複素数平面 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 複素数 $z=3+4i$ を、平面上の点 $(3,4)$ だと思ってみよう。

これが複素数平面の発想だ。

• 実部 $3$ → 横($x$)座標
• 虚部 $4$ → 縦($y$)座標

そして、絶対値 $|z|$ とは原点からその点までの距離である。

$$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

三平方の定理そのものだ。

ベクトルの大きさと、まったく同じ計算になる。

$$|(3,4)|=5,|3+4i|=5$$

複素数はこの点では平面のベクトルと同じだ。では、何が違うのか。

複素数どうしは、掛け算ができる。

ベクトルには「掛けて別のベクトルを作る」演算がない(内積は数になってしまう)。

その掛け算が回転を表す。それが、この単元の主題である。

$$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

まとめ:複素数 $a+bi$ は複素数平面で点 $(a,b)$。絶対値はその点と原点の距離 $\sqrt{a^2+b^2}$。$3+4i$ は原点から $5$。ベクトルの大きさと同じ考え方だ。

発展。 複素数は、なぜ「数」でありながら、「平面」でもあるのか。

歴史をたどってみよう。

$16$ 世紀、$3$ 次方程式の解の公式が発見された。そこで、思いがけないことが起きた。

$x^3=15x+4$ という方程式。 実数解 $x=4$ をもつことは、代入すればすぐ分かる。ところが、解の公式に当てはめると

$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$

$\sqrt{-121}$ という、負の数の平方根が出てきてしまう。「あり得ない数」を経由しないと、正しい実数解($4$)にたどり着けない。

数学者たちは困惑した。 ボンベリは、この $\sqrt{-1}$ を「詭弁的な量」と呼びながら、計算に使った。そして、確かに答えが合う。

「存在しないはずの数が、正しい答えを導く」この不気味な事実が、複素数の出発点だった。

デカルトはこれを「想像上の数」(imaginary)と名づけた。 蔑称である。オイラーが $i$ という記号を導入し($1777$ 年)、ガウスが複素数平面を導入した($1799$ 年)。

ガウスの考えは大きな転換点になった。「$a+bi$ を、平面の点 $(a,b)$ と見なせばよい」この $1$ 行で、複素数は「想像上のもの」から「目に見えるもの」になった。

もはや不気味ではなく、ただの平面の点だ。そして、この見方から、次の重要な事実が導かれる。

代数学の基本定理(ガウス、$1799$ 年)。「$n$ 次方程式は、複素数の範囲で、必ず $n$ 個の解をもつ。」実数の範囲では、$x^2+1=0$ は解をもたない。

だが複素数なら、$x=\pm i$ という $2$ 個の解がある。どんな方程式も複素数の中では「完結」する。これ以上、数を拡張する必要がない。

「複素数は、代数的に閉じている」負の数($\sqrt{-1}$)を認めたら、$4$ 次方程式のためにさらに新しい数が要るのでは、と心配する必要はない。複素数で、すべて足りる。

$|3+4i|=5$ という、素朴な計算。そこには、「あり得ない数」を認めたことで、方程式の解がすべて数の中に収まるようになった、という歴史がある。

別解

図を使わず、共役との積($z\bar{z}$)から絶対値を出す。複素数には、こんな公式がある。

$$z\bar{z}=|z{|}^2$$

「自分自身と、その共役を掛けると、絶対値の $2$ 乗になる。」

確かめよう。 $z=3+4i$、$\bar{z}=3-4i$。

$$z\bar{z}=(3+4i)(3-4i)$$

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を使う。

$$=3^2-(4i{)}^2=9-16i^2$$

ここで $i^2=-1$ だから

$$=9-16\times (-1)=9+16=25$$

$25$ という実数になった。

虚数単位がきれいに消える。

$$|z{|}^2=25⟹|z|=5$$

($|z|\geqq 0$ なので、正のほうを取る。)

本解と同じ答え

この方法の何が便利なのか。「図形(距離)の問題を、代数(掛け算)で解いた」

三平方の定理を使っていない。 ただ、$i^2=-1$ という規則に従って計算しただけだ。そして、$z\bar{z}$ が必ず実数になるという事実は、極めて重要である。

一般に $z=a+bi$ なら

$$z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2+b^2$$

確かに実数、しかも $0$ 以上。 そして、これは $|z{|}^2$ にほかならない。この公式が分数の計算を可能にする。

複素数で割り算をするとき、分母を実数にしたい。

$$\frac{1}{3+4i}=\frac{1}{3+4i}\times \frac{3-4i}{3-4i}=\frac{3-4i}{25}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$$

分母・分子に共役を掛けると、分母が実数になる。

「有理化」の複素数版だ。

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{と同じ発想}$$

根号を消すために共役($\sqrt{2}$)を掛けたように、虚数を消すために共役($3-4i$)を掛ける。さらに、この公式から、絶対値の性質も導ける。

$$|zw{|}^2=(zw)\overline{(zw)}=z\bar{z}w\bar{w}=|z{|}^2|w{|}^2$$

$$\boxed{|zw|=|z||w|}$$

「積の絶対値は、絶対値の積」これは、次に学ぶ「掛け算で長さが掛け算される」という性質の、代数的な証明になっている。図形的な事実が $i^2=-1$ という $1$ 行の規則から、すべて導かれるのだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 共役複素数とは、虚部の符号だけを変えたものだ。

$$z=2+3i⟹\bar{z}=2-3i$$

実部($2$)はそのまま。虚部の符号だけ、$+3$ から $-3$ へ。この操作を複素数平面で見ると?

点 $(2,3)$ が点 $(2,-3)$ に移る。$x$ 座標はそのまま、$y$ 座標だけ符号が反転する。

これは、実軸($x$ 軸)に関する鏡映だ。

共役をとる $=$ 実軸で折り返す。この幾何的な意味を掴んでおくと、共役の性質がすべて分かる。

• $|z|=|\bar{z}|$ は、鏡に映しても原点からの距離が同じことを表す
• $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$ は、$2$ 回折り返せば元に戻ることを表す
• $z$ が実数 $⟺$ $z=\bar{z}$ は、実軸上の点が折り返しても動かないことを表す

すべて、鏡映の性質そのものである。

$$\bar{z}=\overline{2+3i}=2-3i$$

まとめ:共役複素数は虚部の符号を反転したもの。複素数平面では実軸(横軸)に関して対称な点にうつる。$z=2+3i$ の点 $(2,3)$ に対し、$\bar{z}=2-3i$ は点 $(2,-3)$。$z\bar{z}=|z{|}^2$ という大事な性質もある。

発展。 「虚数解は、必ず共役なペアで現れる」

この事実を証明してみよう。

実数係数の方程式

$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0(a_i\text{ はすべて実数})$$

が、$\alpha$ を解にもつとする。

$$a_n{\alpha }^n+\cdots +a_0=0$$

両辺の共役をとる。

$$\overline{a_n{\alpha }^n+\cdots +a_0}=\bar{0}=0$$

和や積の共役は、共役の和や積に等しい。

$$\overline{a_n}\overline{{\alpha }^n}+\cdots +\overline{a_0}=0$$

係数 $a_i$ は実数だから、$\overline{a_i}=a_i$。

$$a_n{\bar{\alpha }}^n+\cdots +a_0=0$$

これは、「$\bar{\alpha }$ も方程式の解である」ということだ。 $■$

証明終わり。$3$ 行だ。

この定理の帰結。

「実数係数の $3$ 次方程式は、必ず実数解をもつ。」

なぜか。 解は $3$ 個ある(代数学の基本定理)。虚数解は共役なペアで現れる($2$ 個 $1$ 組)。

$3$ は奇数だから、$2$ で割り切れない。 必ず $1$ つは、ペアを作れない解、つまり実数解が残る。$3$ 次関数のグラフが必ず $x$ 軸と交わることの、代数的な説明だ。

この「共役対称性」は物理学でも大事な役割を果たす。量子力学では、波動関数 $\psi$ は複素数の値をとる。だが、観測できる量(確率密度)は、実数でなければならない。

どうするか。

$$|\psi {|}^2=\psi \bar{\psi }$$

共役との積をとる。 これは必ず実数になる(そして $0$ 以上)。「複素数で計算し、共役との積で実数に戻す」

この手続きが量子力学の観測理論の根幹をなしている。

電気工学でも同じだ。

交流回路の計算は複素数(インピーダンス)で行う。 計算がずっと楽になるからだ。

そして、最後に実部を取り出すか、共役との積で電力(実数)を求める。

$$P=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(V\bar{I}\right)$$

「複素数で計算し、実数で答える」共役は、複素数と実数を行き来するための操作である。$\bar{z}=2-3i$ は、符号を $1$ つ変えるだけの操作だ。

それが、実数への帰還を保証している。

別解

共役は「実部と虚部を取り出す道具」である。$z$ と $\bar{z}$ を、足したり引いたりしてみよう。

足す。

$$z+\bar{z}=(2+3i)+(2-3i)=4$$

虚部が消えて、実数になった。

しかも、$4=2\times 2$ で、実部の $2$ 倍だ。

$$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$$

引く。

$$z-\bar{z}=(2+3i)-(2-3i)=6i$$

実部が消えて、純虚数になった。

$6=2\times 3$ で、虚部の $2$ 倍だ。

$$z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}(z)$$

掛ける。

$$z\bar{z}=(2+3i)(2-3i)=4+9=13$$

これは $|z{|}^2$ だ。

$3$ つの演算が $3$ つの重要な量を取り出す。

$$\text{実部}=\frac{z+\bar{z}}{2},\text{虚部}=\frac{z-\bar{z}}{2i},|z{|}^2=z\bar{z}$$

「共役は、複素数を分解する道具」である。この道具の使い道は条件の言い換えにある。「$z$ が実数」という条件を、式で書きたい。

$$z\text{ が実数}⟺\text{虚部}=0⟺z-\bar{z}=0⟺\boxed{z=\bar{z}}$$

「$z$ が純虚数」なら?

$$z\text{ が純虚数}⟺\text{実部}=0\text{かつ}z\ne 0⟺\boxed{z+\bar{z}=0,z\ne 0}$$

この $2$ つの言い換えが複素数の問題で繰り返し使われる。なぜ、わざわざ言い換えるのか。$z=a+bi$ と成分で書くと、未知数が $2$ つ($a$ と $b$)になる。

だが $z$ と $\bar{z}$ で書けば、$z$ という $1$ つの文字で処理できる。計算量が大きく減るのだ。そして、共役には「分配法則」がある。

$$\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w},\overline{zw}=\bar{z}\bar{w},\overline{z^n}={\left(\bar{z}\right)}^n$$

「共役をとる」という操作は、四則演算と順序を入れかえてよい。

確かめよう。 $z=2+3i$、$w=1-2i$。

$$zw=(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i+6=8-i$$ $$\overline{zw}=8+i$$

$$\bar{z}\bar{w}=(2-3i)(1+2i)=2+4i-3i+6=8+i$$

一致した。

この性質から、有名な事実が導かれる。「実数係数の方程式が虚数解 $\alpha$ をもつなら、$\bar{\alpha }$ も解である。」虚数解は、必ず共役なペアで現れる。

$x^2-2x+5=0$ の解は $1\pm 2i$ で、確かに共役なペアだ。共役という、符号を変えるだけの単純な操作。それが、複素数の「対称性」を表している。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 複素数には、$2$ つの表し方がある。

① 直交形式 $z=a+bi$(「横に $a$、縦に $b$」)

② 極形式 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$(「原点から距離 $r$、角度 $\theta$ の方向」)

同じ点を、$2$ 通りの座標で言い表しているだけだ。極形式に直すには、$2$ つの量を求める。

① 絶対値 $r$(原点からの距離)

$$r=|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$

② 偏角 $\theta$(実軸の正の向きから測った角)

点 $(1,1)$ は右上 $45^{\circ }$ の方向にある。

$$\theta =\frac{\pi }{4}$$

まとめる。

$$z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$$

なぜ、わざわざ極形式に直すのか。

掛け算がずっと簡単になるからだ。 それは次の問題で見よう。

① 絶対値を求める。 $r=|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。

② 偏角を求める。 点 $(1,1)$ は第 $1$ 象限で、実軸とのなす角は $\frac{\pi }{4}$($45^{\circ }$)。

$$z=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})$$

まとめ:極形式は「絶対値 $r$ × 向き($\cos \theta +i\sin \theta$)」。$r$ は原点からの距離、$\theta$ は実軸から測った角(偏角)。$1+i$ は距離 $\sqrt{2}$、角 $\frac{\pi }{4}$。積・累乗の計算で役に立つ。

発展。 極形式には、もっと簡潔な書き方がある。

オイラーの公式。

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

極形式は、これを使うと

$$z=r{e}^{i\theta }$$

$3$ 文字だけだ。

この問題の $1+i$ なら

$$1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$$

なぜ、この式が成り立つのか。$e^x$、$\cos x$、$\sin x$ を、それぞれ級数で書いてみよう。

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

$x$ に $i\theta$ を代入する。

$$e^{i\theta }=1+i\theta +\frac{(i\theta {)}^2}{2!}+\frac{(i\theta {)}^3}{3!}+\cdots$$

$i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$ を使って整理する。

$$=\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\cdots \right)+i\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\cdots \right)$$

カッコの中身に、見覚えはないだろうか。前者は $\cos \theta$ の級数、後者は $\sin \theta$ の級数だ。

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ■$$

指数関数と三角関数が、虚数を通じてつながった。この式が役に立つことは、計算を見れば分かる。極形式の積は指数法則になる。

$$r_1{e}^{i{\theta }_1}\times r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

「絶対値は掛け算、偏角は足し算」 となり、指数法則そのものだ。ド・モアブルの定理もすぐに出る。

$${\left(e^{i\theta }\right)}^n=e^{in\theta }$$

「$n$ 乗すると、偏角が $n$ 倍」 になるのは、当たり前の指数法則である。そして、$\theta =\pi$ を代入すると

$$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1$$

$$\boxed{e^{i\pi }+1=0}$$

オイラーの等式。

$e$(解析)、$i$(代数)、$\pi$(幾何)、$1$(単位)、$0$(無)。数学の $5$ つの基本定数が $1$ 本の式に収まっている。ファインマンはこれを「数学のもっとも注目すべき公式」と呼んだ。

$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$

この、教科書どおりの極形式。それを $\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$ と書き直すと、複素数は「回転する指数関数」として見られる。

別解

図に描けば、$45^{\circ }$ は一目で分かる。複素数平面に、点 $(1,1)$ を打つ。原点から、この点へ矢印を引く。

横に $1$、縦に $1$。この矢印はどんな方向を向いているか。

横と縦が、まったく同じ長さ。 つまり、ちょうど斜め $45^{\circ }$ だ。

$$\tan \theta =\frac{1}{1}=1⟹\theta =45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$$

そして、矢印の長さは?縦 $1$、横 $1$ の直角二等辺三角形の斜辺。

$$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$

($1:1:\sqrt{2}$ の、おなじみの三角形だ。)図から、$r=\sqrt{2}$、$\theta =\frac{\pi }{4}$ が読み取れた

計算せずに、目で見て分かる。この「図で確認する」習慣が偏角のミスを防ぐ。

偏角の注意点。

$$\tan \theta =1$$

この式だけを見ると、$\theta =45^{\circ }$ とも $\theta =225^{\circ }$ とも取れる。

($\tan$ は $180^{\circ }$ 周期だから。)

どちらが正しいか。

点 $(1,1)$ は第 $1$ 象限にある。 だから $\theta =45^{\circ }$。もし点が $(-1,-1)$(第 $3$ 象限)なら、$\tan \theta =1$ でも $\theta =225^{\circ }$ だ。

「$\tan$ の値だけでは、偏角は決まらない。象限を確認する。」これが、極形式でいちばん間違えやすいポイントである。

必ず図を描いて、点がどの象限にあるかを確かめる。$4$ つの象限での、偏角の範囲。

• 第 $1$ 象限($a>0$、$b>0$): $0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$
• 第 $2$ 象限($a<0$、$b>0$): $90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$
• 第 $3$ 象限($a<0$、$b<0$): $180^{\circ }<\theta <270^{\circ }$
• 第 $4$ 象限($a>0$、$b<0$): $270^{\circ }<\theta <360^{\circ }$

この対応を頭に入れておこう。そして、極形式で書くと、複素数が何を表しているかが分かる。

$$z=\sqrt{2}\left(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ }\right)$$

「大きさ $\sqrt{2}$、向き $45^{\circ }$」

大きさと向きは、ベクトルの $2$ 要素そのものだ。複素数は平面のベクトルと同じ情報をもっている。だが、複素数には掛け算がある。

そして、極形式で書くと、その掛け算の意味がはっきり分かるのだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 極形式の掛け算には、とても簡単な規則がある。

$$\boxed{\text{絶対値は掛ける。偏角は足す。}}$$

この $1$ 行を覚えれば、極形式の積は暗算できる。

絶対値: $2\times 3=6$

偏角: $30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$

$$z_1{z}_2=6\left(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }\right)$$

そして、$\cos 90^{\circ }=0$、$\sin 90^{\circ }=1$ だから

$$=6(0+i\times 1)=6i$$

なぜ、こんな規則が成り立つのか。

加法定理があるからだ。

$$(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )=\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )$$

展開して、$i^2=-1$ を使い、加法定理でまとめると、この式が出る。「複素数の掛け算 $=$ 拡大 $+$ 回転」この幾何的な意味こそが、複素数を「数」として特別なものにしている。

① 絶対値をかける。 $2\times 3=6$。

② 偏角を足す。 $30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$。

$$z_1{z}_2=6(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })=6(0+i\cdot 1)=6i$$

まとめ:複素数の積は「絶対値をかけ、偏角を足す」。これが極形式の最大の利点。$\cos 90^{\circ }=0$、$\sin 90^{\circ }=1$ なので $6i$。掛け算が「拡大 + 回転」になる、というのが複素数平面の考え方の中心だ。

発展。 「掛け算 $=$ 拡大 $+$ 回転」

この事実から、複素数で平面の幾何を扱えるようになる。回転を掛け算で表せる。点 $z$ を、原点のまわりに $\theta$ だけ回転させたい。

$$z^{\prime }=z\times \left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$$

掛けるだけ。

行列を使うと、こうなる。

$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$

$2\times 2$ 行列の計算だ。

複素数なら、$1$ 回の掛け算で終わる。 ずっと楽である。さらに、「点 $\alpha$ を中心とする回転」も書ける。

$$z^{\prime }=\alpha +\left(z-\alpha \right)\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$$

「$\alpha$ を原点に移す($-\alpha$)→ 回す(掛ける)→ 戻す($+\alpha$)」$3$ ステップが、$1$ 行の式になる。この式が複素数平面の問題を解くいちばん大事な道具だ。

「正三角形の $3$ 頂点」「正方形の頂点」「相似変換」 は、すべてこの式で処理できる。例: $z_1$、$z_2$、$z_3$ が正三角形をなす条件。$z_2$ を $z_1$ のまわりに $60^{\circ }$ 回転させると、$z_3$ になる。

$$z_3-z_1=\left(z_2-z_1\right)\left(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }\right)$$

この $1$ 行が正三角形の条件式である。初等幾何なら、何行もかかる議論だ。そして、この「掛け算による回転」は、コンピュータグラフィックスで実用化されている。

$2$ D の回転は複素数で。

$3$ D の回転は?

四元数(クォータニオン)という、複素数を拡張した数を使う。

$$q=a+bi+cj+dk$$

($i$、$j$、$k$ という $3$ つの虚数単位がある。)ハミルトンが $1843$ 年に発見した、この数体系を四元数という。$150$ 年後、$3$ D のコンピュータグラフィックスやロボット工学、宇宙船の姿勢制御で、なくてはならない道具になった。

回転行列($3\times 3$、$9$ 個の数)より、四元数($4$ 個の数)のほうが、計算が速く、誤差も蓄積しにくい。「複素数の掛け算が回転である」という発見。それが $3$ 次元に拡張され、いま宇宙船の向きを制御している。

$2\times 3=6$、$30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$

小学生でもできるこの計算が回転という幾何を表している。

別解

極形式を使わず、直交形式($a+bi$)に直して、そのまま掛ける。「本当に $6i$ になるのか」を、自分の手で確かめる別解である。まず、$z_1$ を $a+bi$ の形にする。

$$z_1=2\left(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2}\right)=\sqrt{3}+i$$

次に、$z_2$。

$$z_2=3\left(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }\right)=3\left(\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$$

この $2$ つを、普通に掛け算する。

$$z_1{z}_2=\left(\sqrt{3}+i\right)\left(\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i\right)$$

分配法則で展開する。

$$=\sqrt{3}\cdot \frac{3}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}i+i\cdot \frac{3}{2}+i\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}i$$

$$=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{2}i+\frac{3}{2}i+\frac{3\sqrt{3}}{2}{i}^2$$

$i^2=-1$ を使う。

$$=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{2}i+\frac{3}{2}i-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

実部を整理する。

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=0$$

実部が消えた。

虚部を整理する。

$$\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=\frac{12}{2}=6$$

$$z_1{z}_2=0+6i=6i$$

$6i$ になり、本解と一致した

極形式で $10$ 秒だった計算が、直交形式では $2$ 分かかった。しかも、$\sqrt{3}$ が飛び交う面倒な展開だ。この対比から、極形式が役に立つことが分かる。

「掛け算をするなら、極形式」逆に、「足し算をするなら、直交形式」だ。

$$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$$

成分ごとに足すだけ。簡単だ。

極形式では、足し算はできない(絶対値も偏角も、単純には足せない)。$2$ つの形式は、それぞれ得意分野が違う。

問題に応じて、$2$ つの形式を行き来する。「掛け算・累乗が出てきたら、極形式に直す」この判断ができるようになれば、複素数の計算は大きく楽になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $3$ 乗を、まともに展開してはいけない。

極形式の累乗には、専用の道具がある。

ド・モアブルの定理。

$${\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$

「$n$ 乗すると、偏角が $n$ 倍になる。」前問の「掛け算では偏角が足される」を、$n$ 回繰り返しただけだ。

$$\theta +\theta +\cdots +\theta =n\theta$$

この問題に当てはめる。

$${\left(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }\right)}^3=\cos (3\times 30^{\circ })+i\sin (3\times 30^{\circ })=\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }$$

$$=0+i\times 1=i$$

答えは $i$。

「$30^{\circ }$ の回転を $3$ 回 $=$ $90^{\circ }$ の回転」幾何的には、それだけの話だ。絶対値が $1$ なので、拡大も縮小もしない。純粋な回転である。

偏角を $n=3$ 倍する。$30^{\circ }\times 3=90^{\circ }$。

$$(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }{)}^3=\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }=0+i=i$$

まとめ:ド・モアブルの定理は「絶対値 $1$ の複素数の累乗は、偏角を $n$ 倍するだけ」。$30^{\circ }$ を $3$ 乗すると $90^{\circ }$。複素数の累乗を三角関数の計算だけですぐに求められる定理だ。

発展。 ド・モアブルの定理は三角関数の公式を「生産」する機械になる。

$n=2$ で使ってみよう。

$${\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^2=\cos 2\theta +i\sin 2\theta$$

左辺を普通に展開する。

$${\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^2={\cos }^2\theta +2i\sin \theta \cos \theta +i^2{\sin }^2\theta$$

$$=\left({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \right)+i\left(2\sin \theta \cos \theta \right)$$

両辺の実部と虚部を、それぞれ比べる。

$$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$$ $$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$

$2$ 倍角の公式が $2$ つ同時に出てきた。

$n=3$ なら?

${\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^3$ を展開して、実部と虚部を比べる。

$$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$ $$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$$

$3$ 倍角の公式が出る。

丸暗記していたあの公式がド・モアブルから機械的に導ける。$n=4$、$n=5$ の公式もいくらでも作れる。「$n$ 倍角の公式は、$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n$ を二項展開すれば出る」

もはや、暗記する必要がない。そして、この方法から $1$ の $n$ 乗根という対象が生まれる。

$$z^n=1$$

この方程式の解は $n$ 個ある。

$$z_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}(k=0,1,\dots ,n-1)$$

複素数平面に描くと、単位円を $n$ 等分する点になる。つまり正 $n$ 角形の頂点だ。$n=3$ なら、正三角形。

$$1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

$n=4$ なら、正方形。

$$1,i,-1,-i$$

代数方程式($z^n=1$)の解が幾何図形(正 $n$ 角形)になる。この対応から、$2000$ 年来の難問が解けた。「正 $17$ 角形は、定規とコンパスで作図できるか?」

ガウスは $19$ 歳のとき($1796$ 年)、この問いに「できる」と答えた。方法は $z^{17}=1$ の解を、平方根の組み合わせだけで表すこと。(定規とコンパスで作図できる $=$ 四則演算と平方根で書ける、という対応がある。)

ガウスはこの発見をきっかけに数学者になることを決意したという。

そして、彼の墓には、正 $17$ 角形が刻まれている(実際には $17$ 角星だが)。

$(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }{)}^3=i$

この、すぐに解ける計算。この考え方は、正多角形がどんなときに作図できるかという有名な問題につながる。

別解

ド・モアブルを使わず、実際に $3$ 回掛けて確かめる。まず、$\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }$ を、$a+bi$ の形にする。

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

$2$ 乗する。

$$z^2={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)}^2=\frac{3}{4}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}i+\frac{1}{4}{i}^2$$

$$=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

($i^2=-1$ を使った。)

この結果は $\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }$ だ。 偏角が $2$ 倍($60^{\circ }$)になっている

もう $1$ 回掛ける。

$$z^3=z^2\times z=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)$$

展開する。

$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}i+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}{i}^2$$

$$=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}i+\frac{3}{4}i-\frac{\sqrt{3}}{4}$$

実部を整理する。

$$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}=0$$

消えた。

虚部を整理する。

$$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$$

$$z^3=0+1\cdot i=i$$

$i$ になり、本解と一致した

ド・モアブルが正しいことを、自分の手で確かめられた。だが、この計算は面倒だった。もし $z^{10}$ を求めよ、と言われたら?

この方法では $10$ 回も掛け算を繰り返すことになる。 現実的でない。ド・モアブルなら、すぐに出る。

$$z^{10}=\cos 300^{\circ }+i\sin 300^{\circ }=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

$z^{100}$ でも同じ。

$$100\times 30^{\circ }=3000^{\circ }$$

$3000^{\circ }$ を、$360^{\circ }$ で割った余りにする。

$$3000=360\times 8+120$$

$$z^{100}=\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

大きな累乗が $1$ 行で片づく。「回転は、$360^{\circ }$ で $1$ 周して元に戻る」この周期性があるので、どんなに大きな指数でも、$360$ で割った余りだけを見ればよい。

この問題の $z$ には、次の性質がある。

$$z^{12}=\cos 360^{\circ }+i\sin 360^{\circ }=1$$

$12$ 乗すると、$1$ に戻る。$z$ は $1$ の $12$ 乗根の $1$ つである。

複素数平面の単位円上に、正 $12$ 角形の頂点として並ぶ $12$ 個の数。 その $1$ つが、この $z$ である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず、素直に計算しよう。

$$iz=i(1+2i)=i+2i^2=i+2\times (-1)=-2+i$$

答えは $-2+i$。

では、これは幾何的に何をしたことになるのか。

もとの点: $z=1+2i$ → 座標 $(1,2)$

新しい点: $iz=-2+i$ → 座標 $(-2,1)$

この $2$ 点を、複素数平面に打ってみよう。

$(1,2)$ から $(-2,1)$ へ。

原点からの距離は?

$$|z|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},|iz|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$$

同じだ。 長さは変わっていない。では、向きは?

$i$ の極形式は $\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }$。 絶対値 $1$、偏角 $90^{\circ }$ だ。

「絶対値 $1$ を掛ける → 長さは変わらない」 「偏角 $90^{\circ }$ を足す → $90^{\circ }$ 回転する」

$$\boxed{i\text{ を掛ける}=90^{\circ }\text{ 回転}}$$

① 計算する。 $i^2=-1$。

$$iz=i(1+2i)=i+2i^2=i-2=-2+i$$

② 意味を述べる。 $i=\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }$(絶対値 $1$、偏角 $90^{\circ }$)。よって $iz$ は $z$ を原点のまわりに $90^{\circ }$ 回転したもの。点 $(1,2)$ が点 $(-2,1)$ にうつる。

まとめ:$i$ を掛ける = $90^{\circ }$ 回転。絶対値 $1$ の複素数を掛けると、大きさを変えずに回転だけする。$(1,2)\to (-2,1)$ は確かに $90^{\circ }$ 回った位置だ。複素数と回転の結びつきを表す。

発展。 「$i$ を掛ける $=$ $90^{\circ }$ 回転」

この事実を行列と比べてみよう。平面上の点 $(x,y)$ を $90^{\circ }$ 回転させる行列は

$$R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

実際に計算する。

$$R\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\times 1+(-1)\times 2\\ 1\times 1+0\times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$$

$(-2,1)$ は、この問題の答え $-2+i$ と完全に一致する

複素数の掛け算と、行列の掛け算が、同じ結果を出す。さらに、この行列を $2$ 乗してみよう。

$$R^2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I$$

$R^2=-I$ (単位行列のマイナス)。

$i^2=-1$ と、同じ形だ。

この行列 $R$ は複素数 $i$ と「同じ振る舞い」をする。もっと一般に、複素数 $a+bi$ はこんな行列と対応する。

$$a+bi⟷\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$$

この対応のもとで、複素数の足し算・掛け算が行列の足し算・掛け算に、完全に一致する。「複素数は、特別な形の $2\times 2$ 行列である」

同じ構造が $2$ つの姿で現れている。 これを同型という。

どちらで計算しても、答えは同じ。 ただ、複素数のほうが、書くのがずっと楽だ。さて、この「回転」という視点で、複素数の応用を見渡してみよう。

① 交流回路。

電圧と電流は、$\sin$ 波で振動する。 その位相差(ズレ)が回路の性質を決める。

複素数で書けば、位相差は「偏角の差」になる。 微分方程式を解かずに、掛け算だけで回路が解析できる。

② 信号処理。

フーリエ変換は信号を「回転する複素数」の重ね合わせとして分解する。

$$e^{i\omega t}=\cos \omega t+i\sin \omega t$$

「単位円の上を、角速度 $\omega$ で回る点」 が、周波数 $\omega$ の波を表している。

③ 量子力学。

波動関数は複素数の値をとる。 その位相(偏角)が干渉という現象を生む。$2$ つの経路を通った電子が、位相が揃えば強め合い、$180^{\circ }$ ずれていれば打ち消し合う。

「量子の重ね合わせ」は数学的には複素数の足し算で表される。

$i(1+2i)=-2+i$

この、すぐに終わる計算。その意味は「$90^{\circ }$ 回す」ということで、回転は波・電気・量子を式で表すときにも使われる。

別解

「$i$ を掛ける $=$ $90^{\circ }$ 回転」から、$i^2=-1$ の意味が分かる。$i$ を $2$ 回掛けたら、どうなるか。

$90^{\circ }$ 回転を $2$ 回。 つまり、$180^{\circ }$ 回転だ。$180^{\circ }$ 回転とは点を原点に関して反対側へ移すこと。

$$z⟶-z$$

つまり

$$i\times i\times z=-z$$

$$i^{2}z=-z⟹i^2=-1$$

「$i^2=-1$」の幾何的な意味が、これだ。$90^{\circ }$ 回転を $2$ 回すると、向きが逆になる。

この問題で確かめよう。

$$z=1+2i\stackrel{\times i}{\to }-2+i\stackrel{\times i}{\to }?$$

$$i(-2+i)=-2i+i^2=-1-2i$$

$-1-2i=-(1+2i)=-z$

確かに、もとの $z$ の符号を変えたものになった。

$4$ 回掛けたら?

$$90^{\circ }\times 4=360^{\circ }$$

$1$ 周して、元に戻る。

$$i^4=1$$

確かめる。 $i^{4}z=i^2(i^{2}z)=(-1)(-z)=z$

$i$ の累乗が $4$ 周期で循環する理由が、これだ。

$$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i,\dots$$

回転の $90^{\circ }$ ずつが、$4$ 回で $1$ 周する。「$i^2=-1$」は、天下り式の「約束」ではなく、「$90^{\circ }$ 回転を $2$ 回すれば、反転する」という、幾何的に当然の結果である。

さて、この見方から、「負の数の平方根」という疑問も解ける。

$\sqrt{-1}$ とは何か。

「$2$ 乗すると $-1$ になる数」 は、実数には存在しない。だが、「$2$ 回やると $180^{\circ }$ 回転になる操作」なら、存在する。

それが $90^{\circ }$ 回転だ。

$\sqrt{-1}=i=90^{\circ }$ 回転。

負の数の平方根が「存在しない」のではなく、数直線($1$ 次元)の上には存在しないだけ。平面($2$ 次元)に出れば、確かに存在する。

$i$ は「数直線の外へ出た数」である。そして、この $1$ 歩によって、数学で扱える範囲が大きく広がった。行き詰まったら、次元を上げる。

この発想は数学のいろいろな場面で使われる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 複素数の足し算は、実部どうし、虚部どうしを足す。

$$z_1+z_2=(1+3)+(2-1)i=4+i$$

同類項をまとめるだけ。 文字式の計算と同じだ。

$$(1+2i)+(3-i)$$

$i$ を文字だと思えば

$$(1+3)+(2-1)i=4+i$$

簡単である。

この計算を複素数平面で見ると?点 $(1,2)$ と点 $(3,-1)$ を足して、点 $(4,1)$ を得る。これは、ベクトルの和とまったく同じ操作だ。

$$(1,2)+(3,-1)=(4,1)$$

図では、平行四辺形の対角線。あるいは、矢印を継ぎ足したもの。「複素数の足し算 $=$ ベクトルの足し算」

足し算に関しては、複素数はベクトルと何も変わらない。違いが出るのは、掛け算のときだけである。

実部どうし・虚部どうしを足す。

$$z_1+z_2=(1+3)+(2-1)i=4+i$$

まとめ:複素数の和は「実部どうし、虚部どうし」を足すだけ。複素数平面ではベクトルの和(平行四辺形)と同じ。積(拡大 + 回転)とちがい、和は単純な移動だ。

発展。 複素数とベクトル。同じに見えて、大きな違いがある。

共通点。

• 足し算: 成分ごとに足す。同じ
• 実数倍: 成分ごとに掛ける。同じ
• 大きさ: $\sqrt{a^2+b^2}$。同じ

では、違いは?複素数には、「掛け算」がある。

$$(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2=3+5i+2=5+5i$$

複素数 $\times$ 複素数 $=$ 複素数。ベクトルには、これがない。

• 内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ → 結果は数(ベクトルでない)
• 外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ → $3$ 次元でしか定義できない

「$2$ つのベクトルを掛けて、また同じ空間のベクトルを得る」という演算が、ベクトルには存在しないのだ。そして、「割り算」もある。

$$\frac{1+2i}{3-i}=\frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{3+i+6i-2}{10}=\frac{1+7i}{10}$$

ベクトルの割り算は定義できない。この「四則演算が全部できる」という性質を、体という。

複素数は体である。 ベクトルは体ではない。だから、複素数は「数」と呼べる。

そして、ここに重要な定理がある。

フロベニウスの定理。

「実数を含み、四則演算が定義できる体系(有限次元)は、実数・複素数・四元数の $3$ つしかない。」$2$ 次元では、複素数だけ。

$3$ 次元では? 答えは、存在しない。

($3$ 次元で「掛け算」を定義しようとしたハミルトンは、$10$ 年悩んだ末、$4$ 次元なら可能だと気づいた。それが四元数だ。)$4$ 次元では、四元数。ただし、交換法則が成り立たない($ab\ne ba$)。

$8$ 次元では、八元数。結合法則も成り立たない。$16$ 次元以上ではもう何も残らない。

「掛け算ができる空間」は、$1$、$2$、$4$、$8$ 次元しかないのだ。なぜ、この $4$ つだけなのか。

その理由はトポロジー(位相幾何学)の定理から来ている($1958$ 年に証明された)。代数の問題が幾何の定理で解かれる。「複素数」という $2$ 次元の数が作れるのは、$2$ がこの特別な $4$ つの数のうちの $1$ つだからである。

$(1+2i)+(3-i)=4+i$

この足し算はベクトルと同じ。だが、この $2$ つを「掛けられる」ということ。そこに、複素数が「数」であることの、すべてが懸かっている。

別解

足し算をベクトルとして見て、その先の「引き算」まで押さえる。複素数の足し算は平行四辺形の対角線だった。では、引き算は?

$$z_2-z_1=(3-i)-(1+2i)=2-3i$$

この $2-3i$ は何を表すのか。

点 $z_1$ から、点 $z_2$ へ向かうベクトルだ。

$$\overrightarrow{z_1{z}_2}=z_2-z_1$$

確かめよう。 $z_1=(1,2)$、$z_2=(3,-1)$。

$$(3-1,-1-2)=(2,-3)$$

$2-3i$ と一致

「終点 $-$ 始点」 はベクトルの引き算とまったく同じだ。この事実から、複素数平面の重要な公式が出る。

$2$ 点間の距離。

$$\left|z_2-z_1\right|=\text{点 }{z}_1\text{ と }{z}_2\text{ の距離}$$

$$|2-3i|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

この $2$ 点は $\sqrt{13}$ だけ離れている。さらに、この「差」の発想が図形の条件式を生む。「$z$ が、点 $\alpha$ から距離 $r$ にある」

$$|z-\alpha |=r$$

これは、中心 $\alpha$、半径 $r$ の円の方程式だ。

「$z$ が、$\alpha$ と $\beta$ から等距離にある」

$$|z-\alpha |=|z-\beta |$$

これは、線分 $\alpha \beta$ の垂直二等分線である。複素数 $1$ 文字で、円や直線が書けてしまう。座標だと $2$ 文字($x$、$y$)必要だったのに。

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2⟷|z-\alpha |=r$$

左の式は $2$ 変数、右の式は $1$ 変数。この簡潔さが複素数で図形を扱う最大のメリットだ。そして、和と差の対比。

$$z_1+z_2⟶\text{平行四辺形の対角線}$$ $$z_2-z_1⟶z_1\text{ から }{z}_2\text{ へのベクトル}$$

「足すと、対角線。引くと、向き。」この $2$ つを掴んでおけば、複素数平面の図形問題は、ぐっと見通しがよくなる。

そして、$\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}$ という「商」を考えると、角度が出てくる。($2$ つのベクトルの比をとると、偏角が、なす角になる。)この形が、「$3$ 点が一直線上」「$2$ 直線が垂直」といった条件を、$1$ 行で書く決め手になる。

足し算という、いちばん基本の演算。その意味を「ベクトル」として掴むことが、複素数平面のすべての出発点になる。