落下の繰り返しで水を温める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ジュールの実験の定量版。$1$ 回の落下で位置エネルギー $mgh$ が熱に変わり、それを $20$ 回繰り返す。合計の力学的エネルギー = 水が得る熱、でつなぐ。

① 合計の位置エネルギー(=熱量)。

$$Q=mgh\times 20=10\times 9.8\times 2.0\times 20=3920\mathrm{J}$$

② 水の温度上昇。

$$\Delta T=\frac{Q}{m_{\text{水}}c}=\frac{3920}{1000\times 4.2}=\frac{3920}{4200}\approx 0.933\mathrm{K}$$

まとめ $20$ 回も落として、水温はわずか $0.93\mathrm{K}$ しか上がらない。力学的エネルギーを熱に変えても、水の大きな比熱の前では温度上昇はごくわずか。ジュールは、この小さな温度変化を精密に測って「仕事と熱が同じエネルギー」を実証した。数値の小ささ自体が、実験の難しさと水の比熱の大きさを物語る。

別解

単位質量あたりで見るルート(検算)。 水 $1000\mathrm{g}$ を $1\mathrm{K}$ 上げるには $1000\times 4.2=4200\mathrm{J}$ 要る。手に入る熱は $3920\mathrm{J}$ で、これは $1\mathrm{K}$ に少し足りない。

だから $\Delta T=\frac{3920}{4200}<1\mathrm{K}$ と、計算前に $1\mathrm{K}$ 未満だと見当がつく。必要な熱と得られる熱を先に比べると、答えの大きさを予測できる。