データの分析 実戦編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 定義どおりの分散 $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ を、展開して整理するだけの証明だ。

展開すると $\frac{1}{n}\sum x_i^2-\frac{2\bar{x}}{n}\sum x_i+\frac{1}{n}\sum (\bar{x}{)}^2$。使う事実は2つ: $\sum x_i=n\bar{x}$(平均の定義の言い換え)と、$\sum (\text{定数})=n\times (\text{定数})$。代入すれば真ん中が $-2(\bar{x}{)}^2$、最後が $+(\bar{x}{)}^2$ になり、合わせて $\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$。

① 定義を展開。 $$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i^2-2\bar{x}{x}_i+(\bar{x}{)}^2).$$ ② $\sum$ を分配。 $\bar{x}$ は定数だから $$s^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-\frac{2\bar{x}}{n}\sum x_i+\frac{1}{n}\cdot n(\bar{x}{)}^2=\overline{x^2}-2\bar{x}\cdot \bar{x}+(\bar{x}{)}^2.$$ (途中 $\frac{1}{n}\sum x_i=\bar{x}$ を使った。)

③ 整理。 $$s^2=\overline{x^2}-2(\bar{x}{)}^2+(\bar{x}{)}^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2.$$

まとめ偏差 $2$ 乗の平均を展開し $\sum x_i=n\bar{x}$ を代入すると $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$。実際の分散計算はこの形が速い。分散と式変形の融合。

発展。 仮平均の恒等式 $\frac{1}{n}\sum (x_i-a{)}^2=s^2+(\bar{x}-a{)}^2$ は、「どの基準で測っても、散らばりの最小記録は平均のとき」という次問の内容を先取りしている。統計的な推測(数B)では、この式の確率変数版 $E(X^2)=V(X)+\{E(X){\}}^2$ が同じ形で再登場する。記号は変わっても、恒等式としては同じものだ。

別解

仮平均の恒等式の特別な場合と見る。 どんな値 $a$ を基準に測っても

$$\frac{1}{n}\sum (x_i-a{)}^2=s^2+(\bar{x}-a{)}^2$$

という恒等式が成り立つ(展開すると交差項が $\sum (x_i-\bar{x})=0$ で消える)。ここで $a=0$ とおくと、左辺は $\overline{x^2}$、右辺は $s^2+(\bar{x}{)}^2$ となる。移項すれば示す式そのものだ。

つまり「2乗の平均 $-$ 平均の2乗」とは、基準点 $0$ で測った散らばりから、平均のずれの分を差し引いたもの。この恒等式は次の問題(偏差平方和の最小)でも中心になる式で、実務では「仮平均法」(計算しやすい仮の平均で測ってから補正する)として電卓時代の分散計算に使われた。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「2乗の和はつねに $0$ 以上」という当たり前を、$t$ の2次関数に仕込むのがこの証明の設計だ。

$f(t)=\frac{1}{n}\sum \{(x_i-\bar{x})t-(y_i-\bar{y}){\}}^2$ を展開すると

$f(t)=s_x^2{t}^2-2s_{xy}t+s_y^2$ となり、係数に分散と共分散が現れる。すべての $t$ で $f(t)\ge 0$ だから判別式 $\le 0$: $s_{xy}^2\le s_x^2{s}_y^2$。両辺の平方根をとれば $|r|\le 1$ だ。

① $2$ 乗和の関数。 $$f(t)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\{(x_i-\bar{x})t-(y_i-\bar{y}){\}}^2\ge 0(\text{すべての }t).$$ 展開して $\sum$ を分配すると $$f(t)=s_x^2{t}^2-2s_{xy}t+s_y^2,$$ ここで $s_x^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$、$s_{xy}=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$、$s_y^2=\frac{1}{n}\sum (y_i-\bar{y}{)}^2$。

② 判別式。 $s_x^2>0$ で上に凸でなく、すべての $t$ で $f(t)\ge 0$ だから判別式 $\le 0$: $$(-2s_{xy}{)}^2-4s_x^2{s}_y^2\le 0⟹s_{xy}^2\le s_x^2{s}_y^2.$$ ③ 結論。 両辺を $s_x^2{s}_y^2(>0)$ で割ると ${\left(\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}\right)}^2\le 1$、すなわち $r^2\le 1$。ゆえに $$-1\le r\le 1.$$

まとめ偏差の $1$ 次結合の $2$ 乗和 $\ge 0$ を判別式の条件に書き直すと $s_{xy}^2\le s_x^2{s}_y^2$、$|r|\le 1$。相関係数と $2$ 次関数(判別式)の融合。

発展。 $r=\cos \theta$ の描像から、回帰直線(散布図に最も沿う直線)の傾きが $r\frac{s_y}{s_x}$ になることも見通せる($\vec{Y}$ の $\vec{X}$ 方向への正射影)。$r^2$ は「$y$ の散らばりのうち直線で説明できる割合」(決定係数)を表す。相関係数に関係する統計の道具は、どれもこの $n$ 次元の直角三角形から導かれる。

別解

偏差ベクトルの「なす角」と見る(コーシー・シュワルツ)。 偏差を並べた $n$ 次元のベクトル

$$\vec{X}=(x_1-\bar{x},\dots ,x_n-\bar{x}),\vec{Y}=(y_1-\bar{y},\dots ,y_n-\bar{y})$$

を作ると、$\vec{X}\cdot \vec{Y}=n{s}_{xy}$、$|\vec{X}|=\sqrt{n}{s}_x$、$|\vec{Y}|=\sqrt{n}{s}_y$。つまり

$$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{\vec{X}\cdot \vec{Y}}{|\vec{X}||\vec{Y}|}=\cos \theta$$

つまり、相関係数は偏差ベクトルのなす角の余弦そのものだ。$|\cos \theta |\le 1$(コーシー・シュワルツの不等式)から $|r|\le 1$ が即座に出る。

$t$ の2次式(本解)はこのコーシー・シュワルツの標準的な証明を分散の言葉で実行したもの。$r=\cos \theta$ の描像を持つと、「$r=\pm 1$ ⟺ ベクトルが平行 ⟺ 点が一直線上」という等号条件の意味も、$r=0$ が「直交」であることも、一目で見えるようになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $g(a)$ は $a$ の2次関数だ。データの問題に見えるが、中身は平方完成の問題になる。

展開すると $g(a)=a^2-2\bar{x}a+\overline{x^2}$。平方完成して

$g(a)=(a-\bar{x}{)}^2+\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$。最小は $a=\bar{x}$(平均)のときで、最小値は $\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$、つまり分散そのものである。「平均は、平方誤差でデータに一番近い1点」という統計の基本的な性質が、放物線の頂点として現れる。

① $a$ の $2$ 次関数に。 $$g(a)=\frac{1}{n}\sum (x_i-a{)}^2=\frac{1}{n}\sum (x_i^2-2a{x}_i+a^2)=\overline{x^2}-2\bar{x}a+a^2.$$ ② 平方完成。 $$g(a)=a^2-2\bar{x}a+\overline{x^2}=(a-\bar{x}{)}^2+(\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2).$$ ③ 最小。 $(a-\bar{x}{)}^2\ge 0$ だから、$a=\bar{x}$(平均)で最小。最小値は $$g(\bar{x})=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2=s^2(\text{分散}).$$

まとめ $g(a)$ は $a$ の下に凸な $2$ 次関数、頂点 $a=\bar{x}$ で最小、最小値は分散 $s^2$。平均は「$2$ 乗ずれを最小にする点」。平均と $2$ 次関数(平方完成)の融合。

発展。 「平方誤差の最小=平均」と、次問の「絶対誤差の最小=中央値」は、誤差の測り方(2乗か絶対値か)で最良の代表値が変わる、という対をなす。外れ値に平均が引きずられ中央値が頑健なのも、この2つの最小化問題の性格の違いから来ている。代表値を選ぶことは、「どの誤差を最小化したいか」を選ぶことにあたる。

別解

交差項が消える分解で(平方完成の仕組み)。 偏差を「平均まで」と「平均から $a$ まで」に付け替える:

$$x_i-a=(x_i-\bar{x})+(\bar{x}-a)$$

2乗して平均すると、交差項は $\frac{2(\bar{x}-a)}{n}\sum (x_i-\bar{x})=0$(偏差の和は $0$)で消え

$$g(a)=\underset{=s^2}{\underbrace{\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}+(\bar{x}-a{)}^2$$

すると $g(a)=s^2+(\bar{x}-a{)}^2$ という分解の恒等式が出る。第2項は $a=\bar{x}$ で $0$、それ以外では正。よって最小は平均で、最小値は分散。

平方完成(本解)と同じ結論だが、この形は「誤差 $=$ 本来の散らばり $+$ 基準のずれの2乗」という分解として読める。統計学で繰り返し現れる「平方和の分解」の、いちばん簡単な例だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $h(a)$ は絶対値の和なので、グラフは折れ線(区分的に1次)だ。増減は傾きで読む。

$a$ がデータ点でない場所での傾きは、$|x_i-a|$ ごとの $\pm 1$ の合計: 左に $k$ 個・右に $n-k$ 個なら傾き $k-(n-k)=2k-n$。

$a$ が左から右へ動くと、傾きは $-n$ から $+n$ へ、点を通過するたび $+2$ ずつ増える。$n$ が奇数なら、傾きが負から正に変わるのは中央値のところで、そこが谷底になる。

① 傾きを読む。 $x_k<a<x_{k+1}$ のとき、$a$ より左に $k$ 個、右に $n-k$ 個。$a$ を微小に増やすと $h$ の変化率(傾き)は $$k\cdot (+1)+(n-k)\cdot (-1)=2k-n.$$ ② 符号の変化。 $2k-n<0⟺k<\frac{n}{2}$、$2k-n>0⟺k>\frac{n}{2}$。$a$ が小さい($k$ 小)ときは負、大きい($k$ 大)ときは正。傾きが負から正に変わる所で最小。

③ 中央値。 $n$ が奇数なら、$k=\frac{n-1}{2}$ で傾き負、$k=\frac{n+1}{2}$ で傾き正。境目の点 $x_{(n+1)/2}$(中央値)で最小。 $$a=x_{(n+1)/2}(\text{中央値}).$$

まとめ $h(a)$ の傾きは左右の個数差 $2k-n$。負→正に変わる中央値 $x_{(n+1)/2}$ で最小。「絶対値ずれ」の最小は中央値。中央値と絶対値関数(折れ線)の融合。

発展。 $n$ が偶数のときは、中央の2点の間のどこでも最小になる(傾きが $0$ の平らな区間ができる)。「中央値」を中央2点の平均と定義するのは、この最小区間の代表を1つ選ぶ約束事だ。また本問の折れ線の議論は、実数と1次不等式で学んだ $|x-1|+|x-2|+|x-3|$ の最小と同じものだ。3点から $n$ 点へ一般化したものを、統計の言葉で言い直した形になる。

別解

外側からペアで押さえる(はさみの下界)。 最小と最大をペアにすると、三角不等式から

$$|x_1-a|+|x_n-a|\ge x_n-x_1(\text{等号は }{x}_1\le a\le x_n)$$

同様に内側へ: $|x_2-a|+|x_{n-1}-a|\ge x_{n-1}-x_2$(等号は $a$ がこの区間内)、…と外側から順にペアを組む。$n$ が奇数なら、最後に中央の1項 $|x_{(n+1)/2}-a|\ge 0$(等号は $a=$ 中央値)が残る。

全部の等号を同時に成り立たせられる $a$ は、すべての入れ子区間に属し、かつ中央値に一致する点だ。つまり $a=$ 中央値である。そのとき最小値は「外側ペアの差の総和」$\sum (x_{n+1-i}-x_i)$ になる。

傾きの勘定(本解)は増減を追う解析の道、ペアリングは「どの項がどれだけ下がれるか」を幾何(距離)で見る道。等号条件の入れ子構造まで見えるのが、この論法の御利益だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 相関係数は $r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}$ という比。だから「1次変換で分子と分母が同じ倍率で変わる」ことを言えば、比は変わらない。

偏差で追うと: $u_i-\bar{u}=a(x_i-\bar{x})$(切片 $b$ は平均ごと消える)。よって標準偏差は $s_u=a{s}_x$($a>0$)、共分散は $s_{uv}=ac{s}_{xy}$。比をとれば $ac$ が約分されて $r_{uv}=r_{xy}$。

① 偏差の変換。 $\bar{u}=a\bar{x}+b$ なので $u_i-\bar{u}=a(x_i-\bar{x})$。同様に $v_i-\bar{v}=c(y_i-\bar{y})$。

② 共分散・標準偏差。 $$s_{uv}=\frac{1}{n}\sum (u_i-\bar{u})(v_i-\bar{v})=\frac{1}{n}\sum ac(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=ac{s}_{xy},$$ $$s_u=\sqrt{\frac{1}{n}\sum a^2(x_i-\bar{x}{)}^2}=a{s}_x(a>0),s_v=c{s}_y.$$ ③ 相関係数。 $$r_{uv}=\frac{s_{uv}}{s_u{s}_v}=\frac{ac{s}_{xy}}{(a{s}_x)(c{s}_y)}=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=r_{xy}.$$

まとめ $1$ 次変換で偏差が $a,c$ 倍 → 共分散 $ac$ 倍・標準偏差 $a,c$ 倍、比の相関係数では約分されて $r_{uv}=r_{xy}$。相関は位置と尺度に依らない。相関係数と $1$ 次変換の融合。

発展。 標準化 $z=\frac{x-\bar{x}}{s_x}$ は「平均0・標準偏差1」の共通のものさしへの乗り換えで、実用では偏差値($50+10z$)がその代表だ。$a<0$(符号を反転する変換)では $r$ の符号だけが反転する($|r|$ は不変)。「相関の強さは単位に依らず、向きは軸の向きに従う」とまとめれば、変換の影響が整理できる。

別解

「標準化してから測る量」と読む(定義の再解釈)。 データ $x$ の標準化(平均 $0$・標準偏差 $1$ への変換)を $z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s_x}$ とすると、相関係数は

$$r_{xy}=\frac{1}{n}\sum z_i{w}_i(w_i\text{は}y\text{の標準化})$$

つまり、標準化データの積の平均として書ける。ここで $u=ax+b$($a>0$)の標準化を計算すると $\frac{u_i-\bar{u}}{s_u}=\frac{a(x_i-\bar{x})}{a{s}_x}=z_i$ となり、標準化は1次変換を完全に吸収して不変である。よって $r$ も不変だ。

係数の約分(本解)は計算による確認、標準化の視点は「$r$ は単位や原点の取り方を消してから測る設計になっている」という定義の思想の説明。摂氏を華氏に変えても、cmをインチに変えても相関が変わらないのは、この定義のためだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 合併データの分散を定義から直接計算すると、和の分割が煩雑だ。「2乗の平均 $-$ 平均の2乗」の変形を経由すると流れ作業になる。

各組で $\overline{x^2}=s^2+(\text{平均}{)}^2$(分散の変形の逆読み)。同じ大きさ $n$ どうしの合併だから、全体の2乗平均は2組の単純平均:

${\overline{x^2}}_{\text{全体}}=\frac{1}{2}\{(s_A^2+{\bar{a}}^2)+(s_B^2+{\bar{b}}^2)\}$。全体平均 $m=\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}$ の2乗を引けば、合併の分散が出る。

① 全体平均。 大きさが等しいので $$m=\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}.$$ ② 全体の $2$ 乗平均。 各組で $\overline{a^2}=s_A^2+{\bar{a}}^2$、$\overline{b^2}=s_B^2+{\bar{b}}^2$。全体では $$\overline{x^2}=\frac{1}{2}\{(s_A^2+{\bar{a}}^2)+(s_B^2+{\bar{b}}^2)\}.$$ ③ 分散。 $$s^2=\overline{x^2}-m^2=\frac{s_A^2+s_B^2}{2}+\frac{{\bar{a}}^2+{\bar{b}}^2}{2}-{\left(\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}\right)}^2.$$ 後半は $\frac{{\bar{a}}^2+{\bar{b}}^2}{2}-\frac{(\bar{a}+\bar{b}{)}^2}{4}=\frac{2{\bar{a}}^2+2{\bar{b}}^2-{\bar{a}}^2-2\bar{a}\bar{b}-{\bar{b}}^2}{4}=\frac{(\bar{a}-\bar{b}{)}^2}{4}$。よって $$s^2=\frac{s_A^2+s_B^2}{2}+\frac{(\bar{a}-\bar{b}{)}^2}{4}.$$

まとめ合併分散 $=$(各分散の平均)$+\frac{(\bar{a}-\bar{b}{)}^2}{4}$。組内のばらつきに、組の平均差による項が加わる。分散と式変形(合併)の融合。

発展。 サイズが $n_A,n_B$ と異なる一般の合併では、重み $w=\frac{n_A}{n_A+n_B}$ を使って $s^2=w{s}_A^2+(1-w)s_B^2+w(1-w)(\bar{a}-\bar{b}{)}^2$ となる。群内・群間の2階建て構造は同じで、重みが付くだけだ。この分解を多群に広げたものが分散分析(ANOVA)で、「差は群の中の揺れか、群の間の差か」を切り分ける統計学の主要道具になっている。

別解

「群内+群間」の形に整理する(分散の2階建て分解)。 本解の結果を整理し直すと

$$s^2=\underset{\text{群内分散の平均}}{\underbrace{\frac{s_A^2+s_B^2}{2}}}+\underset{\text{群間(平均のずれ)}}{\underbrace{{\left(\frac{\bar{a}-\bar{b}}{2}\right)}^2}}$$

という2階建てになる(検算: $\frac{1}{2}({\bar{a}}^2+{\bar{b}}^2)-{\left(\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}\right)}^2={\left(\frac{\bar{a}-\bar{b}}{2}\right)}^2$ の恒等式)。

読み方: 合併データの散らばりは「各組の中での散らばり」と「組どうしの平均のずれ」の2つの寄与の和になる。平均が同じ($\bar{a}=\bar{b}$)なら分散の単純平均で、平均が離れているほど合併の分散は大きくなる。

この「群内・群間」の分解は統計学で分散分析と呼ばれる手法の基礎になっている。公式を丸暗記せず、2階建ての構造で持っておくと、組のサイズが違う一般の場合にも(重みを付けて)自力で再構成できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「離れた値は多くない」を示したい。手がかりは、分散の定義の和が全項 $0$ 以上であることだ。全体の和は一部の項だけの和より小さくならない。

条件 $|x_i-\bar{x}|\ge ks$ を満たす項だけに絞ると、各項は $(ks{)}^2$ 以上。$m$ 個あるから

$n{s}^2=\sum (x_i-\bar{x}{)}^2\ge m(ks{)}^2$。整理すれば $\frac{m}{n}\le \frac{1}{k^2}$。「大きい項だけで総和を下から押さえる」という、評価の基本の操作1つで結論に届く。

① 分散の和を絞る。 すべての項は非負なので、条件 $|x_i-\bar{x}|\ge ks$ を満たす $m$ 個の項だけ残すと $$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2\ge \frac{1}{n}\sum _{|x_i-\bar{x}|\ge ks}(x_i-\bar{x}{)}^2.$$ ② 各項を下から評価。 残した各項は $(x_i-\bar{x}{)}^2\ge (ks{)}^2$。$m$ 個あるので $$\frac{1}{n}\sum _{|x_i-\bar{x}|\ge ks}(x_i-\bar{x}{)}^2\ge \frac{1}{n}\cdot m\cdot (ks{)}^2=\frac{m}{n}{k}^2{s}^2.$$ ③ 結論。 以上より $s^2\ge \frac{m}{n}{k}^2{s}^2$。$s^2>0$ で割って $$1\ge \frac{m}{n}{k}^2⟹\frac{m}{n}\le \frac{1}{k^2}.$$

まとめ分散の和を条件を満たす項だけに絞り、各項を $(ks{)}^2$ で下から押さえると $\frac{m}{n}\le \frac{1}{k^2}$。ばらつき(分散)が外れ値の割合を縛る。分散と不等式の融合。

発展。 チェビシェフの不等式は分布の形を一切仮定しない普遍の上界で、その分だけ荒い($k=2$ で $25\%$ 以下)。分布が正規分布と分かっていれば「$2s$ の外は約 $5\%$」とずっと鋭く言える(数Bの正規分布)。この2つの数字を比べると、「仮定が強いほど結論は鋭く、仮定が弱いほど適用は広い」という統計の基本的なトレードオフが分かる。

別解

等号が成り立つ例を作る(不等式の鋭さの確認)。 この上界 $\frac{1}{k^2}$ はこれ以上改良できない。等号が成り立つデータを実際に作ってみよう。

$n$ 個のうち、$+c$ に $\frac{m}{2}$ 個、$-c$ に $\frac{m}{2}$ 個、残り $n-m$ 個を $0$ に置く。平均は $0$、分散は $s^2=\frac{m{c}^2}{n}$。ここで $n=k^{2}m$ となるように選ぶと $s^2=\frac{c^2}{k^2}$、つまり $ks=c$ となる。「平均から $ks$ 以上離れた値」はちょうど $\pm c$ の $m$ 個で

$$\frac{m}{n}=\frac{1}{k^2}(\text{等号達成!})$$

「証明できた不等式は、等号例を作って鋭さを確かめる」。こうすると、不等式が「上から押さえた」だけでなく、これ以上改良できない最良の評価だと分かる。分布の形を一切仮定しないチェビシェフの普遍性と、その代償(荒さ)の両方が、この例によく表れている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 和のデータ $z$ の偏差は、偏差の和になる:

$z_i-\bar{z}=(x_i-\bar{x})+(y_i-\bar{y})$($\bar{z}=\bar{x}+\bar{y}$ だから)。2乗して平均をとれば、$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ の展開そのままに

$s_z^2=s_x^2+2s_{xy}+s_y^2$ で、分散2つと共分散の2倍の和になる。$s_{xy}=r{s}_x{s}_y$ と $-1\le r\le 1$ を使えば、最大・最小も読める。

① 偏差の和を $2$ 乗平均。 $z_i-\bar{z}=(x_i-\bar{x})+(y_i-\bar{y})$ より $$s_z^2=\frac{1}{n}\sum \{(x_i-\bar{x})+(y_i-\bar{y}){\}}^2=s_x^2+2s_{xy}+s_y^2.$$ (交差項 $\frac{2}{n}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=2s_{xy}$。)

② 相関で書き直す。 $s_{xy}=r{s}_x{s}_y$ を入れて $$s_z^2=s_x^2+s_y^2+2r{s}_x{s}_y.$$ ③ 最大・最小。 $-1\le r\le 1$ で、

• $r=1$ のとき最大 $s_x^2+s_y^2+2s_x{s}_y=(s_x+s_y{)}^2$($x,y$ が完全に同じ向きに動く)。
• $r=-1$ のとき最小 $s_x^2+s_y^2-2s_x{s}_y=(s_x-s_y{)}^2$($x,y$ が完全に逆向きに動き、ばらつきが打ち消し合う)。

まとめ $s_z^2=s_x^2+s_y^2+2s_{xy}=s_x^2+s_y^2+2r{s}_x{s}_y$。$r=1$ で最大 $(s_x+s_y{)}^2$、$r=-1$ で最小 $(s_x-s_y{)}^2$。分散と共分散・相関の融合。

発展。 差 $w=x-y$ なら符号が変わって $s_w^2=s_x^2+s_y^2-2r{s}_x{s}_y$ となる。正の相関があるペアの「差」は安定する(誤差の相殺)。無相関($r=0$)なら $s_z^2=s_x^2+s_y^2$ と分散が足し算になり、これが数Bで学ぶ「独立な確率変数の分散の加法性 $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$」の原型。測定を $n$ 回平均すると誤差が $\frac{1}{\sqrt{n}}$ に縮む、という実験科学の大原則もこの考え方から出てくる。

別解

偏差ベクトルの「余弦定理」と見る。 前問(相関係数)の描像(偏差ベクトル $\vec{X},\vec{Y}$ とそのなす角 $\theta$、$\cos \theta =r$)を使うと、$z=x+y$ の偏差ベクトルは $\vec{X}+\vec{Y}$ で

$$n{s}_z^2=|\vec{X}+\vec{Y}{|}^2=|\vec{X}{|}^2+|\vec{Y}{|}^2+2\vec{X}\cdot \vec{Y}$$

これはベクトルの和の長さの公式(余弦定理)そのものだ。$n$ で割れば

$$s_z^2=s_x^2+s_y^2+2r{s}_x{s}_y$$

最大は $r=1$($\vec{X}\parallel \vec{Y}$、同じ向き)で $(s_x+s_y{)}^2$、最小は $r=-1$(逆向き)で $(s_x-s_y{)}^2$ となる。「2本のベクトルを足すと、平行なら長さが足し算、逆向きなら引き算」という図形の直感が、そのまま分散の増減に対応している。

展開計算(本解)が答案の本文、ベクトルの絵は「なぜ共分散が2倍付くのか($2\vec{X}\cdot \vec{Y}$ の交差項)」の記憶術。相関・分散・共分散が $n$ 次元の三角形1枚の上で統一される。