空間ベクトル ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 成分が $3$ つに増えても、なす角の公式は同じ形だ。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

内積は「成分の積を $3$ つ足す」、大きさは「$3$ つの $2$ 乗和の平方根」で、部品の計算が $1$ 成分ぶん増えるだけである。$\vec{a}\cdot \vec{b}=1+1+0=2$、$|\vec{a}|=\sqrt{3}$、$|\vec{b}|=\sqrt{2}$。代入して $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

① 内積と大きさを求める。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0=2$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{3},|\vec{b}|=\sqrt{2}$$

② $\cos \theta$ を計算する。

$$\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

まとめ:空間のなす角も平面と同じ「内積 ÷(大きさの積)」。$\frac{2}{\sqrt{6}}$ を有理化して $\frac{\sqrt{6}}{3}$。$3$ 成分の内積・大きさを正確に計算するのがポイント。

発展。 立方体の対角線 $(1,1,1)$ が各軸となす角も同じ計算で出る: $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ が $3$ 回現れ、${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$(方向余弦の関係)が成り立つ。空間の向きは $3$ つの $\cos$ の組で記述でき、その $2$ 乗和は必ず $1$ になる。これは大きさの定義($2$ 乗和)の言い換えである。

なす角の公式が平面・空間で同じ形なのは偶然でなく、内積の幾何的定義($|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$)が次元に依らないから。$4$ 次元でも $100$ 次元でも同じ式で「角度」が定義できる。データ解析のコサイン類似度はこの定義を使っている。

別解

この $2$ 本は立方体の中のよく知られた角を測っている。$1$ 辺 $1$ の立方体を原点に置くと、$\vec{a}=(1,1,1)$ は空間の対角線(頂点から最も遠い頂点へ)、$\vec{b}=(1,1,0)$ は底面の対角線だ。問題の角は「立方体の対角線が底面から立ち上がる角」である。

しかも $\vec{b}$ は $\vec{a}$ の $z$ 成分を $0$ にしたものだ。つまり $\vec{a}$ を床(xy 平面)に落とした影そのものである。影とのなす角の $\cos$ は

$$\cos \theta =\frac{|\text{影}|}{|\vec{a}|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

(影の長さ $\sqrt{2}$、本体 $\sqrt{3}$ の直角三角形で、高さは残りの $z$ 成分 $1$ である。)内積の計算と一致する。

「片方が他方の影(射影)になっている」配置では、なす角は直角三角形の辺の比で読める。立方体の対角線が床となす角、というこの値($\theta \approx 35.3^{\circ }$)は結晶学や CG でもよく出てくる角だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 前半は内積の確認で、$\vec{a}\cdot \vec{b}=2-2+0=0$ なので垂直。

後半の「両方に垂直なベクトル」は未知の $(x,y,z)$ をおいて条件を式にする。

$$\vec{a}\cdot (x,y,z)=0,\vec{b}\cdot (x,y,z)=0$$

式 $2$ 本に未知数 $3$ つなので、解は $1$ つに決まらず、向きが決まって長さが自由(自由度 $1$)になる。どれか $1$ つ、たとえば $z=5$ と選んで連立を解けば $(-6,3,5)$ が得られる。

① 垂直を確認する。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2+3\cdot 0=2-2+0=0$$

よって $\vec{a}\perp \vec{b}$。

② 両方に垂直なベクトル $(x,y,z)$ を求める。 $\vec{a}$ と垂直:$2x-y+3z=0$、$\vec{b}$ と垂直:$x+2y=0$。

$z=1$ とおく。$x+2y=0$ から $x=-2y$。$2(-2y)-y+3=0$、$-5y+3=0$、$y=\frac{3}{5}$、$x=-\frac{6}{5}$。整数にするため $5$ 倍して $(-6,3,5)$。

(確認:$(-6,3,5)\cdot \vec{a}=-12-3+15=0$、$\cdot \vec{b}=-6+6+0=0$。)

まとめ:空間で「$2$ ベクトルの両方に垂直」なベクトルは、$2$ つの内積 $=0$ の連立を解く。方向だけ決まればよいので、$1$ 文字($z=1$ 等)を固定して残りを求める。これは外積の方向にあたる。

発展。 平行でない $2$ 本に垂直な方向は空間ではただ $1$ つ(±の向きを除いて)である。この事実が平面の法線ベクトルの存在を保証している。平面は $2$ 本のベクトルで張られ、その両方に垂直な $1$ 方向が平面の「顔の向き」だ。

平面($2$ 次元)では $1$ 本に垂直な方向が $1$ つだったのに対し、空間では $1$ 本に垂直な方向は無数(平面をなす)で、$2$ 本に垂直でやっと $1$ つに絞れる。「垂直の条件 $1$ つで自由度が $1$ 減る」という勘定は、次元が上がっても通用する。

別解

「両方に垂直なベクトル」をすぐに作れる公式として、外積(クロス積)を紹介する。

$$\vec{a}\times \vec{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$

見た目は複雑だが、規則は $1$ つしかない。第 $1$ 成分は「$1$ を除いた $2,3$ 成分のたすき掛け」、以下 $2,3,1$ / $3,1,2$ と番号を巡回させるだけだ。$\vec{a}=(2,-1,3)$、$\vec{b}=(1,2,0)$ で計算すると

$$\vec{a}\times \vec{b}=((-1)\cdot 0-3\cdot 2,3\cdot 1-2\cdot 0,2\cdot 2-(-1)\cdot 1)=(-6,3,5)$$

連立の答えと一致する。検算すると $\vec{a}$ とも $\vec{b}$ とも内積 $0$ だ。

外積は高校の範囲外だが、「連立を解いた結果はいつもこの形になる」と知っておくと、答えの検算・平面の法線ベクトル探し・平行六面体の体積で役に立つ近道になる。平面のたすき掛け $a_1{b}_2-a_2{b}_1$ が、外積の第 $3$ 成分として再登場していることにも注目したい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 基本ベクトル $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$ は各座標軸方向の「長さ $1$ の物差し」。任意のベクトルの $1$ 次結合への分解は

$$(a_1,a_2,a_3)=a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3}$$

つまり成分がそのまま係数になる。$(2,3,4)=2\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}+4\overrightarrow{e_3}$ で完了だ。これは計算というより「成分表示の意味の確認」だ。座標とは基本ベクトルによる分解の係数の別名である。

基本ベクトルは $x,y,z$ 軸方向の単位ベクトル。$\vec{a}$ の各成分がそのまま係数になる。

$$\vec{a}=(2,3,4)=2(1,0,0)+3(0,1,0)+4(0,0,1)=2\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}+4\overrightarrow{e_3}$$

まとめ:空間の成分表示 $(a_1,a_2,a_3)$ は、$3$ つの基本ベクトルの $1$ 次結合そのもの。係数 = 成分。ベクトルの成分の意味(各軸方向にどれだけ進むか)がよく分かる基本だ。

発展。 基本ベクトルが役に立つのは、「取り替えられる」からだ。$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$ の代わりに、平行六面体の $3$ 辺のような斜めの $3$ 本(一次独立なら何でも)を物差しにしても、任意のベクトルはただ $1$ 通りに分解できる。そのときの係数を求めるのが「$1$ 次結合で表せ」型の応用問題で、連立方程式が登場する。

空間は $3$ 本で張れて、$4$ 本目は必ず余分(先の $3$ 本で書ける)。この「次元 $=3$」という言明の正確な意味が、基本ベクトルの分解の一意性である。線形代数の「基底」と「次元」の概念が、この単純な問題の中にすでに全部ある。

別解

この式を道順の住所として読むと、成分表示の意味が体に入る。$(2,3,4)$ という行き先へは、東($\overrightarrow{e_1}$ 方向)へ $2$ 歩、北($\overrightarrow{e_2}$)へ $3$ 歩、上($\overrightarrow{e_3}$)へ $4$ 歩で着く。

$$2\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}+4\overrightarrow{e_3}$$

は、この $3$ 段の階段をベクトルの足し算で書いたものだ。$2\times 3\times 4$ の直方体の対角線をたどる絵を描くと、途中の角 $(2,0,0)$、$(2,3,0)$ を経由する折れ線が見える。

歩く順番は自由(ベクトルの和は交換可能なので、先に上へ $4$ 歩でも同じ角に着く)で、しかもこの歩数の組はただ $1$ 通りに決まる。もし $2\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}+4\overrightarrow{e_3}=s\overrightarrow{e_1}+t\overrightarrow{e_2}+u\overrightarrow{e_3}$ なら、成分を比べて $s=2,t=3,u=4$ しかない(一次独立)。

「座標 $=$ 東西・南北・上下の歩数」「一意 $=$ 住所は $1$ つ」と考えればよい。どんな複雑な分解の問題もこの単純な絵の一般化である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 空間でも、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ の最小化は平面とまったく同じ手が通る。$2$ 乗を内積で開くと

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{b}{|}^2{t}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b})t+|\vec{a}{|}^2=2t^2+2t+2$$

($\vec{a}\cdot \vec{b}=1$、$|\vec{a}{|}^2=|\vec{b}{|}^2=2$。)$t$ の $2$ 次関数の頂点で最小で、$t=-\frac{1}{2}$ となる。成分が $3$ つでも、展開した後は $1$ 変数 $t$ の話になる。次元の増加は係数の計算にしか現れない。

① 各量を求める。 $|\vec{b}{|}^2=1^2+1^2+0=2$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0=1$、$|\vec{a}{|}^2=1^2+0+1^2=2$。

② $t$ の $2$ 次関数にする。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=2t^2+2\cdot 1\cdot t+2=2t^2+2t+2$$

③ 最小の $t$ を求める。 頂点の $t$ は $-\frac{2}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2}$。

$$t=-\frac{1}{2}$$

まとめ:$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ の最小は、空間でも平面と全く同じで「$t$ の $2$ 次関数の頂点」。$3$ 成分の内積・大きさを使うだけ。最小のとき $\vec{a}+t\vec{b}\perp \vec{b}$(垂線)。

発展。 最小値そのものは $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=2{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+2\left(-\frac{1}{2}\right)+2=\frac{3}{2}$ で、これは「原点と直線の距離の $2$ 乗」である。点と直線の距離が、空間では公式でなくこの最小化として計算される(平面の $\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ にあたる既製公式が、空間の直線にはない)。

垂線の足 $\vec{a}-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}$ は正射影の直交成分。CG のライティングや機械学習の誤差最小化でも、「垂らして最短」という考え方が近似計算の中心になっている。

別解

平面版と同じ垂線の絵が、空間でもそのまま通用する。$\vec{a}+t\vec{b}$ は「点 $\vec{a}$ を通り方向 $\vec{b}$ の直線」上の点。その原点からの距離が最小になるのは垂線の足である。つまり最小の瞬間

$$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{b}=0⟺t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}=-\frac{1}{2}$$

展開せず $1$ 次方程式 $1$ 本で終わり。この論法が次元を一切問わないことに注目する。垂直条件の式には「平面か空間か」の情報がどこにも入っていない。内積さえ定義できれば、$3$ 次元でも $100$ 次元でも「最短 $=$ 垂線の足」で同じ $t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$ が出る。

成分計算(次元が上がると手間が増える)より、内積の関係式(次元によらない)で考える。空間ベクトルの学習で身につけたい「座標を離れる」視点の、手頃な練習台である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 内分点の公式は空間でも同じで、成分が $3$ つに増えるだけだ。

$$\mathrm{P}=\frac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{3}$$

($1:2$ の内分は $\mathrm{A}$ 寄りだから、$\mathrm{A}$ に大きい係数 $2$。)成分ごとに

$$\mathrm{P}=\left(\frac{2+7}{3},\frac{4+8}{3},\frac{6+9}{3}\right)=(3,4,5)$$

$x,y,z$ の $3$ 回、同じ計算を繰り返すだけである。

$1:2$ 内分なので $\frac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{3}$。

$$\mathrm{P}=\frac{2(1,2,3)+(7,8,9)}{3}=\frac{(2,4,6)+(7,8,9)}{3}=\frac{(9,12,15)}{3}=(3,4,5)$$

まとめ:空間の内分点も平面と同じ公式で、$3$ 成分それぞれ計算するだけ。$1:2$ 内分($\mathrm{A}$ に近い)は $\mathrm{A}$ の重みが $2$(たすきがけ)。$z$ 座標が加わっただけだ。

発展。 「成分ごとに数直線の計算を繰り返すだけ」という構造は、内分・外分・重心・中点のすべてに共通する。四面体の重心 $\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}+\mathrm{D}}{4}$ も、成分ごとの平均を $3$ 回とるだけだ。

一方、成分ごとに分けられない量もある。大きさ(成分が混ざる $2$ 乗和)、なす角、垂直条件がそれにあたる。空間の問題を見たら「成分ごとに済む話か、成分が絡む話か」をまず仕分けると、計算の見通しが立つ。内分は前者の代表、垂線の足は後者の代表である。

別解

この $2$ 点は特別に歩きやすいので、歩幅の目で暗算してみる。$\mathrm{A}(1,2,3)$ から $\mathrm{B}(7,8,9)$ への移動は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(6,6,6)$ で、どの成分も $+6$ の、対角線方向の一本道だ。$1:2$ の内分点は $\mathrm{A}$ から全体の $\frac{1}{3}$ だけ進んだ地点。$\frac{1}{3}$ 歩は $(2,2,2)$ だから

$$\mathrm{P}=(1,2,3)+(2,2,2)=(3,4,5)$$

各成分が「$1,2,3$ → $3,4,5$ → $5,6,7$ → $7,8,9$」と等間隔に刻まれていく様子まで見える($\frac{2}{3}$ 地点は $(5,6,7)$)。

内分の計算は実際には数直線の話を成分ごとに $3$ 回やっているだけだ。空間だからと身構える必要はない、という感覚をこの問題で確かめておくと、四面体の重心などの応用でも迷わない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 直線のベクトル方程式は、空間でも平面と同じ形

$$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$$

「通る点 $+$ $t$ 倍の方向」。成分で書けば

$$\mathrm{P}=(1,0,0)+t(0,1,1)=(1,t,t)$$

$x$ 成分は方向に含まれないので $1$ のまま、$y$ と $z$ が同じ速さで動く。$t=2$ で $(1,2,2)$。

① ベクトル方程式を書く。

$$\vec{p}=(1,0,0)+t(0,1,1)=(1,t,t)$$

② $t=2$ を代入する。

$$(1,2,2)$$

まとめ:空間の直線も「通る点 + 方向ベクトルの実数倍」$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$。平面と同じ形で、成分が $3$ つになるだけ。$t$ を動かすと点が直線上を動く。$x$ 座標は $1$ で固定、$y,z$ が $t$ とともに動く。

発展。 次元の勘定(方程式 $1$ 本 $=$ 自由度 $-1$)は空間図形の分類表になる。方程式 $0$ 本 $=$ 空間全体、$1$ 本 $=$ 平面(または球面などの曲面)、$2$ 本 $=$ 直線(または曲線)、$3$ 本 $=$ 点。「図形を式で書く」とは自由度をいくつ、どう削るかの設計である。

$2$ 直線の位置関係も空間では種類が増える。交わる・平行に加えて「ねじれの位置」(交わらず平行でもない)が現れる。$t$ と $s$ の連立が解を持つか、方向が平行か、の場合分けで判定する応用問題は、この媒介変数表示が主戦場だ。

別解

平面の直線は $t$ を消去すると $1$ 本の方程式になった。空間で同じことをすると、次の事実が現れる。$\mathrm{P}=(1,t,t)$ から $t$ を消すと、残る条件は

$$x=1\text{かつ}y=z$$

方程式が $2$ 本出てきて、$1$ 本では足りない。

理由は次元の勘定だ。空間は $3$ 次元、方程式 $1$ 本は自由度を $1$ つ減らす。$x=1$ だけなら「$x$ 座標が $1$ の点全体」で、これは平面(2 次元)だ。$y=z$ も別の平面。直線($1$ 次元)まで絞るには、$3-1-1=1$ で $2$ 枚の平面の交わりとして表すしかない。

つまり空間の直線は「$2$ 枚の板の折り目」。$1$ 本の式で書ける平面の直線とは、ここが大きく違う。ベクトル方程式 $\vec{a}+t\vec{d}$ が空間で重宝されるのは、この「$2$ 本の連立」を $1$ 行で書き切れるからである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 球面とは「中心からの距離が半径に等しい点の集まり」。この日本語を式にしたのが

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$$

(左辺は距離の $2$ 乗で、円の方程式に $z$ の項が $1$ つ増えた形だ。)中心 $(1,2,3)$、半径 $5$ を入れて

$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$$

点が球面上かどうかは、座標を左辺に代入して $25$ になるかを見ればよい。$(1,2,8)$ では $0+0+25=25$ となり、球面上にある。

① 球面の方程式を書く。

$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$$

② 点を代入して調べる。 $(1,2,8)$ を左辺に。

$$(1-1{)}^2+(2-2{)}^2+(8-3{)}^2=0+0+25=25$$

左辺 $=25=r^2$ なので、点 $(1,2,8)$ は球面上にある。

まとめ:球面は円の空間版。$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$。点が球面上かは代入して左辺 $=r^2$ かで判定。$<r^2$ なら内部、$>r^2$ なら外部。円の方程式に $z$ の項が加わっただけだ。

発展。 ベクトルの言葉では球面は $|\vec{p}-\vec{c}|=r$ となる。円と全く同じ式で、次元の情報は式に現れない。「中心からの距離一定」という定義が次元を選ばないからだ($2$ 次元で円、$3$ 次元で球面、$4$ 次元なら超球面)。

展開した一般形 $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ から中心・半径を復元する(平方完成)、球面と平面の交わりが円になる、など円の単元の議論はほぼ全て球面にそのまま使える。「円で学んだことに $z$ を加えたもの」として整理すると、この分野の学習は速い。

別解

方程式に代入する代わりに、距離をそのまま測る方が意味が直接的だ。中心 $\mathrm{C}(1,2,3)$ から点 $(1,2,8)$ まで、$3$ 方向の移動量は $(0,0,5)$ で、$x,y$ は動かず、真上に $5$ だけ登った点だ。距離は

$$\sqrt{0^2+0^2+5^2}=5=r$$

半径ちょうどなので、球面上にある($(1,2,8)$ は球の「北極点」だ)。

「方程式に代入して $25$ になる」ことと「距離を測って $5$ になる」ことは、同じ検査の $2$ つの書き方($2$ 乗するかしないか)にすぎない。距離で見ると、判定の結果は次のように位置の言葉で読める。

• 距離 $<r$: 球の内部
• 距離 $=r$: 球面上
• 距離 $>r$: 球の外部

方程式の左辺の値($25$ との大小)が、そのまま内外の判定になる理由もここから分かる。「式 $=$ 距離の言い換え」という見方は、球と平面・球と直線の位置関係の問題で方針を決める手がかりになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $3$ 辺のベクトルを見ると $(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)$ で、互いに垂直で、各座標軸に沿っている。この平行六面体はただの直方体だ。

直方体の体積は縦 $\times$ 横 $\times$ 高さ

$$V=1\times 2\times 3=6$$

一般の(斜めの)平行六面体にはスカラー三重積 $|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|$ という道具があるが、直交する特別な場合は長さの積になる。まず配置を見て、簡単な形かどうか確かめるのが第一手である。

① $3$ 辺の関係を確かめる。 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ はそれぞれ $x,y,z$ 軸方向で、互いに垂直。

② 体積を計算する。 直交する $3$ 辺の平行六面体は直方体なので、体積 = 辺の長さの積。

$$V=|\vec{a}|\times |\vec{b}|\times |\vec{c}|=1\times 2\times 3=6$$

まとめ:$3$ 辺が直交する平行六面体は直方体で、体積 = 縦 × 横 × 高さ。一般の平行六面体は「スカラー三重積 $|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|$」で求まる。ここは軸方向なので単純に $1\times 2\times 3=6$。

発展。 一般の $3$ 本 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ ではスカラー三重積 $\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})$ が符号付き体積を与える($3$ 次の行列式と同じもの)。今回のような対角配置では行列式が対角成分の積 $1\cdot 2\cdot 3$ になる。直方体の体積公式は行列式の最も簡単な場合である。

さらに、同じ $3$ 辺から作る四面体の体積は平行六面体の $\frac{1}{6}$($V=1$)。$\frac{1}{2}$(底面が三角形)$\times \frac{1}{3}$(錐)の由来ごと覚えておくと、四面体の体積問題が平行六面体経由で解けるようになる。

別解

この体積を「単位立方体の引き伸ばし」として見ると、体積と倍率の関係が身につく。基本ベクトル $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$ の作る単位立方体(体積 $1$)から出発する。$3$ 辺を

• $x$ 方向に $1$ 倍($\vec{a}=1\overrightarrow{e_1}$)
• $y$ 方向に $2$ 倍($\vec{b}=2\overrightarrow{e_2}$)
• $z$ 方向に $3$ 倍($\vec{c}=3\overrightarrow{e_3}$)

と伸ばすと、体積は倍率の積で

$$V=1\times (1\cdot 2\cdot 3)=6$$

各方向に $k$ 倍すると、体積は $k$ 倍ずつ掛かる。相似比 $k$ の立体の体積が $k^3$ 倍になるのは、$3$ 方向とも同じ $k$ で伸ばした特別な場合だ。

この「変形で体積がどう変わるか」という見方は、一般の平行六面体(斜めに歪めても、底面 $\times$ 高さが保たれれば体積不変というカヴァリエリの原理)や、スカラー三重積が「$3$ 本のベクトルによる単位立方体の変形倍率」であることの理解につながる。体積は長さを $3$ 方向分掛けたものであり、次元の感覚そのものである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「内積の性質を用いて」とあるので、平面で練習した展開公式の空間版を使う。式の形はまったく同じ。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$$

部品を $3$ 成分で計算する。$|\vec{a}{|}^2=1+4+4=9$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=2+0+2=4$、$|\vec{b}{|}^2=4+0+1=5$。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+8+5=22$$

展開公式は次元を選ばない。それを実際に確かめる問題である。

① 各量を求める。 $|\vec{a}{|}^2=1+4+4=9$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 2+2\cdot 0+2\cdot 1=4$、$|\vec{b}{|}^2=4+0+1=5$。

② 展開公式に代入する。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+2\times 4+5=9+8+5=22$$

(確認:$\vec{a}+\vec{b}=(3,2,3)$、$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+4+9=22$。)

まとめ:$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ の展開公式は空間でも同じ。$3$ 成分で内積・大きさを計算するだけ。$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ のベクトル版。

発展。 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=22$ と $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2=14$ の差 $8=2\vec{a}\cdot \vec{b}$ に注目する。内積が正だから、$2$ 本は「鋭角をなす(同じ向き寄り)」で、和の長さが単純合算($\sqrt{9}+\sqrt{5}\approx 5.24$)より短いながら($\sqrt{22}\approx 4.69$)、三平方の $\sqrt{14}\approx 3.74$ よりは長い。$|\vec{a}+\vec{b}|$ は内積の符号次第で $||\vec{a}|-|\vec{b}||$ から $|\vec{a}|+|\vec{b}|$ まで動く。三角不等式の等号条件(平行)まで、この展開式 $1$ 本から読み取れる。

展開公式・余弦定理・三角不等式など、平面で学んだ関係は成分の個数を問わずすべて成立する。「ベクトルの代数は次元を忘れてよい」が空間ベクトル最大の福音である。

別解

成分が与えられているのだから、先に足してから測る直行ルートで検算できる。

$$\vec{a}+\vec{b}=(1+2,2+0,2+1)=(3,2,3)$$

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+4+9=22$$

展開公式と同じ答えになった。$2$ つの道が同じ場所に着くことが、公式の分配法則の数値による確認になっている。

おまけの観察をひとつ。$|\vec{a}{|}^2=9$ は $\vec{a}=(1,2,2)$ が長さ $3$ の整数ベクトルであることを言っている($1^2+2^2+2^2=3^2$)。$(1,2,2)$ や $(2,3,6)$(長さ $7$)のような「$3$ つの $2$ 乗和が平方数」になる組は、ピタゴラス数の $3$ 次元版として問題作りによく使われる。見かけたら暗算が速くなる。

成分ルートが使えるのに公式ルートが問われるのは、成分のない抽象問題($|\vec{a}|,|\vec{b}|,\vec{a}\cdot \vec{b}$ だけ与えられる型)への備え。両方の道を持ち、照合する。平面のときと同じ学び方がそのまま空間でも通用する。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 原点を通り法線 $\vec{n}$ の平面とは、「原点からの位置ベクトルが $\vec{n}$ と垂直な点の集まり」。式にすれば

$$\vec{n}\cdot \vec{p}=0$$

判定は内積 $1$ 回。$\vec{p}=(2,-1,0)$ で

$$\vec{n}\cdot \vec{p}=1\cdot 2+2\cdot (-1)+2\cdot 0=0$$

内積が $0$ なので、位置ベクトルが法線と垂直であり、点は平面上にある。

① 平面の方程式を書く。 $\vec{n}=(1,2,2)$ なので

$$\vec{n}\cdot \vec{p}=x+2y+2z=0$$

② 点を代入して調べる。 $(2,-1,0)$ を左辺に。

$$1\cdot 2+2\cdot (-1)+2\cdot 0=2-2+0=0$$

$0$ になるので、点 $(2,-1,0)$ は平面上にある。

まとめ:平面は「法線ベクトルに垂直な点の集まり」。原点を通るなら $\vec{n}\cdot \vec{p}=0$、成分で $n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z=0$。点を代入して $0$ なら平面上。法線の成分が平面の方程式の係数になる。

発展。 $\vec{n}\cdot \vec{p}=0$ を成分で書けば $x+2y+2z=0$ となる。平面の方程式は $1$ 次式で、係数がそのまま法線になる。数IIの直線 $ax+by+c=0$ の $(a,b)$ が法線だったのと同一の構造で、次元が $1$ つ上がっただけだ。

「$1$ 次方程式の係数 $=$ 法線」という対応は、平面どうしのなす角(法線のなす角)、平面と直線の交点、距離の公式など、空間図形の計量のほぼすべての基礎になる。ベクトル方程式 $\vec{n}\cdot \vec{p}=0$ と成分の $1$ 次式は、同じ平面の $2$ つの表記として自在に行き来できるようにしておきたい。

別解

内積 $\vec{n}\cdot \vec{p}$ の値そのものに、平面からの距離という意味がある。$0$ かどうかの判定を超えて読んでみる。法線方向の単位ベクトルは $\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$($|\vec{n}|=\sqrt{1+4+4}=3$)。任意の点 $\vec{p}$ に対して

$$\frac{\vec{n}\cdot \vec{p}}{|\vec{n}|}$$

は「$\vec{p}$ の法線方向成分」、つまり点が平面からどれだけ浮いているか(符号付きの距離)を表す。

• 今回の点: $\frac{0}{3}=0$ なので浮きはゼロで、平面にぴったり乗っている
• たとえば $(1,1,1)$ なら: $\frac{1+2+2}{3}=\frac{5}{3}$ で、法線の向きに $\frac{5}{3}$ だけ浮いている

「平面上にあるか」の判定式は、距離の式の値が $0$ の場合だった。この読みができると、点と平面の距離の公式 $\frac{|\vec{n}\cdot \vec{p}+d|}{|\vec{n}|}$ が丸暗記でなく「法線方向の成分を測っているだけ」と分かる。数IIの点と直線の距離と、まったく同じ構造である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $3$ 点が一直線上にある条件は、共通の点から見た $2$ 本のベクトルが平行であること。

$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{となる実数}t\text{がある}$$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,1,1)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,2,2)$ を計算すると

$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$

$t=2$ で成立する。$\mathrm{C}$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ 方向へ $2$ 倍進んだ点で、$3$ 点は一直線上にある。空間では「たすき掛け $=0$」の平面用判定式がないので、実数倍の形で示すのが標準だ。

① $2$ つのベクトルを求める。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,1,1),\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,2,2)$$

② 実数倍の関係を確かめる。

$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,2,2)=2(1,1,1)=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ が $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の実数倍なので、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}//\overrightarrow{\mathrm{AC}}$。$\mathrm{A}$ を共有するので $3$ 点は一直線上にある。

まとめ:$3$ 点が一直線上にあるかは「共通の点から引いた $2$ ベクトルが平行($=$ 実数倍)」で調べる。$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ なら、$\mathrm{C}$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ 方向に $2$ 倍進んだ点で、一直線上だ。

発展。 共線条件の兄貴分が共面条件(4 点が同一平面上): $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ と $2$ 本で張れること。「$1$ 本で書ければ直線上、$2$ 本で書ければ平面上」であり、張るのに必要な本数が図形の次元を表している。

原点から見た書き方 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$(係数の和が $1$)も同値な共線条件で、位置ベクトルの応用問題(交点の決定)でよく使う。今回の $t=2$ は $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ で、係数 $-1+2=1$ が確かに成り立っている。

別解

$3$ 点の座標をそのまま見ると、等間隔の関係が分かる。

$$\mathrm{A}(0,0,0),\mathrm{B}(1,1,1),\mathrm{C}(2,2,2)$$

各成分が $0,1,2$ と等差で並ぶので、$\mathrm{B}$ は $\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ のちょうど中点だ。実際

$$\frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}}{2}=\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(1,1,1)=\mathrm{B}$$

「$\mathrm{B}$ が線分 $\mathrm{AC}$ の中点(内分点)」なら、$\mathrm{B}$ は当然 $\mathrm{AC}$ 上にあり、$3$ 点は一直線上にある。

実数倍(本解)と分点(この別解)は、同じ事実の $2$ つの言い方だ。「$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$」を分点の言葉で言い換えると「$\mathrm{B}$ は $\mathrm{AC}$ を $1:1$ に内分する」となる。一般に $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の $t$ の値から、$3$ 点の並び順($0<t$ の内外、$t$ と $1$ の大小)まで分かる。共線の証明では $t$ を求めた後に「どの点が間にあるか」まで一言添えると、図の理解が伝わる答案になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 条件は $3$ つあり、$\vec{a}$ に垂直、$z$ 成分が $0$、長さ $1$ である。

$z=0$ の条件から、探すベクトルは $(x,y,0)$ の形になる。実質 $xy$ 平面の中の $2$ 次元の問題に落ちる。$\vec{a}=(1,1,0)$ も $xy$ 平面内だから、平面で鍛えた技がそのまま使える: $(1,1)$ に垂直なのは成分を入れ替えて符号反転した $(1,-1)$。長さ $\sqrt{2}$ で割って

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\text{と、その逆向き}$$

① 条件を書く。 求めるベクトルを $(x,y,0)$($z=0$)とする。$\vec{a}$ と垂直:$\vec{a}\cdot (x,y,0)=x+y=0$。よって $y=-x$。

② 垂直なベクトルを作る。 $x=1$ とすると $(1,-1,0)$。確認:$\vec{a}\cdot (1,-1,0)=1-1+0=0$。

③ 単位ベクトルにする。 $|(1,-1,0)|=\sqrt{2}$ で割る。

$$(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0),(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)$$

まとめ:「垂直 + 条件($z=0$)」は内積 $=0$ と条件を連立。$z=0$ なので実質 $xy$ 平面の問題になり、$(1,1)$ に垂直な $(1,-1)$ を作る。大きさで割り、反対向きも答え。

発展。 $\vec{a}=(1,1,0)$ に垂直なベクトル全体(自由度 $2$ の平面)から、今回の答えのほかに $z$ 軸方向 $(0,0,1)$ も見つかる。実は答えの $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ と $(0,0,1)$ の $2$ 本が、その垂直平面を張る物差し(正規直交基底)になっている。$\vec{a}$ と合わせた $3$ 本で、空間の傾いた座標系ができる。

「条件 $1$ つで自由度 $-1$」の勘定は、方程式の本数と図形の次元の関係(直線 $=$ 平面 $2$ 枚)と同じもの。ベクトルの問題でも図形の問題でも、まず自由度を数えると解の個数の見通しが立つ。

別解

なぜ答えが $2$ 本しかないのかを、自由度の勘定で見渡してみる。空間のベクトルの自由度は $3$($x,y,z$ を選べる)。条件を $1$ つ課すごとに自由度は $1$ ずつ減る。

• 「$\vec{a}$ に垂直」($\vec{a}\cdot \vec{u}=0$): 自由度 $3\to 2$ で、垂直なベクトルは平面 $1$ 枚分ある
• 「$z=0$」: $2\to 1$ で、向きが $1$ 本の直線方向に絞られる
• 「長さ $1$」: $1\to 0$ で、その直線上で $\pm$ の $2$ 点だけが残る

$3$ 条件で自由度を使い切り、答えは有限個($\pm$ の $2$ 本)になる。勘定と結果が合う。

もし「$z=0$」の条件がなかったら?自由度が $1$ 残り、答えは単位円 $1$ 周分($\vec{a}$ に垂直な平面内の全方向)で、無数にある。空間で「垂直な単位ベクトルを求めよ」と言われたら条件の数を数える。答えが $2$ 本か、円周分かは問題の設定から先に分かる。