空間ベクトル ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平面のときと、公式はほとんど同じだ。

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

成分が $1$ つ増えただけ。

$$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

答えは $3$。きれいな整数だ。

この式がなぜ成り立つのか。平面では三平方の定理($1$ 回)だった。

空間では三平方の定理を $2$ 回使う。

$1$ 回目: 底面($xy$ 平面)での対角線。$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

$2$ 回目: その対角線と、高さ $2$ で作る直角三角形。$\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2+2^2}=3$

「三平方を $2$ 回」使えば、$3$ 次元の距離が出る。そして、この構造は $4$ 次元でも、$100$ 次元でも同じように続いていく。

$3$ 成分の $2$ 乗の和の平方根。

$$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

まとめ:空間ベクトルの大きさは平面の公式に $z$ 成分を足すだけ。$\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$。$(1,2,2)$ は大きさ $3$($1$-$2$-$2$-$3$ の関係)。空間版の三平方の定理だ。

発展。 $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ という式は、$3$ 次元に限らない。

$n$ 次元の距離。

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}$$

この式は、次元がいくつでも意味をもつ。高次元では、直感と違う現象が起きる。単位立方体の対角線を考えよう。

$1$ 辺の長さが $1$ の立方体、その対角線の長さは?

$2$ 次元(正方形): $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx 1.41$

$3$ 次元(立方体): $\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\approx 1.73$

$4$ 次元: $\sqrt{4}=2$

$100$ 次元: $\sqrt{100}=10$

$10000$ 次元: $\sqrt{10000}=100$

辺の長さは $1$ のままなのに、対角線は $\sqrt{n}$ でどんどん伸びていく。

$10000$ 次元の単位立方体では $1$ 辺 $1$ なのに、対角線は $100$。「箱の中に、辺の $100$ 倍の長さの棒が入る」

直感が完全に破綻する。

もう1つ、意外な話がある。

$n$ 次元の単位球(半径 $1$ の球)の体積は、$n$ が大きくなるとどうなるか。「次元が増えるほど、球は大きくなる」と思うだろうか。

逆だ。

$$V_2=\pi \approx 3.14$$ $$V_3=\frac{4}{3}\pi \approx 4.19$$ $$V_5\approx 5.26(\text{最大})$$ $$V_{10}\approx 2.55$$ $$V_{20}\approx 0.026$$ $$V_{100}\approx 10^{-40}$$

$5$ 次元でピークを迎え、その後は $0$ に向かって減っていく。$100$ 次元の単位球の体積はほとんどゼロ。

なぜか。

高次元では、球の体積のほとんどが「表面近く」に集中してしまうからだ。高次元の球は「中身がスカスカで、皮だけの球」になっている。この事実は機械学習で深刻な問題を引き起こす。

高次元のデータ空間では、「近い」という概念が意味を失う。すべてのデータ点が互いにほぼ同じ距離にあり、球の「表面」に張りついている。次元の呪いと呼ばれる現象だ。

$|(1,2,2)|=3$ という、素朴な計算。その式をそのまま高次元へ持っていくと、直感が通用しない結果が出てくる。式どおりに計算すると、直感と違う結論が出ることがある。

別解

直方体の対角線として、目で見て納得する。$\vec{a}=(1,2,2)$ を、直方体の対角線と見よう。

縦 $1$、横 $2$、高さ $2$ の箱を考える。 原点から、対角の頂点 $(1,2,2)$ へ引いた線。それが $\vec{a}$ だ。

この対角線の長さを、$2$ 段階で求める。第 $1$ 段階: 床の対角線。箱の底面($xy$ 平面上)は、縦 $1$、横 $2$ の長方形。

その対角線は、三平方の定理より

$$\ell =\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$

第 $2$ 段階: 立体の対角線。いま求めた床の対角線($\sqrt{5}$)と、高さ($2$)は、垂直だ。

この $2$ つを $2$ 辺とする直角三角形を考える。 斜辺が求める対角線。

$$|\vec{a}|=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2+2^2}=\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3$$

本解と同じ

三平方の定理を $2$ 回使った。

そして、$1$ 回目の結果 $\sqrt{5}$ を $2$ 乗すると、$5$ に戻る($1^2+2^2$)。だから、結局こう書ける。

$$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}$$

公式の $3$ つの $2$ 乗和は「三平方を $2$ 回使った」ことを表している。この構造は次元を上げても続く。$4$ 次元なら、三平方を $3$ 回。

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2}$$

$n$ 次元なら、$n-1$ 回。「新しい次元を足すたびに、$2$ 乗を $1$ つ足す」この単純な規則で、どんな高次元でも距離が測れる。

さて、答えが $3$ という整数になったのは、幸運だ。空間版のピタゴラス数は平面ほど有名ではないが、確かに存在する。

$$1^2+2^2+2^2=3^2(1+4+4=9)$$ $$2^2+3^2+6^2=7^2(4+9+36=49)$$ $$1^2+4^2+8^2=9^2(1+16+64=81)$$

$(1,2,2)$ と $(2,3,6)$ は、覚えておくと計算が楽になる。問題を作る人はたいていこの組み合わせを使う。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 空間ベクトルの和も、成分ごとに足すだけだ。

$$\vec{a}+\vec{b}=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9)$$

$x$ 成分どうし、$y$ 成分どうし、$z$ 成分どうし。

$3$ つの方向は互いに独立している。 縦にどれだけ動いても、横の位置は変わらない。

平面のときと、まったく同じ考え方だ。 成分が $1$ つ増えただけ。図で見れば、$\vec{a}$ の終点に $\vec{b}$ を継ぎ足したもの。

空間でも、この「継ぎ足し」は変わらない。 ただ、その矢印が奥行き方向にも伸びる、というだけだ。空間ベクトルの計算では、「平面でできたことは、そのまま空間でもできる」と知っておくことが大事である。

恐れる必要はない。 成分が $1$ つ増えたぶん、書く手間が増えるだけだ。

$$\vec{a}+\vec{b}=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9)$$

まとめ:空間でも和は成分ごとに足すだけ。$3$ 成分になっても計算は同じ。実数倍・差も成分ごと。平面ベクトルの自然な拡張だ。

発展。 「次元 $=$ 基底の本数」という定義は、思わぬところで役に立つ。

色の話をしよう。

人間の目には、$3$ 種類の錐体細胞がある(赤・緑・青に反応する)。だから、人が知覚する色は、$3$ 次元のベクトルとして表せる。

$$\text{色}=R\overrightarrow{e_R}+G\overrightarrow{e_G}+B\overrightarrow{e_B}$$

「光の三原色」はこのことを使っている。テレビもスマホも赤・緑・青の $3$ つの光だけで、あらゆる色を作り出している。

なぜ $3$ つで足りるのか。 人間の色覚が $3$ 次元だからだ。もし人間に $4$ 種類目の錐体があれば、$3$ 原色では足りなかった。

(実際、鳥や一部の昆虫は $4$ 色型の色覚をもつ。そうした動物には、テレビの色が実物と違って見えている可能性がある。)同じ話が、音にもある。

音の波形は $\sin$ と $\cos$ の重ね合わせで書けた(フーリエ級数)。

$$f(x)=\sum \left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

この場合、基底は無限個ある。 つまり、音の空間は無限次元だ。

だから、音は色より「豊か」である。 $3$ つの基本音を混ぜても、すべての音は作れない。(色の場合は、$3$ つの光を混ぜればすべての色が作れてしまう。)

さて、量子力学では、状態がベクトルとして表される。電子のスピンは $2$ 次元。

$$|\psi ⟩=\alpha |\uparrow ⟩+\beta |\downarrow ⟩$$

「上向き」と「下向き」の $2$ つの基底で、すべての状態が書ける。そして、$\alpha$ と $\beta$ が「重ね合わせ」の係数になる。量子コンピュータの $1$ ビット(量子ビット)は、この $2$ 次元ベクトルだ。

$n$ 個の量子ビットなら、$2^n$ 次元。

$300$ 個の量子ビットで、$2^{300}$ 次元になり、宇宙の全原子の数($10^{80}$ 個)を、はるかに超える。

この次元の大きさが量子コンピュータの計算能力のもとになっている。「基底の $1$ 次結合で、すべてを表す」$\vec{a}=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}+3\overrightarrow{e_3}$ という、素朴な分解。

その考え方が色を作り、音を分解し、量子の状態を記述するのに使われている。

別解

基本ベクトルで分解して、和の意味を確かめる。空間には、$3$ 本の「ものさし」がある。

$$\overrightarrow{e_1}=(1,0,0),\overrightarrow{e_2}=(0,1,0),\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)$$

それぞれ、$x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸の正の向きを指す、大きさ $1$ のベクトルだ。

基本ベクトルと呼ばれる。

どんなベクトルもこの $3$ 本の組み合わせで書ける。

$$\vec{a}=(1,2,3)=1\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}+3\overrightarrow{e_3}$$

「$x$ 方向に $1$、$y$ 方向に $2$、$z$ 方向に $3$」と、成分の意味がそのまま式になっている。同様に

$$\vec{b}=4\overrightarrow{e_1}+5\overrightarrow{e_2}+6\overrightarrow{e_3}$$

この $2$ つを足そう。

$$\vec{a}+\vec{b}=(1+4)\overrightarrow{e_1}+(2+5)\overrightarrow{e_2}+(3+6)\overrightarrow{e_3}=5\overrightarrow{e_1}+7\overrightarrow{e_2}+9\overrightarrow{e_3}$$

$=(5,7,9)$

「同類項をまとめる」だけの計算だ。文字式の計算と、まったく同じ。

$$(x+2y+3z)+(4x+5y+6z)=5x+7y+9z$$

$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$、$\overrightarrow{e_3}$ を $x$、$y$、$z$ という文字だと思えば、ベクトルの計算は文字式の計算そのものになる。なぜ、同類項どうししかまとめられないのか。

$\overrightarrow{e_1}$ と $\overrightarrow{e_2}$ は、方向が違う。 混ぜることができない。

「東へ $3$」と「北へ $2$」を足しても、「$5$」にはならない。 方向が違うからだ。この「混ざらない」という性質を、$1$ 次独立という。

$3$ 本の基本ベクトルは互いに独立で、しかも空間全体を覆う。

$$\text{任意のベクトル}=a\overrightarrow{e_1}+b\overrightarrow{e_2}+c\overrightarrow{e_3}$$

このような組を、基底という。

$3$ 次元空間の基底は必ず $3$ 本のベクトルからなる。 $2$ 本では足りない($1$ 枚の平面しか覆えない)。$4$ 本では多すぎる($1$ 本は他の $3$ 本で書けてしまう)。

「次元 $=$ 基底の本数」

これが、次元という言葉の、数学的な定義である。$3$ 次元空間とは「$3$ 本の独立なベクトルで、すべてを表せる空間」のことである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 空間の内積も、成分どうしを掛けて足すだけだ。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

項が $1$ つ増えただけ。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 4+2\times 5+3\times 6=4+10+18=32$$

答えは $32$。 ベクトルではなく、ただの数だ。

平面と空間で、内積の意味も変わらない。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$

$2$ つのベクトルが「どれくらい同じ方向を向いているか」を測る。そして、この $2$ つの表現から、空間でも角度が求まる。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

空間は図に描きにくい。 だが、内積の計算に、図は要らない。「見えないものを、計算で捉える」ことができるのが、ベクトルの利点だ。

成分どうしをかけて足す($3$ 成分分)。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=4+10+18=32$$

まとめ:空間の内積も「成分どうしの積の和」。$z$ 成分の積が加わるだけ。結果は数(スカラー)。なす角・垂直の判定に使う、平面と同じ役割だ。

発展。 空間には平面にはなかった、もう $1$ つの「掛け算」がある。

外積(ベクトル積)だ。

$$\vec{a}\times \vec{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$

内積と、まるで性格が違う。

外積の $2$ つの重要な性質。性質 $1$: 外積は元の $2$ ベクトルの両方に垂直。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る平面に、垂直な方向を向く。

確かめよう。 $\vec{a}=(1,0,0)$、$\vec{b}=(0,1,0)$($x$ 軸と $y$ 軸)なら

$$\vec{a}\times \vec{b}=(0\cdot 0-0\cdot 1,0\cdot 0-1\cdot 0,1\cdot 1-0\cdot 0)=(0,0,1)$$

$z$ 軸方向だ。 確かに、$xy$ 平面に垂直だ。性質 $2$: 大きさは平行四辺形の面積。

$$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$$

上の例なら、$1\times 1\times \sin 90^{\circ }=1$ で、単位正方形の面積

なぜ、外積は $3$ 次元にしかないのか。

「$2$ つのベクトルに垂直な方向」が、$3$ 次元では(向きを除いて)ただ $1$ つに決まるからだ。

平面($2$ 次元)では、「平面に垂直」な方向は、平面の外にある。 そこには行けない。

$4$ 次元では、「$2$ つに垂直な方向」が $2$ 次元分ある。 $1$ つに決まらない。$3$ 次元だけが外積を許す特別な次元である。

この特殊性が物理学に深く関わっている。

• 回転(角運動量): $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$
• 磁場が電荷に及ぼす力: $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$
• トルク(ねじりの力): $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$

「右ねじの法則」で向きが決まる、あの現象だ。なぜ、磁場の力は速度にも磁場にも垂直に働くのか。外積という演算が $3$ 次元空間に存在するからである。

空間が $3$ 次元であることが、物理法則の形にも関係している。もし $4$ 次元だったら、磁力の法則はまったく違う形になっていただろう。

別解

余弦定理から、内積 $32$ を再現する。内積の本来の定義は $|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ だった。成分の公式($a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$)が、それと一致することを確かめよう。

使うのは、この式だ。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2}{2}$$

(余弦定理を、内積について解いた形。空間でも、そのまま成り立つ。)

$3$ つの量を計算する。

$$|\vec{a}{|}^2=1+4+9=14$$

$$|\vec{b}{|}^2=16+25+36=77$$

$$\vec{a}-\vec{b}=(1-4,2-5,3-6)=(-3,-3,-3)$$

$$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=9+9+9=27$$

代入する。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{14+77-27}{2}=\frac{64}{2}=32$$

$32$ になり、本解と一致した

「掛けて足す」という計算規則が、$3$ 辺の長さから復元できた。この計算のついでに、なす角も分かる。

$$\cos \theta =\frac{32}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{77}}=\frac{32}{\sqrt{1078}}\approx 0.9746$$

$$\theta \approx 12.9^{\circ }$$

$2$ つのベクトルはかなり近い方向を向いている。確かに、$(1,2,3)$ と $(4,5,6)$ は、どちらも「$x$ 少し、$y$ 中くらい、$z$ 多め」という似た傾向をもっている。内積が大きい($32$)のは、この「似ている」ことの現れだ。

$3$ 次元では角度を目で確かめられない。それでも、計算すれば正しい答えが出る。この「見えないものを測る」能力こそ、ベクトルを学ぶ最大の理由である。

$3$ 次元が見えないなら、$4$ 次元は? $100$ 次元は?

もはや誰にも見えない。 だが、内積の公式はそのまま通用する。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

成分が $n$ 個になっても、掛けて足すだけ。そして、$\cos \theta$ の公式で、「角度」が定義できてしまう。「見えない空間の、見えない角度」を、計算だけで確定させる。

現代のデータ解析や機械学習でも、同じ計算を行っている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) なす角の求め方は、平面と同じだ。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

内積と大きさを、それぞれ計算する。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 1+1\times 0+0\times 1=1$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2},|\vec{b}|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$$

代入する。

$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$

$$\theta =60^{\circ }$$

答えは $60^{\circ }$。

$3$ 次元の角度は図では確かめにくい。だが、この $2$ つのベクトルには、幾何的な意味が隠れている。

それは別解で明かそう。

まずは、公式が平面とまったく同じ形で使えることを、確認しておこう。

① 内積と大きさを求める。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 1=1$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2},|\vec{b}|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$$

② $\cos \theta$ を計算する。

$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$

③ 角を求める。 $\cos \theta =\frac{1}{2}$ より $\theta =60^{\circ }$。

まとめ:空間のなす角も「内積 ÷(大きさの積)」で平面と同じ。$3$ 成分の内積・大きさを使うだけ。$\frac{1}{2}$ は $60^{\circ }$。

発展。 正四面体の「中心角」を、実際に計算してみよう。

正四面体の中心から、$4$ つの頂点へ向かうベクトル。 そのなす角は?立方体の中に埋め込んだ正四面体を使う。

立方体の頂点を $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ とすると、正四面体の $4$ 頂点は

$$(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)$$

($3$ 成分の積が正になる $4$ 点。)

中心は原点だ。

$2$ つの頂点へのベクトルのなす角を求めよう。

$$\vec{u}=(1,1,1),\vec{v}=(1,-1,-1)$$

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=1-1-1=-1$$

$$|\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{3}$$

$$\cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=-\frac{1}{3}$$

$$\theta =\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\approx 109.47^{\circ }$$

$109.47^{\circ }$ になる。

この角度が化学の教科書に必ず出てくる「正四面体角」である。メタン $\mathrm{C}{\mathrm{H}}_4$ の、$\mathrm{H}$–$\mathrm{C}$–$\mathrm{H}$ の結合角がこの角度だ。なぜ、炭素の結合角がこの値なのか。

$4$ つの電子対が互いにできるだけ遠ざかろうとするからだ。球面上に $4$ 点を最も均等に配置すると、正四面体の頂点になる。「反発しあう $4$ つのものを、最も離して置く」という物理的な要請が、正四面体という幾何的な形を生む。

そして、その角度は $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$ という、内積から出てくる数だ。

水分子の結合角($104.5^{\circ }$)がこれに近いのも同じ理由である(孤立電子対の影響で、少し狭くなっている)。ダイヤモンドの硬さもこの角度に由来する。

炭素原子が $4$ 方向すべてに強い結合をもち、正四面体を無限に繰り返す。 どの方向にも均等に強い構造だ。内積 $=-\frac{1}{3}$ という、$1$ つの数。

そこから、$109.47^{\circ }$ という角が出て、それがメタンの形を決め、ダイヤモンドの硬さを決めている。数学を使うと、ものの形を説明できる。「なぜ、そういう形なのか」という問いに、答えを与えるのだ。

別解

この $60^{\circ }$ は立方体の中に隠れた正三角形の角である。$2$ つのベクトルを、よく見てほしい。

$$\vec{a}=(1,1,0),\vec{b}=(1,0,1)$$

これは、単位立方体の面の対角線だ。

• $\vec{a}=(1,1,0)$: 底面($xy$ 平面)の対角線
• $\vec{b}=(1,0,1)$: 側面($xz$ 平面)の対角線

$2$ つとも、原点から出ている。 そして、長さはどちらも $\sqrt{2}$。ここで、もう $1$ 本、面の対角線を追加しよう。

$$\vec{c}=(0,1,1)(yz\text{ 平面の対角線})$$

$3$ つのベクトルの終点 $(1,1,0)$、$(1,0,1)$、$(0,1,1)$ を結ぶと、何ができるか。

$3$ 点の距離を計算しよう。

$$|(1,1,0)-(1,0,1)|=|(0,1,-1)|=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}$$

$$|(1,0,1)-(0,1,1)|=|(1,-1,0)|=\sqrt{2}$$

$$|(0,1,1)-(1,1,0)|=|(-1,0,1)|=\sqrt{2}$$

$3$ 辺がすべて $\sqrt{2}$ なので、正三角形だ。立方体の $3$ つの頂点を結ぶと、正三角形が現れる。正三角形の内角は $60^{\circ }$。

そして、原点からこの $3$ 頂点へ向かうベクトルどうしのなす角も、$60^{\circ }$ になる(原点と $3$ 頂点で、正四面体ができるから)。

だから、答えは $60^{\circ }$ 計算せずに、図形から分かった。この事実から、立方体について次のことも分かる。立方体の $8$ 頂点のうち、$1$ つおきに $4$ 点を選ぶと、正四面体になる。

$(0,0,0)$、$(1,1,0)$、$(1,0,1)$、$(0,1,1)$ の $4$ 点。すべての辺の長さが $\sqrt{2}$ の正四面体だ。

立方体の中に、正四面体が $2$ つ、互いに交差して埋め込まれている(残りの $4$ 頂点で、もう $1$ つできる)。この $2$ つの正四面体の重なりが「星形八面体」という立体を作る。ケプラーが $1609$ 年に記述した図形だ。

さらに、正四面体の中心角(中心から $2$ 頂点への角)は、$109.47^{\circ }$。この角度は水分子(${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$)やメタン($\mathrm{C}{\mathrm{H}}_4$)の結合角として、化学に現れる。炭素原子の $4$ つの結合手は正四面体の頂点方向を向いている。

ダイヤモンドの結晶構造もこの正四面体の繰り返しだ。$\cos \theta =\frac{1}{2}$、$\theta =60^{\circ }$ という、$1$ 行の計算。この角度は立方体・正四面体・ダイヤモンドの構造と関係している。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 垂直の判定は、空間でも内積 $=0$ だ。

$$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$

この道具しかない。そして、この道具で十分だ。内積を $k$ の式で表す。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 2+2\times k+3\times (-2)=2+2k-6=2k-4$$

これを $0$ とおく。

$$2k-4=0⟹k=2$$

平面のときと、手順はまったく同じ。 項が $1$ つ増えただけだ。空間での「垂直」は図では確かめにくい。

$2$ 本の矢印が $3$ 次元空間の中で本当に直角をなしているかは、見た目では分からない。だが、内積が $0$ なら、それは間違いなく垂直である。「計算が、目より確かだ」という点が、空間ベクトルのいちばんの利点だ。

① 内積 $=0$ を書く。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 2+2\cdot k+3\cdot (-2)=2+2k-6=2k-4=0$$

② 解く。

$$2k=4\Rightarrow k=2$$

まとめ:空間でも垂直は「内積 $=0$」。$3$ 成分の内積 $=0$ を $k$ について解く。平面と全く同じ考え方で、成分が $1$ つ増えただけだ。

発展。 法線ベクトルを使うと、点と平面の距離がすぐに求まる。

公式。

$$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0-e|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

平面 $ax+by+cz=e$ と、点 $(x_0,y_0,z_0)$ の距離。この式はどこから来るのか。

法線方向への「射影」だ。

平面上の任意の点 $\mathrm{P}$ から、目的の点 $\mathrm{A}$ へのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ を考える。求める距離は $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ を法線方向へ射影した長さである。

$$d=\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$$

これは「法線方向の単位ベクトルとの内積」、つまり影の長さだ。これを成分で書き下すと、上の公式になる。平面の方程式の係数($a,b,c$)が、そのまま法線ベクトルだったので、こんなに簡単に書ける。

平面($2$ 次元)の「点と直線の距離」の公式も、まったく同じ構造だった。

$$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

$1$ 次元上げても、形が変わらない。そして、$n$ 次元でも同じ。

$$d=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{x_0}-e|}{|\vec{n}|}$$

この公式は機械学習の中心にある。サポートベクターマシン(SVM)という手法。「$2$ 種類のデータを、$1$ 枚の平面(超平面)で分ける」

そして、「その平面から、いちばん近いデータ点までの距離(マージン)を、最大にする」マージンが大きいほど、分類が「余裕をもって」できている。この「距離を最大化する」という最適化問題を解くのが、SVM だ。

そこで使われる距離の式が、上の公式である。

$$\text{マージン}=\frac{|\vec{w}\cdot \vec{x}+b|}{|\vec{w}|}$$

$\vec{w}$ は分離超平面の法線ベクトル。

画像認識、スパムフィルタ、医療診断など、$2000$ 年代の機械学習で広く使われた手法が、この $1$ 行の距離公式に支えられている。

「点と平面の距離」という、高校の教科書に載っている公式。それが、$100$ 次元、$1000$ 次元の空間で、データを分類する道具になる。次元が上がっても、公式は変わらない。

ベクトルはこのように多くの場面で同じ形で使える。

別解

「$\vec{a}$ に垂直なベクトル」は $1$ つではなく、その全体が「平面」をなす。平面($2$ 次元)では、あるベクトルに垂直な方向は、($\pm$ を除いて)$1$ つしかなかった。

だが空間($3$ 次元)では、事情が変わる。$\vec{a}=(1,2,3)$ に垂直なベクトルを、いくつか探してみよう。条件は $\vec{a}\cdot \vec{x}=0$、つまり

$$x+2y+3z=0$$

この式を満たす $(x,y,z)$ を、$3$ つ挙げる。

$$(2,2,-2):2+4-6=0$$ $$(3,0,-1):3+0-3=0$$ $$(0,3,-2):0+6-6=0$$

どれも $\vec{a}$ に垂直だ。

この問題の答え $(2,2,-2)$ も、その $1$ つにすぎない。では、垂直なベクトルは、全部でいくつあるのか。

無数にある。 そして、それらの終点は $1$ 枚の平面を作る。

$$x+2y+3z=0$$

これは、原点を通る平面の方程式だ。「$\vec{a}$ に垂直なベクトルの全体 $=$ 原点を通る平面」この事実から、重要な概念が生まれる。

法線ベクトル。

平面 $ax+by+cz=d$ に対して、$\vec{n}=(a,b,c)$ が、その平面に垂直なベクトルになる。平面の方程式の係数がそのまま法線ベクトルの成分だ。

確かめよう。 平面 $x+2y+3z=0$ 上の $2$ 点を取る。

$$\mathrm{P}(3,0,-1),\mathrm{Q}(0,3,-2)$$

$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-3,3,-1)$$

$$\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=1\times (-3)+2\times 3+3\times (-1)=-3+6-3=0$$

平面上のどんな方向とも、$\vec{n}$ は垂直だ。この「法線ベクトル」という考え方を使うと、空間図形の計算が大きく簡単になる。

• $2$ 平面のなす角 → 法線ベクトルのなす角
• 点と平面の距離 → 法線方向への射影
• 平面の方程式を求める → 法線ベクトルと通る点があればよい

そして、CG(コンピュータグラフィックス)では、法線ベクトルが「光の当たり方」を決める。面の法線と、光源の方向の内積を計算する。

$$\text{明るさ}\propto \vec{n}\cdot \vec{\ell }$$

内積が大きい(真正面から光が当たる)ほど、明るい。内積が $0$(横から)なら、暗い。$3$ Dのコンピュータグラフィックスでは、$1$ 秒間に何億回もこの内積が計算されている。

「垂直 $=$ 内積 $0$」という素朴な条件。それが、平面を定義し、光の当たり方を計算し、$3$ D の画像を作るのに使われている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平行とは、一方が他方の実数倍ということだ。

$$\vec{b}=k\vec{a}$$

$x$ 成分を見る。

$$2=k\times 1⟹k=2$$

倍率は $2$ だ。

$y$ 成分でも確認する。

$$4=2\times 2$$

確かに $2$ 倍になっている。なら、$z$ 成分も $2$ 倍のはず。

$$k=2\times 3=6$$

答えは $6$。

「すべての成分が、同じ倍率になる」ことが、平行の条件だ。$1$ つの成分だけ倍率が違えば、それは平行ではない。空間では平面のような「たすきがけ」の $1$ 本の式では書けない。

代わりに、外積を使えば $1$ 本の条件式になる。 それは別解で見よう。

① 実数倍とおく。 $\vec{b}=t\vec{a}$。

② $t$ を決める。 $x$ 成分:$2=t\cdot 1$ より $t=2$。$y$ 成分も $4=2\cdot 2$ で整合。

③ $k$ を決める。 $z$ 成分:$k=t\cdot 3=2\cdot 3=6$。

$$k=6$$

まとめ:空間の平行は「実数倍 $\vec{b}=t\vec{a}$」。まず確実に決まる成分($x$)から $t$ を出し、残りの成分で未知数を決める。$3$ 成分すべてが同じ比になる。

発展。 外積はなぜ $3$ 次元にしか存在しないのか。

「$2$ つのベクトルに垂直な方向」を考えてみよう。

$2$ 次元(平面)では?

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る空間は、平面全体。 「両方に垂直な方向」は平面の外にある。平面の中には存在しない。

$3$ 次元では?

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張るのは、$1$ 枚の平面。 それに垂直な方向はちょうど $1$ 本の直線($\pm$ の $2$ 方向)。向きを右ねじの法則で決めれば、ただ $1$ つに定まる。

$4$ 次元では?

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張るのは、$2$ 次元の平面。 それに垂直な空間は、$2$ 次元分ある($4-2=2$)。

「両方に垂直なベクトル」が無数にある。 $1$ つに決まらない。

$$\boxed{\text{外積が定義できるのは、3 次元(と 7 次元)だけ}}$$

($7$ 次元にも、八元数という数の体系を使うと、外積が定義できる。数学の意外な事実だ。)空間が $3$ 次元であるから、外積が定義できる。

そして、外積が存在するからこそ、$3$ 次元には「回転」という豊かな構造が生まれる。

角運動量、トルク、磁場のローレンツ力は、すべて外積で書かれる。

$$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p},\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F},\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$$

「なぜ、磁場の中で動く電荷は、横向きに曲げられるのか?」

答え: 外積が $2$ つのベクトルに垂直な方向を指すからだ。

この一見意外な物理法則は $3$ 次元空間の幾何学的な構造そのものに由来している。さらに、外積は「体積」にもつながる。$3$ つのベクトルが作る平行六面体の体積は

$$V=\left|\left(\vec{a}\times \vec{b}\right)\cdot \vec{c}\right|$$

スカラー三重積という。

外積で「底面の面積(と法線方向)」を出し、それと $\vec{c}$ の内積で「高さ」を掛ける。

$$\text{体積}=\text{底面積}\times \text{高さ}$$

小学校で習った公式がベクトルの演算として復活する。

そして、この値が $0$ なら、$3$ つのベクトルは同一平面上にある(平行六面体がつぶれる)。$4$ 点が同一平面上にあるかどうかの判定に、この式が使える。

平行、垂直、面積、体積、同一平面のように、空間図形のあらゆる判定が、内積と外積という $2$ つの演算にまとめられる。

$k=6$ を求めるだけの、素朴な平行条件。そこには、$3$ 次元空間の特別な性質が関係している。

別解

外積を使って、平行を $1$ 本の式で判定する。平面では、平行の条件が「たすきがけ $=0$」という $1$ 本の式で書けた。

$$a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$$

空間では、この「たすきがけ」が $3$ 成分に増える。

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)$$

これを外積(ベクトル積)という。平行の条件はこうなる。

$$\vec{a}//\vec{b}⟺\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$$

この問題で確かめよう。 $\vec{a}=(1,2,3)$、$\vec{b}=(2,4,k)$。

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left(2k-3\times 4,3\times 2-1\times k,1\times 4-2\times 2\right)$$

$$=(2k-12,6-k,0)$$

$\vec{0}$ になるには、すべての成分が $0$ でなければならない。

$$2k-12=0⟹k=6$$ $$6-k=0⟹k=6$$

どちらの式からも、$k=6$

$2$ つの条件が同じ答えを与える。 これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が本当に平行になれる、ということの確認でもある。(もし $2$ つの式から違う $k$ が出たら、どんな $k$ でも平行にはならない、ということだ。)

外積の意味。

外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ は次の $2$ つの性質をもつ。

① $\vec{a}$ にも $\vec{b}$ にも垂直($2$ つが張る平面の法線方向)

② 大きさは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積

$$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$$

平行($\theta =0^{\circ }$ または $180^{\circ }$)なら、$\sin \theta =0$。

平行四辺形がぺしゃんこにつぶれる。 面積 $0$。

$$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$$

「平行 $=$ 平行四辺形の面積が $0$」

平面のときと、まったく同じ意味だった。 ただ、$3$ 次元では面積を「ベクトル」として表す(法線方向を向いた、大きさが面積のベクトル)。内積と外積の対比を、もう一度。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta ⟶\text{0 なら垂直}$$

$$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta ⟶\text{0 なら平行}$$

$\cos$ と $\sin$。 きれいに対をなしている。そして、この $2$ つを組み合わせると

$$(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2+|\vec{a}\times \vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2\left({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \right)=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2$$

三角関数の基本公式(${\sin }^2+{\cos }^2=1$)が、ベクトルの式に現れる。ラグランジュの恒等式と呼ばれる関係だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 中点は、$2$ 点の平均だ。

$$\mathrm{M}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}$$

座標ごとに、平均をとる。

$$x=\frac{1+3}{2}=2,y=\frac{2+4}{2}=3,z=\frac{3+5}{2}=4$$

$$\mathrm{M}(2,3,4)$$

平面のときと、何も変わらない。 座標が $1$ つ増えただけだ。中点は内分点の特別な場合($1:1$ の内分)である。

$$\frac{1\cdot \mathrm{A}+1\cdot \mathrm{B}}{1+1}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}$$

比が $1:1$ なので、重みも等しい。 だから単純平均になる。内分点の公式にあった「ねじれ」(重みが反対側につく)も、中点では気にする必要がない。

左右対称だから、どちらに重みをつけても同じである。

$$\mathrm{M}=\frac{(1,2,3)+(3,4,5)}{2}=\frac{(4,6,8)}{2}=(2,3,4)$$

まとめ:空間の中点も「$2$ 点の平均」。$x$、$y$、$z$ それぞれの平均をとるだけ。平面の中点公式に $z$ 座標が加わっただけだ。

発展。 「$2$ 点から等距離の点の集合」を考えてみよう。

平面($2$ 次元)では、それは直線だった。 線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線である。

空間($3$ 次元)では?

$1$ 枚の平面になる。 垂直二等分面という。なぜ、次元が $1$ つ上がると、直線が平面になるのか。

「$\mathrm{A}$ から等距離」という条件は、$1$ つの方程式を与える。

$$(x-a_1{)}^2+(y-a_2{)}^2+(z-a_3{)}^2=(x-b_1{)}^2+(y-b_2{)}^2+(z-b_3{)}^2$$

展開すると、$2$ 乗の項が打ち消し合って、$1$ 次方程式になる。

$$2(b_1-a_1)x+2(b_2-a_2)y+2(b_3-a_3)z=(\text{定数})$$

$3$ 次元の $1$ 次方程式なので、これは平面の方程式だ。

そして、係数 $(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ が、法線ベクトルになっている。つまり「$\mathrm{AB}$ に垂直な平面」で、確かに垂直二等分面だ。この問題で計算してみよう。

$\mathrm{A}(1,2,3)$、$\mathrm{B}(3,4,5)$ の垂直二等分面は、法線 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,2,2)$、中点 $(2,3,4)$ を通る平面。

$$2(x-2)+2(y-3)+2(z-4)=0$$

$$x+y+z=9$$

確かめる。 中点 $(2,3,4)$ を代入すると $2+3+4=9$

この平面上のどの点も $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ から等距離になる。試しに $(9,0,0)$(平面上の点)で確かめよう。

$$\mathrm{A}\text{ からの距離}:\sqrt{64+4+9}=\sqrt{77}$$ $$\mathrm{B}\text{ からの距離}:\sqrt{36+16+25}=\sqrt{77}$$

等しい。

この「等距離の集合」という考え方は、いろいろな図形を生む。

• $1$ 点から等距離 → 球面
• $2$ 点から等距離 → 平面(垂直二等分面)
• $1$ 点と $1$ 平面から等距離 → 放物面
• $2$ 点からの距離の和が一定 → 回転楕円体
• $2$ 点からの距離の比が一定 → アポロニウスの球

「距離の条件」から、図形が生まれる。これが、解析幾何の基本的な発想だ。さらに、この発想はコンピュータで図形を扱うときに使われる。

ボロノイ図。

平面上に、いくつかの点(母点)を配置する。 各点について、「その点にいちばん近い領域」を塗り分ける。境界線は $2$ 点の垂直二等分線になる。

この図は地図の勢力圏(最寄りのコンビニはどこか)、生態学の縄張り、材料科学の結晶構造など、あらゆる分野で使われている。「中点」という、単純な概念。そこから垂直二等分面が生まれ、空間の分割が生まれる。

別解

答えが正しいことを、距離で検算する。

中点なら、$\mathrm{A}$ からも $\mathrm{B}$ からも、同じ距離にあるはずだ。

$$\mathrm{AM}=\mathrm{MB}$$

計算して確かめよう。

$$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)$$

$$\mathrm{AM}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$$

$$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=(3-2,4-3,5-4)=(1,1,1)$$

$$\mathrm{MB}=\sqrt{3}$$

$\mathrm{AM}=\mathrm{MB}=\sqrt{3}$

等しい。中点であることが確認できた。さらに、$\mathrm{AB}$ の長さも計算してみよう。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,2,2),\mathrm{AB}=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$$

$$\mathrm{AM}+\mathrm{MB}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}=\mathrm{AB}$$

足すと、ちょうど $\mathrm{AB}$ になる。

これは、$\mathrm{M}$ が線分 $\mathrm{AB}$ の上にある、ということの証拠だ。

(もし $\mathrm{M}$ が線分から外れていたら、三角不等式により $\mathrm{AM}+\mathrm{MB}>\mathrm{AB}$ になる。)「距離が等しい」だけでは、中点とは言えない。

$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ から等距離の点は無数にある。その全体は $\mathrm{AB}$ の垂直二等分面という平面をなす。中点であるためには、さらに「線分 $\mathrm{AB}$ 上にある」ことが必要だ。

その確認が $\mathrm{AM}+\mathrm{MB}=\mathrm{AB}$ という等式である。$2$ つの条件を、両方確かめて、初めて「中点」と言える。この「$2$ 段階の検算」は答案の質を上げる。

そして、$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}=(1,1,1)$ という結果に、注目してほしい。

同じベクトルだ。

$\mathrm{A}$ から $\mathrm{M}$ への移動と、$\mathrm{M}$ から $\mathrm{B}$ への移動が、まったく同じ。これが、中点を表す条件である。

$$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$$

この式を解いても、中点の公式が出る。

$$\mathrm{M}-\mathrm{A}=\mathrm{B}-\mathrm{M}⟹2\mathrm{M}=\mathrm{A}+\mathrm{B}⟹\mathrm{M}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}$$

「等しい移動を $2$ 回」という定義から、平均の式が導かれた。公式を覚えるより、この式の意味を掴んでおくほうが、応用が利く。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 空間の重心も、$3$ 頂点の平均だ。

$$\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$$

座標ごとに、$3$ つの平均をとる。

$$x=\frac{1+4+1}{3}=\frac{6}{3}=2$$

$$y=\frac{2+2+5}{3}=\frac{9}{3}=3$$

$$z=\frac{0+3+0}{3}=\frac{3}{3}=1$$

$$\mathrm{G}(2,3,1)$$

平面の重心と、まったく同じ公式。 座標が $1$ つ増えただけだ。注意すべき点が $1$ つある。

$3$ 点が空間に散らばっていても、それらは必ず$1$ 枚の平面の上に乗る。

($3$ 点があれば、平面が $1$ つに決まる。)だから、この三角形は「空間に浮かぶ、平らな三角形」だ。その重心を求めていることになる。

空間だからといって、特別なことは何もない。

$$\mathrm{G}=\frac{(1,2,0)+(4,2,3)+(1,5,0)}{3}=\frac{(6,9,3)}{3}=(2,3,1)$$

まとめ:空間の重心も「$3$ 頂点の平均」。$\frac{1+4+1}{3}=2$、$\frac{2+2+5}{3}=3$、$\frac{0+3+0}{3}=1$。平面と全く同じで、$z$ 座標が加わるだけだ。

発展。 空間には三角形の重心のほかに、四面体の重心がある。

$4$ 頂点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ の四面体。 その重心は?

予想はつくだろう。

$$\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}+\mathrm{D}}{4}$$

$4$ 頂点の平均だ。

そして、三角形の「中線 $2:1$」に対応する性質もある。四面体の頂点 $\mathrm{A}$ と、向かい合う面 $\mathrm{BCD}$ の重心 ${\mathrm{G}}_{\mathrm{A}}$ を結ぶ線分を考える。$4$ 本の線分($4$ つの頂点それぞれについて)が、$1$ 点で交わる。

そして、その点は線分を頂点から $3:1$ に内分する。三角形では $2:1$、四面体では $3:1$。

規則が見える。

$$n\text{ 次元の単体では、}n:1$$

$1$ 次元(線分)では $1:1$(中点)。 $2$ 次元(三角形)では $2:1$。 $3$ 次元(四面体)では $3:1$。

証明も同じ形でできる。

$$\mathrm{G}=\mathrm{A}+\frac{n}{n+1}\left({\mathrm{G}}_{\mathrm{A}}-\mathrm{A}\right)$$

ここで ${\mathrm{G}}_{\mathrm{A}}$ は残り $n$ 個の頂点の平均。 展開すると、全体の平均になる。次元が上がっても、構造は変わらない。

そして、この「重心」は物理的な意味をもつ。四面体の板($1$ 様な密度)を、この点で支えれば、釣り合う。さらに、$4$ 点に等しい重さのおもりを置いたときの、釣り合いの点でもある。

「重心 $=$ 平均」という、単純な事実。それが、$n$ 次元でも変わらずに成り立つ。そして、この考え方は統計学に直結する。

データの平均はデータ点の「重心」だ。

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$

$n$ 個のデータを、$n$ 個の質点だと思えば、平均はその重心。そして、「平均からの距離の $2$ 乗の和が最小になる点」も、平均である。

$$\sum (x_i-a{)}^2\text{を最小にする }a=\bar{x}$$

重心は「全員から、いちばん近い点」である。三角形の重心もそういう点である。

$3$ 頂点からの距離の $2$ 乗の和を最小にする点が、重心だ。「平均」という、小学校で習った素朴な概念。それが、幾何の重心であり、統計の中心であり、最適化の解でもある。

$\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$ という $1$ 行に、これだけの意味が詰まっている。

別解

「中線を $2:1$ に内分する」で、空間でも重心が求まることを確かめる。

平面で成り立った定理が空間でも成り立つか。 検証してみよう。まず、$\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ を求める。

$$\mathrm{M}=\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}=\left(\frac{4+1}{2},\frac{2+5}{2},\frac{3+0}{2}\right)=(2.5,3.5,1.5)$$

中線 $\mathrm{AM}$ を、$\mathrm{A}$ から $2:1$ に内分する。つまり、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{M}$ へ、全体の $\frac{2}{3}$ 進む。

$$\mathrm{M}-\mathrm{A}=(2.5-1,3.5-2,1.5-0)=(1.5,1.5,1.5)$$

$$\frac{2}{3}\times (1.5,1.5,1.5)=(1,1,1)$$

$$\mathrm{G}=\mathrm{A}+(1,1,1)=(1,2,0)+(1,1,1)=(2,3,1)$$

本解と同じ

空間でも、「重心は中線を $2:1$ に内分する」が成り立った。

別の中線でも確かめよう。 $\mathrm{CA}$ の中点 $\mathrm{N}$ は

$$\mathrm{N}=\frac{\mathrm{C}+\mathrm{A}}{2}=(1,3.5,0)$$

$$\mathrm{N}-\mathrm{B}=(1-4,3.5-2,0-3)=(-3,1.5,-3)$$

$$\mathrm{G}=\mathrm{B}+\frac{2}{3}(-3,1.5,-3)=(4,2,3)+(-2,1,-2)=(2,3,1)$$

同じ点

$3$ 本の中線が確かに $1$ 点で交わっている。なぜ、平面の定理がそのまま空間でも成り立つのか。

答えは単純だ。

$3$ 点は必ず $1$ 枚の平面上にある。だから、「三角形の中の話」はその平面の中で完結する。空間に浮いていようが、傾いていようが、三角形は三角形だ。

「平面図形の定理は、空間に置かれた平面図形でも、そのまま成り立つ」この当たり前の事実を使うと、空間図形の問題が解けることが多い。空間の問題を見たら、「どこかに平面を見つけられないか」と探す。

• $3$ 点があれば、平面が決まる
• $2$ 直線が交われば、平面が決まる
• 立体を切れば、断面という平面が現れる

平面に落とし込めれば、あとは中学・高校で習った平面幾何の全知識が使える。「空間 → 平面への帰着」これが空間図形の問題でいちばん役に立つ考え方である。

空間ベクトルの計算はその帰着を「座標」の言葉で自動的にやってくれる。図が描けなくても、計算が正しい答えを出す。