積分法の計算 ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 被積分関数 $x{e}^{x^2}$ を見る。$e^{x^2}$ の指数 $x^2$ の微分は $2x$ で、前の $x$ がその一部になっている。

こういう「中身の微分が外にある」形は、置換積分の合図。$t=x^2$ とおけば $xdx$ がまとめて $\frac{1}{2}dt$ に置きかわり、$\int e^{t}dt$ という簡単な積分になる。定積分なので、区間も $x$ から $t$ に直しておく、と見通す。

① 置換する。 $t=x^2$ とおくと $dt=2xdx$、すなわち $xdx=\frac{1}{2}dt$。区間は $x:0\to 1$ に対して $t:0\to 1$。

② 積分する。

$${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx={\int }_0^1{e}^t\cdot \frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}[e^t{]}_0^1=\frac{1}{2}(e-1)$$

よって $\frac{e-1}{2}$。

まとめ:「中身の微分が外にある」形は置換積分。$t=x^2$ で $xdx=\frac{1}{2}dt$ とまとめ、$\int e^{t}dt$ に。定積分は区間も $t$ に直せば、$x$ に戻す手間が省ける。$x$ の前の係数と $dt$ の関係($xdx=\frac{1}{2}dt$)を正確に。

発展。 置換積分は「合成関数の微分(連鎖律)の逆回し」。$\frac{d}{dx}{e}^{x^2}=e^{x^2}\cdot 2x$ を逆から読めば、$\int 2x{e}^{x^2}dx=e^{x^2}$。前の係数を合わせれば今回の積分になる。

一般に「$g^{\prime }(x)h(g(x))$」の形は、$H$ を $h$ の原始関数として $H(g(x))$ が原始関数。$\int g^{\prime }{e}^g=e^g$、$\int g^{\prime }\cos g=\sin g$ など、パターンは同じ。だから被積分関数を見たら「中身とその微分が両方いるか」をまず探す。いれば置換ですぐに片づく。

別解

別解:原始関数を見抜いて検算する(得意な人向けの視点)。 置換を書き下さなくても、$x{e}^{x^2}$ の原始関数を「あたりをつけて」微分で確かめられる。

$e^{x^2}$ を微分すると $2x{e}^{x^2}$。前に $x$ が $1$ つだから、原始関数は $\frac{1}{2}{e}^{x^2}$ と見当がつく。確かめると

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}{e}^{x^2}\right)=\frac{1}{2}\cdot e^{x^2}\cdot 2x=x{e}^{x^2}.$$

ぴたり一致。あとは代入するだけ。

$${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx={\left[\frac{1}{2}{e}^{x^2}\right]}_0^1=\frac{1}{2}(e-1).$$

$t=x^2$ と置換する本解と同じ。置換に慣れると、こうして「原始関数を予想 → 微分で検算」と暗算に近い形で進める。係数 $\frac{1}{2}$ は「$2x$ の $2$ を打ち消す」ぶんだと分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\log x$ をそのまま積分する公式はない。そこで部分積分に持ち込む。

$\log x=1\cdot \log x$ とみて、$1$ を「積分する側」($\to x$)、$\log x$ を「微分する側」($\to \frac{1}{x}$)にする。すると残る積分が $\int x\cdot \frac{1}{x}dx=\int 1dx$ という簡単な形になる。$\log$ は微分すると簡単になるので、微分する側に置くのが基本、と見通す。

① 部分積分する。 $f^{\prime }=1$($f=x$)、$g=\log x$($g^{\prime }=\frac{1}{x}$)とすると

$$\int \log xdx=x\log x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\log x-\int 1dx=x\log x-x$$

② 定積分を計算する。

$${\int }_1^e\log xdx=[x\log x-x{]}_1^e=(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)=0-(-1)=1$$

まとめ:$\log x$ の積分は「$1\cdot \log x$ とみて部分積分」。$1$ を積分して $x$、$\log x$ を微分して $\frac{1}{x}$、すると $x\cdot \frac{1}{x}=1$ の積分になる。原始関数は $x\log x-x$。$\log e=1$、$\log 1=0$ の代入に注意。

発展。 「$1\cdot \log x$ とみて部分積分」の手は微分すると簡単になる関数すべてに使える。$\arctan x$ や $\arcsin x$ の積分も、同じく $1$ を掛けて部分積分すれば原始関数が出る。

部分積分そのものは積の微分 $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ を移項して積分した式。だから「積の微分の逆回し」だ。$\int \log xdx=x\log x-x$ はよく使う原始関数。定積分 ${\int }_1^e\log xdx=1$ は、曲線 $y=\log x$ と $x$ 軸・直線 $x=e$ で囲む面積でもある。式の裏に図がある。

別解

別解:原始関数を予想して微分で確かめる(得意な人向けの視点)。 部分積分の組み立てを思い出せなくても、$\log x$ の原始関数を予想して検算できる。

$\log x$ を含む式で微分すると $\log x$ が出そうなのは $x\log x$。ただし微分すると余分が出る。

$$\frac{d}{dx}(x\log x)=\log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1.$$

余分な $+1$ を消すために $-x$ を足す。$\frac{d}{dx}(x\log x-x)=\log x+1-1=\log x$。ぴたり一致。

だから原始関数は $x\log x-x$。代入して

$${\int }_1^e\log xdx=[x\log x-x{]}_1^e=(e-e)-(0-1)=1.$$

部分積分で組み立てる本解と同じ。「$x\log x$ を微分すると余分な $1$ が出る、それを $-x$ で打ち消す」と見れば、原始関数 $x\log x-x$ の形が腑に落ちる。$\log e=1$、$\log 1=0$ の代入だけ注意。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分母が積の分数は、そのままでは積分できない。そこで部分分数に分ける。

$\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ は $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$ に分解できる。各項は $\frac{1}{x+a}$ の形で、$\log$ の積分になる。分けてから積分し、区間を代入する、と見通す。分母の差が $1$ なので係数はそのまま $1$。

① 部分分数に分ける。

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$$

② 積分する。

$${\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx=[\log (x+1)-\log (x+2){]}_0^1={\left[\log \frac{x+1}{x+2}\right]}_0^1$$

③ 代入する。

$$=\log \frac{2}{3}-\log \frac{1}{2}=\log \frac{2}{3}+\log 2=\log \frac{4}{3}$$

まとめ:分母が積の分数は「部分分数に分けて $\log$ の積分」。$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$ と分け、$\log \frac{x+1}{x+2}$ を代入。$\log \frac{2}{3}-\log \frac{1}{2}=\log (\frac{2}{3}\cdot 2)=\log \frac{4}{3}$ とまとめる。

発展。 一般に $\int \frac{dx}{(x+a)(x+b)}=\frac{1}{b-a}\log \left|\frac{x+a}{x+b}\right|$。今回は $b-a=1$ だから係数が $1$ で、きれいにまとまった。

分母の差が $2$ や $3$ なら、その逆数が前に出る。部分分数は「有理関数の積分」ならいつでも使える方法で、分母を $1$ 次式の積に分けさえすれば、あとはすべて $\log$ に落ちる。

定積分 ${\int }_0^1$ が $\log \frac{4}{3}$ という簡単な値になるのは、両端で $\frac{x+1}{x+2}$ が $\frac{1}{2}$ と $\frac{2}{3}$ という有理数になるから。分数の積分が対数を生む、という基本形だ。

別解

別解:係数を「隠す」方法で部分分数を作る(得意な人向けの視点)。 $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$ の $A,B$ は、代入の一手ですぐに出せる。

$A$ を出すには、両辺に $(x+1)$ を掛けて $x=-1$ を代入する。左辺は $\frac{1}{x+2}$ の $x=-1$、つまり $\frac{1}{-1+2}=1$。だから $A=1$。

$B$ も同様に、$(x+2)$ を掛けて $x=-2$ を代入。$\frac{1}{-2+1}=-1$ で $B=-1$。よって $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$。あとは積分して

$${\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx={\left[\log \frac{x+1}{x+2}\right]}_0^1=\log \frac{2}{3}-\log \frac{1}{2}=\log \frac{4}{3}.$$

分解を天下り的に使う本解と同じ。「消したい因数を掛けて、その根を代入する」この隠す方法(ヘヴィサイドの方法)なら、係数を連立せずにすぐに決められる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ${\sin }^{2}x$ をそのまま積分する公式はない。そこで半角の公式で次数を下げる。

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ にすれば、定数 $\frac{1}{2}$ と $\cos 2x$ の積分に分かれる。どちらも積分できる形。$\cos 2x$ の積分は中身 $2x$ の微分 $2$ で割って $\frac{1}{2}\sin 2x$。次数を下げて素直に積分する、と見通す。

① 次数を下げる。

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

② 積分する。

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{1}{2}{\left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]}_0^{\pi /2}$$

③ 代入する。 $\sin \pi =0$、$\sin 0=0$ だから

$$=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\sin \pi \right)-\frac{1}{2}(0-0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$$

まとめ:${\sin }^{2}x$ の積分は「半角で次数を下げる」。$\frac{1-\cos 2x}{2}$ にすると $\cos 2x$ の積分($\frac{1}{2}\sin 2x$)に。$\sin \pi =0$ で $\cos 2x$ の項が消え、$\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$ が残る。${\cos }^{2}x$ なら $\frac{1+\cos 2x}{2}$。

発展。 ${\sin }^{2}x$ の $1$ 周期にわたる平均は $\frac{1}{2}$。区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ の長さ $\frac{\pi }{2}$ にこの平均 $\frac{1}{2}$ を掛けると、ちょうど $\frac{\pi }{4}$。積分の値は「平均 $\times$ 幅」でもある。

半角で次数を下げる手は ${\sin }^{4}x$、${\sin }^{6}x$ など高次でも使える。${\sin }^{2n}x$ の $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上の積分はウォリスの公式として知られ、値に $\pi$ が現れる。「$2$ 乗は積分しにくいが、半角で $1$ 次に落とせば積分できる」というのが、三角関数の偶数乗を積分する常道だ。

別解

別解:対称性で ${\sin }^2$ と ${\cos }^2$ をそろえる(得意な人向けの視点)。 半角の公式を使わず、区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ の対称性だけで求まる。

$x\to \frac{\pi }{2}-x$ の置換で $\sin x\leftrightarrow \cos x$ が入れかわるので

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx.$$

この $2$ つを $I$ とおくと、足し合わせは

$$2I={\int }_0^{\pi /2}({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)dx={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}.$$

${\sin }^2+{\cos }^2=1$ を使うと、右辺は幅 $\frac{\pi }{2}$ の積分になる。よって $I=\frac{\pi }{4}$。半角で次数を下げる本解と同じ。${\sin }^2$ と ${\cos }^2$ が対称で、和が $1$ という関係を使うと、原始関数を計算せずに答えが出る。区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ だから使える方法だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $e^x\cos x$ は、部分積分しても $e^x\sin x$、$e^x\cos x$ と「指数 $\times$ 三角」の形が出続ける。堂々巡りに見える。

だが、$2$ 回部分積分すると、もとの積分 $I$ そのものが右辺に現れる(循環)。そこで $I=(\text{式})-I$ という方程式が立つ。これを $I$ について解けば原始関数が出る、という「循環型」の手法で進む、と見通す。

① 部分積分を $2$ 回。 不定積分 $I=\int e^x\cos xdx$ とおく。$e^x$ を積分側にして

$$I=e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)dx=e^x\cos x+\int e^x\sin xdx$$

もう $1$ 回、$\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-I$ を代入すると

$$I=e^x\cos x+e^x\sin x-I$$

② $I$ について解く。 $2I=e^x(\sin x+\cos x)$、よって

$$I=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}$$

③ 定積分を計算する。 $x=\pi$ で $\sin \pi +\cos \pi =0-1=-1$、$x=0$ で $\sin 0+\cos 0=0+1=1$。

$${\int }_0^{\pi }{e}^x\cos xdx={\left[\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}\right]}_0^{\pi }=\frac{e^{\pi }(-1)}{2}-\frac{1\cdot 1}{2}=-\frac{e^{\pi }+1}{2}$$

まとめ:指数 × 三角の積分は「$2$ 回部分積分して循環 → $I$ の方程式」。$2I=e^x(\sin x+\cos x)$ から原始関数 $\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}$。$x=\pi$ で三角の和が $-1$ になり、$-\frac{e^{\pi }+1}{2}$。

発展。 循環は複素数を使うと説明できる。$e^x\cos x$ は $e^{(1+i)x}$ の実部で、指数関数はどんな回数微分・積分しても形が崩れない。

そのため、$\int e^{(1+i)x}dx=\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}$ とすぐに積分でき、実部をとると原始関数 $\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}$ が出る。分母の $1+i$ から、あの「$2$ で割る」が出てくる。$\int e^{ax}\cos bxdx$ も $\int e^{ax}\sin bxdx$ も、複素指数 $e^{(a+bi)x}$ ひとつにまとめて処理できる。循環型の部分積分は複素数を使わずに同じ結果へたどり着く道だ。

別解

別解:複素指数にまとめて積分する(得意な人向けの視点)。 $e^x\cos x$ を、複素指数 $e^{(1+i)x}$ の実部とみると、部分積分を回さずに済む。

オイラーの公式から $e^{(1+i)x}=e^x(\cos x+i\sin x)$。その実部が $e^x\cos x$。指数関数の積分は簡単で

$${\int }_0^{\pi }{e}^{(1+i)x}dx={\left[\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right]}_0^{\pi }=\frac{e^{(1+i)\pi }-1}{1+i}.$$

$e^{(1+i)\pi }=e^{\pi }(\cos \pi +i\sin \pi )=-e^{\pi }$ だから、分子は $-(e^{\pi }+1)$。分母を有理化して

$$\frac{-(e^{\pi }+1)}{1+i}=\frac{-(e^{\pi }+1)(1-i)}{2}.$$

求める積分はこの実部だから、$\frac{-(e^{\pi }+1)}{2}$。$2$ 回部分積分して循環させる本解と同じ $-\frac{e^{\pi }+1}{2}$。複素指数を使うと「指数 $\times$ 三角」の積分が、ただの指数関数の積分になる。$\frac{1}{1+i}$ の実部が原始関数の $\frac{1}{2}$ の出どころだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分母に $\sin x+\cos x$ があり、直接は積分しにくい。

ここで区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ の対称性、$x\to \frac{\pi }{2}-x$ の置換に注目する。この置換で $\sin x\leftrightarrow \cos x$ が入れかわる。もとの積分 $I$ と、置換後の積分を足すと、分子が $\sin x+\cos x$ になって分母と約分され、$1$ の積分になる。

しかも置換しただけなので値は同じ($I=J$)。だから $2I$ から $I$ が求まる、と見通す。

① 置換して $J$ を作る。 $I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$ とおく。$x\to \frac{\pi }{2}-x$ の置換で、$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$、$\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ だから

$$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx(=J)$$

(置換しただけなので値は同じ $I$。)

② $I+I$ を計算する。 もとの $I$(分子 $\sin x$)と、いまの $I$(分子 $\cos x$)を足すと、分子が $\sin x+\cos x$ になって分母と約分される。

$$2I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}$$

③ $I$ を求める。

$$I=\frac{\pi }{4}$$

まとめ:分母が $\sin +\cos$ の積分は「$x\to \frac{\pi }{2}-x$ の置換で $\sin \leftrightarrow \cos$」。もとと置換後を足すと分子が分母と同じになり $\int 1=\frac{\pi }{2}$。値が同じ($I=J$)ことから $2I=\frac{\pi }{2}$、$I=\frac{\pi }{4}$。積分を計算せず、対称性だけで求まる。

発展。 この手の要は ${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$(積分の対称性)。被積分関数を「折り返したもの」と足すと、扱いやすい形にそろうことが多い。

じつはこの積分は、原始関数を直接求めることもできる。$\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\right)$ と書けて、第 $2$ 項は $\log (\sin x+\cos x)$ の微分だから、区間の両端で打ち消し合って $0$。残るのは $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$。

対称性ですぐに出す方法と、原始関数を作る地道な方法のどちらでも、同じ $\frac{\pi }{4}$ にたどり着く。うまい対称性は計算の大半を省いてくれる。

別解

別解:分子を変形して直接積分する(得意な人向けの視点)。 対称性に頼らず、被積分関数を「定数 $+$ 対数の微分」に分けても求まる。

分子 $\sin x$ を、分母 $\sin x+\cos x$ とその微分 $\cos x-\sin x$ で表す。

$$\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\right).$$

第 $2$ 項の分子 $\cos x-\sin x$ は分母 $\sin x+\cos x$ の微分そのもの。だから $\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}=(\log (\sin x+\cos x){)}^{\prime }$。積分すると

$$I=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}1dx-\frac{1}{2}[\log (\sin x+\cos x){]}_0^{\pi /2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}(\log 1-\log 1)=\frac{\pi }{4}.$$

($x=\frac{\pi }{2},0$ でどちらも $\sin x+\cos x=1$ なので対数の差は $0$。)対称性で $2I=\frac{\pi }{2}$ とする本解と同じ $\frac{\pi }{4}$。「分子を分母とその微分で書く」と、分数の積分は定数と対数に分かれる。この積分が確かに原始関数をもつことも、この道なら見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ という形は、区分求積法の合図。

幅 $\frac{1}{n}$ の短冊の面積和で、$n\to \infty$ で定積分 ${\int }_0^{1}f(x)dx$ に収束する。ここでは $f\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{1+(k/n{)}^2}$ なので、$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$。あとはこれを $0$ から $1$ まで積分するだけ、と見通す。

① 定積分に直す。 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ とみると

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+(k/n{)}^2}={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$$

② 積分する。 $\frac{1}{1+x^2}$ の原始関数は $\arctan x$(逆正接)。

$${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=[\arctan x{]}_0^1=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi }{4}-0=\frac{\pi }{4}$$

まとめ:$\frac{1}{n}\sum f(\frac{k}{n})$ は区分求積法で ${\int }_0^{1}f$。$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ の積分は $\arctan x$ で、$\arctan 1=\frac{\pi }{4}$。和の形から積分を見抜くのがすべて。$\frac{k}{n}$ が積分変数 $x$、$\frac{1}{n}$ が $dx$ に対応する。

発展。 区分求積法はそもそも定積分の定義そのもの。「幅 $\frac{1}{n}$ の短冊を足し、幅を $0$ に近づける」極限が積分だ。$\frac{k}{n}$ が積分変数 $x$、$\frac{1}{n}$ が $dx$ に対応する。

答え $\frac{\pi }{4}=\arctan 1$ は、ライプニッツの級数 $\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ とも結びつく。$\frac{1}{1+x^2}$ を等比級数に展開して項別積分すると、この交代級数が出てくる。

和の形を見て「これは積分だ」と気づけるかがすべて。逆に、積分を和で近似すれば数値計算になる。和と積分は、離散と連続の同じものの両面だ。

別解

別解:積分を三角置換で計算する(得意な人向けの視点)。 区分求積で ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$ に直したあと、この積分をなぜ $\arctan$ が出るのか、置換で確かめられる。

$x=\tan \theta$ とおく。$dx=\frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta$、$1+x^2=1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$。だから

$$\frac{1}{1+x^2}dx={\cos }^2\theta \cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta =d\theta .$$

区間は $x:0\to 1$ に対して $\theta :0\to \frac{\pi }{4}$($\tan \frac{\pi }{4}=1$)。よって

$${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx={\int }_0^{\pi /4}d\theta =\frac{\pi }{4}.$$

$\arctan x$ を原始関数として使う本解と同じ。$x=\tan \theta$ の置換で $1+x^2$ が $\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ に変わり、面倒な分数が消えて $\int d\theta$ になる。$\arctan$ が「$\tan$ の逆」であることが、この置換ではっきり分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値つきの定積分は、中身の符号で区間を分けるのが原則だ。

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ の符号を調べる。$-1\le x\le 1$ で負、$1\le x\le 2$ で正。負の区間では絶対値を外すとき符号を反転する($|x^2-1|=1-x^2$)。

区間 $[-1,1]$ と $[1,2]$ に分けて、それぞれ積分して足す、と段取りする。

① 符号を調べる。 $x^2-1$ は $-1\le x\le 1$ で $\le 0$、$1\le x\le 2$ で $\ge 0$。

$$|x^2-1|=\{\begin{array}{ll}1-x^2& (-1\le x\le 1)\\ x^2-1& (1\le x\le 2)\end{array}$$

② 区間ごとに積分する。

$${\int }_{-1}^1(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$ $${\int }_1^2(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_1^2=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}$$

③ 足す。

$${\int }_{-1}^2|x^2-1|dx=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$$

まとめ:絶対値の定積分は「符号で区間分け → 各区間で外して積分 → 足す」。$[-1,1]$ では $1-x^2$(反転)、$[1,2]$ では $x^2-1$。境目 $x=1$ で分けて、それぞれ $\frac{4}{3}$、合わせて $\frac{8}{3}$。

発展。 ${\int }_{-1}^2|x^2-1|dx$ は、曲線 $y=|x^2-1|$ と $x$ 軸で囲む「面積」。絶対値がつくと、放物線 $x^2-1$ の $x$ 軸より下の部分が、上に折り返される。

面積はつねに正だから、絶対値の積分は「符号を無視した総量」を測る。もし絶対値を外し忘れて ${\int }_{-1}^2(x^2-1)dx$ を計算すると、正の部分と負の部分が打ち消し合って $0$ になり、面積とはまるで別物になる。

「符号付きの積分」と「絶対値(面積)の積分」は違う、という区別が要。速さと道のり(道のりは速度の絶対値の積分)も、この違いにあたる。

別解

別解:符号付き積分から折り返しぶんを足す(得意な人向けの視点)。 区間を分けずに、まず符号付きで積分し、負だった部分を「折り返す」補正を加える手もある。

絶対値なしだと、${\int }_{-1}^2(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_{-1}^2=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(-\frac{1}{3}+1\right)=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0$。この $0$ は、負の部分 $[-1,1]$ と正の部分 $[1,2]$ がちょうど打ち消し合った結果。負の部分の値は ${\int }_{-1}^1(x^2-1)dx=-\frac{4}{3}$。絶対値をつけると、この負の部分の符号が反転する。だからもとの積分値 $0$ に、負だった $-\frac{4}{3}$ を「反転で $+\frac{4}{3}$ に変える」ぶん、$2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ を足す。

$${\int }_{-1}^2|x^2-1|dx=0-2\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{3}.$$

区間ごとに積分して足す本解と同じ。「符号付き積分 $-$ $2\times$(負の部分)」という見方は、負の領域が少ないときに手早い。区間 $[-1,1]$ の $1-x^2$ が偶関数で $2{\int }_0^1(1-x^2)dx=\frac{4}{3}$ となるのも、計算を軽くする。