実数と1次不等式 ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 循環小数を分数に直す道具を、形を変えて $3$ 回使う。

基本は「くり返しがそろうよう $10$ 倍・$100$ 倍してずらし、引いて消す」。(1)は循環する部分としない部分が混じる。どの $2$ つを引けばくり返しが消えるか、桁のそろい方から逆算する。(2)(3)も同じ方針だ。循環小数はまず分数に直す、と決めて通す。

(1) $x=2.1\dot{3}\dot{6}=2.1363636\dots$ とおく。循環しない部分(1)が1桁、循環部分(36)が2桁。循環部分がそろうように、$10x$ と $1000x$ を作る。

$$\begin{array}{rl}10x& =21.363636\cdots \\ 1000x& =2136.363636\cdots \end{array}$$

引くと循環部分が消える。

$$1000x-10x=2136.3636\cdots -21.3636\cdots =2115$$

よって $990x=2115$ で

$$x=\frac{2115}{990}=\frac{47}{22}$$

(2) それぞれを分数にする。$y=0.\dot{2}\dot{7}$ は、$100y-y=27$ より

$$100y-y=27すなわちy=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$$

同じように $0.\dot{4}\dot{5}=\frac{5}{11}$。かけて

$$0.\dot{2}\dot{7}\times 0.\dot{4}\dot{5}=\frac{3}{11}\times \frac{5}{11}=\frac{15}{121}$$

(3) $z=1.\dot{7}=1.777\dots$ を分数にする。$10z-z=16$ より

$$10z-z=16すなわちz=\frac{16}{9}$$

よって

$$\sqrt{1.\dot{7}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}$$

まとめ:$\frac{4}{3}$ は分数なので、$\sqrt{1.\dot{7}}$ は有理数だとわかる。循環小数はすべて分数にできる(=有理数)、というのが根っこにある考えだ。

発展。 循環小数がすべて分数に直せたのは、「有理数 $=$ 有限小数または循環小数」という事実の片側だ。

逆も成り立つ。既約分数 $\frac{p}{q}$ を割り算で小数にすると、途中に出る余りは $0$ から $q-1$ の $q$ 通りしかない。だから余りはいつか必ずくり返し、小数は循環する(または割り切れて有限小数になる)。

すると無理数の小数は循環しない無限小数でしかありえない。$\sqrt{2}$ や $\pi$ がそれだ。小数が循環するかどうかが、有理数と無理数を分ける境目になっている。

別解

別解:無限等比級数の和として求める(得意な人向けの高い視点)。 循環小数は「同じ並びを無限にたし続けた数」だから、無限等比級数の和とみられる。

(2)の $0.\dot{2}\dot{7}$ は $27$ を小数第 $2$ 位ごとに無限にたした数。初項 $\frac{27}{100}$、公比 $\frac{1}{100}$ の等比級数だ。和の公式より

$$0.\dot{2}\dot{7}=\frac{27/100}{1-1/100}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}.$$

同じく $0.\dot{4}\dot{5}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$、積は $\frac{3}{11}\times \frac{5}{11}=\frac{15}{121}$。(3)の $1.\dot{7}$ は $1+0.\dot{7}=1+\frac{7/10}{1-1/10}=1+\frac{7}{9}=\frac{16}{9}$、根号を外して $\frac{4}{3}$。

(1)のように循環しない部分が頭につく場合は、その $2.1$ を分けておき、残りの循環部分だけを等比級数で足せばよい。$10$ 倍・$1000$ 倍してずらす本解は、この「等比級数の和」を筆算の形で実行しているのと同じだ。本解と同じ $\frac{47}{22}$、$\frac{15}{121}$、$\frac{4}{3}$ に至る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 全体を貫く道具は $\sqrt{A^2}=|A|$。

絶対値を外すには、中身の符号が要る。その符号は与えられた条件から決まる。必要な情報を逆からたどると、やるべきことは「条件を使った符号調べ」に絞られる。

$\sqrt{A^2}=|A|$ を使い、中身の符号で絶対値を外す。

(1) $\sqrt{7}$ は $2<\sqrt{7}<3$。$3-\sqrt{7}>0$、$2-\sqrt{7}<0$ なので

$$\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}=|3-\sqrt{7}|=3-\sqrt{7}$$

$$\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}=|2-\sqrt{7}|=-(2-\sqrt{7})=\sqrt{7}-2$$

足すと

$$(3-\sqrt{7})+(\sqrt{7}-2)=1$$

(2) $a<b<0$ から符号を決める。$a<0$ なので $|a|=-a$、$b<0$ なので $|b|=-b$、$\sqrt{b^2}=|b|=-b$。$a<b$ より $a-b<0$ なので $|a-b|=-(a-b)=b-a$。代入して

$$\begin{array}{rl}|a|-|b|+|a-b|+\sqrt{b^2}& =(-a)-(-b)+(b-a)+(-b)\\ & =-a+b+b-a-b\\ & =-2a+b\end{array}$$

(3) $-1<x<2$ の範囲では、$x+1>0$(正)、$x-2<0$(負)。だから $|x+1|=x+1$、$|x-2|=-(x-2)=2-x$。

$$|x+1|+2|x-2|=(x+1)+2(2-x)=x+1+4-2x=-x+5$$

まとめ:絶対値を外すには、まず中身の符号を確実に決めること。条件($a<b<0$ や $-1<x<2$)から1つずつ判断する。

発展。 $\sqrt{A^2}=|A|$ は、「$2$ 乗して平方根をとると符号の情報が消え、大きさだけ残る」ことの表れだ。

一般に、偶数乗の根 $\sqrt[2n]{A^{2n}}=|A|$ は絶対値になり、奇数乗の根 $\sqrt[2n+1]{A^{2n+1}}=A$ は符号ごと戻る。偶数乗が符号を消すのは $(-A{)}^{2n}=A^{2n}$ だからだ。数直線で見れば $|A|$ は原点からの距離。$\sqrt{A^2}$ が「$2$ 乗して平方根」で距離を測るのと、ぴたりと重なる。

別解

別解:範囲内の代表値で簡単な形を突き止める(苦手な人向けの実感ルート)。 符号の場合分けが不安なら、条件を満たす具体的な数を代入して形を見抜く手がある。

決め手は「範囲の中では各絶対値の符号が変わらない」ことだ。だから中身はどれも符号の決まった $1$ 次式で、答えも $1$ 次式になる。$1$ 次式なら、代表の点をいくつか代入すれば係数まで決まる。

(2) $a<b<0$ を満たす例として $a=-3,b=-1$ をとる。

$$|a|-|b|+|a-b|+\sqrt{b^2}=3-1+2+1=5.$$

$-2a+b=6-1=5$ で一致する。別の例 $a=-4,b=-2$ でも左辺は $4-2+2+2=6$、$-2a+b=8-2=6$ とそろう。ここで外した中身 $|a|=-a,|b|=-b,|a-b|=b-a,\sqrt{b^2}=-b$ はどれも定数項をもたない。だから全体も定数項なしの $pa+qb$ の形で、決めるべき係数は $p,q$ の $2$ つだけ。この $2$ つを $2$ 点の代入で連立すれば $p=-2,q=1$、すなわち $-2a+b$ と決まる。もし定数項があれば未知数は $3$ つになり $2$ 点では足りない。各項が原点を通る($a=b=0$ で値が $0$)ので、$2$ 点で済む。

(3) $-1<x<2$ の代表として $x=0$ をとると $|0+1|+2|0-2|=1+4=5$。$x=1$ では $2+2=4$。$2$ 点 $(0,5),(1,4)$ を通る $1$ 次式は $-x+5$。

(1)は文字がなく、$2<\sqrt{7}<3$ から $(3-\sqrt{7})+(\sqrt{7}-2)=1$ と直に出る。範囲内では符号が固定される、という一点をおさえれば、本解と同じ $-2a+b$、$-x+5$ に至る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 道具が連鎖する問題では「まず式をいちばん見やすい形に直す」を最優先にする。(1)は係数を $2\sqrt{ab}$ の形に直して公式を使う。外したあとの符号(どちらが大きいか)の確認も忘れない。

(1) $4\sqrt{3}=2\sqrt{12}$ として $2$ を作る。たして7・かけて12の2数は4と3。

$$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$$

$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ も同じだが、$\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$ で、これは正なので

$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{3}{)}^2}=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$$

足すと $\sqrt{3}$ が消えて

$$(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$$

(2) 分母の二重根号をまず外す。たして9・かけて14の2数は7と2。

$$\sqrt{9+2\sqrt{14}}=\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{7}+\sqrt{2}$$

よって $\frac{1}{\sqrt{9+2\sqrt{14}}}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$。これを有理化する。

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{7-2}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{5}$$

(3) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ は $2$ が作れないので、中を $\frac{8-2\sqrt{15}}{2}$ に直す。

$$\sqrt{4-\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$$

分子 $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$ は、たして8・かけて15の5と3で

$$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$$

分母の $\sqrt{2}$ を有理化して

$$\sqrt{4-\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})\times \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$$

別解

(1)は二重根号を外さずに求める手もある。$A=\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ とおいて、両辺を2乗する。

$$\begin{array}{rl}{A}^2& =(7+4\sqrt{3})+2\sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}+(7-4\sqrt{3})\\ & =14+2\sqrt{49-48}=14+2=16\end{array}$$

$A>0$ なので $A=\sqrt{16}=4$。2乗すると、真ん中が和と差のかけ算になって根号が消える、という技だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分数のままでは何も始まらない。まず有理化して、$a$ がどんな数かを分かるようにする。

有理化すると $a=3+\sqrt{7}$。$\sqrt{7}$ の大きさから整数部分と小数部分が読める。(2)は式の形に注目する。$b+2$ がちょうど根号 $\sqrt{7}$ になりそうだ。値の形に合わせて、$2$ 乗する近道を探す。

(1) $a=\frac{2}{3-\sqrt{7}}$ を有理化する。

$$a=\frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}=\frac{2(3+\sqrt{7})}{9-7}=\frac{2(3+\sqrt{7})}{2}=3+\sqrt{7}$$

$\sqrt{7}$ は $2<\sqrt{7}<3$ なので

$$5<3+\sqrt{7}<6$$

よって整数部分は5、小数部分は

$$b=a-5=(3+\sqrt{7})-5=\sqrt{7}-2$$

(2) $b+2=\sqrt{7}$ になるので、$(b+2{)}^2$ を作る。左辺は $(b+2{)}^2=(\sqrt{7}{)}^2=7$ なので

$$b^2+4b+4=7$$

両辺から4を引いて

$$b^2+4b=3$$

(3) $\frac{1}{b}$ を有理化する。

$$\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{7}-2}=\frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}=\frac{\sqrt{7}+2}{7-4}=\frac{\sqrt{7}+2}{3}$$

$\sqrt{7}$ が $2<\sqrt{7}<3$ なので、$\frac{\sqrt{7}+2}{3}$ の大きさは

$$\frac{4}{3}<\frac{\sqrt{7}+2}{3}<\frac{5}{3}$$

$\frac{4}{3}=1.33\dots$、$\frac{5}{3}=1.66\dots$ なので、$\frac{1}{b}$ は1と2の間 → 整数部分は1。小数部分は元の数から1を引いて

$$\frac{\sqrt{7}+2}{3}-1=\frac{\sqrt{7}+2-3}{3}=\frac{\sqrt{7}-1}{3}$$

まとめ:整数部分・小数部分は『有理化して大きさを調べる → 整数部分を決める → 元の数から引く』の流れ。何度でも同じ手順で求められる。

発展。 $b=\sqrt{7}-2$ の逆数 $\frac{1}{b}=\frac{\sqrt{7}+2}{3}$ が、また $\sqrt{7}$ を含む同じ顔の数になったのは偶然ではない。

$\sqrt{7}$ に対して「整数部分を引く $\to$ 逆数をとる」をくり返すと、現れる数がやがて循環する。これが $\sqrt{7}$ の連分数展開 $\sqrt{7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]$ の周期性で、$1,1,1,4$ が無限にくり返す。

$\frac{1}{b}$ がふたたび $\sqrt{7}$ の式で書けるのは、この循環の一歩を計算していることにあたる。無理数の小数部分は、こうして循環する構造を隠し持っている。

別解

別解:小数で見当をつけてから式に直す(苦手な人向けの実感ルート)。 記号だけだと不安なら、$\sqrt{7}$ の近似値で実際の大きさを見てから、きれいな式にまとめる。

$\sqrt{7}=2.6457\cdots$ なので $a=3+\sqrt{7}=5.6457\cdots$。$5$ と $6$ の間だから整数部分は $5$、小数部分は $b=a-5=0.6457\cdots$。これが $\sqrt{7}-2=0.6457\cdots$ と確かに合う。

(2) $b^2+4b$ を数で見ると $0.6457^2+4\times 0.6457=0.417+2.583=3.00\cdots$。ちょうど $3$ になる気配がある。正確には $b+2=\sqrt{7}$ を $2$ 乗して $b^2+4b=3$。

(3) $\frac{1}{b}=\frac{1}{0.6457\cdots }=1.5486\cdots$。$1$ と $2$ の間だから整数部分 $1$、小数部分 $0.5486\cdots$。これが $\frac{\sqrt{7}-1}{3}=\frac{1.6457\cdots }{3}=0.5486\cdots$ と一致する。

数で見当をつけると「どの整数の間か」で迷わない。最後に根号の式へ戻せば、本解と同じ整数部分・小数部分に至る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x$ と $y$ は分子・分母が入れかわった形なので、積 $xy$ は $1$ になるはずだ。まずこの見当をつける。有理化で確かめたら、あとは対称式の部品($x+y$ と $xy$)から高次の和を積み上げる。

まず有理化する。

$$x=\frac{(\sqrt{5}+1{)}^2}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{5+2\sqrt{5}+1}{5-1}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

$$y=\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

(1) 基本対称式を求める。

$$x+y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{6}{2}=3$$

$$xy=\frac{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{4}=\frac{9-5}{4}=1$$

(2) 公式に当てはめる。

$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=3^2-2\times 1=7$$

$$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)=3^3-3\times 1\times 3=27-9=18$$

(3) $x^5+y^5$ は $(x^2+y^2)(x^3+y^3)$ を展開すると現れる。

$$(x^2+y^2)(x^3+y^3)=x^5+x^2{y}^3+x^3{y}^2+y^5=x^5+y^5+x^2{y}^2(x+y)$$

(まん中の $x^2{y}^3+x^3{y}^2=x^2{y}^2(x+y)$。)これを $x^5+y^5$ について解くと

$$x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-(xy{)}^2(x+y)$$

(2)(1)の結果を入れて

$$x^5+y^5=7\times 18-1^2\times 3=126-3=123$$

まとめ:高い次数の和も $x+y$ と $xy$ と、低い次数の和から組み立てられる。$(x^2+y^2)(x^3+y^3)$ の展開で、余分な項を引くのがコツだ。

別解

別の作り方もある。まず $x^4+y^4$ を求める。

$$x^4+y^4=(x^2+y^2{)}^2-2(xy{)}^2=7^2-2=47$$

そして $x^5+y^5=(x+y)(x^4+y^4)-xy(x^3+y^3)$ を使うと

$$x^5+y^5=(x+y)(x^4+y^4)-xy(x^3+y^3)=3\times 47-1\times 18=123$$

『$(x+y)(x^4+y^4)$ を展開して余分な項を引く』という、同じ発想の別の組み立て方だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (2)は中身の符号が変わる点が $2$ つあるので、数直線が $3$ つの区間に割れる。先にこの見取り図を描く。(3)の解の存在条件は左辺を「$2$ 点からの距離の和」と読むと、最小値との大小比較に言い換えられる。

(1) $|2x-3|\le x+4$。$|A|\le c$ は $-c\le A\le c$ なので(ここでは $c=x+4$)

$$-(x+4)\le 2x-3かつ2x-3\le x+4$$

左は $-x-4\le 2x-3$ から $-3x\le 1$、$x\ge -\frac{1}{3}$。右は $2x-3\le x+4$ から $x\le 7$。両方合わせて

$$-\frac{1}{3}\le x\le 7$$

(2) $|x-2|+|x+3|$ は、数直線上で点 $x$ から $2$ までの距離と、$-3$ までの距離の和だ。$x$ の位置で場合分けする。$x<-3$ のとき

$$-(x-2)-(x+3)=-2x-1$$

これが8なら $x=-\frac{9}{2}$(これは $x<-3$ を満たす)。$-3\le x\le 2$ のとき

$$-(x-2)+(x+3)=5$$

これは定数5で、8にはならない(この範囲に解なし)。$x>2$ のとき

$$(x-2)+(x+3)=2x+1$$

これが8なら $x=\frac{7}{2}$(これは $x>2$ を満たす)。よって $x=-\frac{9}{2},\frac{7}{2}$。

(3) (2)の計算からわかるように、$|x-2|+|x+3|$ は $-3\le x\le 2$ の間ではずっと5(最小値)、その外では5より大きくなる。つまりこの式は5以上のすべての値をとる。だから $k$ が5以上なら実数解をもつ。

$$k\ge 5$$

まとめ:$|x-2|+|x+3|$ を『2点からの距離の和』と見ると、最小値5(2点間の距離)がすぐわかる。

別解

(2)は $x<-3$ と $x>2$ の各場合を直接解いてもよい。$x>2$ で $2x+1=8$ から $x=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$、$x<-3$ で $-2x-1=8$ から $x=-3-\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$、とまとめて書ける。

$$x=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}またはx=-3-\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$$

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文字 $a$ を含む連立不等式だ。

まず $a$ に無関係な $1$ 本を先に解いて、動かない範囲を決める。そのうえで、もう $1$ 本の動く端との位置関係だけを議論する形に整える。「動くものと動かないものを分ける」が発想の軸だ。

(1) $a=3$ のとき。1つ目 $7x-5>3(x+1)$ を解くと $7x-5>3x+3$、$4x>8$、$x>2$。2つ目 $x+3\ge 4x-6$ を解くと $-3x\ge -9$、$x\le 3$。共通部分は

$$2<x\le 3$$

(2) 一般の $a$ で考える。1つ目は $a$ に関係なく $x>2$。2つ目 $x+a\ge 4x-6$ は $-3x\ge -a-6$、$x\le \frac{a+6}{3}$。だから解は

$$2<x\le \frac{a+6}{3}$$

この範囲に入る整数は $x>2$ より 3, 4, 5, … 。ちょうど3個(3, 4, 5)入るには、右端 $\frac{a+6}{3}$ が5以上6未満であればよい(5は含み、6は含まない)。

$$5\le \frac{a+6}{3}<6$$

各辺を3倍して $15\le a+6<18$、6を引いて

$$9\le a<12$$

まとめ:整数の個数を条件にする問題は、数直線で『どこまで整数を含めるか』を、右端の位置で調整するのがコツだ。

発展。 「ちょうど $3$ 個」という条件は、$2$ つの単調な条件の重なりに割って捉えられる。$a$ を大きくすると上端 $\frac{a+6}{3}$ は右へ動き、範囲に入る整数は減ることなく増えていく。個数が $a$ について単調に増えるので、条件がきれいに分かれる。

「$3$ 個以上」は上端が整数 $5$ まで届けばよく、これは $a\ge 9$。「$3$ 個以下」は上端が整数 $6$ には届かなければよく、これは $a<12$。単調性のおかげで、この $2$ つはそれぞれ片側だけの範囲(半直線)になる。

「ちょうど $3$ 個」はこの「以上」と「以下」の重なり、すなわち $9\le a<12$。ちょうどを『以上かつ以下』の $2$ 枚に分けるこの見方は、パラメータが増えると解が単調に増える問題すべてに通用する一般の道具だ。

別解

別解:個数を整数部分(床関数)の式で数える(得意な人向けの高い視点)。 解は $2<x\le U$、ただし $U=\frac{a+6}{3}$。この範囲に入る整数は $3,4,\dots ,\lfloor U\rfloor$ で、$\lfloor U\rfloor$ は $U$ の整数部分を表す。

だから個数は $\lfloor U\rfloor -2$ 個と、$1$ つの式で書ける。これがちょうど $3$ になる条件は

$$\lfloor U\rfloor -2=3⟹\lfloor U\rfloor =5.$$

$\lfloor U\rfloor =5$ は $5\le U<6$ と同じことだから

$$5\le \frac{a+6}{3}<6.$$

各辺を $3$ 倍して $6$ を引くと $9\le a<12$。個数を「$\lfloor U\rfloor -2=3$」と書き切ってしまえば、整数を目で追わずに機械的に $a$ の範囲が出る。本解と同じ $9\le a<12$ に至る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 条件が $2$ つある。個数の大小と、金額の上限だ。

だから不等式も $2$ 本立てる。連立不等式の文章題だと見抜くことが第一歩。あとは共通範囲の中の整数を、端に注意して拾う。

りんごを $x$ 個買うとすると、みかんは $(20-x)$ 個。

(1) 条件は2つ。まず『りんご ≥ みかん』から

$$x\ge 20-x$$

これを解くと $2x\ge 20$、$x\ge 10$。次に合計金額を計算する。

$$180x+90(20-x)=180x+1800-90x=90x+1800$$

『合計 ≤ 2900円』から

$$90x+1800\le 2900$$

これを解くと $90x\le 1100$、$x\le 12.2\dots$。$x$ は整数なので $x\le 12$。2つの条件 $x\ge 10$ と $x\le 12$ を合わせて、$10\le x\le 12$。$x$ は整数だから

$$x=10,11,12$$

よって買えるりんごの個数は10個、11個、12個。

(2) 合計金額は $90x+1800$ で、$x$ が大きいほど高くなる。だから、買える最大の $x=12$ のとき最も高い。

$$90\times 12+1800=1080+1800=2880$$

よって、りんごを12個買うとき合計金額が最も高く、2880円。

まとめ:条件が2つある文章題は、それぞれを不等式にして共通範囲をとる。(2)は金額の式が $x$ の1次式なので、範囲の端で最大・最小になる。

発展。 合計金額 $90x+1800$ は $x$ の $1$ 次式で、許される範囲の端で最大になった。これは線形計画法という考え方の $1$ 変数版だ。

変数が $2$ つ、たとえばりんご $x$ 個とみかん $y$ 個を別々に選べる問題になると、条件は座標平面上の領域になる。そして金額 $180x+90y$ を最大にする点は、その領域の「かど(頂点)」に現れる。

$1$ 次式は端や頂点で最大・最小をとる。この性質が生産計画や予算配分の最適化を数式で解く基礎になっている。

別解

別解:個数を $1$ つずつ試して確かめる(苦手な人向けの具体ルート)。 不等式を立てるのが不安なら、りんごの個数を小さい方から順に試す。合計 $20$ 個だから、みかんは $20-$(りんごの個数)で決まる。

• りんご $9$、みかん $11$:りんごの方が少なく「りんご $\ge$ みかん」を満たさない。合計は $180\times 9+90\times 11=2610$ 円だが個数条件で不可。
• りんご $10$、みかん $10$:条件を満たす。合計 $180\times 10+90\times 10=2700$ 円。
• りんご $11$、みかん $9$:合計 $180\times 11+90\times 9=2790$ 円。
• りんご $12$、みかん $8$:合計 $180\times 12+90\times 8=2880$ 円。
• りんご $13$、みかん $7$:合計 $180\times 13+90\times 7=2970$ 円で $2900$ 円を超える。不可。

下に外れるのは個数($9$ 個ではりんごが少ない)、上に外れるのは金額($13$ 個で $2970$ 円)。両方を満たすのは $10,11,12$ 個だ。合計は個数が多いほど高いので、最大は $12$ 個のときの $2880$ 円。書き出すと、どこで外れるかが目に見える。本解と同じ結論に至る。