ライプニッツの公式で積の第n次導関数を求める

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年11月9日

積 $f(x)g(x)$ の第 $n$ 次導関数は、積の微分 $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ を $n$ 回くり返して求めます。くり返すと現れる係数は二項係数で、その結果を1つの式に整理したものがライプニッツの公式です。片方の関数が多項式なら和の大部分の項が $0$ になり、第 $n$ 次導関数を短い式で表せます。

公式の形と二項定理との対応

$n=2$ と $n=3$ で積の微分をくり返すと、次の式になります。

$$(fg{)}^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }g+2f^{\prime }{g}^{\prime }+f{g}^{\prime \prime },(fg{)}^{\prime \prime \prime }=f^{\prime \prime \prime }g+3f^{\prime \prime }{g}^{\prime }+3f^{\prime }{g}^{\prime \prime }+f{g}^{\prime \prime \prime }$$

係数の $1,2,1$ と $1,3,3,1$ は、$(a+b{)}^2$ と $(a+b{)}^3$ を展開したときの係数と同じです。一般の $n$ では次の形になります。

二項定理と同じ係数になる理由は、展開のしくみが同じだからです。$(fg{)}^{(n)}$ をもう1回微分すると、各項の $f$ か $g$ のどちらか一方の微分の回数が1つ増加します。$(a+b{)}^n$ に $(a+b)$ をかけると各項の $a$ か $b$ の次数が1つ上がることと同じ構造で、係数の関係 ${}_n{\mathrm{C}}_{k-1}+{}_n{\mathrm{C}}_k={}_{n+1}{\mathrm{C}}_k$ もそのまま成り立ちます。証明はこの係数の関係を用いた数学的帰納法です。二項定理は式と証明の単元で扱っています。

片方が多項式なら、和の項は数個になる

多項式は次数より多く微分すると $0$ になります。$g(x)=x^2$ なら $g^{\prime }=2x$、$g^{\prime \prime }=2$ で、$g^{\prime \prime \prime }$ 以降はすべて $0$ です。そのため、和のうち $0$ でない項は $k=0,1,2$ の3項だけです。

例として $x^2{e}^{2x}$ を考えます。$f=e^{2x}$ とすると $f^{(m)}=2^m{e}^{2x}$ なので、

$$(x^2{e}^{2x}{)}^{(n)}=2^n{e}^{2x}\cdot x^2+n\cdot 2^{n-1}{e}^{2x}\cdot 2x+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2^{n-2}{e}^{2x}\cdot 2$$

となり、整理すると $2^{n-2}{e}^{2x}\{4x^2+4nx+n(n-1)\}$ です。$n=1$ を代入すると $e^{2x}(2x^2+2x)$ になり、直接微分した結果と一致します。$n$ が小さい場合を代入して照合すると、係数の誤りを発見できます。

どちらを $f$、どちらを $g$ とするかは、和の項が少なくなるほうを優先します。多項式の側を $g^{(k)}$ とすると、$k$ が次数を超えた項から $0$ になるので、和を途中で打ち切れます。

値だけを求める問題

「$x=0$ における第 $n$ 次導関数の値を求めよ」という問題では、さらに多くの項が $0$ になります。$x^2\cos x$ の第 $10$ 次導関数の $x=0$ での値を例にします。

$g=x^2$ の微分は $x^2,2x,2$ で、$x=0$ では $0,0,2$ です。$0$ にならないのは $g^{\prime \prime }$ を含む $k=2$ の項だけで、

$${(x^2\cos x{)}^{(10)}|}_{x=0}={}_{10}{\mathrm{C}}_2\cdot 2\cdot (\cos x{)}^{(8)}{|}_{x=0}=45\cdot 2\cdot 1=90$$

となります。$(\cos x{)}^{(8)}=\cos x$ で、$\cos 0=1$ です。

この計算ではくり返し登場する関数の第 $n$ 次導関数の形を把握しておく必要があります。

• $(e^{ax}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax}$
• $(\sin x{)}^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$、$(\cos x{)}^{(n)}=\cos \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$
• ${\left(\frac{1}{x+a}\right)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+a{)}^{n+1}}$
• $(\log x{)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{x^n}$($n\ge 1$)

どれも $n=1,2,3$ を実際に計算して規則を推測し、数学的帰納法で確認できます。微分法の計算の応用の第n次導関数(三角関数)と、難関の第n次導関数(分数関数)で練習してください。

両方とも多項式でないとき

$e^x\sin x$ のように、どちらの関数も何回微分しても $0$ にならない場合は、ライプニッツの公式の和が $n+1$ 項のままです。結果として正しくても、短い式にはなりません。

このような関数は、1回目と2回目の導関数を計算して規則を推測するほうが簡単です。$e^x\sin x$ なら、1回微分すると $e^x(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}{e}^x\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ で、微分のたびに $\sqrt{2}$ 倍されて角が $\frac{\pi }{4}$ ずつ大きくなります。三角関数の合成で形を整理する考え方は、実戦編のe^x sin x の高次導関数で扱っています。

等式を $n$ 回微分して漸化式を導く

ライプニッツの公式には、関数が満たす等式を $n$ 回微分して、導関数の値の漸化式を導くという利用法もあります。$y=e^{x^2}$ を例にします。

$y^{\prime }=2xy$ の両辺を $n$ 回微分します。右辺は $2x$ と $y$ の積で、$2x$ の微分は $2x,2,0,\dots$ となるので、和は2項だけになり、

$$y^{(n+1)}=2x{y}^{(n)}+2n{y}^{(n-1)}$$

が得られます。$x=0$ を代入すると $y^{(n+1)}(0)=2n{y}^{(n-1)}(0)$ です。$y(0)=1$、$y^{\prime }(0)=0$ から、$y^{\prime \prime }(0)=2$、$y^{(4)}(0)=2\cdot 3\cdot 2=12$ と順に求められ、奇数回の導関数の値はすべて $0$ になります。

この方法の利点は、関数そのものの第 $n$ 次導関数が複雑な形になる場合にも、$x=0$ での値なら求められることです。最難関編の1/(1+x²) の第 n 次導関数の値は、この考え方で解ける問題です。

つまずきやすいところ

最も多い誤りは二項係数を記述し忘れて $f^{(n)}g+f{g}^{(n)}$ のような2項だけの式にしてしまうことです。$n=2$ で $(fg{)}^{\prime \prime }$ に $2f^{\prime }{g}^{\prime }$ が含まれることを確認すれば防止できます。

次に多いのは多項式の側の微分を途中で $0$ にし忘れることと、反対に $0$ でない項まで省略することです。$0$ でない項は、$x^2$ なら $k=2$ まで、$x^3$ なら $k=3$ までです。漸化式を導く方法では、式が成り立つ $n$ の範囲(上の例では $n\ge 1$)を確認してから値を代入してください。

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