レンズの符号運用 — 写像公式1本で凸・凹・実像・虚像・鏡を扱う

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

レンズの問題は、凸レンズ・凹レンズ・実像・虚像・鏡と、場合ごとに公式を覚えようとすると混乱します。実際には、写像公式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ と倍率 $\frac{b}{a}$ の2本を、符号の約束で運用すれば、すべての場合が1本の式で扱えます。この記事では、その符号の約束と、作図との対応、2枚のレンズや鏡への広がりを説明します。

符号の約束

物体の位置 $a$ は、レンズの手前(光が来る側)にあれば正です。像の位置 $b$ は、レンズの向こう側(光が進む側)にできれば正(実像)、手前にできれば負(虚像)です。焦点距離 $f$ は、凸レンズなら正、凹レンズなら負です。倍率 $m = \frac{b}{a}$ は、正なら倒立、負なら正立で、大きさは絶対値です。

この約束のもとで、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ に数値を入れて $b$ を求めれば、 $b$ の符号で実像か虚像かが、 $m$ の符号で倒立か正立かが、自動的に決まります。「絵から判断する」のではなく「符号で判定する」のが、この方法の要点です。

3つの基本の場合

凸レンズで物体を焦点の外( $a > f$ )に置くと、 $b > 0$ で実像・倒立です。 $a = 2 f$ のとき $b = 2 f$ で等倍、 $a$ が大きいほど像は焦点に近づいて小さくなります(カメラ)。光の基礎「凸レンズの実像」で確認してください。

凸レンズで物体を焦点の内側( $a < f$ )に置くと、 $b < 0$ で虚像・正立・拡大です(虫めがね)。基礎の虚像(虫めがね)で確認してください。

凹レンズ( $f < 0$ )では、物体をどこに置いても $b < 0$ で虚像・正立・縮小です(近視の眼鏡)。基礎の凹レンズの像で確認してください。

この3つを、写像公式の符号だけで区別できることを、実際に数値を入れて確かめてください。

作図との対応

作図では、3本の光線(光軸に平行な光は焦点を通る、中心を通る光は直進する、焦点を通る光は光軸に平行になる)を描いて、交点が像です。虚像は、光線が実際には交わらず、逆向きに延長した交点です。基礎のレンズの作図(3本の光線)で、作図と公式の答えが一致することを確認してください。

作図は「像がどこにできるか」の感覚を作り、公式は「正確な位置と大きさ」を出します。両方を使えるようにしておくと、公式の符号を間違えたときに作図で気づけます。

物体を動かすと像はどう動くか

物体をレンズに近づけると、実像は遠ざかって大きくなり、焦点を越えると虚像に変わります。物体を遠ざけると、実像は焦点に近づいて小さくなります。標準の物体を動かすと像はどう動くかで、公式で数値を追いながら確かめてください。「像の位置が $b$ から $b^{'}$ に変わる」という設問は、写像公式を2回使う問題です。

レンズの半分を覆っても、像は欠けずに暗くなるだけです(標準の同名の問題)。像の1点には、レンズ全面から来た光が集まっているからで、作図の3本の光線は「代表」にすぎないことを示す問題です。

2枚のレンズ

レンズが2枚あるときは、1枚目の像を2枚目の物体として、写像公式を2回使います。1枚目の像が2枚目の向こう側にできる(2枚目にとって「物体が向こう側にある」)場合は、 $a < 0$ として公式に入れます。倍率は2枚の積で、倒立 × 倒立 = 正立です。応用の2枚のレンズの組み合わせで確認してください。顕微鏡と望遠鏡は、この2枚の組合せです。

鏡

凹面鏡は、 $f = \frac{R}{2}$ ( $R$ は曲率半径)として、レンズと同じ写像公式が使えます。ただし、像の「向こう側」がレンズと逆(光が反射して戻る側が実像側)なので、符号の約束を鏡用に読み替えます。標準の凹面鏡の実像で確認してください。平面鏡は $f = \infty$ で、 $b = - a$ (等倍の正立虚像)です。全身を映す鏡の長さが身長の半分で足りること(標準の同名の問題)は、平面鏡の作図の問題です。

つまずきやすいところ

最も多い誤りは、虚像の $b$ を正のまま公式に入れることです。虚像は $b < 0$ です。次に、凹レンズの $f$ を正にすることです。3つ目は、2枚のレンズで「1枚目の像が2枚目の向こう側にある」場合の $a < 0$ を扱えないことです。符号の約束を一貫させれば、すべて1本の式で処理できます。