複素数平面 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 複素数の割り算の定跡どおり、分母の共役を掛けて実数化する。

$$\frac{1+i}{1-i}\times \frac{1+i}{1+i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$$

分母は $(1-i)(1+i)=1-i^2=2$ となる。共役との積は $|1-i{|}^2$ なので、必ず実数になる。分子を展開して整理すれば $a+bi$ の形が出る。

① 分母の共役をかける。 $1-i$ の共役 $1+i$ を上下に。

$$\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$$

② 分母を実数化する。 $(1-i)(1+i)=1^2-i^2=1+1=2$。

③ 分子を展開する。 $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$。

$$=\frac{2i}{2}=i$$

まとめ:複素数の割り算は「分母の共役をかけて実数化」。分母が $z\bar{z}=|z{|}^2$(実数)になる。$\frac{1+i}{1-i}$ は $i$ で、これは $90^{\circ }$ 回転にあたる($1+i$ が $1-i$ より偏角が $90^{\circ }$ 大きい)。

発展。 答えが $i$(絶対値 $1$)になったのは、分子・分母の絶対値が等しかったから。一般に $\frac{z}{\bar{z}}$ は必ず単位円上に乗る。この性質は「絶対値が等しい $2$ 複素数の比は回転を表す」として、図形問題(なす角の計算)の基礎になる。

「共役を掛けて実数化」は数IIの「分母の有理化」($\sqrt{2}$ に $\sqrt{2}$ を掛ける)と同じ発想の複素数版。分母から見えない部分(虚部・根号)を、組になる数を掛けて消す。代数のいろいろな場面で使われる、昔からの手法である。

別解

計算する前に、極形式の目で答えを見抜いてみよう。$1+i$ は絶対値 $\sqrt{2}$・偏角 $45^{\circ }$。$1-i$ は絶対値 $\sqrt{2}$・偏角 $-45^{\circ }$(実軸について鏡写しの $2$ 点だ)。複素数の商は「絶対値は割り算、偏角は引き算」だから

$$\left|\frac{1+i}{1-i}\right|=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1,\text{偏角}=45^{\circ }-(-45^{\circ })=90^{\circ }$$

絶対値 $1$・偏角 $90^{\circ }$ の複素数は、$i$ そのものだ。展開計算と一致する。

「共役で割る」ことの図形的な意味も見える: $\frac{z}{\bar{z}}$ は「$z$ を偏角の $2$ 倍だけ回した単位円上の点」。分数の形を見たら、まず両者の絶対値と偏角を見積もる。そうすれば、計算の前に答えの形を予想でき、検算にも使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 極形式は「絶対値 $r$」と「偏角 $\theta$」の $2$ つの読み取りで決まる。

$$r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$$

偏角は $\cos \theta =\frac{1}{2}$、$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ を両方満たす角で、第 $1$ 象限の $\theta =60^{\circ }$ である。

$$z=2(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$$

$\tan \theta =\sqrt{3}$ だけだと $240^{\circ }$ と区別できないので、点がどの象限かの確認が要る。

① 絶対値を求める。 $r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$。

② 偏角を求める。 点 $(1,\sqrt{3})$ は第 $1$ 象限。$\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$ より $\theta =60^{\circ }$。

$$z=2(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$$

まとめ:極形式は「絶対値 $r$ と偏角 $\theta$」。$r=2$、$\tan \theta =\sqrt{3}$ で第 $1$ 象限だから $\theta =60^{\circ }$。偏角は $\tan$ の値だけでなくどの象限かも見て決めるのが大事だ。

発展。 極形式は「複素数の掛け算を、回転と拡大で読む」ための書き方だ。$z=2\mathrm{cis}60^{\circ }$($\mathrm{cis}\theta =\cos \theta +i\sin \theta$ の略記)と書けば、「$z$ を掛ける $=$ $60^{\circ }$ 回して $2$ 倍する」という操作の名札になる。直交形式 $1+\sqrt{3}i$ が「位置」の言葉なら、極形式は「操作」の言葉である。

偏角には $60^{\circ }+360^{\circ }k$ の不定性がある($1$ 周回っても同じ点)。ふつうは $0^{\circ }\leqq \theta <360^{\circ }$ に代表を取るが、$n$ 乗根の問題ではこの「$k$ の分だけ答えが増える」ことを使う。次の $1$ の $3$ 乗根の問題で、その使い方が分かる。

別解

点 $(1,\sqrt{3})$ を図に打つと、極形式は計算なしで読める。原点からこの点まで、横に $1$・縦に $\sqrt{3}$ の直角三角形ができる。$3$ 辺は $1,\sqrt{3},2$($1^2+3=4$)なので、$30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$ の有名三角形だ(正三角形の半分)。

• 斜辺 $=2$ が絶対値
• 底辺 $1$ に対して高さ $\sqrt{3}$ と縦長なので、底角は大きい方の $60^{\circ }$ になり、これが偏角

三角定規の形がそのまま答えを言っている。有名角の複素数はこの「三角定規を当てる」読みで足りる。$1+i$(直角二等辺 → $45^{\circ }$)、$\sqrt{3}+i$(横長 → $30^{\circ }$)、そして今回の $1+\sqrt{3}i$($60^{\circ }$)の $3$ つの形を絵で覚えておくと、極形式・回転・累乗の問題全体で計算の初動が速くなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $8$ 乗を展開で計算するのは大変なので、累乗は極形式 $+$ ド・モアブルの定理で計算する。

$$1+i=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ })$$

ド・モアブルで「絶対値は $8$ 乗、偏角は $8$ 倍」。

$$(1+i{)}^8=(\sqrt{2}{)}^8(\cos 360^{\circ }+i\sin 360^{\circ })=16\cdot 1=16$$

偏角 $360^{\circ }$ はちょうど $1$ 周なので、実軸の正の向きに戻ってきて、答えは実数になる。

① 極形式にする。 $1+i=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ })$。

② ド・モアブルを使う。 絶対値は $8$ 乗、偏角は $8$ 倍。

$$(1+i{)}^8=(\sqrt{2}{)}^8(\cos (45^{\circ }\times 8)+i\sin (45^{\circ }\times 8))=16(\cos 360^{\circ }+i\sin 360^{\circ })$$

③ 計算する。 $\cos 360^{\circ }=1$、$\sin 360^{\circ }=0$。$(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$。

$$=16(1+0)=16$$

まとめ:複素数の高い累乗は「極形式にしてド・モアブル」。$(1+i{)}^8$ を直接展開すると大変だが、偏角 $45^{\circ }$ を $8$ 倍して $360^{\circ }$(一周)になり、実数 $16$。極形式が役に立つことが分かる問題だ。

発展。 ド・モアブルの絵で見ると、$(1+i{)}^n$ は「$45^{\circ }$ ずつ回りながら $\sqrt{2}$ 倍ずつ膨らむ螺旋」の $n$ 歩目。$8$ 歩でちょうど $1$ 周 $360^{\circ }$ になる。$8$ 乗が実数になるのは、$45^{\circ }\times 8=360^{\circ }$ だからだ。$(1+i{)}^4=-4$($180^{\circ }$ で負の実数)、$(1+i{)}^{12}=-64$ となる。$n$ が $4$ の倍数のとき($45^{\circ }\times n$ が $180^{\circ }$ の倍数のとき)に実数になることも、螺旋の絵から読める。

$2$ 乗の階段(二進累乗法)は、コンピュータが大きなべき乗を計算する標準アルゴリズムでもある。$n$ 乗に掛け算 $n$ 回でなく約 ${\log }_{2}n$ 回で済む。暗号(べき剰余)の実装を支える考え方が、この $2$ 行の計算に入っている。

別解

極形式を使わず、$2$ 乗の階段で登る代数ルートもある。まず $2$ 乗を計算する。これは軽い展開だ。

$$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$$

$8$ 乗は「$2$ 乗の $4$ 乗」だから

$$(1+i{)}^8={\left\{(1+i{)}^2\right\}}^4=(2i{)}^4=2^4{i}^4=16\cdot 1=16$$

($i^4=(i^2{)}^2=(-1{)}^2=1$。)$2$ 行で終わり、ド・モアブルと同じ答えになる。$1+i$ は「$2$ 乗すると $2i$ という簡単な数になる」特別な複素数で、この階段は $(1+i{)}^{2024}$ のような大きな指数でも通用する($=(2i{)}^{1012}=2^{1012}{i}^{1012}$、あとは $i$ の周期 $4$ で処理)。

指数を「$2$ 乗のかたまり」に割ってから登る。極形式が使えない場面(多項式の計算の途中など)でも使える、覚えておきたい別の道である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $z^3=1$ の解は、ド・モアブルの定理にならって絶対値と偏角に分けて考える。

$|z{|}^3=1$ より $|z|=1$(絶対値は正の実数)。偏角は $3$ 倍して $0^{\circ }+360^{\circ }k$ になればよいから

$$3\theta =360^{\circ }k⟹\theta =0^{\circ },120^{\circ },240^{\circ }$$

つまり解は単位円を $3$ 等分する $3$ 点で、正三角形の頂点だ。座標に直せば $1,\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$。「$n$ 乗根は単位円の $n$ 等分」という絵が、この問題の主題である。

① 偏角を $3$ 等分する。 $z^3=1$ の解は偏角 $\frac{360^{\circ }k}{3}=120^{\circ }k$($k=0,1,2$)、絶対値 $1$。

② 各解を書く。

• $k=0$:$\cos 0^{\circ }+i\sin 0^{\circ }=1$。
• $k=1$:$\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。
• $k=2$:$\cos 240^{\circ }+i\sin 240^{\circ }=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

$$z=1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$

まとめ:$1$ の $n$ 乗根は「単位円を $n$ 等分した点」。$z^3=1$ なら $120^{\circ }$ ずつ回った $3$ 点。複素数平面で正三角形の頂点をなす。これらの和は $0$ になる、という性質もある。

発展。 一般に $z^n=1$ の解は単位円の $n$ 等分点(正 $n$ 角形の頂点)で、$1$ の $n$ 乗根と呼ばれる。$n=4$ なら $\pm 1,\pm i$、$n=6$ なら正六角形になる。方程式の解が正多角形を描くという、代数と幾何がつながる例だ。

$n$ 等分点の和は常に $0$(正多角形の重心 $=$ 原点)。この事実は $\Sigma$ 計算・確率(等確率の回転)・信号処理(離散フーリエ変換)まで使われる基本の性質で、$1+\omega +{\omega }^2=0$ はその最小例である。

別解

数II の因数分解でも、同じ $3$ 解が出せる。幾何のルートの検算を兼ねて、並べて解いてみる。

$$z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)=0$$

$z=1$ と、$2$ 次方程式 $z^2+z+1=0$ の解

$$z=\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$$

ド・モアブルの $3$ 点と完全に一致する。

$2$ つのルートは見ているものが違う。因数分解は「方程式の解」という代数の見方、ド・モアブルは「単位円の $3$ 等分点」という幾何の見方だ。$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ という式で表される点が、実は $120^{\circ }$ の位置にあることは、両方をやって初めて分かる。

この虚数解は $\omega$(オメガ)の名で数IIにも登場した(${\omega }^2+\omega +1=0$、${\omega }^3=1$)。あのときの代数的な性質は「$120^{\circ }$ 回転」の言葉ですべて絵で説明できる。${\omega }^3=1$ は「$3$ 回回せば $1$ 周」、$1+\omega +{\omega }^2=0$ は「正三角形の重心が原点」である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 原点まわりの $\theta$ 回転は、$\cos \theta +i\sin \theta$ を掛ける操作。$90^{\circ }$ なら

$$\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }=i$$

つまり $i$ 倍 $=$ $90^{\circ }$ 回転。

$$i(2+i)=2i+i^2=-1+2i$$

掛け算 $1$ 回で回転が済む。これが複素数平面のいちばん便利な仕組みである。

① 掛ける複素数を決める。 $90^{\circ }$ 回転は $\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }=i$。

② 計算する。 $i^2=-1$。

$$i(2+i)=2i+i^2=2i-1=-1+2i$$

まとめ:原点まわりの回転は「$(\cos \theta +i\sin \theta )$ を掛ける」。$90^{\circ }$ なら $i$、$60^{\circ }$ なら $\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }$。複素数の掛け算が回転を表すという、複素数平面で中心になる性質だ。

発展。 $i$ 倍を $2$ 回続けると $i^2=-1$ 倍になる。$90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$ 回転で、点は原点対称の位置へ移る。「$i^2=-1$」という定義そのものが「$90^{\circ }$ を $2$ 回で $180^{\circ }$(符号反転)」という回転の言葉で読める。$i$ は「$-1$ の平方根」であり、「$180^{\circ }$ 回転の半分」でもある。

原点以外の点 $\alpha$ のまわりの回転は、$\alpha$ を原点へずらしてから回す: $w=\alpha +i(z-\alpha )$。「ずらす → 回す → 戻す」の $3$ 段合成は、図形の回転問題(正方形の頂点・正三角形の決定)の定跡として次に控えている。

別解

ベクトルの単元で使った $90^{\circ }$ 回転の規則と突き合わせると、$i$ 倍の意味が二重に確かめられる。平面ベクトルの $90^{\circ }$ 回転(反時計回り)は「成分を入れかえて、頭に来た方の符号を反転」

$$(x,y)⟶(-y,x)$$

だった(垂直なベクトル作りの規則)。点 $(2,1)$ に適用すると $(-1,2)$。複素数の計算 $i(2+i)=-1+2i$、つまり点 $(-1,2)$ となり、完全に同じ答えだ。

一般でも $i(x+yi)=-y+xi$ となる。$i$ 倍の展開がベクトルの回転規則 $(x,y)\to (-y,x)$ を自動で行っている。回転後の点と元の点の内積は $2\cdot (-1)+1\cdot 2=0$ で、確かに直角だ。

ベクトルでは「規則」として覚えた操作が、複素数では「$i$ を掛ける」というただの掛け算になる。回転を掛け算で表せることが、複素数平面という単元の特徴である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $60^{\circ }$ 回転は $\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ を掛ける。

$$2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i$$

$z=2$ が実数(偏角 $0^{\circ }$ の点)なので、掛け算は単なる $2$ 倍になる。回転因子の成分が $2$ 倍されて終わる、いちばん素直な回転である。

① 掛ける複素数を書く。 $\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

② $z=2$ に掛ける。

$$2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=1+\sqrt{3}i$$

まとめ:実軸上の点 $2$ を $60^{\circ }$ 回すと $1+\sqrt{3}i$(絶対値 $2$、偏角 $60^{\circ }$)。回転は $(\cos \theta +i\sin \theta )$ を掛けるだけ。$60^{\circ }$ の三角比を正確に代入するのがポイント。

発展。 $2$ と $1+\sqrt{3}i$ と原点の $3$ 点は、$2$ 辺が長さ $2$ で挟角 $60^{\circ }$、つまり正三角形を作る。ある点を $60^{\circ }$ 回転すると、正三角形の第 $3$ 頂点が出る。正三角形の作図・判定(${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$ の背景)は、この $60^{\circ }$ 回転の応用だ。

回転因子 $\mathrm{cis}60^{\circ }$ は $6$ 乗すると $1$ になるので($60^{\circ }\times 6=360^{\circ }$)、$1$ の $6$ 乗根のひとつでもある。回転・累乗・$n$ 乗根が、単位円の上ですべてつながっていることを、この単純な問題からも感じ取れる。

別解

計算せずに、単位円の絵で着地点を読むこともできる。$z=2$ は「実軸上、原点から距離 $2$」の点で、極形式で言えば絶対値 $2$・偏角 $0^{\circ }$ である。

回転は絶対値を変えず、偏角だけ動かす。$60^{\circ }$ 回した先は「絶対値 $2$・偏角 $60^{\circ }$」の点で、半径 $2$ の円周上を $60^{\circ }$ ぶん進んだ場所だ。座標は

$$2(\cos 60^{\circ },\sin 60^{\circ })=(1,\sqrt{3})$$

つまり $1+\sqrt{3}i$。掛け算の展開と同じ答えに、絵だけで着いた。

この点は極形式の問題($1+\sqrt{3}i$ の極形式は $2\mathrm{cis}60^{\circ }$)の逆向きの計算になっている。あちらは「座標 → 絶対値と偏角」、こちらは「絶対値と偏角 → 座標」だ。$2$ つの問題がペアで、極形式の辞書を双方向に引く練習になっている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値 $|z-\alpha |$ の意味は「点 $z$ と点 $\alpha$ の距離」。だから

$$|z-i|=1$$

は「点 $i$ からの距離が $1$ の点の集まり」、つまり中心 $i$(座標では $(0,1)$)、半径 $1$ の円だ。点 $2i$ の判定も距離で行う: $|2i-i|=|i|=1$ なので、中心からちょうど $1$ で円上にある($2i$ はこの円のてっぺんの点)。式を「距離の日本語」に訳すのがすべてである。

① 図形を読む。 $|z-i|=1$ は「$i$ からの距離が $1$」の点の集まり。中心 $i$(点 $(0,1)$)、半径 $1$ の円。

② 点 $2i$ を調べる。

$$|2i-i|=|i|=1$$

中心 $i$ からの距離が $1$ なので、点 $2i$ は円上にある。

まとめ:$|z-\alpha |=r$ は円の方程式(複素数版)。$\alpha$ が中心、$r$ が半径。距離が $|z-\alpha |$ で表せるのが複素数平面の便利なところ。$2i$ は中心 $i$ の真上、距離 $1$ で円周上だ。

発展。 円のもう $1$ つの複素数表示 $z\bar{z}-\bar{\alpha }z-\alpha \bar{z}+|\alpha {|}^2=r^2$($|z-\alpha {|}^2=(z-\alpha )\overline{(z-\alpha )}$ の展開)は、$\bar{z}$ を含む式の図形判定で使う上級の道具。$|z{|}^2=z\bar{z}$ という関係を使うと、絶対値の問題を共役の代数に変換できる。

「絶対値 $=$ 距離」の目で読める図形は円だけではなく、$|z-\alpha |=|z-\beta |$ は垂直二等分線、$|z-\alpha |+|z-\beta |=2a$ は楕円(数Cの曲線)になる。距離の言葉で定義された図形はすべて、複素数の絶対値で $1$ 行になる。

別解

$z=x+yi$ とおいて、数IIの座標の式に直しても同じ結論に着く。

$$|z-i|=|x+(y-1)i|=\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}=1$$

両辺を $2$ 乗して

$$x^2+(y-1{)}^2=1$$

これは見慣れた円の方程式(中心 $(0,1)$、半径 $1$)そのものだ。点 $2i=(0,2)$ を代入すると $0+1=1$ となり、円上にある。

複素数の $1$ 行 $|z-i|=1$ と、座標の式 $x^2+(y-1{)}^2=1$ は、同じ円の2 通りの表し方だ。複素数の側は「中心と半径が式にそのまま出ている」ので図形の意味が読みやすく、座標の側は計算(接線・交点)の道具が揃っている。問題に応じて書き方を使い分ける。

書き直しの練習としては、$|z-1|=|z-i|$($2$ 点から等距離 → 垂直二等分線)、$|z|=2|z-3|$(アポロニウスの円)なども同じ手順($z=x+yi$ を代入して整理)で座標の式に落ちる。困ったら $x+yi$ とおけばよい、というのは複素数の図形問題の安全策である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 共役 $\bar{z}=3-4i$(虚部の符号を反転)を作って、足す・引くだけだ。

$$z+\bar{z}=(3+4i)+(3-4i)=6,z-\bar{z}=(3+4i)-(3-4i)=8i$$

結果から一般法則が分かる。和は実数(実部の $2$ 倍)、差は純虚数(虚部の $2i$ 倍)。

$$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z),z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}(z)$$

共役との和・差は複素数から実部・虚部を「取り出す」操作である。

① 和を計算する。 虚部が打ち消し合う。

$$z+\bar{z}=(3+4i)+(3-4i)=6$$

② 差を計算する。 実部が打ち消し合う。

$$z-\bar{z}=(3+4i)-(3-4i)=8i$$

まとめ:共役との和・差で実部・虚部を取り出せる。$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)=6$、$z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}(z)=8i$。共役は「実部・虚部を分離する道具」。この性質は複素数が実数になる条件などで活躍する。

発展。 和・差に積を加えると三点セットになる: $z\bar{z}=9+16=25=|z{|}^2$ で、共役との積は絶対値の $2$ 乗だ。割り算の実数化(分母に共役をかける計算)は、この性質を分母に使ったものだった。

$\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$、$\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ と逆向きに書くと、「実部・虚部はいつでも $z$ と $\bar{z}$ の式で表せる」と分かる。これは、座標 $(x,y)$ の代わりに $(z,\bar{z})$ を変数に使うという、複素数平面の図形問題(軌跡の $\bar{z}$ 表示)の考え方の基礎になる。

別解

計算の結果を鏡の絵で見ておこう。なぜ和が実軸に、差が虚軸に乗るのかが一目になる。$\bar{z}$ は $z$ を実軸で折り返した鏡像である。$z=3+4i$ が実軸の上 $4$ にいるなら、$\bar{z}=3-4i$ は同じ横位置で下 $4$ にいる。

和 $z+\bar{z}$: 平行四辺形の法則で $2$ 本の矢印を足すと、上向き成分 $+4$ と下向き成分 $-4$ が相殺する。横成分だけが残って倍になり、実軸上の $6$ に着く。

差 $z-\bar{z}$: 引き算では逆に横成分 $3-3$ が相殺する。縦成分だけが残って倍になり、虚軸上の $8i$ に着く。鏡像と足せば縦が消え、引けば横が消える。この絵を持っていると、$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$ の公式は暗記しなくても絵から読める。

さらに、この $2$ つの操作は「$z$ が実数 ⟺ $z=\bar{z}$」「$z$ が純虚数 ⟺ $z+\bar{z}=0$($z\ne 0$)」という判定条件の源。証明問題で「実数であることを示せ」と来たら、$\bar{z}$ との一致を示す。その第一歩がこの計算である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 複素数の積は、多項式と同じ分配法則の展開 $+i^2=-1$ の後処理。

$$(2+i)(3-i)=6-2i+3i-i^2=6+i+1=7+i$$

$-i^2=+1$ が実部に合流するのがポイントだ。$4$ 項の展開のうち、$i$ どうしの積だけが実数になる。

$$(2+i)(3-i)=2\cdot 3+2\cdot (-i)+i\cdot 3+i\cdot (-i)=6-2i+3i-i^2$$

$i^2=-1$ なので $-i^2=+1$。

$$=6+i+1=7+i$$

まとめ:複素数の積は「ふつうに展開して $i^2=-1$」。$-i^2$ が $+1$ になり実部に加わる。成分での積は分配法則、極形式での積は「絶対値の積・偏角の和」。目的に応じて使い分ける。

発展。 偏角でも同じ検算ができる: 積の偏角は偏角の和。$2+i$ の偏角(約 $26.6^{\circ }$)と $3-i$ の偏角(約 $-18.4^{\circ }$)を足すと約 $8.1^{\circ }$ で、答え $7+i$ の偏角(${\tan }^{-1}\frac{1}{7}\approx 8.1^{\circ }$)と合う。「絶対値は積、偏角は和」のペアは、掛け算の完全な検算になる。

$\tan$ の言葉で書くと $\tan (\alpha +\beta )$ の加法定理が出てくる。複素数の積の展開と $\tan$ の加法定理は、同じ計算の別の書き方だ。$(2+i)(3+i)(1+i)=10i$(偏角の和がちょうど $90^{\circ }$)から ${\tan }^{-1}\frac{1}{2}+{\tan }^{-1}\frac{1}{3}=45^{\circ }$ という有名な等式が出る、という遊びもある。

別解

展開の答えを、絶対値の性質でワンチェックする習慣を紹介したい。積の絶対値は絶対値の積で、$|zw|=|z||w|$ が成り立つ。両辺を $2$ 乗した形で使うと平方根も要らない。

$$|2+i{|}^2=4+1=5,|3-i{|}^2=9+1=10$$

だから答えの絶対値の $2$ 乗は $5\times 10=50$ になるはず。検分すると

$$|7+i{|}^2=49+1=50✓$$

一致した。展開ミス(符号や中間項の誤り)があれば、まずここで気づく。この検算から、次の恒等式も出てくる: $(4+1)(9+1)=49+1$、一般に

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2$$

「$2$ 乗和 $\times$ $2$ 乗和は $2$ 乗和」(ブラーマグプタの恒等式)であり、複素数の積の絶対値の関係は $7$ 世紀のインドの数論の等式と同じものだった。展開 $1$ 問にも、こうした構造がある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず素直に展開する。

$$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$$

次に、この結果を極形式で読み直す。$2i$ は絶対値 $2$・偏角 $90^{\circ }$ の点だから

$$2i=2(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })$$

$1$ つの計算を「代数(展開)」と「幾何(極形式)」の両面から見る。この問題は $2$ つの表し方の対応を確かめる練習である。

① 展開する。 $i^2=-1$。

$$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$$

② 極形式で確認する。 $1+i=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ })$ なので、$2$ 乗すると絶対値 $(\sqrt{2}{)}^2=2$、偏角 $45^{\circ }\times 2=90^{\circ }$。

$$2i=2(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })$$

まとめ:成分計算と極形式計算が一致することを見る問題。$(1+i{)}^2=2i$ は、$1+i$ を「大きさ $\sqrt{2}$ 倍・$45^{\circ }$ 回転」に対応させると、$2$ 乗で「$2$ 倍・$90^{\circ }$」。両方の見方でつながる。

発展。 「$2$ 乗 $=$ 偏角を倍に」を逆から読むと「平方根 $=$ 偏角を半分に」となる。どんな複素数にも平方根が($\pm$ の)$2$ つ存在することが、絵から分かる。実数の範囲では「負の数に平方根がない」という壁があったが、回転で考えれば偏角を半分にするだけだ。複素数で方程式の解がすべてそろう($n$ 次方程式は $n$ 個の解を持つ)ことの直感的な理由がここにある。

$(1+i{)}^2=2i$ は $8$ 乗の計算($((1+i{)}^2{)}^4=(2i{)}^4=16$)の部品としても再登場する。この単元では、小さな計算の結果が次の問題の道具になることが多い。

別解

「$2$ 乗する」という操作を、点の運動として観察してみよう。$1+i$ は絶対値 $\sqrt{2}$・偏角 $45^{\circ }$ の点。$2$ 乗の規則(ド・モアブル)は

• 絶対値は $2$ 乗: $(\sqrt{2}{)}^2=2$
• 偏角は $2$ 倍: $45^{\circ }\times 2=90^{\circ }$

つまり点は「原点からの距離を $2$ 乗しながら、偏角を倍に開いて」動き、$45^{\circ }$ の点が $90^{\circ }$(虚軸上)へ移る。これは展開の答え $2i$ の位置とぴったり一致する。

この「$2$ 乗 $=$ 偏角を倍に開く」という動きの感覚は、いろいろな現象を説明する。実数($0^{\circ }$ か $180^{\circ }$)を $2$ 乗すると $0^{\circ }$ か $360^{\circ }$ になるので、必ず正になる。純虚数($90^{\circ }$)の $2$ 乗は $180^{\circ }$ なので、負の実数になる($i^2=-1$)。そして $45^{\circ }$ の $1+i$ は「$2$ 乗して純虚数になる数」だ。$\pm (1+i)/\sqrt{2}$ が $i$ の平方根である理由も、$45^{\circ }$ が $90^{\circ }$ の半分だから、の一言で済む。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「絶対値と偏角」から複素数を作る。これは極形式の逆向きの読みだ。

$$z=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$$

三角比の値 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ を入れて展開すると

$$z=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}i=\sqrt{3}+i$$

極形式 → 直交形式の書き直しは三角比の値の代入だけで済む。

① 極形式を書く。

$$z=2(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})$$

② 三角比を代入して展開する。 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。

$$z=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=\sqrt{3}+i$$

まとめ:「絶対値と偏角 → 複素数」は極形式を書いて展開するだけ。$\frac{\pi }{6}$($30^{\circ }$)の三角比 $\cos =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin =\frac{1}{2}$ を正確に。$\sqrt{3}+i$ の絶対値 $\sqrt{3+1}=2$ で確認できる。

発展。 「絶対値と偏角の組」から点を決める考え方は、極座標(数Cの曲線の単元)と同一のものだ。複素数平面の $(r,\theta )$ ⇔ $x+yi$ の書き直しは、極座標の $(r,\theta )$ ⇔ $(x,y)$ と同じ変換式($x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$)で行う。$2$ つの単元は同じ道具を別の名前で扱っている。

この $z=\sqrt{3}+i$ は $12$ 乗すると初めて正の実数になる($30^{\circ }\times 12=360^{\circ }$)。「$z^n$ が実数になる最小の $n$」型の問題は、偏角が $360^{\circ }$ の約数分のいくつか、という角度の勘定に帰着する。極形式で作った数はそのまま累乗の問題に使える。

別解

三角比の表を引かずに、三角定規の絵で座標を直読みする方法もある。「絶対値 $2$・偏角 $30^{\circ }$」は原点から斜辺 $2$ の棒を $30^{\circ }$ の角度で伸ばした先の点。棒の下に直角三角形を描くと、$30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$ の正三角形の半分の形になり、辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ で

• 底辺(実部)$=\sqrt{3}$ は斜辺 $2$ に対して長い方の辺(角度が浅いので横に長い)
• 高さ(虚部)$=1$ は短い方の辺

$$z=\sqrt{3}+i$$

極形式の問題($1+\sqrt{3}i$ は偏角 $60^{\circ }$)と見比べると、実部と虚部が入れ替わった鏡のペア($30^{\circ }$ と $60^{\circ }$ は $45^{\circ }$ をはさんで対称)になっている。どちらが $\sqrt{3}$ でどちらが $1$ かは、「角度が浅ければ横長、深ければ縦長」の絵で確かめれば取り違えない。

有名角($30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$)の複素数は、表を暗記するより三角定規 $2$ 枚の絵で覚えるとよい。図を描くわずかな手間で、符号・比率のミスを防げる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 複素数平面で $3$ 点の共線を調べる道具は、差の比

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$$

($\alpha$ から見た $2$ 方向の比)。この値が実数なら、$2$ 方向は回転のずれがないので、同一直線上だ。

$$\frac{(2+2i)-0}{(1+i)-0}=\frac{2+2i}{1+i}=2$$

実数 $2$ なので、$3$ 点は一直線上にある($\mathrm{C}$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ 方向へ $2$ 倍の位置)。

① 比を計算する。 $\alpha =0$、$\beta =1+i$、$\gamma =2+2i$。

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{2+2i}{1+i}=\frac{2(1+i)}{1+i}=2$$

② 実数かを確かめる。 $2$ は実数。よって $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ は実数なので、$3$ 点は一直線上にある。

まとめ:複素数平面で $3$ 点が一直線上にあるかは「$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ が実数か」で調べる。この比が実数 = $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ が平行(偏角の差が $0$ か $180^{\circ }$)。ここは比が $2$(実数)で一直線上、$\mathrm{C}$ は $\mathrm{B}$ の $2$ 倍の位置だ。

発展。 差の比のフル活用形が、$4$ 点の円周角の定理の複素数版だ: $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }÷\frac{\gamma -\delta }{\beta -\delta }$(非調和比)が実数 ⟺ $4$ 点が同一円周上(または直線上)。共線条件はその $\delta \to \infty$ の極限とみなせる。これは「直線は半径無限大の円」という射影幾何の考え方につながっている。

実数条件の実務的な言い換え $z=\bar{z}$ を使うと、$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\overline{\left(\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }\right)}$ となり、共役の計算だけで共線が判定できる。文字のまま論証する問題(垂心・外心の証明)では、この形が主力になる。

別解

「比が実数なら一直線」の理由を、商の幾何的意味から掘っておこう。複素数の商 $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ の偏角は $2$ つの差の偏角の差になる。つまり点 $\alpha$ から $\beta$ を見る方向と $\gamma$ を見る方向のなす角そのものだ。

• 商が実数(偏角 $0^{\circ }$ か $180^{\circ }$) ⟺ $2$ 方向が同じ向きか正反対 ⟺ 一直線
• 商が純虚数(偏角 $\pm 90^{\circ }$) ⟺ $2$ 方向が直角 ⟺ $\angle \beta \alpha \gamma =90^{\circ }$

今回の商 $2$ は「正の実数」なので、$\mathrm{C}$ は $\mathrm{B}$ と同じ側にいる($\mathrm{A}$ をはさまない)ことまで読める。ベクトルの言葉なら $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の実数倍条件と同じことだ。

この「商の偏角 $=$ なす角」は、複素数平面の図形問題でいつでも使える目安だ。共線(実数)・垂直(純虚数)・正三角形($\pm 60^{\circ }$ 回転)のどれも、位置関係の問いは差の比を $1$ つ計算して偏角を読むことに集約される。$3$ 点問題を見たら、まずこの比を作る癖をつけたい。