空間ベクトル ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 一次独立な $3$ ベクトルによる分解は、成分ごとの連立方程式に帰着する。

$z$ 成分から始めると $u$ が即決まる。続いて $y$ 成分で $t$、$x$ 成分で $s$ と、芋づる式に解ける。「上三角の連立は、決まる成分から順に解く」という効率化の発想だ。

① 成分で書く。

$$s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}=(s+t+u,t+u,u)$$

② $\vec{d}=(3,2,1)$ と成分比較する。

$$\{\begin{array}{l}s+t+u=3\\ t+u=2\\ u=1\end{array}$$

③ 下から順に解く。 $u=1$。$t+u=2$ から $t=1$。$s+t+u=3$ から $s=1$。

$$\vec{d}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$$

まとめ:一次独立な $3$ ベクトルなら、空間のどんなベクトルも一意に分解できる。この $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は「階段状」なので、$z$ 成分($u$)から $y$、$x$ と順に決まる。上三角の連立で解きやすい形だ。

発展。 この $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ が「どんな $\vec{d}$ でも一意に分解できる」のは、$3$ 本が一次独立だから。空間の座標系(基底)として使える、ということだ。

一次独立かどうかは、$3$ 本を並べた行列の行列式が $0$ でないかで判定できる。ここは $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ を並べると右下がりの三角形の形になり、行列式は対角成分の積 $1\times 1\times 1=1\ne 0$。だから確かに基底になっている。

分解の係数 $(s,t,u)$ は、$\vec{d}$ を新しい座標系で読んだ「座標」にあたる。基底をうまく選ぶと、この問題のように連立が階段状になり、上から順・下から順に一息で解ける。基底の取り替えは見やすい座標へ問題を移す操作だ。

別解

別解:差でできる基本ベクトルに読み替える(得意な人向けの視点)。 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の差をとると、見慣れた基本ベクトルが現れる。

$$\vec{a}=(1,0,0),\vec{b}-\vec{a}=(0,1,0),\vec{c}-\vec{b}=(0,0,1).$$

つまり $\vec{a}$、$\vec{b}-\vec{a}$、$\vec{c}-\vec{b}$ は $x,y,z$ 軸方向の単位ベクトルそのもの。だから $\vec{d}=(3,2,1)$ は、この $3$ 本で $3\vec{a}+2(\vec{b}-\vec{a})+1(\vec{c}-\vec{b})$ とすぐ書ける。これを $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ について整理する。

$$3\vec{a}+2(\vec{b}-\vec{a})+(\vec{c}-\vec{b})=(3-2)\vec{a}+(2-1)\vec{b}+\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}.$$

連立を下から順に解く本解と同じ $s=t=u=1$。$\vec{d}$ の成分 $(3,2,1)$ が、そのまま「差の基本ベクトル」で見たときの座標になっている、というしくみだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $|\vec{a}+t\vec{b}|$ そのものは、根号がついていて扱いにくい。そこで $2$ 乗した $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ を考える。

これは $t$ の $2$ 次関数になる。平方完成で最小値を出し、最後に平方根をとればよい。「大きさの最小は、$2$ 乗の最小を求めてから平方根」という流れは、平面ベクトルのときと同じ。空間でも変わらない。

① 各量を求める。 $|\vec{b}{|}^2=1+1+0=2$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 1+2\cdot 0=3$、$|\vec{a}{|}^2=4+1+4=9$。

② $t$ の $2$ 次関数にする。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=2t^2+2\cdot 3\cdot t+9=2t^2+6t+9$$

③ 平方完成する。

$$2t^2+6t+9=2(t+\frac{3}{2}{)}^2+9-\frac{9}{2}=2(t+\frac{3}{2}{)}^2+\frac{9}{2}$$

最小値 $\frac{9}{2}$($t=-\frac{3}{2}$ のとき)。

④ 平方根をとる。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}_{\min }=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

まとめ:大きさの最小は「$2$ 乗の最小 → 平方根」。$|{|}^2$ が $t$ の $2$ 次関数になるので平方完成。最小値 $\frac{9}{2}$ のルートを有理化して $\frac{3\sqrt{2}}{2}$。これは点 $-\vec{a}$ の終点から直線 $t\vec{b}$ への最短距離だ。

発展。 $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{b}{|}^2{t}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b})t+|\vec{a}{|}^2$ は、$t$ のどんな値でも $0$ 以上。長さの $2$ 乗だから当然だ。

「$t$ の $2$ 次式がつねに $0$ 以上」ということは、判別式が $0$ 以下ということ。式で書くと $(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2\le |\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2$、すなわち $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$。これはコーシー・シュワルツの不等式そのものだ。

しかも最小値 $|\vec{a}{|}^2-\frac{(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}{|\vec{b}{|}^2}$ が $0$ になるのは $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行なとき。最小の長さがちょうど $0$、つまり直線が原点を通る場合にあたる。$1$ つの $2$ 次関数の中に、不等式と幾何が同居している。

別解

別解:垂線の足として幾何的に見る(得意な人向けの視点)。 $\vec{a}+t\vec{b}$ は始点 $\vec{a}$ から向き $\vec{b}$ に伸びる直線上の点。その原点からの距離 $|\vec{a}+t\vec{b}|$ が最小になるのは、この直線へ原点から垂線をおろした足のときだ。

垂線の足では、$\vec{a}+t\vec{b}$ が方向 $\vec{b}$ と垂直になる。内積 $=0$ から

$$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=3+2t=0⟹t=-\frac{3}{2}.$$

このとき $\vec{a}$ を「$\vec{b}$ 方向の成分」と「$\vec{b}$ に垂直な成分」に分けると、最小の長さは垂直成分の長さ。三平方の定理から

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}_{\min }^2=|\vec{a}{|}^2-\frac{(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}{|\vec{b}{|}^2}=9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}.$$

平方根をとって $\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。平方完成する本解と同じ答え。$2$ 次関数の最小が、じつは「点から直線への最短距離」だと見えると、$t=-\frac{3}{2}$ の意味もはっきりする。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平面は、原点を通り法線 $\vec{n}$ に垂直な「かべ」。点 $\mathrm{P}$ からの距離は、$\mathrm{P}$ が $\vec{n}$ の向きにどれだけ離れているかで決まる。

つまり距離は $\overrightarrow{OP}$ を法線 $\vec{n}$ の向きに射影した長さ $\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{OP}|}{|\vec{n}|}$ だ。「距離=法線方向への射影の長さ」という、内積(射影)を使った発想が核になる。

① まず、距離とは何かを絵で考える。 平面は原点 $\mathrm{O}$ を通り、法線 $\vec{n}$ に垂直な「かべ」。点 $\mathrm{P}$ からこのかべまでの距離は、$\mathrm{P}$ が $\vec{n}$ の向きにどれだけ離れているか、つまり $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\vec{n}$ の向きへ射影した長さだ。

② その「射影の長さ」を、内積で取り出す。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\vec{n}$ のなす角を $\theta$ とすると、射影の長さは $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\cos \theta$。一方、内積は $\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=|\vec{n}||\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\cos \theta$。見比べると、内積は「射影の長さ」を $|\vec{n}|$ 倍したものだと分かる。だから内積を $|\vec{n}|$ で割れば、射影の長さ＝求める距離になる。

$$\text{距離}=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\vec{n}|}(\text{絶対値は、}\mathrm{P}\text{ が平面のどちら側でも距離は正だから})$$

③ では内積を計算する。 内積は成分どうしをかけて足すだけ。$\vec{n}=(1,2,2)$、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1,2,3)$ だから

$$\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=1\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 3=1+4+6=11$$

④ $|\vec{n}|$ で割る。 法線の大きさは $|\vec{n}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$。よって

$$\text{距離}=\frac{|11|}{3}=\frac{11}{3}$$

まとめ:点と平面の距離は「$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を法線 $\vec{n}$ の向きに射影した長さ」。内積 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$ はその長さを $|\vec{n}|$ 倍した値なので、$|\vec{n}|$ で割れば距離になる、という仕組みだ。これは平面 $x+2y+2z=0$ と点 $(1,2,3)$ の距離公式 $\frac{|1+4+6|}{\sqrt{1+4+4}}$ と全く同じ計算になっている。

発展。 距離の公式で絶対値を外した $\vec{n}\cdot \overrightarrow{OP}$(この問題では $11$)は、符号まで含めて意味を持つ。正なら $\mathrm{P}$ は法線 $\vec{n}$ が向く側、負なら反対側、$0$ なら平面の上だ。

だから $1$ つの平面は空間を $\vec{n}\cdot \overrightarrow{OP}>0$ の側と $<0$ の側の $2$ つの半空間に切り分ける。いまは $\vec{n}\cdot \overrightarrow{OP}=11>0$ だから、$\mathrm{P}$ は法線の向く側にいると分かる。

「絶対値をとる前の値」は、距離だけでなく向き(どちら側か)も運んでいる。この符号つきの見方は不等式の表す領域を調べるときや、線形計画法で空間を半空間へ分けるときに役に立つ。

別解

別解:平行な平面のものさしで測る(苦手な人向けの視覚ルート)。 $x+2y+2z$ の値を $k$ とすると、$k$ を変えるごとに $x+2y+2z=k$ という平面が、もとの平面 $x+2y+2z=0$ と平行に並ぶ。等間隔にずれた「ものさしの目盛り」だ。

目盛り $k$ が $1$ 増えるごとに、平面は法線方向へ $\frac{1}{|\vec{n}|}=\frac{1}{3}$ ずつ進む。法線 $\vec{n}=(1,2,2)$ の大きさが $3$ だからだ。点 $\mathrm{P}(1,2,3)$ を代入すると $x+2y+2z=1+4+6=11$。$\mathrm{P}$ は目盛り $k=11$ の平面の上にいる。求める平面は $k=0$ の目盛り。

$$\text{距離}=11\times \frac{1}{3}=\frac{11}{3}.$$

目盛り $11$ 個ぶんで、$1$ 目盛りが $\frac{1}{3}$ になる。射影で求める本解と同じ。平行な平面を「等間隔のものさし」と見ると、代入した値そのものが目盛りの番号になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 四面体の体積は、同じ $3$ 辺が作る平行六面体の $\frac{1}{6}$。式で書くと $\frac{1}{6}|\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC})|$ だ。

「四面体は平行六面体の $6$ 分の $1$」という関係が要になる。スカラー三重積で平行六面体の体積を出し、$\frac{1}{6}$ すればよい。ここは $3$ 辺が直交するので計算はさらに楽になる、と見通す。

① $3$ 辺を確かめる。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,0,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(0,2,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(0,0,3)$ は互いに直交($x,y,z$ 軸方向)。

② 平行六面体の体積を求める。 直交する $3$ 辺の平行六面体は直方体。

$$V_{\text{平行六面体}}=1\times 2\times 3=6$$

③ $\frac{1}{6}$ にする。 四面体は平行六面体の $\frac{1}{6}$。

$$V_{\text{四面体}}=\frac{1}{6}\times 6=1$$

まとめ:四面体(三角錐)の体積は同じ $3$ 辺で作る平行六面体の $\frac{1}{6}$。ここは $3$ 辺が直交する直方体なので、体積 $6$ の $\frac{1}{6}$ で $1$。底面積 × 高さ × $\frac{1}{3}$ でも $\frac{1}{3}\cdot \frac{1\cdot 2}{2}\cdot 3=1$ と一致する。

発展。 四面体が平行六面体の $\frac{1}{6}$ になる「$\frac{1}{6}$」は、じつは $\frac{1}{3!}$。この分数は次元ごとに規則正しく変わる。

平面では、三角形は平行四辺形の $\frac{1}{2}=\frac{1}{2!}$。空間では、四面体は平行六面体の $\frac{1}{6}=\frac{1}{3!}$。$n$ 次元へ上げると、いちばん単純な立体は $n$ 本のベクトルが作る箱の $\frac{1}{n!}$ になる。

$\frac{1}{6}$ は $2$ つの分数の積である。底面の三角形が平行四辺形の $\frac{1}{2}$、その三角錐が柱の $\frac{1}{3}$。$\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。「三角形の半分」と「錐の $\frac{1}{3}$」がかけ合わさっている、と見ると腑に落ちる。

別解

別解:斜めの面 ABC を底面にとる(得意な人向けの視点)。 底面を直角三角形 $\mathrm{OAB}$ でなく、斜めの面 $△\mathrm{ABC}$ にとっても、同じ体積が出る。

$△\mathrm{ABC}$ の面積は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1,2,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,0,3)$ の外積の大きさの半分。外積は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(6,3,2)$ で、大きさ $\sqrt{36+9+4}=7$。だから面積は $\frac{7}{2}$。

高さは頂点 $\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ までの距離。平面は $6x+3y+2z=6$ だから、$\mathrm{O}(0,0,0)$ との距離は $\frac{|-6|}{\sqrt{36+9+4}}=\frac{6}{7}$。体積は錐の公式で

$$V=\frac{1}{3}\times \frac{7}{2}\times \frac{6}{7}=1.$$

$3$ 辺が直交する箱から $\frac{1}{6}$ を取る本解と同じ。どの面を底にしても体積は変わらない、という当たり前が、計算でも確かめられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) なす角は $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ で求まる。

この問題は $|\vec{a}|=|\vec{b}|=3$ で、$2$ つの大きさがそろっている。すると分母が $3\times 3$ ときれいになる。「大きさが等しいと分母が簡単」という見通しを立ててから代入する。

① 内積と大きさを求める。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 2+2\cdot 2+2\cdot 1=2+4+2=8$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=3,|\vec{b}|=\sqrt{4+4+1}=3$$

② $\cos \theta$ を計算する。

$$\cos \theta =\frac{8}{3\times 3}=\frac{8}{9}$$

まとめ:$|\vec{a}|=|\vec{b}|=3$ と大きさがきれいなので、$\cos \theta =\frac{8}{9}$ とすっきり出る。$\frac{8}{9}$ は特別な角ではないので、$\cos \theta$ の値のまま答える(角そのものは求めない)。

発展。 $\cos \theta =\frac{8}{9}$ には、射影の意味を読み取れる。$\vec{b}$ を「$\vec{a}$ に平行な成分」と「$\vec{a}$ に垂直な成分」に分けると、平行な成分の長さは $|\vec{b}|\cos \theta$ だ。

いまは $|\vec{a}|=|\vec{b}|=3$ なので、平行な成分は $3\cdot \frac{8}{9}=\frac{8}{3}$。$\cos \theta$ そのものが「$\vec{b}$ のうち $\vec{a}$ の向きにそろっている割合」になっている。

垂直な成分の長さは $|\vec{b}|\sin \theta =3\cdot \frac{\sqrt{17}}{9}=\frac{\sqrt{17}}{3}$($\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ から)。平行成分 $\frac{8}{3}$ と垂直成分 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ を三平方で合わせると $\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{17}{9}}=\sqrt{9}=3=|\vec{b}|$ に確かに戻る。$\cos \theta$ は $\vec{b}$ を平行方向と垂直方向へ分ける「分け前」を決めている。

別解

別解:二等辺三角形の半分の角から出す(得意な人向けの視点)。 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=3$ に注目する。原点 $\mathrm{O}$ と $\vec{a},\vec{b}$ の終点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ が作る三角形 $\mathrm{OAB}$ は、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=3$ の二等辺三角形だ。

底辺 $\mathrm{AB}$ の長さは $|\vec{a}-\vec{b}|$。$\vec{a}-\vec{b}=(-1,0,1)$ だから $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$。二等辺三角形は頂点 $\mathrm{O}$ から底辺へおろした垂線で左右対称に割れる。この直角三角形から

$$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{\mathrm{AB}/2}{\mathrm{OA}}=\frac{\sqrt{2}/2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}.$$

$2$ 倍角の公式 $\cos \theta =1-2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$ に入れて

$$\cos \theta =1-2{\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)}^2=1-2\cdot \frac{2}{36}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.$$

内積と大きさから出す本解と同じ $\frac{8}{9}$。$2$ 辺が等しいときは、底辺の長さだけで半分の角が分かり、$2$ 倍角ですぐに $\cos \theta$ が出る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 球面と直線の交点は、直線の点を球面の式に代入して求める。

$x$ 軸上の点は $(t,0,0)$。これを球面 $x^2+y^2+z^2=9$ に入れると $t^2=9$、つまり $t=\pm 3$ が出る。「図形の交わりを、パラメータの方程式に直して解く」という発想だ。

① 球面の方程式を書く。 原点中心・半径 $3$。

$$x^2+y^2+z^2=9$$

② 直線の点を代入する。 $x$ 軸上の点は $(t,0,0)$。

$$t^2+0+0=9\Rightarrow t^2=9\Rightarrow t=\pm 3$$

③ 交点を書く。

$$(3,0,0),(-3,0,0)$$

まとめ:球面と直線の交点は「直線の媒介変数表示を球面の式に代入」。$t$ の方程式が出て、その解の個数が交点の個数($2$ 個・$1$ 個(接する)・$0$ 個)。ここは $x$ 軸なので $t=\pm 3$、球が $x$ 軸を貫く $2$ 点だ。

発展。 直線を球面の式に代入すると、$t$ の $2$ 次方程式ができる。その解の個数が交点の個数だ。$2$ 個なら貫き、$1$ 個(重解)なら接し、$0$ 個ならすれ違う。

どれになるかは中心から直線までの距離 $d$ と半径 $r$ の大小で決まる。$d<r$ なら $2$ 点、$d=r$ なら接する、$d>r$ なら交わらない。平面での「円と直線」とまったく同じ判定になっている。

このとき球面が切り取る弦の長さは $2\sqrt{r^2-d^2}$。いまは $x$ 軸が中心を通るので $d=0$、弦は $2\sqrt{r^2}=2r=6$、つまり直径そのもの。$d$ が $0$ から $r$ に近づくほど、弦は直径から $0$ へ縮んでいく。

別解

別解:中心を通る直線だと見る(苦手な人向けの視覚ルート)。 $x$ 軸は原点 $\mathrm{O}$ を通る。球面の中心も原点。つまり $x$ 軸は球の中心を貫く直線だ。

中心を通る直線は球面を「直径の両端」で切る。両端は中心から半径 $3$ だけ左右に離れた $2$ 点になる。$x$ 軸の向きは $(1,0,0)$ だから、中心 $\mathrm{O}$ から $\pm 3$ だけ進んだ点が交点。

$$\mathrm{O}\pm 3(1,0,0)=(3,0,0),(-3,0,0).$$

方程式に代入して $t^2=9$ を解く本解と同じ。中心を通る直線なら、計算しなくても「中心 $\pm$ 半径 $\times$ 向き」で両端がすぐ書ける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ の定める平面上にあるのは、$\overrightarrow{OP}$ が $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の $2$ 本で表せるとき。

つまり $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ とおけるかどうか。成分を比べて $s,t$ が存在するか調べる。「同一平面 = $2$ ベクトルの $1$ 次結合で表せる」という言いかえが核だ。

① $1$ 次結合とおく。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$。

$$(2,3,0)=s(1,0,0)+t(0,1,0)=(s,t,0)$$

② 成分を比べる。 $x$ 成分 $s=2$、$y$ 成分 $t=3$、$z$ 成分 $0=0$(一致)。

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$

と表せるので、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ の定める平面上にある($4$ 点は同一平面上)。

まとめ:点が「$3$ 点の定める平面上」にあるかは、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ が $2$ つの辺ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の $1$ 次結合で表せるかで判定。$z$ 成分がすべて $0$ なので、この $4$ 点は $xy$ 平面上にあると一目で分かる。

発展。 今回は基準点を $\mathrm{O}$ にとったので、$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$ と、係数 $(2,3)$ の $2$ 本で表せた。この $(2,3)$ は $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ を目盛りにした「平面内での座標」だ。

基準点が原点でない一般の $4$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ では、条件はもう少し対称になる。$\mathrm{D}$ が $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ の平面上にあるのは、$\mathrm{D}=\alpha \mathrm{A}+\beta \mathrm{B}+\gamma \mathrm{C}$ かつ $\alpha +\beta +\gamma =1$ と書けるとき。

係数の和が $1$ という縛りが、「同じ平面に乗る」ことを表している。これはアフィン結合と呼ばれ、三角形の内部を重み付き平均で指す重心座標にもつながる。$1$ 点を基準にとる見方と、$3$ 点を対等に扱う見方は、この和 $=1$ の条件でつながっている。

別解

別解:$3$ 点を通る平面の方程式を先に決める(得意な人向けの視点)。 $1$ 次結合を作るかわりに、$\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ を通る平面の方程式を求めて、$\mathrm{P}$ がそれを満たすかを見る。

平面を $ax+by+cz=d$ とおく。$3$ 点を代入すると

• $\mathrm{O}(0,0,0)$:$d=0$。
• $\mathrm{A}(1,0,0)$:$a=0$。
• $\mathrm{B}(0,1,0)$:$b=0$。

残るのは $cz=0$、つまり平面 $z=0$($c\ne 0$ で割った)。$\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ の定める平面は $xy$ 平面そのものだ。$\mathrm{P}(2,3,0)$ は $z=0$ を満たすので、この平面の上にある。よって $4$ 点は同一平面上にある。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の $1$ 次結合で表す本解と同じ結論。「平面の方程式を先に立てて、残りの点を代入する」やり方は、点が $5$ 個・$6$ 個に増えても手間が変わらないのが強みだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ ベクトルが張る平行四辺形の面積は、外積の大きさ $|\vec{a}\times \vec{b}|$ で出せる。

外積を組み立てなくても、$\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ という形でも同じ面積が出る。「面積へは $2$ 本の道がある」と構えて、計算しやすい方を選べばよい。

① 外積を求める。 $\vec{a}\times \vec{b}$ の成分は

$$\vec{a}\times \vec{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)=(0,0,2\cdot 3-0)=(0,0,6)$$

② 大きさ(= 面積)を求める。

$$|\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{0+0+36}=6$$

(別解:$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$(垂直)なので面積 $=|\vec{a}||\vec{b}|=2\times 3=6$。)

まとめ:空間の平行四辺形の面積は「外積の大きさ $|\vec{a}\times \vec{b}|$」。外積は $2$ ベクトルに垂直で、大きさが平行四辺形の面積になるベクトル。$\vec{a}\perp \vec{b}$ なら単純に $|\vec{a}||\vec{b}|$ でも同じ。三角形ならこの半分だ。

発展。 平行四辺形の面積は $|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ とも書ける($\theta$ は $2$ 辺のなす角)。内積が $\cos \theta$ を、外積が $\sin \theta$ を取り出している、と見るとよい。

辺の長さ $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3$ を固定したまま角 $\theta$ だけ変えると、面積は $\sin \theta$ に比例する。$\theta =90°$ で $\sin \theta =1$ となり、面積は最大の $2\times 3=6$。いまはちょうど直角なので、この最大値を取っている。

逆に $2$ 辺が平行($\theta =0°$)へ近づくと $\sin \theta \to 0$ で、平行四辺形はぺしゃんこにつぶれ、面積は $0$ になる。同じ長さの $2$ 辺でも、直角のときいちばん広く、平行に近いほど狭い。面積は「開き具合」$\sin \theta$ が握っている。

別解

別解:図形として見て長方形の面積で出す(苦手な人向けの視覚ルート)。 公式に入れる前に、$2$ つのベクトルがどんな図形を張るかを見る。

$\vec{a}=(2,0,0)$ は $x$ 軸方向に長さ $2$、$\vec{b}=(0,3,0)$ は $y$ 軸方向に長さ $3$ の矢印だ。内積は $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 0+0\cdot 3+0\cdot 0=0$。つまり $2$ 辺は垂直に交わる。垂直な $2$ 辺が張る平行四辺形は、ただの長方形。面積は縦 $\times$ 横で

$$2\times 3=6.$$

外積 $(0,0,6)$ の大きさで出す本解と同じ $6$。成分に $0$ が並ぶベクトルは軸に沿った矢印なので、まず絵にすると、公式を使うまでもなく図形の面積として読めることがある。斜めに交わる一般の場合は本解の外積(または $|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$)に戻ればよい。