データの分析 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 度数分布表では、個々の得点はもう分からない。だから「表から求められるもの」と「求められないもの」の区別が出発点になる。

平均値は各階級の真ん中(階級値)で代表させて計算する近似値だ。中央値は、値そのものは出せない。でも「何番目の人がどの階級にいるか」なら追える。累積度数を上から足していき、40人の真ん中(20番目と21番目)がどの階級に落ちるかを探す。

(1) 各階級の階級値は $10,30,50,70,90$ 点だ。(階級値 × 度数)の総和は

$$10\times 2+30\times 6+50\times 14+70\times 12+90\times 6=20+180+700+840+540=2280$$

よって

$$\text{平均値}=\frac{2280}{40}=57(\text{点})$$

(2) $40$ 人の中央値は小さいほうから $20$ 番目と $21$ 番目の得点の平均だ。個々の得点は表からわからないが、順位がどの階級に落ちるかは数えられる。累積度数を順に計算すると

• $20$ 点未満: $2$ 人
• $40$ 点未満: $2+6=8$ 人
• $60$ 点未満: $8+14=22$ 人

$8$ 番目までの人は $40$ 点未満、$9$ 番目から $22$ 番目までの人が $40$ 点以上 $60$ 点未満の階級にいる。$20$ 番目も $21$ 番目もこの中に入る。よって中央値が含まれる階級は $40$ 点以上 $60$ 点未満の階級だ。

『中央値そのもの』ではなく『中央値が含まれる階級』を聞かれている理由がここにある。度数分布表からわかるのはそこまで、という情報の限界を意識できると、統計の問題文が正確に読めるようになる。

発展。 度数分布表の平均が「近似値」なのは、各人の得点を階級の真ん中で代用しているからだ。元データから直接計算した平均とは、ふつう少しずれる。まとめ方(階級の幅)によって統計量が変わる、という感覚は資料を読むときの大切な警戒心になる。

別解の仮平均の考え方はあとで学ぶ変量の変換($y=x-50$ と引いてから計算する)の実用版そのものだ。

別解

(1)の平均は「仮の平均」を置いて、ずれだけを集計する方法もある。真ん中の階級値 $50$ を仮の平均にすると、各階級値のずれは $-40,-20,0,+20,+40$。度数を掛けて合計すると

$$(-40)\times 2+(-20)\times 6+0\times 14+20\times 12+40\times 6=-80-120+240+240=280$$

ずれの平均は $280÷40=7$。よって平均値は $50+7=57$ 点。大きい数の掛け算($70\times 12$ など)が、小さいずれの計算に置き換わる。「平均=基準+ずれの平均」という見方は、電卓のない試験場で役に立つし、次の変量の変換の考え方にもつながっている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) データの中に未知の $x$ が混ざっている。でも平均値が $6$ と分かっている。この条件がそのまま方程式になる。

平均の定義から、総和は $6\times 6=36$ のはず。$x$ を含む総和をこれと等しいと置けば、$x$ が決まる。(2)は $x$ が決まったあとの通常の計算だ。「与えられた統計量から未知データを逆算する」という向きの問題は、定義さえ正確なら怖くない。

(1) 平均値が $6$ なので、総和は $6\times 6=36$ でなければならない。

$$5+8+x+4+6+7=30+x=36\text{よって}x=6$$

(2) データは $5,8,6,4,6,7$ になる。中央値を求めるときは、まず小さい順に並べ直す。この一手間を飛ばすと確実に誤る。

$$4,5,6,6,7,8$$

$6$ 個(偶数個)なので、中央値は $3$ 番目と $4$ 番目の平均で

$$\text{中央値}=\frac{6+6}{2}=6$$

(たまたま $3$ 番目と $4$ 番目が同じ $6$ なので平均も $6$。『同じ値の平均』に戸惑うかもしれないが、ルールどおり計算すればいい。)分散を求める。平均値 $6$ からの偏差は順に

$$-2,-1,0,0,1,2$$

(偏差の和は $0$。検算も合う。)偏差の2乗の和は $4+1+0+0+1+4=10$ なので

$$\text{分散}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$$

まとめ:分散は『2乗和 ÷ 個数』だ。ついさっき(1)で総和 $36$ を使ったからといって、ここで $36$ で割ったりしないこと。何で割るかを毎回定義に戻って確認する。

発展。 「統計量からデータを逆算する」問題は、平均だけでなく分散や中央値が条件になる型へ発展する。分散が条件なら2次方程式が、中央値が条件なら場合分けが現れる。どの型でも、出発点は定義を等式で書くことだ。

偏差の和が必ず $0$ になる事実は、この先の共分散や相関係数の計算でも、表の検算行としてずっと使える。

別解

(1)は「過不足の帳尻」で暗算もできる。平均が $6$ なら、各データの平均とのずれ(偏差)は全部足すと必ず $0$ になる。分かっている5つのずれは $5\to -1$、$8\to +2$、$4\to -2$、$6\to 0$、$7\to +1$。合計すると $-1+2-2+0+1=0$。

すでに帳尻が合っている。だから $x$ のずれは $0$、つまり $x=6$ だ。

「偏差の合計は必ず $0$」は、平均の定義を言い換えただけの事実だが、検算にも逆算にも使える便利な1行である。分散の計算前に偏差の合計が $0$ になっているか見る習慣をつけると、ミスの早期発見にもなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分散には2つの計算法がある。定義(偏差の2乗の平均)と、公式($\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$)だ。

この問題は同じデータで両方を実行して、一致を自分の手で確かめる。公式は定義を変形しただけだから、一致は当然。でも手を動かした一致は公式への信頼になる。

使い分けの目安も掴んでおく。平均が整数できれいなら定義式。平均が半端な小数なら、偏差が汚くなるので公式が有利だ。

(1)

$$\bar{x}=\frac{4+6+7+8+10}{5}=\frac{35}{5}=7(\text{分})$$

(2)

方法1: 定義(偏差の2乗の平均)。 偏差は順に $-3,-1,0,1,3$(和は $0$。検算も合う)で、その2乗は $9,1,0,1,9$ だ。

$$s^2=\frac{9+1+0+1+9}{5}=\frac{20}{5}=4$$

方法2: 公式($\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$)。 偏差を経由せず、元のデータを直接2乗して平均する。

$$\overline{x^2}=\frac{4^2+6^2+7^2+8^2+10^2}{5}=\frac{16+36+49+64+100}{5}=\frac{265}{5}=53$$

$$s^2=53-7^2=53-49=4$$

確かに両方とも分散は $4$ で一致する。標準偏差は

$$s=\sqrt{4}=2(\text{分})$$

まとめ:今回は平均が $7$ ときれいなので、どちらの方法でも手間は大差ない。でも平均がたとえば $6.4$ のような値になると、定義式では偏差 $-2.4,-0.4,\dots$ の2乗という小数計算地獄になる。そのとき公式が役に立つ。両方を使える状態にしておき、データを見て有利なほうを選ぶこと。

発展。 公式 $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ を移項すると $\overline{x^2}=(\bar{x}{)}^2+s^2$。「2乗の平均は、平均の2乗より必ず大きい(散らばりの分だけ)」という不等式が読み取れる。

この関係は数学Bの統計的な推測や、入試の証明問題(2乗の平均と平均の2乗の大小)でもそのまま中心的に使われる。公式を「計算の道具」と「不等式の事実」の両面で持っておきたい。

別解

第3の見方として、「データを平行移動してから計算する」手もある。分散は散らばりの量で、全員に同じ数を足し引きしても変わらない。そこで全データから $7$ を引くと、$-3,-1,0,1,3$。この小さい数のデータで分散を計算すると

$$\frac{(-3{)}^2+(-1{)}^2+0^2+1^2+3^2}{5}=\frac{9+1+0+1+9}{5}=4$$

移動しても分散は不変だから、これが元のデータの分散でもある。

引く数を平均ちょうどにすれば偏差の計算そのものだが、平均が半端なときは「キリのいい近くの数」を引くだけでも計算が軽くなる。分散が「位置」でなく「散らばり」だけを測っている、という性質の実用化だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 20人分のデータを再計算したくなるが、個々の得点は与えられていない。あるのは修正前の平均と分散、そして2か所の修正内容だけだ。

ここで発想を変える。平均は総和で決まる。分散は公式 $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ を使えば2乗の総和で決まる。

だから「総和がどれだけ変わったか」「2乗の総和がどれだけ変わったか」。この2つの増減だけを追えば、全データを知らなくても答えが出る。

まず平均値の変化を調べる。 修正による総和の変化は

$$(48-58)+(82-72)=-10+10=0$$

$-10$ 点の修正と $+10$ 点の修正がちょうど打ち消し合い、総和は変わらない。よって平均値は修正後も $60$ 点のままだ。

次に2乗の総和の変化を調べる。 『総和が変わらないなら分散も変わらないのでは?』と思うかもしれないが、そうはいかない。分散が見ているのは値の位置ではなく、平均からの距離だからだ。分散の公式 $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ で考えると、$(\bar{x}{)}^2=3600$ は変わらないので、変化するのは $\overline{x^2}$ だけ。2乗の総和の変化を、和と差の積で計算すると

$$(48^2-58^2)+(82^2-72^2)=(48-58)(48+58)+(82-72)(82+72)$$

$$=(-10)\times 106+10\times 154=-1060+1540=480$$

($48^2=2304$ などとまじめに2乗するより、$(48-58)(48+58)$ のほうが速く正確だ。因数分解の公式は計算の道具でもある。)よって $\overline{x^2}$ は $\frac{480}{20}=24$ だけ増える。

修正後の分散。

$$s_{\text{修正後}}^2=\left(\overline{x^2}+24\right)-(\bar{x}{)}^2=\left(\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2\right)+24=100+24=124$$

$\overline{x^2}$ 自体の値を知らなくても、『元の分散 $+24$』の形に組み替えられるのが、この公式の利点だ。

結論。 平均値 $60$ 点(変わらず)、分散 $124$。(直感でも確かめられる。$58\to 48$、$72\to 82$ の修正はどちらも『平均 $60$ から遠ざかる』向きだ。だから散らばりが増えるのは自然で、分散の増加と合っている。)

発展。 今回の修正は「平均から遠い側へ2人を動かした」ので、散らばりが増えて分散が上がった。逆に、平均へ近づける修正なら分散は下がる。数値の増減を、分布の形の変化として言葉にできると理解が締まる。

「集計量(総和・2乗の総和)さえ管理すれば個票は要らない」という考え方は、次の合併の問題や、数学Bの統計でも通用する実務的な発想だ。

別解

平均が変わらないことを先に確かめると、「偏差の付け替え」だけで分散が出る近道が開く。総和の変化は $(48-58)+(82-72)=-10+10=0$。だから平均は $60$ 点のまま動かない。平均が動かないなら、各人の偏差の基準も動かない。変わるのは修正された2人の偏差だけだ。

• 1人目: 偏差 $-2$ が $-12$ に。偏差の2乗は $4$ から $144$ へ、$+140$。
• 2人目: 偏差 $+12$ が $+22$ に。偏差の2乗は $144$ から $484$ へ、$+340$。

偏差の2乗の合計は $480$ 増える。人数 $20$ で割って、分散は $100+\frac{480}{20}=124$。この近道は「平均不変」が前提であることに注意。平均が動く修正なら、全員の偏差が測り直しになるので、本解の2乗の総和ルートが安全だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 1次式の変換 $y=ax+b$ では、平均はそのまま変換され($\bar{y}=a\bar{x}+b$)、散らばりは $|a|$ 倍になる($s_y=|a|s_x$。$b$ は足しても散らばりに影響しない)。

(2)の $u=\frac{x-36}{4}$ も、展開すれば $u=\frac{1}{4}x-9$ というただの1次式だ。同じ公式で処理できる。結果は平均 $0$、標準偏差 $1$。この「平均を引いて標準偏差で割る」変換には標準化という名前が付いている。

(1) $y=5x+10$ は $a=5$、$b=10$ の1次式変換なので

$$\bar{y}=5\bar{x}+10=5\times 36+10=190$$

$$s_y=|5|\times s_x=5\times 4=20,s_y^2=20^2=400$$

分散は $|a|$ 倍ではなく $a^2$ 倍($400=5^2\times 16$)だ。標準偏差と分散のどちらを聞かれているかを見落とさないこと。

(2) 分数の形のままだと公式が使いにくいので、まず展開する。$u=\frac{x-36}{4}=\frac{1}{4}x-9$ なので、$a=\frac{1}{4}$、$b=-9$ だ。

$$\bar{u}=\frac{1}{4}\times 36-9=9-9=0$$

$$s_u=\left|\frac{1}{4}\right|\times 4=1$$

よって $u$ の平均値は $0$、標準偏差は $1$ だ。

まとめ:結果が $0$ と $1$ という『きれいすぎる値』になったのは偶然ではない。引いた $36$ がちょうど平均、割った $4$ がちょうど標準偏差だからだ。この変換(平均を引いて標準偏差で割る)を標準化という。データの単位や水準のちがいを消して共通のものさしに乗せる操作で、模試の偏差値は標準化した値を『$10$ 倍して $50$ を足した』もの($u$ に対して $10u+50$)にすぎない。数学Bの『統計的な推測』でも中心的な役割を果たす、先につながる操作だ。

発展。 標準化は「単位や満点の違うもの同士を比べる」ための共通の物差しだ。数学 $80$ 点と英語 $70$ 点、どちらが相対的に良いかは、標準化した値(平均から標準偏差いくつ分か)で初めて比べられる。

数学Bの統計的な推測では正規分布をこの標準化で「標準正規分布」に統一し、1枚の数表であらゆる場合を処理する。この問題の変換はその標準化の練習にあたる。

別解

(2)は計算の前に、変換の「意味」から結果を予言できる。$u=\frac{x-36}{4}$ は、目盛りの張り替えだ。まず $36$(平均)を引く。これで平均の位置が原点 $0$ に来る。次に $4$(標準偏差)で割る。これで標準偏差が $1$ 目盛りになる。

つまり $u$ は「平均から標準偏差いくつ分離れているか」を表す数だ。平均 $0$・標準偏差 $1$ になるのは、そういう物差しを作ったのだから当然である。

身近な応用が偏差値だ。偏差値は $50+10u$、つまり標準化した値を「平均 $50$・標準偏差 $10$」の物差しに乗せ替えたもの。テストの偏差値 $60$ は「平均より標準偏差1つ分上」という意味だと、この変換から読める。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 相関係数 $r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}$ の材料は3つ。共分散1つと標準偏差2つだ。

バラバラに計算すると、偏差を何度も求め直すことになってミスを呼ぶ。そこで偏差の表を1枚作り、全材料を同時に仕込む。各生徒について「$x$ の偏差・$y$ の偏差・それぞれの2乗・積」を横に並べ、列ごとに合計すれば、分散2つと共分散が一度に手に入る。

まず平均値。

$$\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6,\bar{y}=\frac{3+5+4+7+6}{5}=5$$

偏差の表を作る。 各生徒について($x$ の偏差, $y$ の偏差)と、$x$偏差の2乗・$y$偏差の2乗・偏差の積を並べる。

• $(-4,-2)$: $16,4,8$
• $(-2,0)$: $4,0,0$
• $(0,-1)$: $0,1,0$
• $(2,2)$: $4,4,4$
• $(4,1)$: $16,1,4$

列ごとの合計: $x$偏差の2乗和 $=40$、$y$偏差の2乗和 $=10$、偏差の積の和 $=16$

(検算ポイント: $x$、$y$ それぞれの偏差の和が $0$ になっていることを、表を作った時点で確認しておく。)

分散・共分散・相関係数。

$$s_x^2=\frac{40}{5}=8,s_y^2=\frac{10}{5}=2,s_{xy}=\frac{16}{5}=3.2$$

$$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{3.2}{\sqrt{8}\times \sqrt{2}}=\frac{3.2}{\sqrt{16}}=\frac{3.2}{4}=0.8$$

分母は $\sqrt{8}\times \sqrt{2}=\sqrt{16}=4$。根号のまま掛けてから外すときれいに整数になる。$\sqrt{8}=2.83\dots$ などと途中で小数にしないこと。

$r=0.8$ なので、数学と理科の得点にはかなり強い正の相関がある。散布図では点が右上がりの帯状に並ぶイメージだ。

発展。 $r=0.8$ は「かなり強い正の相関」だ。散布図を描くと、5点が右上がりの帯に乗っている様子が確認できる。数値と図を往復して確かめる習慣は、相関の読み違い(外れ値による見かけの相関など)への備えになる。

相関が強くても、それは「一緒に動く」ことしか意味しない。片方が原因でもう片方が結果、という因果関係までは言えない。この区別はデータを扱う全分野で最重要の注意である。

別解

数を小さくしてから表を作る方法もある。相関係数は、1次式の変換で値が変わらない(正の倍率なら)という性質を使うのだ。$x$ は全部偶数なので $u=\frac{x-6}{2}$、$y$ は $v=y-5$ と変換すると

$$u=-2,-1,0,1,2v=-2,0,-1,2,1$$

平均はどちらも $0$ だから、値そのものが偏差になる。積の和は $4+0+0+2+2=8$、$u^2$ の和は $10$、$v^2$ の和は $10$。

$$r=\frac{8/5}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1.6}{2}=0.8$$

元の $x,y$ で計算した値と一致する。変換の性質(あとの問題で正面から学ぶ)を先取りして使うと、2桁の2乗計算が1桁の暗算に変わる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 箱ひげ図の読み取りで問われるのは、計算力ではなく「その図から確実に言えること」と「言えないこと」の区別だ。

使う知識は2つ。①四分位数はデータをおよそ $25\%$ ずつに区切る位置。②箱ひげ図には平均値の情報がない(五数要約は順位の情報だけ)。

各主張を「五数要約から論理的に導けるか?」と1つずつ検問していく。導けなければ、正解は「判断できない」だ。

(1) 正しい。 四分位範囲は $Q_3-Q_1$ だ。

$$\text{A組}:70-45=25,\text{B組}:65-50=15$$

よってA組のほうが大きく、正しい。

(2) 正しい。 『$25\%$ だからだいたい $10$ 人』で済ませず、きちんと詰めてみる。A組の $Q_3=70$ は、小さいほうから $30$ 番目と $31$ 番目の得点の平均だ。もし $70$ 点以上の生徒が $9$ 人以下だとすると、$31$ 番目の得点は $70$ 点未満となり、$30$ 番目の得点はそれ以下なので、2つの平均が $70$ になることはありえない。よって $70$ 点以上の生徒は $31$ 番目から $40$ 番目の $10$ 人以上いる。正しい。

(3) 正しい。 B組の最大値は $80$ 点なので、$80$ 点を超える生徒はいない。よって $90$ 点の生徒はおらず、正しい。最大値・最小値はひげの端から直接読める、いちばん素直な情報だ。

(4) 判断できない。 この問題の中心になる設問だ。箱ひげ図(五数要約)からわかるのはデータの順位の区切りであって、平均値はわからない。中央値はB組のほうが高い($60>55$)が、たとえばA組に $90$ 点近い高得点者が何人もいれば、平均値はA組のほうが高くなることも十分ありえる。『中央値が高い → 平均値も高い』という推論は成り立たない。中央値は順位しか見ておらず、平均値は値の大きさに引きずられる、という2つの代表値の性格のちがいが、そのまま答えになっている。

発展。 箱ひげ図は「順位の要約」であって「値の分布の完全な記録」ではない。同じ箱ひげ図を持つ、姿の違う分布は無数にある。この限界を知っていることが、資料の読み手としての成熟だ。

ヒストグラムと箱ひげ図の対応を問う問題(どのヒストグラムがどの箱ひげ図か)も、この問題の「言える・言えない」の区別の応用である。

別解

「判断できない」を確信を持って答えるための、強い方法がある。反例を自分で作ってしまうのだ。(4)の平均値なら、こう考える。A組の五数要約を保ったまま、中身の自由な部分を動かせるか。

たとえば、中央値 $55$ と第3四分位数 $70$ の間にいる8人($22$ 番目から $29$ 番目)は、五数要約に一切触れずに $55$ と $70$ の間を自由に動ける。全員 $56$ 点の場合と、全員 $69$ 点の場合では、箱ひげ図はまったく同じなのに、平均は $2$ 点以上変わる。

つまり、同じ箱ひげ図から平均が大きくも小さくもなり得る。だから平均の大小は「判断できない」。「言えない」ことの証明は反例1つで完了する。集合と命題で学んだ「偽の証明は反例」が、データの読み取りでもそのまま働いている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)は判定の手順どおりに進める。10個のデータなら下組・上組5個ずつ、それぞれの中央値が $Q_1$、$Q_3$。境界は四分位範囲の $1.5$ 倍外側だ。

(2)がこの問題の伝えたいことだ。外れ値込みと抜きで、平均を実際に2回計算して比べる。「平均値は外れ値に敏感、中央値や四分位数は鈍感」。教科書の一文を数値の実感として持つための問題である。

(1) データは $10$ 個なので、下組は前半 $5$ 個、上組は後半 $5$ 個にきっちり分かれる。

• 下組 $23,25,27,28,30$ の中央値: $Q_1=27$
• 上組 $31,33,35,38,52$ の中央値: $Q_3=35$

四分位範囲は $35-27=8$ なので、外れ値の境界は

$$Q_1-1.5\times 8=27-12=15,Q_3+1.5\times 8=35+12=47$$

$15$ 未満の値はなく、$47$ より大きい値は $52$ だけだ。よって外れ値は $52$ だ。

(2) 全体($10$ 個)の平均値は

$$\frac{23+25+27+28+30+31+33+35+38+52}{10}=\frac{322}{10}=32.2$$

外れ値 $52$ を除いた $9$ 個の平均値は、総和から $52$ を引いて個数を $9$ に直せばいい(全部足し直す必要はない)。

$$\frac{322-52}{9}=\frac{270}{9}=30$$

まとめ:比べてみると、外れ値 $52$ が1個含まれるだけで平均値は $30$ から $32.2$ へと $2.2$ も動く。残り9個のデータは何も変わっていないのに、だ。一方、中央値($30$ と $31$ の平均 $=30.5$)は、$52$ の部分が $100$ でも $1000$ でも変わらない。順位で決まる量だからだ。平均値は外れ値に敏感、中央値は頑健(影響を受けにくい)。外れ値がありうるデータでは、平均値だけを見ず中央値もあわせて確認するのが分析の基本姿勢だ。

発展。 $1.5\times$ 四分位範囲という基準は、絶対的な決まりではなく広く使われる目安だ(箱ひげ図のひげの長さの慣習に由来する)。基準を変えれば外れ値の判定も変わる。「基準込みで判定が決まる」という相対性を知っておきたい。

外れ値が見つかったときの正しい態度は「なぜこの値が出たのか」を調べることだ。入力ミスなら直し、実態なら残して中央値で説明する。数値処理の先に、判断の問題がある。

別解

「敏感・鈍感」の対比は思考実験を1つ足すとさらにはっきり見える。外れ値の $52$ を、もっと極端な $520$ に書き換えてみる。

$Q_1=27$、$Q_3=35$、中央値 $30.5$ は、1つも動かない。これらは「何番目の値か」だけで決まる量で、端の値がいくら暴れても順位が変わらない限り無反応だからだ。

一方、平均は $32.2$ から $79$ へ跳ね上がる。1つの値だけで、全体の代表値が実態からかけ離れた値になる。

年収の統計で「平均値」と「中央値」が大きくずれる話は、この現象である。データに極端な値が混ざり得るときは、どちらの代表値を見るべきかを考える。それがこの問題の実用的な教訓である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「効果がある」と主張したい。仮説検定の構えはその反対から始まる。

「効果がない(向上は五分五分)」という仮説をわざと立てて、それを追いつめるのだ。

仮説のもとでは、$20$ 人中 $15$ 人以上の向上は「コイン $20$ 枚中 $15$ 枚以上が表」と同じ現象になる。その起こりにくさを実験の相対度数で見積もり、基準($5\%$)より小さければ、仮説のほうを疑う。それが棄却だ。

まず仮説を立てる。 主張したいことは『新しい練習方法には効果がある』だ。その反対の仮説

$$\text{「効果がない(記録の向上は確率 }\frac{1}{2}\text{ で偶然起こる)」}$$

を立てる。『なぜわざわざ反対を仮定するのか』と戸惑うかもしれないが、これは背理法と同じ構えだ。反対の仮定から『ありえないほど珍しいこと』が導かれれば、仮定のほうを疑える。

仮説のもとでの起こりにくさを見積もる。 仮説が正しければ、各人の向上・非向上はコインの表裏と同じ五分五分の現象だ。よって『$20$ 人中 $15$ 人以上が向上する』ことは『コイン $20$ 枚中 $15$ 枚以上が表になる』ことと同じ仕組みで起こる。実験では $1000$ 回中 $21$ 回だったので、相対度数は

$$\frac{21}{1000}=0.021$$

基準と比べて判断する。

$$0.021<0.05$$

『効果がない』のに $15$ 人以上も向上することは、基準 $5\%$ を下回る『めったにない』出来事だ。それが実際に起きた。ならば『効果がない』という仮説のほうが疑わしいと考えて、これを棄却する。

結論。 新しい練習方法には効果があると判断してよい。

(注意: この判断は『絶対に効果がある』ことの証明ではない。めったに起こらないことがたまたま起きた可能性は $0$ ではなく、基準 $0.05$ は『その見込みちがいをどこまで許すか』の取り決めだ。統計的な結論には、いつもこの但し書きが付く。断定ではなく、根拠のある判断、というのが仮説検定の立ち位置だ。)

発展。 基準の $5\%$ に絶対の根拠はなく、慣習的な約束だ。そして仮説が正しくても、$20$ 回に $1$ 回ほどは偶然「珍しいこと」が起きて、正しい仮説を誤って棄却してしまう。検定は「確からしい判断」であって「証明」ではない。

この考え方は背理法(矛盾したら仮定を捨てる)の確率版と見ることもできる。数学Bの統計的な推測で、正規分布を使った本格的な検定として再登場する。

別解

コイン実験の代わりに、場合の数で理論値を直接計算することもできる(数学Aの組合せを使う)。コイン $20$ 枚の表裏の出方は全部で $2^{20}=1048576$ 通り。表がちょうど $k$ 枚になる出方は、$20$ 枚から表の位置を選ぶ組合せの数だけある。表が $15$ 枚以上になる出方を数えると

$$15504+4845+1140+190+20+1=21700\text{ 通り}$$

確率は $\frac{21700}{1048576}=0.0207\dots$、およそ $2.1\%$。

実験の相対度数 $0.021$ は、この理論値の近似だったことが分かる。$1000$ 回の実験は理論計算の「代用品」であり、回数を増やすほど理論値に近づく。実験と理論、2つの道が同じ結論(棄却)に着くことを確かめておくと、検定の仕組みへの信頼が深まる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 単位を変えたら(点→パーセント、cm→m など)相関係数はどうなるか、という問題だ。

偏差の変化を追えば解ける。$u=ax+b$ と変換すると、偏差は $a$ 倍になる($b$ は偏差に影響しない)。

すると共分散は $a$ 倍、標準偏差は $|a|$ 倍。相関係数は分子と分母で大きさが約分され、残るのは $a$ の符号だけ。「相関係数は単位に依らない。符号だけが変わり得る」が結論の形だ。

一般に $u=ax+b$($a\ne 0$)と変換すると、偏差は $u-\bar{u}=a(x-\bar{x})$ になる。平均も一緒に動くので、$b$ は偏差から消えてしまう。これをもとに各場合を考える。

(1) $u=x+10$($a=1$)では偏差がまったく変わらないので、共分散も標準偏差もすべて元のまま。よって

$$r_{uy}=0.6$$

全員に $10$ 点足しても『連動の強さ』が変わらないのは直感どおりだろう。

(2) $v=2y$ とすると、$y$ の偏差が $2$ 倍になるので

$$s_{xv}=2s_{xy},s_v=2s_y$$

相関係数は

$$r_{xv}=\frac{2s_{xy}}{s_x\times 2s_y}=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=0.6$$

分子の $2$ と分母の $2$ が約分されて消える。相関係数が割り算で定義されているので、倍率の影響が自動的に打ち消される。

(3) $u=-x$ とすると、$x$ の偏差が $-1$ 倍になるので

$$s_{uy}=-s_{xy},s_u=|-1|s_x=s_x$$

共分散は符号ごと反転するが、標準偏差は必ず正なので絶対値がついて変わらない。この非対称のせいで、約分しきれない符号が1つ残る。

$$r_{uy}=\frac{-s_{xy}}{s_x{s}_y}=-0.6$$

(意味を考えれば当然で、$x$ の符号を反転すれば『$x$ が増えると $y$ も増える』関係は『$u$ が増えると $y$ は減る』関係に裏返る。)

まとめ。 相関係数は平行移動や正の倍率の変換では変わらず、負の倍率を掛けると符号だけが反転する。つまり $r$ は単位の取り方によらない量だ。点数で測ろうがパーセントで測ろうが同じ値になる。だからこそ、異なるデータの間で『連動の強さ』を比べる共通のものさしとして使える。

発展。 「単位に依らない」からこそ、相関係数は違う現象どうしの比較に使える。気温とアイスの売上(${}^{\circ }$C と円)、身長と体重(cm と kg)。単位の混ざった量の関係を、$-1$ から $1$ の1本の物差しに乗せるのが $r$ の役目だ。

この不変性は実際の計算の時短にも使える(データから定数を引き、キリのいい数で割ってから $r$ を計算してよい)。相関係数の計算問題で役に立つ。

別解

散布図の絵で考えると、計算なしで結論が見える。相関係数は「点の並びが直線にどれだけ近いか」を測る量だからだ。(1) $x$ に $10$ を足すのは、散布図全体を右へ平行移動すること。点の並びの形はまったく変わらない。だから $r=0.6$ のまま。

(2) $y$ を $2$ 倍するのは、縦方向に引き伸ばすこと。帯は縦長になるが、「直線への乗り具合」は変わらない。$r=0.6$ のまま。

(3) $x$ を $-1$ 倍するのは、左右の反転。右上がりの並びが右下がりに裏返る。強さは同じで向きだけ逆、$r=-0.6$。

「平行移動と拡大縮小では形の崩れ方が変わらない。反転だけが向きを裏返す」。この絵を持っておくと、公式を忘れても符号を間違えない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平均 $60$ 点のA班と平均 $70$ 点のB班を合わせる。平均は総和経由で素直に出る(人数が同じなら、ちょうど中間の $65$ 点)。

危ないのは分散だ。$(20+30)÷2=25$ と平均したくなるが、これは誤り。分散は「平均からの距離」で決まる量だ。合併すると、基準点が各班の平均から「全体の平均 $65$」に変わり、全員の距離が測り直しになる。2乗の総和を経由して計算し直すのが本筋である。

まず全体の平均値。 A班の総和は $60\times 10=600$ 点、B班の総和は $70\times 10=700$ 点なので、全体の平均値は

$$\bar{x}=\frac{600+700}{20}=\frac{1300}{20}=65(\text{点})$$

次に各班の『2乗の総和』を復元する。 分散の公式 $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ を変形すると $\overline{x^2}=s^2+(\bar{x}{)}^2$。平均と分散から『2乗の平均』が逆算できる。

• A班: $\overline{x^2}=20+60^2=3620$、よって2乗の総和は $3620\times 10=36200$
• B班: $\overline{x^2}=30+70^2=4930$、よって2乗の総和は $4930\times 10=49300$

全体の分散。 2乗の総和は足してよい量なので、全体の2乗の平均は

$$\overline{x^2}=\frac{36200+49300}{20}=\frac{85500}{20}=4275$$

よって全体の分散は

$$s^2=4275-65^2=4275-4225=50$$

結論。 平均値 $65$ 点、分散 $50$。

まとめ:注目してほしいのは、分散 $50$ が各班の分散($20$、$30$)のどちらよりも大きいことだ。合併後の散らばりには、各班の中での散らばりに加えて『班どうしの平均のずれ($60$ と $70$)』が新たな散らばりとして上乗せされる。A班の平均的な生徒も全体平均 $65$ から見れば $5$ 点ずれているのだ。『分散の平均 $=25$』という誤答が、この上乗せ分を見落としていることも、これで納得できるだろう。

発展。 「全体の散らばり=群の中+群の間」という分解は、統計学で分散分析と呼ばれる手法のもとになっている。クラス間の学力差を説明するとき、個人差(群内)と学級差(群間)を分けて見る、という発想である。

2つの平均が同じ班を合べたら($60$ 点と $60$ 点)、部品②は $0$ になり、分散はちょうど分散の平均になる。誤答の $25$ が正解になる特別な場合まで言えると、理解は完全だ。

別解

合併後の分散は意味のある2つの部品に分解できる。この見方を知ると、$25$ では足りない理由まで説明できる。部品①は「各班の中の散らばり」。2つの班の分散の平均で、$\frac{20+30}{2}=25$。

部品②は「班どうしのずれ」。各班の平均が全体平均 $65$ からどれだけ離れているかで、$\frac{(60-65{)}^2+(70-65{)}^2}{2}=\frac{25+25}{2}=25$。合併後の分散は、この2つの和で

$$25+25=50$$

$(20+30)÷2=25$ という誤答は、部品②(班間のずれ)を丸ごと忘れた値である。「全体の散らばり=班の中の散らばり+班の間の散らばり」という分解は、人数が違う場合には重みつきの平均になるが、構造は同じである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 個々のデータは1つもない。あるのは5つの合計値だけ。それでも相関係数は完全に計算できる。

分散の公式 $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ には、対になる公式がある。共分散の $s_{xy}=\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}$ だ。どちらも「合計値を $n$ で割った平均たち」だけでできている。5つの合計値を $20$ で割って部品(平均・2乗の平均・積の平均)をそろえ、公式に流し込めばよい。

まず平均値。

$$\bar{x}=\frac{100}{20}=5,\bar{y}=\frac{160}{20}=8$$

分散。 『2乗の平均 − 平均の2乗』で

$$s_x^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2=\frac{580}{20}-5^2=29-25=4$$

$$s_y^2=\overline{y^2}-(\bar{y}{)}^2=\frac{1360}{20}-8^2=68-64=4$$

よって $s_x=2$、$s_y=2$ だ。

共分散。 共分散(偏差の積の平均)は、分散の公式を導いたのと同じ展開で

$$s_{xy}=\overline{(x-\bar{x})(y-\bar{y})}=\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}$$

という『積の平均 − 平均の積』の形に変形できる(展開して $\bar{x}$、$\bar{y}$ が定数であることを使えば確かめられる。分散の公式は $y=x$ とした特別な場合だ)。よって

$$s_{xy}=\frac{856}{20}-5\times 8=42.8-40=2.8$$

相関係数。

$$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{2.8}{2\times 2}=0.7$$

まとめ:$\overline{xy}$(積の平均 $42.8$)と $\bar{x}\bar{y}$(平均の積 $40$)は別物だ。この差 $2.8$ が共分散で、2変量が連動している分だけ『積の平均』が『平均の積』からずれる、と読める。$r=0.7$ なので、かなり強い正の相関だ。

発展。 合計値だけで統計量が全部出る、という事実には実務的な意味がある。$20$ 組の生データを保存しなくても、5つの合計値さえ記録しておけば、あとから平均・分散・相関係数を再現できる。データの「要約統計量」という考え方だ。

別解の「$r$ はコサイン」という見方からは、$|r|\le 1$ が当たり前の事実として見える。数学IIで学ぶコーシー・シュワルツの不等式は、この事実の代数版である。

別解

得意な人向けに、相関係数が何を表すかが分かる見方を1つ示す。各データの偏差を成分として並べた、$20$ 個の成分を持つ2本の矢印(偏差のベクトル)を想像する。$x$ の偏差の列と、$y$ の偏差の列だ。

このとき、共分散 $s_{xy}$ は2本の「内積 ÷ $n$」、標準偏差はそれぞれの「長さ ÷ $\sqrt{n}$」にあたる。すると

$$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{\text{内積}}{\text{長さの積}}$$

これは、ベクトルのなす角の $\cos$ の式と同じ形だ。つまり相関係数とは「偏差ベクトルどうしのなす角のコサイン」である。

$\cos$ だから必ず $-1$ 以上 $1$ 以下。$r=1$ は2本が同じ向き(完全な正の相関)、$r=0$ は直交(無相関)、$r=-1$ は正反対。相関係数の性質がすべて角度の言葉で言い換えられる。数学Cでベクトルの内積を学んだら、ぜひこの見方に戻ってきてほしい。