数学I / データの分析

データの分析 ★★★ 応用の問題全8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

難易度: ★ 基礎·★★ 標準·★★★ 応用·★★★★ 難関·実戦編·最難関編

平均値と分散から未知の2つのデータを決定する
データの追加による分散の変化と最小化
指定した平均・標準偏差になる1次式変換
相関係数の計算と変換後の不変性
仮説検定(基準の違いによる判断の変化)
最大値の修正が各統計量に与える影響
得点調整と相対的な位置
人数の異なる2グループの統合と標準偏差

問1平均値と分散から未知の2つのデータを決定する

★★★ 応用平均値分散対称式

問題

5個のデータ

$3, 5, 7, x, y$

の平均値が $6$ 、分散が $4$ であるとき、 $x, y$ の値を求めよ。ただし $x < y$ とする。

ヒントを見る

未知数2つ、条件2つ。直接追うと分散の式が重い。平均は『和 $x + y$ 』を、分散は『2乗の和 $x^{2} + y^{2}$ 』を与える。和と2乗の和があれば積が出せる(数と式の対称式)。そこから2数へ。

解答・解説

方針

未知数が $x$ 、 $y$ の2つ、条件も平均と分散の2つ。連立で解ける勘定だが、直接 $x$ 、 $y$ を追うと分散の式が複雑になる。

ここで使えるのが対称式の見方だ。平均の条件は $x + y$ を、分散の条件は( $\overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}$ の公式を経由して) $x^{2} + y^{2}$ を与えてくれる。和と2乗の和があれば $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ から積 $x y$ が出て、あとは『和と積 → 2次方程式の解』のいつもの流れだ。

データの分析の皮をかぶった、対称式の融合問題だ。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 未知数は $x$ 、 $y$ の $2$ つ。条件も平均と分散の $2$ つ。数の上では連立で解ける。

だが $x$ 、 $y$ を直接追うと、分散の式が重くなる。そこで条件を式に直す。平均からは和 $x + y$ が出る。分散からは( $2$ 乗の和の公式を経由して) $x^{2} + y^{2}$ が出る。和と $2$ 乗の和がそろえば、積 $x y$ も出せる。あとは和と積から $2$ 数を復元する既習の流れに乗る。

統計の皮をかぶった対称式の問題だ。

公式分散

s^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}

(平均は和に、分散は2乗の和に言い換える)

まず平均値の条件から $x + y$ を求める。 平均値が $6$ なので総和は $30$ だ。

$3 + 5 + 7 + x + y = 30 よって x + y = 15$

$x$ 、 $y$ 個別ではなく、まず和が手に入った。この時点で、対称式を使えばよいと分かる。

次に分散の条件から $x^{2} + y^{2}$ を求める。 分散を定義式(偏差の2乗平均)で書くと $x$ 、 $y$ の混ざった複雑な式になる。公式 $s^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}$ を使えば、条件を『2乗の総和』という扱いやすい量で表せる。

$\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2} = 4 + 36 = 40$

よって2乗の総和は $40 \times 5 = 200$ だ。

$3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + x^{2} + y^{2} = 9 + 25 + 49 + x^{2} + y^{2} = 200 よって x^{2} + y^{2} = 117$

対称式から $x$ 、 $y$ を決める。 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ より

$225 = 117 + 2 x y よって x y = 54$

和が $15$ 、積が $54$ 。解と係数の関係により、 $x$ 、 $y$ は2次方程式

$t^{2} - 15 t + 54 = 0 すなわち (t - 6) (t - 9) = 0$

の2解だ。 $x < y$ より

$x = 6, y = 9$

検算: データ $3, 5, 7, 6, 9$ の平均は $30 \div 5 = 6$ 。偏差は $- 3, - 1, 1, 0, 3$ で2乗和は $9 + 1 + 1 + 0 + 9 = 20$ 、分散は $20 \div 5 = 4$

振り返り。 『平均 → 和』『分散 → 2乗の和』と条件を言い換えられれば、あとは数と式で練習した対称式の手順(和・積 → 2次方程式)がそのまま使える。統計量は結局のところ $\sum x$ と $\sum x^{2}$ の情報だ。この見方は『合計値だけから相関係数を出す問題』や『2グループを合併する問題』でも使う、この単元の基本だ。

発展。 この問題の決め手は、平均から $\sum x$ が、分散から $\sum x^{2}$ が分かるという言い換えだった。

裏を返せば、平均と分散さえ分かれば、そのデータの $\sum x$ と $\sum x^{2}$ が復元できる。個々の値を知らなくても、この $2$ つの合計だけで答えが出る問題は多い。

平均と分散は、データの情報を $\sum x$ と $\sum x^{2}$ にまとめた「 $1$ 次と $2$ 次の要約」だ。数学Bの確率変数でも、期待値と分散が同じ役割を果たす。この見方は統計の問題で何度も使う。

答

$x = 6, y = 9$

別解

別解:平均からの偏差で考える(得意な人向けの視点)。 生の値でなく、平均 $6$ からの偏差で計算すると、途中の数が小さくなる。

既知の $3$ 、 $5$ 、 $7$ の偏差は $- 3$ 、 $- 1$ 、 $1$ 。その $2$ 乗の和は $9 + 1 + 1 = 11$ 。偏差の $2$ 乗の総和は「分散 × 個数」だから $4 \times 5 = 20$ 。よって $x$ 、 $y$ の偏差を $p = x - 6$ 、 $q = y - 6$ とおくと

$p^{2} + q^{2} = 20 - 11 = 9.$

また偏差の総和は $0$ だから $- 3 + p + q = 0$ 、つまり $p + q = 3$ 。ここで積を出すと

$pq = \frac{( p + q ) ^{2} - ( p ^{2} + q ^{2} )}{2} = \frac{9 - 9}{2} = 0.$

$pq = 0$ なので、 $p$ か $q$ の一方が $0$ 。偏差 $0$ とは「その値がちょうど平均 $6$ 」ということだ。 $x < y$ と $p + q = 3$ から $(p, q) = (0, 3)$ 、すなわち $x = 6$ 、 $y = 9$ 。本解と同じ答えだ。

生の $x^{2} + y^{2} = 117$ を作らずに済み、しかも「 $5$ 個のうち $1$ 個はちょうど平均」という構造も分かる。

ポイント

平均値 → 和、分散 → 2乗の和、という条件の言い換え
和と2乗の和 → 積 → 2次方程式の解、という対称式の基本の手順で2つの未知数が決まる
求めた値は必ずもとの条件(平均・分散)で検算する

よくある間違い

$(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ の係数 $2$ を落として $x y = 108$ とし、 $2$ 次方程式の解を取り違える。
分散を偏差のまま展開しようとして $x$ 、 $y$ の混じった式に手が止まる( $2$ 乗の和 $\overline{x^{2}}$ を経由すれば軽い)。
和と積が出たあと $x < y$ の指定を忘れ、 $x = 9$ 、 $y = 6$ と大小を逆に答える。

問2データの追加による分散の変化と最小化

★★★ 応用分散データの追加2次関数

問題

9個のデータの平均値は $5$ 、分散は $8$ である。ここに1個のデータ $a$ を追加して10個のデータにする。

(1) $a = 5$ のとき、追加後の平均値と分散を求めよ。

(2) 追加後の分散が最小となる $a$ の値と、そのときの分散を求めよ。

ヒントを見る

『どんな $a$ を足すと分散が最小になるか』は、2次関数の最小問題として考えられる。追加後の分散を $a$ の式で書けば、あとは平方完成。答えの $a$ は元のデータのある値と一致する。直感的にも納得できるはずだ。

解答・解説

方針

『どんな値 $a$ を追加すると分散が最小になるか』。分散の問題だが、中身は2次関数の最小値問題だ。

準備として、追加前の『総和』( $45$ )と『2乗の総和』( $9 \times (8 + 25) = 297$ )を復元しておく。(1)は $a = 5$ での素直な計算。(2)は追加後の分散を $a$ の式で書くと2次関数になるので、平方完成に持ちこむ。

答えは『平均と同じ値を追加したとき最小』。結論は直感とも合う。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 追加する値 $a$ を動かして、分散を最小にしたい。

分散を $a$ の式で書いてみる。すると、これは $a$ の $2$ 次関数の最小値問題だと分かる。準備として、元データを総和と $2$ 乗の総和に還元しておく。個々の値は知らなくても、この $2$ つがあれば追加後の平均も分散も書ける。

「統計量を $a$ の関数とみる」。この視点の切り替えが発想の核だ。

公式

\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}

。追加後の分散は

a

の2次関数になる

追加前のデータについて、総和は $5 \times 9 = 45$ 、また $\overline{x^{2}} = 8 + 5^{2} = 33$ より2乗の総和は $33 \times 9 = 297$ だ。個々のデータは知らなくても、この2つの合計さえあれば追加後の平均も分散も書ける。これがこの問題の出発点だ。

(1) $a = 5$ を追加すると、総和は $45 + 5 = 50$ 、人数は $10$ なので

$平均値 = \frac{50}{10} = 5$

(平均と同じ値を加えたので、平均は変わらない。)2乗の総和は $297 + 25 = 322$ なので

$分散 = \frac{322}{10} - 5^{2} = 32.2 - 25 = 7.2$

分散は $8$ から $7.2$ に減った。散らばりゼロの値(平均ちょうど)が1つ加わって、全体の散らばりが薄まったのだ。

(2) データ $a$ を追加したときの分散を $V (a)$ とすると、(1)と同じ枠組みで

$V (a) = \frac{297 + a ^{2}}{10} - (\frac{45 + a}{10})^{2}$

これは $a$ の2次関数だ。ここからはデータの分析ではなく、2次関数の問題として考える。通分して整理すると

$V (a) = \frac{10 ( 297 + a ^{2} ) - ( 45 + a ) ^{2}}{100} = \frac{2970 + 10 a ^{2} - ( 2025 + 90 a + a ^{2} )}{100} = \frac{9 a ^{2} - 90 a + 945}{100}$

分子を平方完成すると

$9 a^{2} - 90 a + 945 = 9 (a^{2} - 10 a) + 945 = 9 (a - 5)^{2} - 225 + 945 = 9 (a - 5)^{2} + 720$

よって

$V (a) = \frac{9 ( a - 5 ) ^{2} + 720}{100} = \frac{9}{100} (a - 5)^{2} + 7.2$

$(a - 5)^{2} ≧ 0$ なので、 $V (a)$ は $a = 5$ のとき最小値 $7.2$ をとる。

追加後の分散 V(a) は a の2次関数で、a = 5(平均と同じ値)のとき最小値 7.2 をとる

結論。 $a = 5$ (もとの平均値と同じ値)のとき、分散は最小値 $7.2$ になる。

振り返り。 最小値を与える $a = 5$ がもとの平均値そのものであることに注目してほしい。平均と同じ値の追加は散らばりに何も足さないから、分散は $8 \times \frac{9}{10} = 7.2$ に薄まるだけ。そして平均から離れるほど $(a - 5)^{2}$ に比例して分散がふくらむ。統計量を変数の関数と見て最適化する、という発想は数学Bの統計でも再登場する。分散・2次関数・平方完成が一本につながる、単元横断の良問だ。

発展。 この $V (a) = \frac{9}{100} (a - 5)^{2} + 7.2$ の開き具合(放物線のとがり)は、データの個数と結びついている。 $n$ 個に $1$ 個を足すとき、 $V (a)$ の $(a - 平均)^{2}$ の係数は $\frac{n}{( n + 1 ) ^{2}}$ になる。今回は $n = 9$ なので $\frac{9}{100}$ だ。

この係数は $n$ が大きいほど $0$ に近づく。だから追加する $1$ 点を平均から同じだけ動かしても、大きなデータほど分散は動きにくい。 $1$ 個の値がもつてこの力は、およそ $\frac{1}{n}$ の速さで薄まっていく。

平均への影響も同じで、 $1$ 個の追加は平均を $\frac{a - 平均}{n + 1}$ しかずらさない。「たくさん集めるほど、 $1$ 個の追加や小さな誤りが統計量をほとんど動かさなくなる」という、大きな標本が安定する仕組みが、この放物線のとがりに表れている。

答

(1) 平均値 $5$ 、分散 $7.2$ (2) $a = 5$ のとき最小値 $7.2$

別解

別解:平均からのずれ $t$ で見て平方完成を避ける(得意な人向けの視点)。 追加する値を $a = 5 + t$ とおく。 $t$ は「元の平均からのずれ」だ。

分散は「ある基準からの $2$ 乗和 ÷ 個数」で計算できる。基準を元の平均 $5$ にとると、 $2$ 乗和が楽に書ける。元の $9$ 個は、 $5$ を基準にした $2$ 乗和が「分散 × 個数」 $= 8 \times 9 = 72$ 。追加した $a$ の分は $(a - 5)^{2} = t^{2}$ 。合わせて、基準 $5$ まわりの $2$ 乗和は $72 + t^{2}$ 。

分散は本当は「新しい平均」まわりで測る。新しい平均は $5 + \frac{t}{10}$ で、基準 $5$ から $\frac{t}{10}$ ずれている。基準をずらすと $2$ 乗和は(個数)×(ずれ) $^{2}$ だけ小さくなるから

$\sum (新平均まわり) = 72 + t^{2} - 10 (\frac{t}{10})^{2} = 72 + \frac{9}{10} t^{2} .$

これを個数 $10$ で割って

$V = 7.2 + \frac{9}{100} t^{2} .$

$t^{2} \geq 0$ より $t = 0$ 、すなわち $a = 5$ で最小値 $7.2$ 。展開して平方完成する本解と同じ答えだが、平均からのずれ $t$ で見ると「平均を足すと散らばりは増えない」が計算に直接現れる。

ポイント

「平均・分散が与えられたデータへの追加」は、総和と2乗の総和を復元してから扱う
追加後の分散は追加する値 $a$ の2次関数になるので、平方完成で最小化できる
平均と同じ値を追加すると分散は $\frac{n}{n + 1}$ 倍に縮む(散らばり自体は増えないため)

よくある間違い

(1) で分散が $8$ のまま変わらないと考える(分母が $10$ に増える効果を見落とす)。
(2) の展開で $(45 + a)^{2}$ の中央の項 $90 a$ を落とし、頂点の $a$ を取り違える。
$V (a)$ を最小化しようと $a$ の値を手当たりしだいに代入し、 $2$ 次関数と気づかず遠回りする。

問3指定した平均・標準偏差になる1次式変換

★★★ 応用変量の変換相関係数

問題

変量 $x$ のデータの平均値は $8$ 、標準偏差は $4$ である。

(1) $y = a x + b$ ( $a > 0$ )で定めた変量 $y$ の平均値が $50$ 、標準偏差が $10$ となるように、定数 $a, b$ の値を定めよ。

(2) このとき、 $x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

ヒントを見る

(1)は変換公式に条件を入れて連立。解く順にコツがある。標準偏差の式には $b$ が出てこないので、先に $a$ が決まる。(2)は $y$ が $x$ の1次式=散布図が完全に直線 → 相関係数はいくつになるはず?

解答・解説

方針

『平均 $8$ ・標準偏差 $4$ のデータを、平均 $50$ ・標準偏差 $10$ に変換したい』。偏差値の設計と同じ問題だ。

(1)は変換公式 $\overset{y}{ˉ} = a \overset{x}{ˉ} + b$ 、 $s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}$ に条件を入れて $a$ 、 $b$ の連立方程式を作る。解く順序にコツがある。標準偏差の式には $b$ が現れないので、まず $a$ が単独で決まり、それを平均の式に入れて $b$ が決まる。

(2)は変換後の $y$ と元の $x$ の相関係数。 $y$ は $x$ の1次式なのだから、散布図の点は完全に1直線上。相関係数は $1$ になるはずで、それを共分散の計算で裏づける。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平均 $8$ ・標準偏差 $4$ のデータを、平均 $50$ ・標準偏差 $10$ に作り変えたい。

変換公式を逆向きに使い、 $a$ 、 $b$ を未知数とする連立を立てる。解く順番も設計しておく。標準偏差の式 $s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}$ には $b$ が出てこないので、先に $a$ が決まる。あとは平均の式に $a$ を入れれば $b$ が決まる。偏差値の仕組みそのものだ。

公式変量の変換

y = a x + b

\overset{y}{ˉ} = a \overset{x}{ˉ} + b

、

s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}

。

\frac{x - x ˉ}{s _{x}}

(標準化)は平均

0

・標準偏差

1

(1) 変換 $y = a x + b$ に対して

$\overset{y}{ˉ} = a \overset{x}{ˉ} + b, s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}$

が成り立つ。条件を代入すると

$8 a + b = 50, ∣ a ∣ \times 4 = 10$

未知数2つの連立だが、第2式には $b$ がいない。散らばりは平行移動 $b$ を感じないからだ。そこで第2式から先に解く。 $a > 0$ なので $a = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ 。第1式に代入して

$8 \times \frac{5}{2} + b = 50 よって 20 + b = 50 すなわち b = 30$

$a = \frac{5}{2}, b = 30$

(『まず倍率 $a$ で散らばりを合わせ、あとで $b$ をずらして平均を合わせる』。式の解き順が、そのまま変換の設計手順になっている。)

(2) $y - \overset{y}{ˉ} = a (x - \overset{x}{ˉ})$ なので、 $x$ と $y$ の共分散は

$s_{x y} = \overline{(x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ})} = \overline{a (x - \overset{x}{ˉ})^{2}} = a s_{x}^{2}$

よって相関係数は

$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{a s _{x}^{2}}{s _{x} \times a s _{x}} = 1$

(数値で確認: $s_{x y} = \frac{5}{2} \times 16 = 40$ 、 $s_{x} s_{y} = 4 \times 10 = 40$ より $r = 1$ 。)

振り返り。 $r = 1$ という結果は偶然ではない。 $y$ が $x$ の1次式( $a > 0$ )で完全に決まるとき、散布図の点はすべて1つの右上がり直線に乗る。相関係数が $\pm 1$ になるのは、この完全な直線関係のときだけだ。逆に言えば、 $r$ が $1$ に近いとは『点がほぼ直線に乗っている』ことの数値表現だ。なお本問の変換は、偏差値を一般化したものになっている。標準化した値を $10$ 倍して $50$ を足すのが偏差値、 $a s_{x} = 10$ 、 $a \overset{x}{ˉ} + b = 50$ という本問の条件はそれと同じ設計だ。

発展。 なぜ $a$ 、 $b$ が過不足なく $1$ 組に決まったのか。動かせるつまみ( $a$ 、 $b$ )が $2$ つ、合わせたい条件(平均・標準偏差)も $2$ つ。数がそろっているから、行き先がちょうど一意に定まる。

見方を変えると、 $a > 0$ の $1$ 次変換で自由にいじれるのは、データの「中心」(平均)と「尺度」(標準偏差)のちょうど $2$ つだけだ。それ以外の「形」、つまり値の相対的な散らばり方や分布の非対称性は、 $1$ 次変換では変えられない。全体を一様に伸縮し平行移動するだけだからだ。

だから平均と標準偏差を狙って決めることはできても、形まで好きにはできない。たとえば右にすそを引いた非対称なデータを、 $1$ 次変換で左右対称に直すことはできない。指定できるのは中心と尺度の $2$ つ、という自由度の勘定が、その裏にある。

答

(1) $a = \frac{5}{2}$ 、 $b = 30$ (2) $r = 1$

別解

別解:標準化変数を経由して一度に組み立てる(得意な人向けの視点)。 連立を立てるかわりに、目標の姿から $y$ を直接組み立てる。

まず $x$ を標準化する。 $z = \frac{x - 8}{4}$ は平均 $0$ ・標準偏差 $1$ 。求める $y$ は平均 $50$ ・標準偏差 $10$ にしたい。標準化した $z$ を $10$ 倍して $50$ を足せば、平均 $50$ ・標準偏差 $10$ になる。つまり

$y = 10 z + 50 = 10 \cdot \frac{x - 8}{4} + 50 = \frac{5}{2} (x - 8) + 50 = \frac{5}{2} x + 30.$

比べて $a = \frac{5}{2}$ 、 $b = 30$ 。連立を解かずに、そのまま答えが出た。しかも (2) の相関係数もこれで見える。 $y = 10 z + 50$ は、 $z$ ( $= x$ の正の $1$ 次式)の増加する $1$ 次式だから、 $x$ と $y$ は完全に連動する。散布図の点は $1$ 本の右上がり直線に乗り、相関係数は $1$ 。本解と同じ結果だ。

ポイント

指定の平均・標準偏差への変換は、まず標準偏差の式で $∣ a ∣$ 、次に平均の式で $b$ を決める
$y = a x + b$ ( $a > 0$ )なら $r = 1$ 、 $a < 0$ なら $r = - 1$ になる(完全な直線関係)
この変換は模擬試験の「得点調整」などで実際に使われている

よくある間違い

標準偏差の式に $b$ まで入れて $∣ a ∣ \times 4 + b = 10$ とし、散らばりに $b$ が無関係なことを見落とす。
(2) を計算せずに「 $r = a$ 」などと推測し、相関係数が必ず $- 1$ 以上 $1$ 以下という枠と矛盾する答えを出す。
$a < 0$ でも同じと思い込み、右下がり( $r = - 1$ )になる可能性を検討しないまま進む。

問4相関係数の計算と変換後の不変性

★★★ 応用相関係数共分散変量の変換

問題

5日間の最高気温 $x$ ( $^{\circ} C$ )とある飲料の売上数 $y$ (本)のデータは次の通りであった。

$(x, y) = (1, 5), (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 7)$

(1) $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

(2) 気温を華氏に近い形 $u = 2 x + 30$ に、売上を $v = y + 3$ に変換したとき、 $u$ と $v$ の相関係数を求めよ。

ヒントを見る

(1)は偏差の表で淡々と。つまずきやすいのは(2)だ。変換後の相関を『再計算せず』性質で答える。 $u = 2 x + 30$ で偏差は何倍? 共分散と標準偏差の積が同じ倍率で動けば、割り算の結果は変わらない。なぜかを言葉に。

解答・解説

方針

(1)は偏差の表を作って共分散・標準偏差 → 相関係数、という標準の計算だ。ヤマは(2)。 $u = 2 x + 30$ 、 $v = y + 3$ と変換した後の相関係数を、再計算せずに性質から答える。

偏差で考えれば、 $u$ の偏差は $x$ の偏差の $2$ 倍、 $v$ の偏差は $y$ の偏差のまま。すると共分散は $2$ 倍、標準偏差の積も $2$ 倍。割り算で打ち消されて $r$ は変わらない。

『計算し直せば求まる』で終わらせず、なぜ変わらないかを一般論として言えるかが試されている。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1) は偏差の表を作れば淡々と進む。差がつくのは (2) だ。

変換したあとの相関係数を、再計算せずに性質で答えたい。 $u = 2 x + 30$ は、偏差を $2$ 倍するだけの変換だ。すると分子の共分散にも、分母の標準偏差の積にも、同じ $2$ が現れる。約分されて相関係数は変わらない。

「相関係数は正の $1$ 次変換で不変」。この結論を偏差の追跡で自分の手で導けるかが主題だ。

公式相関係数

r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}

。正の1次変換では

r

は不変

(1) 平均値は

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = 5, \overset{y}{ˉ} = \frac{5 + 4 + 6 + 8 + 7}{5} = 6$

偏差を表の形で整理する(それぞれ和が $0$ になることを確認しながら)。

$x$ の偏差: $- 4, - 2, 0, 2, 4$ → 2乗和 $40$
$y$ の偏差: $- 1, - 2, 0, 2, 1$ → 2乗和 $10$
偏差の積: $4, 4, 0, 4, 4$ → 和 $16$

よって

$s_{x}^{2} = \frac{40}{5} = 8, s_{y}^{2} = \frac{10}{5} = 2, s_{x y} = \frac{16}{5} = 3.2$

$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{3.2}{8 2} = \frac{3.2}{4} = 0.8$

最高気温 x と売上数 y の散布図(r = 0.8)

(2) 再計算はいらない。偏差がどう変わるかだけ追えばいい。 $u = 2 x + 30$ では $u$ の偏差が $x$ の偏差の $2$ 倍( $+ 30$ は平均ごと動くので偏差に残らない)、 $v = y + 3$ では $v$ の偏差は $y$ の偏差と同じだ。よって

$s_{uv} = 2 \times 1 \times s_{x y} = 6.4, s_{u} = 2 s_{x}, s_{v} = s_{y}$

$r_{uv} = \frac{2 s _{x y}}{2 s _{x} \times s _{y}} = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = 0.8$

分子と分母の $2$ が約分され、相関係数は変わらない。

振り返り。 相関係数が割り算(共分散 ÷ 標準偏差の積)で定義されている理由が、この問題で腑に落ちる。共分散単体は単位に振り回される( $2$ 倍すれば $2$ 倍になる)が、同じ倍率が分母にも現れるように作られているから、 $r$ は単位の取り方によらない純粋な『関係の強さ』になる。気温を摂氏で測っても華氏で測っても『気温と売上の関係の強さ』は同じ。数式の性質と日常の直感が一致する好例だ。

発展。 相関係数には、きれいな図形的な意味がある。 $x$ の偏差を並べたもの $(x_{1} - \overset{x}{ˉ}, x_{2} - \overset{x}{ˉ}, \dots)$ と、 $y$ の偏差を並べたもの $(y_{1} - \overset{y}{ˉ}, \dots)$ を、それぞれ $1$ 本の「ベクトル」とみなす。すると相関係数はこの $2$ 本のベクトルのなす角 $θ$ の余弦 $cos θ$ にちょうど等しい。

この見方だと、性質がひと目で読める。余弦は必ず $- 1$ から $1$ の間だから、相関係数も $- 1 \leq r \leq 1$ に収まる。 $r = \pm 1$ は $2$ 本のベクトルの向きがそろう(または真逆になる)ときで、これは点が完全に $1$ 直線に並ぶ関係にあたる。

単位を取り替えても相関が変わらないことも、角度で見ると当たり前だ。ベクトルの長さを何倍に伸び縮みさせても、向き(なす角)は変わらない。共分散はベクトルの長さに引きずられるが、 $cos θ$ は向きだけで決まるので、尺度の取り方によらない。

答

(1) $r = 0.8$ (2) $0.8$ (変わらない)

別解

別解:偏差の表を作らず合計だけで出す(得意な人向けの時短ルート)。 偏差を $1$ つずつ書かなくても、 $5$ つの合計から相関係数は出せる。

必要なのは $\sum x$ 、 $\sum y$ 、 $\sum x y$ 、 $\sum x^{2}$ 、 $\sum y^{2}$ の $5$ つ。

$\sum x = 25, \sum y = 30, \sum x y = 166, \sum x^{2} = 165, \sum y^{2} = 190.$

これらから、平均を引いた「補正済みの和」を作る( $n = 5$ )。

$S_{x y} = \sum x y - \frac{( \sum x ) ( \sum y )}{n} = 166 - \frac{25 \cdot 30}{5} = 16,$

$S_{xx} = \sum x^{2} - \frac{( \sum x ) ^{2}}{n} = 165 - 125 = 40, S_{y y} = 190 - 180 = 10.$

よって

$r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}} = \frac{16}{40 \cdot 10} = \frac{16}{20} = 0.8.$

偏差の表を作る本解と同じ $0.8$ だが、生の値の合計だけで済むので、データが多いときや電卓計算のときに速い。この形なら (2) の不変性も、各合計が変換で規則的に動くことから同じように追える。

ポイント

偏差の表で $s_{x}^{2}, s_{y}^{2}, s_{x y}$ をまとめて計算する
正の1次変換では、分子・分母が同じ倍率になるので相関係数は変わらない
相関係数の不変性は「単位に依存しない関係の強さの指標」であることの表れ

よくある間違い

(2) を最初から計算し直し、性質を使えば不要な手間に時間を費やす。
「 $2$ 倍したから相関が強まる」と考え、 $r$ を $0.8$ から動かしてしまう。
共分散の分母を標準偏差の積でなく分散の積 $s_{x}^{2} s_{y}^{2}$ にして、 $r$ の値を誤る。

問5仮説検定(基準の違いによる判断の変化)

★★★ 応用仮説検定

問題

あるさいころを $60$ 回投げたところ、 $1$ の目が $18$ 回出た( $1$ の目が公正に出るなら期待されるのは $10$ 回程度である)。「このさいころは $1$ の目が出やすい」と判断してよいかを調べるため、公正なさいころを $60$ 回投げる実験をコンピュータで $1000$ 回シミュレーションしたところ、 $1$ の目が $18$ 回以上出たのは $8$ 回であった。

(1) 基準となる確率を $0.05$ とするとき、「このさいころは $1$ の目が出やすい」と判断してよいか。

(2) 基準となる確率を $0.01$ とするとき、判断はどうなるか。

(3) 基準を小さくすることには、どのような意味があるか。簡潔に述べよ。

ヒントを見る

手順は同じ(仮説→相対度数→基準と比較)。新しいのは(3)だ。同じ結果を基準 $0.05$ と $0.01$ で判定するとどうなるか。基準を厳しくすると仮説は棄却しやすくなるか、しにくくなるか。それが何のリスクを減らし、代わりに何を増やすか、まで考えよう。

解答・解説

方針

仮説検定の手順自体は基礎・標準と同じだ。仮説『さいころは公正である』を立て、 $1$ の目が $18$ 回以上出ることの相対度数をシミュレーションから見積もり、基準と比べる。

この問題の新しさは(3)にある。同じ結果を、異なる基準( $0.05$ と $0.01$ )で裁くとどうなるか、そして基準の大小は何を意味するのか。数値の比較はすぐに終わる。そのぶん、『基準(有意水準)とは何の取り決めなのか』を自分の言葉で説明できるかが問われている。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 検定の手順は既習どおり。仮説を立て、相対度数を見積もり、基準と比べる。

新しいのは (3) だ。同じデータを、基準 $5%$ と $1%$ の $2$ つで裁くとどうなるか。一般には、同じ結果でも基準しだいで結論が分かれることがある。この揺れに触れるのが主題だ。

仮説検定の結論は絶対の真実ではなく、事前に決めた基準に相対的な判断だ。そこまで理解が届けばよい。

重要仮説検定:相対度数と基準(有意水準)の大小で判断。基準を小さくするほど棄却しにくい(慎重)

仮説『このさいころは公正である( $1$ の目の出る確率は $\frac{1}{6}$ )』を立てる。この仮説のもとで、 $1$ の目が $18$ 回以上出ることの起こりにくさをシミュレーションで見積もると、相対度数は

$\frac{8}{1000} = 0.008$

(1) 基準 $0.05$ と比べると

$0.008 < 0.05$

公正なさいころでは $1000$ 回中 $8$ 回しか起こらない『めったにないこと』が実際に起きた。仮説のほうが疑わしいと考えて棄却する。よって、このさいころは $1$ の目が出やすいと判断してよい。

(2) より厳しい基準 $0.01$ と比べても

$0.008 < 0.01$

なので、やはり仮説は棄却される。この基準でも $1$ の目が出やすいと判断してよい。今回の $0.008$ は厳しい審査さえ通るほど際立って珍しい結果だった、ということだ。

(3) 基準を小さくする( $0.05 \to 0.01$ )とは、『めったに起こらない』と認定するラインを厳しくすることだ。それだけ強い証拠がなければ仮説を棄却しなくなるので、偶然の偏りを『出やすい』と誤って判断してしまう危険を減らす、より慎重な判断になる。

ただし、慎重さはタダではない。基準を厳しくした分、実際には出やすいさいころを『判断できない』として見逃す可能性は高くなる。つまり基準の選び方は『濡れ衣のリスク』と『見逃しのリスク』の綱引きで、どちらの誤りをどれだけ避けたいかに応じて決める、人間側の取り決めだ。

振り返り。 $0.05$ という数字に数学的な必然性はない。慣習として広く使われているだけだ。『基準を変えれば結論が変わりうる』という事実は、統計的判断が絶対に正しい結論ではなく、基準込みの条件つき判断であることを表している。ニュースで『統計的に有意』という言葉を見たら、『どの基準で?』と問い返せるようになれば、この単元の学びは実生活に届いている。

発展。 基準(有意水準)には、はっきりした意味づけがある。公正なさいころをこの基準で何度も検定したとき、誤って「偏っている」と判定してしまう割合を、基準値以下に抑える、という約束だ。 $0.05$ は「偽の警報は $5%$ まで許す」、 $0.01$ は「 $1%$ まで」という取り決めになる。

見落としてはいけないのは、 $5%$ でも $0$ ではないことだ。この問題のシミュレーションそのものが、公正なさいころ $1000$ 回のうち $8$ 回は「 $18$ 回以上」を出していた。多くの公正なさいころを次々に検定すれば、その一部は偶然だけで「偏っている」と誤判定されてしまう。

だから $1$ 回「有意」が出ただけでは証明にはならない。本当に確からしいかは独立な追試(再現)で確かめる。統計的な結論を「めったにない、ゆえに真実」と即断せず、再現性まで問うのが科学の作法だ。

答

(1) $0.008 < 0.05$ より出やすいと判断してよい (2) $0.008 < 0.01$ よりこの基準でも出やすいと判断してよい (3) より慎重な(誤って仮説を棄却しにくい)判断になる

別解

別解:シミュレーションに頼らず理論確率で見積もる(得意な人向けの視点)。 シミュレーションの $\frac{8}{1000}$ を使わずに、確率そのものを計算してみる。

仮説が正しければ、 $1$ の目の出る確率は $\frac{1}{6}$ 。 $60$ 回投げて $1$ の目がちょうど $k$ 回出る確率は、反復試行で

$P (X = k) =_{60} C_{k} (\frac{1}{6})^{k} (\frac{5}{6})^{60 - k} .$

求めたいのは「 $18$ 回以上」だから、 $k = 18$ から $60$ まで足す。この和を計算すると約 $0.007$ になる。

つまり、公正なさいころでも $1$ の目が $18$ 回以上出ることは、理論上おおよそ $0.7%$ しか起こらない。これは $0.05$ よりも $0.01$ よりも小さい。だから (1)(2) のどちらの基準でも仮説は棄却され、 $1$ の目が出やすいと判断してよい。

シミュレーションの $0.008$ と理論値 $0.007$ が近いことも確かめられる。乱数実験はこの理論確率を近似していたことになる。本解と同じ結論だ。

ポイント

同じデータでも基準(有意水準)によって結論が変わりうる。今回はどちらの基準でも棄却される
基準を小さくする = 仮説を棄却しにくくする = 誤棄却に慎重になる
仮説検定の結論は「確率的な判断」であり、絶対の証明ではない

よくある間違い

$0.008$ と $0.01$ の大小比較を誤り、 $0.008 > 0.01$ と読んで結論を取り違える。
(3) で「基準が小さいほど正確」とだけ述べ、実際に出やすいさいころを見逃す危険が増える裏面を落とす。
相対度数 $0.008$ が基準より小さいのに「棄却しない」と判断を逆にする(基準より小さい=めったに起きない=棄却)。

問6最大値の修正が各統計量に与える影響

★★★ 応用四分位数代表値データの修正

問題

11人の生徒の得点は次の通りであった。

$30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80 (点)$

(1) このデータの平均値、中央値、第1四分位数 $Q_{1}$ 、第3四分位数 $Q_{3}$ 、範囲を求めよ。

(2) 採点ミスにより、最高点の $80$ 点は正しくは $91$ 点であったことが分かった。修正後、(1)の5つの統計量のうち値が変わるものをすべて挙げ、修正後の値を求めよ。

ヒントを見る

$80 \to 91$ と変えても並び順は変わらない。まずこのことを押さえる。統計量を『順位だけで決まる派』と『値の大きさで決まる派』に仕分けると、どれが動きどれが動かないか一目でわかる。どっちがどっち?

解答・解説

方針

最大値 $80$ が実は $91$ だった。この修正で、平均値・中央値・四分位数・範囲のどれが動き、どれが動かないか。

決め手は『 $80 \to 91$ に変えても、データの並び順(順位)は変わらない』という観察だ。順位だけで決まる統計量(中央値・四分位数)は無傷、値の合計や端の値に依存する統計量(平均値・範囲)だけが動く。この区別を(1)で作った具体的な数値の上で確かめていく。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 最大値 $80$ を $91$ に直すと、何が動くか。

値の計算より先に、 $1$ つ観察を置く。 $91$ も依然として最大値だから、データの並び順は変わらない。すると見通しが立つ。順位だけで決まる統計量(中央値・四分位数)は動かない。値そのものを使う統計量(平均・範囲)だけが動く。

統計量を「順位派」と「値派」に分ける。この視点が発想の核だ。

公式中央値・四分位数は順位で決まる(端の値に頑健)、平均値・範囲は値の大きさに依存

(1) データは $11$ 個で、もう小さい順に並んでいる。

平均値: 総和は $30 + 35 + 40 + 45 + 50 + 55 + 60 + 65 + 70 + 75 + 80 = 605$ なので $\frac{605}{11} = 55$ 点
中央値: $6$ 番目の値なので $55$ 点
$Q_{1}$ : 下組 $30, 35, 40, 45, 50$ の中央値で $40$ 点
$Q_{3}$ : 上組 $60, 65, 70, 75, 80$ の中央値で $70$ 点
範囲: $80 - 30 = 50$ 点

(2) $80 \to 91$ と修正しても、 $91$ は依然として最大値であり、データの並び順は変わらない。ここがすべての出発点だ。

変わらないもの: 中央値( $6$ 番目の値 $55$ )、 $Q_{1}$ ( $40$ )、 $Q_{3}$ (上組は $60, 65, 70, 75, 91$ になるが、その中央値は $70$ のまま)。これらは『何番目の値か』だけで決まる統計量なので、端の値がいくつに変わろうと、順位が保たれるかぎり動かない。

変わるもの:

平均値: 総和が $605 + 11 = 616$ になるので $\frac{616}{11} = 56$ 点( $1$ 点上がる)。全データを足し込む統計量は、1個の変化を必ず拾う
範囲: $91 - 30 = 61$ 点( $11$ 点広がる)。範囲は最大値そのものを使うので、修正がそのまま反映される

修正前(80)と修正後(91)の箱ひげ図。箱(四分位数)は変わらず、ひげだけ伸びる

振り返り。 統計量は『順位で決まる派』(中央値・四分位数)と『値の大きさで決まる派』(平均値・範囲・分散)に二分できる。前者は端の値の変化に動じない。この性質を頑健(ロバスト)という。外れ値や入力ミスを含みうる実データの要約に中央値・四分位範囲が好まれるのは、この頑健さのためだ。外れ値と平均の関係で見た現象と同じことを、今回は『どの統計量が・なぜ』まで細かく確認した。

発展。 中央値や四分位数が「順位だけ」で決まることには、もう一歩先の利点がある。値そのものが正確に分からなくても、順位さえ分かれば計算できるのだ。

たとえば最高点が採点の上限で頭打ちになり、「 $80$ 点以上」としか記録されていなくても、中央値・ $Q_{1}$ ・ $Q_{3}$ はそのまま求まる。順位が動かないからだ。一方、平均や範囲は実際の値がなければ計算できない。アンケートの $5$ 段階評価のように、そもそも間隔に意味のない順序だけのデータでも、中央値は意味をもつが平均は意味をもたない。

「その統計量が何の情報を使っているか」を意識すると、どんなデータにどの代表値が使えるかが分かる。順位で足りるのか、値の大きさまで要るのか。この区別が実際のデータを要約するときの指針になる。

答

(1) 平均値 $55$ 、中央値 $55$ 、 $Q_{1} = 40$ 、 $Q_{3} = 70$ 、範囲 $50$ (2) 変わるのは平均値( $56$ )と範囲( $61$ )。中央値・ $Q_{1}$ ・ $Q_{3}$ は不変

別解

別解:等差数列の対称性で (1) を見抜く(得意な人向けの視点)。 データ $30, 35, 40, \dots, 80$ は公差 $5$ の等差数列だ。この構造に気づくと、(1) は合計を出さずに読める。

等差数列は中央の項を軸に左右対称。だから平均と中央値は一致し、ともに中央の $6$ 番目の項 $55$ 。 $Q_{1}$ は下半分の中央の項 $40$ 、 $Q_{3}$ は上半分の中央の項 $70$ 。範囲は $80 - 30 = 50$ 。 $11$ 個を足す必要がない。

(2) の修正はこの対称性を上端だけで崩す。ここで役立つ見方がある。 $1$ つの値を $+ 11$ 変えると、平均は $\frac{+ 11}{11} = + 1$ だけ動くから $55 \to 56$ 。範囲は最大値がそのまま $+ 11$ で $50 \to 61$ 。順位が保たれるので、中央値・ $Q_{1}$ ・ $Q_{3}$ は動かない。合計を組み直さずに、増分だけで修正後が出る。本解と同じ結果だ。

ポイント

順位で決まる統計量(中央値・四分位数)は、端の値が多少変わっても不変
平均値は総和に、範囲は最大・最小に直接依存するので、1個の変化で動く
この対比が「外れ値に頑健な統計量」という考え方につながる

よくある間違い

(2) で $Q_{3}$ も変わると考える(上組の中央値は $70$ のままで、順位が保たれるかぎり動かない)。
修正後の平均を、増分 $+ 11$ を人数 $11$ で割らずに $55 + 11 = 66$ などとしてしまう。
「最大値が変わったのだから中央値もずれる」と思い込み、値派と順位派の区別がつかず全統計量を計算し直して混乱する。

問7得点調整と相対的な位置

★★★ 応用変量の変換標準偏差

問題

あるテストの得点 $x$ の平均値は $42$ 点、標準偏差は $12$ 点であった。得点を見やすくするため、1次式による調整

$y = \frac{5}{6} x + 15$

を行う。

(1) 調整後の得点 $y$ の平均値と標準偏差を求めよ。

(2) 調整前に $66$ 点だった生徒の、調整後の得点を求めよ。

(3) この生徒の得点は、調整の前後で「平均値から標準偏差何個分離れているか」がどう変わったかを調べ、この調整が生徒の相対的な位置を変えないことを説明せよ。

ヒントを見る

(3)が中心の問い。得点そのものは変わるが『集団の中の位置』は? それを測るものさしは『平均から標準偏差何個分ずれているか』。調整前と後でこの比を出して比べよう。1次式変換でなぜ保たれるか、理由まで。

解答・解説

方針

試験の得点調整 $y = \frac{5}{6} x + 15$ 。(1)(2)は変換公式の適用で淡々と進む。

中心になるのは(3)だ。『調整前の $66$ 点と調整後の $70$ 点、見かけは変わったが集団の中での位置は変わったのか?』。これを測るものさしが『(得点 − 平均)÷ 標準偏差』、つまり平均から標準偏差何個分離れているか、という比だ。

前後で計算して比べると、1次式変換ではこの比が保たれることが分かる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)(2) は変換公式の当てはめで進む。この問題の中心は (3) だ。

得点そのものは $66$ から $70$ へ変わった。では集団の中での位置は変わったのか。比べるものさしを、絶対の点数から「平均から標準偏差何個分か」に切り替える。これが標準化した値で測る相対的な位置だ。

$1$ 次の得点調整は全員を一斉に動かすだけ。だから標準化した値は変わらないはず。それを変換公式で確かめにいく。

公式

\frac{x - x ˉ}{s _{x}}

(平均から標準偏差何個分)は1次式変換(

a > 0

)で不変

(1) $a = \frac{5}{6}$ 、 $b = 15$ の1次式変換なので

$\overset{y}{ˉ} = \frac{5}{6} \times 42 + 15 = 35 + 15 = 50 (点)$

$s_{y} = \frac{5}{6} \times 12 = 10 (点)$

(2) $x = 66$ を代入して

$y = \frac{5}{6} \times 66 + 15 = 55 + 15 = 70 (点)$

(3) 得点そのものは $66 \to 70$ と変わった。では集団内の位置はどうか。『平均値から標準偏差何個分離れているか』を前後で計算する。

調整前:

$\frac{66 - 42}{12} = \frac{24}{12} = 2$

調整後:

$\frac{70 - 50}{10} = \frac{20}{10} = 2$

どちらも『平均より標準偏差 $2$ 個分だけ高い』位置。完全に一致する。

理由。 1次式変換 $y = a x + b$ ( $a > 0$ )では、偏差が $a$ 倍( $y - \overset{y}{ˉ} = a (x - \overset{x}{ˉ})$ )、標準偏差も同じ $a$ 倍( $s_{y} = a s_{x}$ )になるので、その比

$\frac{y - y ˉ}{s _{y}} = \frac{a ( x - x ˉ )}{a s _{x}} = \frac{x - x ˉ}{s _{x}}$

は変換の前後で変わらない。分子と分母が同じ倍率で伸び縮みするからだ。

振り返り。 『平均から標準偏差何個分か』という比は、標準化で作った量であり、偏差値の中身でもある。この問題が示したのは、1次式の得点調整は見かけの数値を変えるだけで、集団内での相対的な位置は1ミリも動かさない、という事実だ。調整後の $70$ 点は調整前の $66$ 点と『同じ位置づけ』になる。試験の得点調整が公平でありうる理由を、数式で確かめられる。

発展。 「平均から標準偏差何個分か」を $50 + 10 \times (それ)$ に乗せ替えたのが偏差値だ。この生徒の偏差値は調整の前後どちらも $70$ で、位置が変わっていないことがそのまま読める。

ただし $1$ 次変換が保つのは相対的な位置だけで、分布の形は変えない。もともと得点が偏っていれば、偏差値にしても偏りは残る。偏差値が素直に「上位何%か」に対応するのは、分布がおよそ左右対称(正規分布に近い)ときだ。

$a < 0$ なら上下が反転し、位置の高低が逆になる点も注意したい。理屈のうえでは偏差値が $0$ を下回ったり $100$ を超えたりもありうる。偏差値は前提つきの便利な道具で、どんな分布にも使えるわけではない。

答

(1) 平均 $50$ 点、標準偏差 $10$ 点 (2) $70$ 点 (3) 前後とも平均 $+ 2$ 標準偏差の位置で、相対的な位置は変わらない

別解

別解:目印の点を追って標準偏差の目盛りで読む(苦手な人にも実感できるルート)。 公式を思い出すかわりに、目印になる点が変換でどこへ行くかを追う。

まず平均そのもの。 $x = 42$ を入れると $y = \frac{5}{6} \cdot 42 + 15 = 50$ 。だから新しい平均は $50$ 。

次に「平均より標準偏差 $1$ 個分上」の点。 $x = 42 + 12 = 54$ を入れると $y = \frac{5}{6} \cdot 54 + 15 = 60$ 。これは新しい平均 $50$ より $10$ 上。つまり新しい標準偏差は $10$ 。

この生徒の $66$ 点は $66 = 42 + 2 \times 12$ だから「平均より標準偏差 $2$ 個分上」。変換すると $y = \frac{5}{6} \cdot 66 + 15 = 70$ で、新しい平均 $50$ より $20$ 上。これは新しい標準偏差 $10$ の $2$ 個分だ。

前も後も「平均より標準偏差 $2$ 個分上」で、位置は $1$ ミリも動かない。公式を使う本解と同じ結論だが、目盛りを追うと、標準偏差何個分かが保たれる様子が目に見える。

ポイント

$\frac{x - x ˉ}{s _{x}}$ (平均から標準偏差何個分か)は1次式変換( $a > 0$ )で不変
この量が「偏差値」の考え方の基礎(偏差値は $50 + 10 \times \frac{x - x ˉ}{s _{x}}$ )
偏差と標準偏差が同じ倍率で変わるから比が保存される、という理由まで説明できるように

よくある間違い

(3) で得点差 $70 - 66 = 4$ 点だけを見て「位置が $4$ 点上がった」と誤解する(相対位置は変わらない)。
$a < 0$ の場合にも同じ結論だと拡大解釈する( $a < 0$ では上下が反転し、高低が逆になる)。
標準偏差で割る操作を忘れ、偏差 $66 - 42 = 24$ と $70 - 50 = 20$ の生の差だけを比べて「位置が下がった」と取り違える。

問8人数の異なる2グループの統合と標準偏差

★★★ 応用平均値分散グループの統合

問題

A組 $20$ 人の得点は平均値 $65$ 点、分散 $24$ 、B組 $30$ 人の得点は平均値 $60$ 点、分散 $34$ であった。A組とB組を合わせた $50$ 人全体について、平均値・分散・標準偏差を求めよ。

ヒントを見る

同人数の場合の合併を発展させた問題で、今回は人数が違う。平均を単純に $(65 + 60) \div 2$ とするのは誤り。人数の重みを反映させるには『足せる量』に戻るしかない。総和・2乗の総和で合算してから、全体の平均・分散へ戻す。

解答・解説

方針

同人数のグループを合併する問題の発展形だ。今度は $20$ 人と $30$ 人、人数がちがう。

平均値を $(65 + 60) \div 2 = 62.5$ とするのは誤りで、人数の重みを反映させるには総和に戻るしかない。分散も同じ方針。各組の『2乗の総和』を $\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}$ で復元し、足せる量(総和・2乗総和)のレベルで合算してから、全体の $\overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}$ を計算する。

数値が大きくなるので、段取りを整えてていねいに進めることも実力のうちだ。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 人数の違う $2$ 組を合わせる。

平均を単純に $\frac{65 + 60}{2} = 62.5$ とするのは誤りだ。人数の重みを無視している。頼れる道は $1$ つ。総和と $2$ 乗の総和に還元し、そのレベルで合算してから、平均・分散へ組み立て直す。

同人数の合併と同じ考え方に、「重み」の注意が加わっただけだ。そう構造を見抜けば手が動く。

公式

\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}

。平均・分散は足せない、総和・2乗総和は足せる

まず全体の平均値。 平均は足せないが総和は足せる。まず各組の総和に戻す。

$A 組 : 65 \times 20 = 1300, B 組 : 60 \times 30 = 1800$

よって全体の平均値は

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1300 + 1800}{50} = \frac{3100}{50} = 62 (点)$

単純平均の $62.5$ ではなく、人数の多いB組の平均 $60$ 点側に寄った $62$ になる。重みつき平均の感覚だ。

次に各組の2乗の総和を復元する。 $\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}$ より

A組: $\overline{x^{2}} = 24 + 6 5^{2} = 24 + 4225 = 4249$ 、2乗の総和は $4249 \times 20 = 84980$
B組: $\overline{x^{2}} = 34 + 6 0^{2} = 34 + 3600 = 3634$ 、2乗の総和は $3634 \times 30 = 109020$

全体の分散と標準偏差。 2乗の総和も足せる量なので、全体の2乗の平均は

$\overline{x^{2}} = \frac{84980 + 109020}{50} = \frac{194000}{50} = 3880$

よって全体の分散は

$s^{2} = 3880 - 6 2^{2} = 3880 - 3844 = 36$

標準偏差は

$s = 36 = 6 (点)$

結論。 平均値 $62$ 点、分散 $36$ 、標準偏差 $6$ 点。

振り返り。 同人数の合併と合わせて、この型の要点は一言だ。平均・分散は足せない。総和・2乗総和なら足せる。だから『足せる量に降りて、合算して、また統計量に戻る』。この往復が解法の全構造だ。全体の分散 $36$ が各組の分散( $24$ 、 $34$ )より大きいのも同じ理屈で説明できる。組内の散らばりに、組間の平均差( $65$ と $60$ )による散らばりが上乗せされるからだ。大きな数の計算は、 $6 5^{2} = 4225$ のような要所で指差し確認をしながら、段取りどおり進めれば恐れることはない。

発展。 全体の平均 $62$ は $2$ 組を「おもり」と見たときのつり合いの点だ。 $20$ 人が $65$ に、 $30$ 人が $60$ にぶら下がると、支点は人数の多い $60$ の側へ寄って $62$ で止まる。

これは物理の重心と同じ考えで、位置 $x_{i}$ に重さ $n_{i}$ を置いたときのつり合いの点が加重平均になる。単純平均 $62.5$ でなく $62$ になるのは、 $60$ 側のおもりが重いからだ。

この重みつき平均は評定平均(単位数で重みづけ)や、原子量(同位体の存在比で重みづけ)など、いたるところに現れる。「重みつきでならす」感覚は $3$ 組でも $4$ 組でも、そのまま通用する。

答

平均値 $62$ 点、分散 $36$ 、標準偏差 $6$ 点

別解

別解:級内と級間に分けて分散を組む(得意な人向けの視点)。 全体の分散は $2$ 乗総和を作らなくても、「組の中の散らばり」と「組どうしの差の散らばり」に分けて組み立てられる。

まず組の中の散らばり。各組の分散を人数で重みづけして平均する。

$\frac{20 \cdot 24 + 30 \cdot 34}{50} = \frac{480 + 1020}{50} = 30.$

次に組どうしの差の散らばり。各組の平均 $65$ 、 $60$ が全体の平均 $62$ からどれだけ離れているかを、人数で重みづけして $2$ 乗平均する。

$\frac{20 \cdot ( 65 - 62 ) ^{2} + 30 \cdot ( 60 - 62 ) ^{2}}{50} = \frac{20 \cdot 9 + 30 \cdot 4}{50} = \frac{300}{50} = 6.$

全体の分散はこの $2$ つの和だ。

$s^{2} = 30 + 6 = 36, s = 36 = 6.$

$2$ 乗総和を復元する本解と同じ $36$ に着く。この見方だと、なぜ全体の分散 $36$ が各組の分散 $24$ 、 $34$ より大きいのかが分かる。組の中の散らばり $30$ に、組どうしの平均差による散らばり $6$ が必ず上乗せされるからだ。素朴に $\frac{20 \cdot 24 + 30 \cdot 34}{50} = 30$ と答えると、この $+ 6$ の分をちょうど落とすことになる。

ポイント

人数が異なる場合の平均は重みつきになるので、総和に戻して割る
分散の統合は「2乗の総和」を復元して合算する。分散の重みつき平均では正しくない
グループ間の平均差があると、全体の分散は各グループの分散を上回りうる

よくある間違い

全体の平均を $\frac{65 + 60}{2} = 62.5$ とし、 $20$ 人と $30$ 人という人数の重みを無視する。
全体の分散を $\frac{24 \times 20 + 34 \times 30}{50} = 30$ とし、組の平均差による上乗せ分を落とす。
平均・分散をそのまま平均できると思い込み、総和・ $2$ 乗総和という足せる量に降りずに手が止まる。

データの分析 ★★★ 応用の問題 全8問

問1平均値と分散から未知の2つのデータを決定する

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問2データの追加による分散の変化と最小化

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問3指定した平均・標準偏差になる1次式変換

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問4相関係数の計算と変換後の不変性

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問5仮説検定(基準の違いによる判断の変化)

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問6最大値の修正が各統計量に与える影響

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問7得点調整と相対的な位置

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問8人数の異なる2グループの統合と標準偏差

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

データの分析 ★★★ 応用の問題全8問