x<-3$$

(4) 分数があるので、両辺に分母をはらう(15倍して整数に)。

$$\begin{array}{rl}5(x+2)& \ge 3(3x-2)\\ 5x+10& \ge 9x-6\\ 5x-9x& \ge -6-10\\ -4x& \ge -16\end{array}$$

$-4$(負)で割って向きが逆になり

$$x\le 4$$

『負で割ると不等号が逆』になることだけは、必ず覚えておくこと。

発展。 検算は境界と内側の $2$ 点で。(1)の答え $x<5$ なら、境界 $x=5$ で両辺が等しくなるか($4\cdot 5-7=13$、$5+8=13$)、内側の $x=4$ で不等式が成り立つか($9<12$)、外側の $x=6$ で成り立たないか($17<14$)を確かめる。$3$ 点チェックで、向きの間違いは確実に捕まる。

移項(足し引き)では反転しない、というのも大事な非対称だ。$a<b$ の両辺に何を足しても大小は変わらない(数直線を平行移動するだけ)。反転するのは「かける・割る」で負を使うときだけだ。操作ごとに何が起きるかを区別できれば、不等式は方程式と同じ気楽さで扱える。

別解

不等号が反転する理由を、数直線の絵で $1$ 度だけ納得しておこう。二度と迷わなくなる。$2<5$ は明らかに正しい。両辺に $-1$ をかけると $-2$ と $-5$ になる。数直線で見ると、$-5$ は $-2$ より左にある。つまり $-2>-5$ だ。

$$2<5⟹-2>-5$$

マイナスをかける $=$ 数直線を左右にひっくり返す。ひっくり返せば大小関係も逆になるのは、当然のことだ。反転を避ける書き方もある。(3)の $0.2x-0.5>0.7x+1$ で、$x$ を左に集めると $-0.5x>1.5$(負の係数)になる。ここで反転が必要だ。

だが $x$ を右に集めれば

$$-0.5-1>0.7x-0.2x⟹-1.5>0.5x⟹-3>x$$

正の $0.5$ で割るので反転しない。答えは $x<-3$ だ(左右を読み替えるだけ)。「$x$ の係数が正になる側へ集める」のは、反転のルールを使わずに済ませる実戦的な方法である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 連立不等式は「別々に解いて、重なりを見る」の $2$ 段。

それぞれの不等式を単独で解き、$2$ つの範囲を数直線に描く。両方を同時に満たす部分(共通部分)が答えだ。

(2)の $-3<2x+1\leqq 7$ のように $x$ がまん中にある形は、$3$ つの部分に同じ操作をして $x$ だけを残す。こうすれば $1$ 本の式のまま処理できる。数直線を描く手間が省ける、便利な型である。

(1) それぞれの不等式を別々に解く。

$$\begin{array}{rl}5x-3& <2x+9\\ 3x& <12\\ x& <4\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}x+4& \le 3x\\ -2x& \le -4\\ x& \ge 2\end{array}$$

(2つ目は $-2$ で割るので向きが逆。)$x<4$ と $x\ge 2$ の両方を満たす共通部分は、数直線の重なりを見て

$$2\le x<4$$

(2) $-3<2x+1\le 5$ は、真ん中に $x$ がある形。3つの部分すべてに同じ操作をして、$x$ を1つにする。まず各辺から1を引く。

$$-4<2x\le 6$$

各辺を2で割る(2は正なので向きはそのまま)。

$$-2<x\le 3$$

まとめ:連立不等式は『別々に解いて、共通部分をとる』が基本。数直線をかくと、重なりが目で見えて確実だ。

発展。 共通部分が空っぽになる連立もある($x<2$ かつ $x>5$ など)。そのときの答えは「解なし」だ。数直線を描いていれば、矢印が重ならないことが一目で分かり、無理に答えをひねり出す誤りを防げる。

「かつ(共通部分)」に対して「または(合併)」もある。絶対値の不等式 $|x+2|>5$ の答え「$x<-7$ または $x>3$」がその例だ。$2$ つの範囲をつなぐ言葉が「かつ」か「または」かで、答えの形は正反対になる。集合と命題(次の単元)で、この $2$ 語は正式な記号($\cap$ と $\cup$)として整備される。

別解

共通部分の取り違えは数直線を必ず描くことでほぼ消える。しかも「どちら向きの矢印か」の描き方にコツがある。(1)の $2$ つの解 $x<4$ と $x\geqq 2$ を、上下に段を分けて描く。

• 上の段: $4$ から左向きの矢印($4$ は白丸で、含まない)
• 下の段: $2$ から右向きの矢印($2$ は黒丸で、含む)

$2$ 本の矢印が重なっている区間を縦に見ると、$2$ 以上 $4$ 未満。

$$2\leqq x<4$$

丸の色(白 $=$ 含まない、黒 $=$ 含む)をそのまま答えの不等号に写せば、境界の等号ミスも起きない。

確認は代入が確実。$x=2$ は両方を満たす($5\cdot 2-3=7<13$、$2+4=6\leqq 6$)ので、境界が答えに含まれることが数で確定する。$x=4$ は $17<17$ が成り立たないので、含まれない。

「$2$ 本の矢印を上下に描いて、重なりを縦に読む」方法は単純だが、連立不等式・絶対値・$2$ 次不等式まで、範囲を扱う問題すべてで使い続ける基本動作である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $|A|=c$($c>0$)は「中身 $A$ が $+c$ か $-c$ のどちらか」という意味だ。絶対値は符号の情報を捨てるので、元の中身は $2$ 通りありうる。

だから $A=c$ と $A=-c$ の $2$ 本に分けて解く。(1)なら $x-2=5$ と $x-2=-5$。答えが $2$ つ出るのが正常で、$1$ つしか書かないのが最も多いミスである。

絶対値の方程式 $|A|=c$($c>0$)は、中身 $A$ が $+c$ か $-c$ のどちらか。だから2つに分けて解く。

(1) $|x-2|=5$ は、$x-2=5$ または $x-2=-5$。

それぞれ解くと、$x=7$ または $x=-3$。

(2) $|2x-3|=7$ は、$2x-3=7$ または $2x-3=-7$。

$2x-3=7$ から $2x=10$、$x=5$。$2x-3=-7$ から $2x=-4$、$x=-2$。よって $x=5$ または $x=-2$。

まとめ:$|A|=c$ を見たら、反射的に『$A=c$ と $A=-c$ の2本』に分ける。$-c$ のほうを忘れないこと。

発展。 右辺が負の場合はどうなるか。$|x-2|=-5$ は解なしである。絶対値(距離)は決して負にならないからだ。$|A|=c$ の $c$ の符号で、解の個数は $2$ 個($c>0$)・$1$ 個($c=0$)・$0$ 個($c<0$)と変わる。「$2$ 本に分ける」前に、右辺の符号を一瞥する習慣が要る。

距離の見方は $2$ 次関数のグラフ($y=|x-2|$ は $V$ 字)にもつながる。$V$ 字と横線 $y=5$ の交点が $2$ つある。方程式の解の個数がグラフの交点として目に見える。「式・数直線・グラフ」の $3$ つの見方を行き来できると、絶対値は完全に手中に入る。

別解

距離の絵で読むと、$2$ 本の式に分ける手続きすら要らなくなる。$|x-2|=5$ は「$x$ と $2$ の距離が $5$」という意味だ。数直線で $2$ から $5$ だけ離れた点を探せばよい。右へ $5$ 行けば $2+5=7$、左へ $5$ 行けば $2-5=-3$。

$$x=7,-3$$

$2$ 本の方程式を解く代わりに、「中心 $\pm$ 距離」の暗算で終わる。答えが $2$ つある理由も絵から分かる。右と左、$2$ 方向あるからだ。(2)の $|2x-3|=7$ なら「$2x$ と $3$ の距離が $7$」→ $2x=3\pm 7=10,-4$ → $x=5,-2$。

一方で、絶対値の定義に忠実な場合分けという一般解法も押さえておきたい。(i) $x\geqq 2$ のとき、$|x-2|=x-2$ なので $x-2=5$、$x=7$。条件 $x\geqq 2$ を満たすので解。(ii) $x<2$ のとき、$|x-2|=-(x-2)$ なので $-(x-2)=5$、$x=-3$。条件 $x<2$ を満たすので解。

同じ $x=7,-3$ に着く。今回は距離の絵が速いが、場合分けは絶対値が複数あるときや、式が複雑なときにも必ず通用する。「速い道(距離)」と「確実な道(場合分け)」の両方を持っておくのが、絶対値との正しい付き合い方だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値の不等式は $2$ つの型しかない。「小さいは間、大きいは外」と覚える。

• $|A|<c$(小さい)→ $A$ は $-c$ と $c$ の間: $-c<A<c$
• $|A|>c$(大きい)→ $A$ は $-c$ より小さいか $c$ より大きい: $A<-c$ または $A>c$(外側 $2$ つに分かれる)

型を取り違えると答えが正反対になる。まず不等号の向きを見て、どちらの型かを宣言してから解き始めよう。

『$|A|<c$ は間、$|A|>c$ は外』と覚える。

(1)

$|x|<4$ は『間』の型。

$$-4<x<4$$

(2) $|x-1|\le 3$ も『間』の型。中身 $x-1$ が $-3$ と $3$ の間。

$$-3\le x-1\le 3$$

各辺に1を足して

$$-2\le x\le 4$$

(3)

$|x+2|>5$ は『外』の型。中身 $x+2$ が $-5$ より小さいか、$5$ より大きい。$x+2<-5$ から $x<-7$。$x+2>5$ から $x>3$。

よって $x<-7$ または $x>3$。

まとめ:『小さい($<$)は間、大きい($>$)は外』と覚えれば、2つの型を迷わず使い分けられる。

発展。 「外」の型の答えを $-7>x>3$ と $1$ 本に書くのは誤りだ。そんな $x$ は存在しない($-7$ より小さくて $3$ より大きい数はない)。$2$ つの範囲は離れているので、必ず「または」でつなぐ。$1$ 本にまとめられるのは「間」の型だけ、という書き方の非対称に注意したい。

この「かつ / または」の区別は、次の単元(集合と命題)で $\cap$(共通部分)と $\cup$(和集合)として正式化される。絶対値の不等式は、集合の言葉が必要になる最初の場面だ。数直線に描いた帯とその外側が、そのまま集合の絵になる。

別解

「間」と「外」を暗記する代わりに、距離の絵で毎回その場で導けばよい。$|x-1|\leqq 3$ は「$x$ と $1$ の距離が $3$ 以内」。中心 $1$ から左右 $3$ ずつの帯が答えだ。

$$1-3\leqq x\leqq 1+3⟹-2\leqq x\leqq 4$$

計算は中心 $\pm$ 距離だけだ。(3)の $|x+2|>5$ は「$x$ と $-2$ の距離が $5$ より大きい」($x+2=x-(-2)$ なので中心は $-2$)。中心から $5$ より大きく離れた場所で、帯の外側にあたる。

$$x<-2-5=-7\text{または}x>-2+5=3$$

「近い = 中心のまわりの $1$ かたまり」「遠い = 両端に散った $2$ つ」と考えれば、距離の絵では型の違いが当たり前の事実になる。「間」「外」という言葉は、この絵に名前をつけただけだ。

中心の読み取りだけ注意。$|x+2|$ の中心は $+2$ ではなく $-2$($x-(-2)$ と書き直す)。ここを取り違えると帯の位置がずれる。符号を反転したものが中心、と覚えておこう。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文章題は「求めたいものを $x$ とおく」から始める。ボールペンの本数を $x$ 本とすると、合計 $20$ 本だから鉛筆は残りの $(20-x)$ 本。

これで代金が $x$ の式で $150x+90(20-x)$ と書ける。条件「$2500$ 円以下」を不等号 $\leqq$ で表し、解く。最後に $x$ が本数(整数)であることを思い出す。これが文章題ならではの最後の一手だ。

ボールペンを $x$ 本買うとすると、鉛筆は $(20-x)$ 本。代金の合計を2500円以下にするので

$$150x+90(20-x)\le 2500$$

この不等式を解く。

$$\begin{array}{rl}150x+1800-90x& \le 2500\\ 60x& \le 700\\ x& \le \frac{35}{3}\end{array}$$

$\frac{35}{3}=11.6\dots$ で、$x$ は本数だから整数。$x\le 11.6\dots$ を満たす最大の整数は

$$x=11$$

まとめ:よってボールペンは最大11本買える。文章題は『$x$ とおく → 不等式を立てる → 解く → 整数など現実の条件で答える』の流れ。最後に『$x$ は整数』を使うのを忘れないこと。

発展。 答えを出したら必ず現物で検算する。$11$ 本なら $2460$ 円(条件を満たす)、$12$ 本なら $2520$ 円(超える)だ。「$11$ が最大」を、両側から確認して初めて答えが確定する。不等式を解いた $x\leqq 11.6$ から機械的に $11$ と書くより、この $2$ 点確認の方が信頼できる。

問題文の「少なくとも $1$ 本は買う」という条件も見落とせない。もしこれがなければ $x=0$(全部鉛筆)も許されるが、今回は $1\leqq x\leqq 19$ の範囲で考えることになる。答えの $11$ はこの範囲内なので影響しないが、条件をすべて拾ってから答えるのが文章題の作法だ。

別解

不等式を立てずに、「全部安い方 → 高い方に取り替える」という素朴な計算でも答えが出る。

まず全部鉛筆と考える。$20$ 本すべて $90$ 円なら

$$90\times 20=1800\text{円}$$

予算 $2500$ 円まで、あと $700$ 円の余裕がある。

$1$ 本を鉛筆からボールペンに取り替えると、代金は $150-90=60$ 円だけ増える。

$$700÷60=11.6\dots$$

$11$ 回までなら取り替えられる($12$ 回だと $720$ 円増えて予算オーバー)。よってボールペンは最大 $11$ 本。確かめると: ボールペン $11$ 本・鉛筆 $9$ 本で $150\times 11+90\times 9=1650+810=2460$ 円($2500$ 円以下)。$12$ 本なら $2520$ 円で超過。

この解き方の良さは、割り算の余りが「切り捨て」を自然に説明すること。$11.6$ 回の取り替えなど存在しない。本数は整数だから切り捨てる、ということが計算の意味からそのまま出てくる。不等式ルートで $x\leqq \frac{35}{3}$ を得た後の「$x$ は整数だから $11$」という一手も、この絵で腑に落ちる。