積分法の計算 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 積分とは、微分の逆をたどることだ。

問いを、こう読み替える。「微分すると $x^3$ になる関数は、何か?」

微分すると指数が $1$ 減る。 だから、もとの指数は $1$ 大きい $4$ のはずだ。

$x^4$ を微分してみる。

$$(x^4{)}^{\prime }=4x^3$$

惜しい。$4$ が余分だ。

なら、$4$ で割っておけばいい。

$${\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\prime }=\frac{4x^3}{4}=x^3$$

これが公式の成り立つ理由である。

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

「指数を $1$ 増やして、その数で割る」

そして、$+C$ を忘れない。 定数は微分すると消えるので、$x^4/4$ に何を足しても、微分すれば同じ $x^3$ になる。

答えは $1$ つではなく、無限にある。 その全部をまとめて表すのが $+C$ だ。

指数を $1$ 増やして、その数で割る。

$$\int x^{3}dx=\frac{x^{3+1}}{3+1}+C=\frac{x^4}{4}+C$$

まとめ:累乗の積分は「指数 $+1$、その数で割る」。微分($n{x}^{n-1}$)の逆。$C$ を付けるのを忘れずに。微分して戻るか確かめると安心だ。

発展。 「微分の逆が積分」という当たり前に見える関係は、実は大事な内容をもっている。

それを、微積分学の基本定理という。$2$ つの、まったく違う概念を結びつけているからだ。

• 微分:接線の傾き。局所的な、瞬間の変化率
• 積分:曲線の下の面積。大域的な、全体の積み上げ

傾きと面積。 一見、何の関係もない。それが「逆の操作」だというのは、意外な主張である。

なぜ、そうなるのか。面積を変数の関数と見る。

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt(\text{a から x までの面積})$$

$x$ を、ほんの少し($h$ だけ)増やす。 面積はどれだけ増えるか。増えた部分は、幅 $h$、高さ約 $f(x)$ の細い長方形だ。

$$F(x+h)-F(x)\approx f(x)\cdot h$$

両辺を $h$ で割る。

$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\approx f(x)$$

$h\to 0$ とすると、左辺は $F^{\prime }(x)$。

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(x)}$$

「面積を求める関数を微分すると、もとの関数に戻る」

これが基本定理だ。

証明の中心は $1$ 行の式「面積の増加分 $\approx$ 高さ $\times$ 幅」である。この定理で、何が変わったのか。

それまで、面積の計算は「無限個の長方形を足し上げる」という、大変な作業だった。 アルキメデスが放物線の面積を求めるのに、何十行もの議論を要した。基本定理はそれを「原始関数を見つけて、端点で引き算する」に変えた。

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

無限の足し算が $2$ つの引き算になった。$17$ 世紀、ニュートンとライプニッツが独立に発見したこの定理が、微積分を「計算可能な技術」に変えた。この定理はその後の物理学や工学の基礎になった。

「微分の逆が積分」

この $1$ 行は微積分でいちばん基本になる定理の $1$ つである。

別解

「積分 $=$ 面積」の側から、係数 $\frac{1}{4}$ の意味を確かめる。$0$ から $1$ まで、$y=x^3$ の下の面積を求めよう。公式を使えば

$${\int }_0^1{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=\frac{1}{4}$$

この $\frac{1}{4}$ を、面積の定義(細長い長方形の足し上げ)から出せるだろうか。

区間 $[0,1]$ を $n$ 等分する。 $k$ 番目の長方形は

• 横幅: $\frac{1}{n}$
• 高さ: ${\left(\frac{k}{n}\right)}^3$

全部足す。

$$S_n=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^3\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^4}\sum _{k=1}^n{k}^3$$

ここで、$\Sigma k^3$ の公式(数列で学んだ)を使う。

$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$$

代入する。

$$S_n=\frac{1}{n^4}\cdot \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=\frac{(n+1{)}^2}{4n^2}=\frac{1}{4}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2$$

$n\to \infty$ とすると

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{4}(1+0{)}^2=\frac{1}{4}$$

面積は $\frac{1}{4}$ 公式と一致した。

数値でも確かめよう。

$$S_{100}=\frac{1}{4}(1.01{)}^2=0.2550,S_{10000}=0.2500\dots$$

確かに $\frac{1}{4}$ に近づいている。

この計算が示すこと。

積分の公式 $\frac{x^{p+1}}{p+1}$ の分母 $p+1$ は、$\Sigma k^p$ の公式の最高次の係数から来ている。

$$\sum k=\frac{n^2}{2}+\cdots ,\sum k^2=\frac{n^3}{3}+\cdots ,\sum k^3=\frac{n^4}{4}+\cdots$$

$\sum _{k=1}^n{k}^p\approx \frac{n^{p+1}}{p+1}$ であり、この $\frac{1}{p+1}$ がそのまま積分公式の係数になる。「和の公式」と「積分の公式」は、同じ構造をしていたのだ。歴史的には、こちらが先だった。

アルキメデスは $2000$ 年前に「放物線と直線が囲む面積」を、この方法(取り尽くし法)で求めている。 微分も積分もない時代に、無限に細かい長方形を足し上げて。微積分の発明($17$ 世紀)はこの面倒な計算を「微分の逆」という一手に置き換えた。

$\Sigma$ の公式を思い出して極限をとる、という数ページの計算が、$\frac{x^4}{4}$ という $1$ 行で済むようになった。それが「微積分学の基本定理」の役割である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\frac{1}{x}=x^{-1}$ だから、累乗の公式を使いたくなる。

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

$n=-1$ を入れてみよう。

$$\frac{x^0}{0}?$$

分母が $0$。 使えない。累乗の公式には、$1$ か所だけ使えないところがある。それが $n=-1$ だ。

では、どうするか。「微分すると $\frac{1}{x}$ になる関数」を思い出す。

$$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

対数だ。

ただし、$\log x$ は $x>0$ でしか定義されない。 $x<0$ でも $\frac{1}{x}$ は意味をもつので、そちらもカバーしたい。そこで、絶対値をつける。

$$\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+C$$

「$\frac{1}{x}$ の積分だけは例外で、対数になる。しかも絶対値つき。」

累乗の公式 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ は $n=-1$ で分母が $0$ になり使えない。$\frac{1}{x}$ の積分は

$$\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+C$$

まとめ:$\frac{1}{x}$ の積分だけは $\log |x|$ という特別な結果($(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ の逆)。$x<0$ でも定義できるように絶対値を付けるのが約束。累乗の公式の唯一の例外だ。

発展。 $\frac{1}{x}$ の積分だけがなぜ特別なのか。面積の側から見ると、その理由が見える。

双曲線 $y=\frac{1}{x}$ の下の面積を、$1$ から $x$ まで測る。

$$A(x)={\int }_1^x\frac{1}{t}dt$$

この面積関数は特別な性質をもつ。

$$A(ab)=A(a)+A(b)$$

「掛け算が、足し算になる」なぜ、そうなるのか。

$$A(ab)={\int }_1^{ab}\frac{1}{t}dt={\int }_1^a\frac{1}{t}dt+{\int }_a^{ab}\frac{1}{t}dt$$

第 $2$ 項で、$t=as$ と置換する($dt=ads$、$t:a\to ab$ のとき $s:1\to b$)。

$${\int }_a^{ab}\frac{1}{t}dt={\int }_1^b\frac{1}{as}\cdot ads={\int }_1^b\frac{1}{s}ds=A(b)$$

$a$ が約分されて消えた。

$$A(ab)=A(a)+A(b)■$$

この「掛け算 → 足し算」こそ、対数の定義的な性質である。

$$\log (ab)=\log a+\log b$$

つまり、$\frac{1}{x}$ の下の面積は対数そのものである。なぜ、$\frac{1}{x}$ でだけ、こんなことが起こるのか。$\frac{1}{x}$ がスケール不変だからだ。

区間 $[a,ab]$ を、区間 $[1,b]$ に縮めると、幅は $\frac{1}{a}$ 倍になる。 同時に、高さ $\frac{1}{t}$ は $a$ 倍になる。面積($=$ 幅 $\times$ 高さ)は変わらない。

$$\frac{1}{a}\times a=1$$

「拡大しても、面積が変わらない」という性質をもつのは、$y=\frac{1}{x}$ ただ $1$ つだ。$y=\frac{1}{x^2}$ で試すと、幅 $\frac{1}{a}$ 倍、高さ $a^2$ 倍で、面積は $a$ 倍に変わってしまう。このスケール不変性が「掛け算 → 足し算」を生み、対数を生む。

そして、$n=-1$ が累乗公式の「穴」である理由も、これだ。

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

$n\ne -1$ なら、答えは $x$ のべき。 べき関数は「$x$ を $a$ 倍すると、値が $a^{n+1}$ 倍」というスケール則をもつ。

だが $n=-1$ のときだけ、面積がスケール不変になる。 べき関数では表せない。「拡大しても変わらないもの」を測るには、掛け算を足し算に変える関数(つまり対数)が必要になる。

$\frac{1}{x}$ の積分が対数になるのは、偶然ではなく必然である。

別解

なぜ絶対値が要るのか。$x<0$ の場合を、実際に計算して確かめる。

「絶対値をつけろ」と言われても、納得しにくい。 自分の手で確かめよう。

$x<0$ のとき、$\log x$ は定義されない($\log$ の中身は正でなければならない)。では、$x<0$ のとき、微分すると $\frac{1}{x}$ になる関数は何か。

$\log (-x)$ を試してみよう。 $x<0$ なら $-x>0$ なので、これは定義できる。合成関数の微分で計算する。

$${\left\{\log (-x)\right\}}^{\prime }=\frac{1}{-x}\times (-1)=\frac{1}{x}$$

($\log u$ の微分は $\frac{u^{\prime }}{u}$。ここで $u=-x$、$u^{\prime }=-1$。)

確かに $\frac{1}{x}$ になった。

まとめると、こうだ。

$$x>0\text{のとき}:\int \frac{1}{x}dx=\log x+C$$ $$x<0\text{のとき}:\int \frac{1}{x}dx=\log (-x)+C$$

$2$ つの場合を、$1$ つの式にまとめたい。

そこで気づく。

$$x>0⟹|x|=x$$ $$x<0⟹|x|=-x$$

どちらの場合も、$\log |x|$ と書ける。

$$\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+C$$

絶対値は $2$ つの場合を $1$ 行にまとめる工夫である。

数値で確かめよう。 $x=-2$ での傾きは?

$$\frac{d}{dx}\log |x|{|}_{x=-2}=\frac{1}{-2}=-0.5$$

$\log |-2|=\log 2\approx 0.693$、$\log |-2.01|=\log 2.01\approx 0.698$。

$$\frac{0.698-0.693}{-2.01-(-2)}=\frac{0.005}{-0.01}=-0.5$$

確かに、$x<0$ でも導関数は $\frac{1}{x}$ になっている。

注意すべきこと。

$\log |x|$ のグラフは $y$ 軸に関して対称ではない。

むしろ、$x>0$ の部分と $x<0$ の部分は $y$ 軸を境に鏡映しになっている。

そして、$x=0$ をまたいで積分してはいけない。

$${\int }_{-1}^1\frac{1}{x}dx?$$

$x=0$ で被積分関数が発散する。 この積分はそもそも定義されない(発散する)。「絶対値をつけたから、負でも大丈夫」ではない。

$x=0$ という特異点を、またぐことはできないのだ。 積分区間は必ず $x>0$ か $x<0$ のどちらかに収まっていなければならない。

絶対値は便利だが、$0$ の壁は越えられない。 そこを混同しないことが大切だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「微分すると $e^{2x}$ になる関数」を探す。

まず、素直に $e^{2x}$ 自身を微分してみよう。

$${\left(e^{2x}\right)}^{\prime }=e^{2x}\times 2=2e^{2x}$$

合成関数だから、内側 $2x$ の微分 $2$ が余分に出てくる。

$2$ 倍になってしまった。

なら、あらかじめ $\frac{1}{2}$ を掛けておけばいい。

$${\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\times 2e^{2x}=e^{2x}$$

「微分で出てくる係数を、積分では割って打ち消す」これが、合成関数の積分の基本発想だ。

$$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax}+C$$

同じ発想は $\sin 2x$ や $(2x+1{)}^5$ の積分にも使える。

$$\int \sin 2xdx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$$

内側が $1$ 次式なら、その係数で割る。 これでまとめて処理できる。

$e^{2x}$ を微分すると $2e^{2x}$。積分では逆に $\frac{1}{2}$ をかける。

$$\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$$

まとめ:$e^{ax}$ の積分は「$\frac{1}{a}$ をかけて $e^{ax}$」。微分で $a$ が前に出るぶん、積分では $\frac{1}{a}$ で打ち消す。$a=1$ なら $e^x$ のまま。$\frac{1}{2}$ を忘れやすいので注意。

発展。 「$\frac{1}{a}$ を掛けて補正する」という手は、内側が $1$ 次式のときだけ通用する。

なぜ、$1$ 次式限定なのか。内側の微分が定数だからだ。

$$u=2x⟹u^{\prime }=2(\text{定数})$$

定数なら、積分の外にくくり出せる。では、内側が $2$ 次式ならどうなるか。

$$\int e^{x^2}dx$$

$u=x^2$ とおくと $du=2xdx$。

ところが、被積分関数には $2x$ という因子がない。

$$\int e^{x^2}dx=\int e^u\cdot \frac{du}{2x}=\int e^u\cdot \frac{du}{2\sqrt{u}}$$

$u$ が残ってしまい、簡単にならない。この積分は、初等関数では書けないことが証明されている。微分は $3$ 秒。積分は永遠に不可能。

「積分できる形」と「できない形」の境目は、かなり微妙だ。

$$\int 2x{e}^{x^2}dx=e^{x^2}+C(\text{できる})$$

$$\int e^{x^2}dx=?(\text{できない})$$

違いは、$2x$ という因子があるかないか、それだけ。その $2x$ が「$du$ の材料」になるかどうかで、解けるかどうかが分かれる。同じような例を並べてみよう。

$$\int \frac{2x}{1+x^2}dx=\log (1+x^2)+C(\text{できる})$$

$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C(\text{できる。別の技法})$$

$$\int \frac{\sin x}{x}dx=?(\text{できない})$$

$$\int \frac{1}{\log x}dx=?(\text{できない})$$

どれも、見た目は同じくらい単純だ。それでも、積分できるものと、できないものがある。リウヴィルの定理($1835$ 年)がこの境界を厳密に定めた。

「初等関数の原始関数が、初等関数になるとは限らない」

しかも、なるかどうかを判定するアルゴリズムまで存在する(リッシュのアルゴリズム)。数式処理ソフトはこれを使って「初等関数では表せない」と判定している。

微分は、手順が決まっている。 どんな関数も機械的に微分できる。

積分は、そうはいかない。 手がかりを探し、置換や部分積分を試し、それでもダメなら「初等関数では書けない」と認めるしかない。この非対称性があるので、積分では工夫が必要になる。

別解

「$\frac{1}{2}$ を掛けておく」を、置換積分として厳密に書く。慣れれば暗算でできるが、置換の手順を踏むと、なぜ $\frac{1}{2}$ なのかが完全に見える。内側を新しい文字で置く。

$$u=2x$$

両辺を微分する。

$$\frac{du}{dx}=2⟹du=2dx⟹dx=\frac{du}{2}$$

ここが大事なところだ。 $dx$ を $du$ に取り替えるとき、$\frac{1}{2}$ という係数が生まれる。

もとの積分に代入する。

$$\int e^{2x}dx=\int e^u\cdot \frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int e^{u}du$$

$\frac{1}{2}$ が積分の外に出た。あとは、基本の積分だ。

$$=\frac{1}{2}{e}^u+C$$

最後に、$u$ を戻す。

$$=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$$

本解と同じ答え

置換積分の何が起きているのか。$x$ の式を、$u$ の式に書きかえた。

引っ越すと、「ものさし」が変わる。 $u=2x$ なので、$u$ のものさしは $x$ の $2$ 倍細かい。

同じ幅を測っても、$u$ で測ると $2$ 倍の数字が出る。 だから、面積(積分)を合わせるには $\frac{1}{2}$ を掛けて補正する必要がある。

$$dx=\frac{du}{2}$$

この式がものさしの換算率を表している。

cm と mm の換算のようなものだ。 $1$ cm $=$ $10$ mm。同じ長さでも、mm で測れば数字は $10$ 倍。

置換積分は「積分しやすいものさしに、単位を変換する方法」である。この方法はもっと難しい積分で役に立つ。

$$\int 2x{e}^{x^2}dx$$

$u=x^2$ とおくと、$du=2xdx$。

$$=\int e^{u}du=e^u+C=e^{x^2}+C$$

「$2xdx$」というかたまりが、まるごと $du$ に置き換わった。 これが置換積分の考え方だ。「$du$ の部分が、被積分関数の中に隠れている」ので、それを見つけるのが置換積分のコツである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「微分すると $\sin x$ になる関数」を探す。

微分の公式を思い出そう。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$ $$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

$2$ 番目の式に注目する。 $\cos x$ を微分すると、$-\sin x$。欲しいのは $+\sin x$ だから、符号を逆にすればいい。

$$(-\cos x{)}^{\prime }=-(-\sin x)=\sin x$$

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$

マイナスがつく理由が、これだ。微分でマイナスが出るなら、積分では逆にマイナスをつけて打ち消す。

符号を間違えないコツ。

答えを微分して、$\sin x$ に戻るか確かめる。 $3$ すぐにできる検算だ。

「積分は微分の逆。符号もたどり直す。」 これを毎回、口の中で唱えたい。

$(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$ なので、逆に

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$

まとめ:$\sin x$ の積分は $-\cos x$(マイナスがつく)。微分では $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$、$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ だった。積分はその逆なので符号に注意。$\sin \to -\cos$、$\cos \to \sin$ と覚える。

発展。 $\sin$ を $4$ 回微分すると元に戻る。この「$4$ 周期の循環」は、$e^x$ と比べると特徴が分かる。

$$e^x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }{e}^x(1\text{ 周期で変わらない})$$

$$\sin x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }\cos x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }-\sin x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }-\cos x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }\sin x(4\text{ 周期})$$

なぜ、$e^x$ は $1$ 周期で、三角関数は $4$ 周期なのか。オイラーの公式を使うと、その理由が分かる。

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

この式を微分すると

$${\left(e^{ix}\right)}^{\prime }=i{e}^{ix}$$

「微分する」ことが「$i$ を掛ける」ことと同じになった。そして、$i$ を $4$ 回掛けると?

$$i\to i^2=-1\to i^3=-i\to i^4=1$$

$4$ 回で元に戻る。

三角関数の $4$ 周期は虚数単位 $i$ の $4$ 周期と同じものである。

複素数平面で言えば、$i$ を掛けることは $90^{\circ }$ の回転。 $4$ 回回せば $360^{\circ }$ で $1$ 周。「微分すると、位相が $\frac{\pi }{2}$($=90^{\circ }$)進む」という事実と、ぴったり対応している。

この視点は積分にも使える。

$$\int e^{ix}dx=\frac{1}{i}{e}^{ix}+C=-i{e}^{ix}+C$$

($\frac{1}{i}=-i$ を使った。)

実部と虚部に分けると

$$-i(\cos x+i\sin x)=-i\cos x+\sin x$$

一方、左辺は

$$\int (\cos x+i\sin x)dx=\sin x+i(-\cos x)=\sin x-i\cos x$$

両者が一致する

実部を比べると $\int \cos xdx=\sin x$、虚部を比べると $\int \sin xdx=-\cos x$。$2$ つの積分公式が $1$ つの複素数の計算から同時に出てきた。複素数を使うと、三角関数の計算は指数関数の計算になる。

そして、指数関数の計算はずっと簡単だ(微分も積分も、係数を掛けたり割ったりするだけ)。これが、物理学や工学で複素数を多用する理由である。

交流回路の解析、量子力学、信号処理では、どれも三角関数を $e^{ix}$ に置き換えて計算し、最後に実部をとる。

$\int \sin xdx=-\cos x$ という素朴な公式も、複素数を使うと別の見方ができる。

別解

符号を間違えないための「循環の輪」を作る。$\sin$ と $\cos$ の微分は $4$ つで一巡する。

$$\sin x\stackrel{\text{微分}}{\to }\cos x\stackrel{\text{微分}}{\to }-\sin x\stackrel{\text{微分}}{\to }-\cos x\stackrel{\text{微分}}{\to }\sin x$$

$4$ 回微分すると、元に戻る。

確かめよう。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$ $$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$ $$(-\sin x{)}^{\prime }=-\cos x$$ $$(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$$

この輪を頭の中に描いておく。そして、積分は「輪を逆回り」することだ。

$$\sin x\stackrel{\text{積分}}{\leftarrow }-\cos x$$

$\sin x$ の $1$ つ手前(反時計回り)にいるのは、$-\cos x$。

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$

同じ輪で、他の積分も読める。

$$\int \cos xdx=\sin x+C(\cos \text{ の 1 つ手前は }\sin )$$

$$\int (-\sin x)dx=\cos x+C$$

$$\int (-\cos x)dx=-\sin x+C$$

$4$ つの積分公式が $1$ つの輪から全部出てくる。符号で迷ったら、輪を書けばいい。なぜ、こんな循環が起こるのか。

$\sin$ と $\cos$ は $\frac{\pi }{2}$ だけずれた同じ波だからだ。

$$\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$$

微分すると、位相が $\frac{\pi }{2}$ 進む。

$$\text{微分}=\text{波を }\frac{\pi }{2}\text{ ずらす}$$

$4$ 回ずらせば $2\pi$ となり、$1$ 周して元に戻る。積分は逆向きに $\frac{\pi }{2}$ ずらすこと。

$$\int \sin xdx=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)+C=-\cos x+C$$

($\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$ を使った。)

確かに、一致する

「微分 $=$ 位相を進める、積分 $=$ 位相を戻す」電気回路で、コンデンサやコイルが電流の位相をずらすのも、この数学で説明できる。

丸暗記ではなく、$1$ つの輪として覚える。 そうすれば、$4$ つの公式を忘れることはない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 前問と対にして覚えるべき積分だ。

「微分すると $\cos x$ になる関数」は?

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$

そのまま、$\sin x$ である。

$$\int \cos xdx=\sin x+C$$

マイナスはつかない。$2$ つを並べて、対比しよう。

$$\int \sin xdx=-\cos x+C(\text{マイナスあり})$$ $$\int \cos xdx=\sin x+C(\text{マイナスなし})$$

なぜ、$\sin$ の積分にだけマイナスがつくのか。

微分の側を見れば分かる。 $\cos$ を微分するとマイナスが出る($(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$)。その符号を積分では打ち消す必要がある。

逆に、$\sin$ を微分してもマイナスは出ない($(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$)。だから積分でも符号はそのまま。「マイナスが出るのは、$\cos$ を微分するときだけ」ということが、すべての符号のもとになっている。

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ なので、逆に

$$\int \cos xdx=\sin x+C$$

まとめ:$\cos x$ の積分は $\sin x$(マイナスなし)。$\sin x$ の積分($-\cos x$)とセットで覚える。「$\cos \to \sin$、$\sin \to -\cos$」。マイナスがつくのは $\sin$ のほうだ。

発展。 $\sin$ と $\cos$ の積分には、「直交性」という重要な性質がある。

$1$ 周期($0$ から $2\pi$)にわたって、$2$ つの三角関数の積を積分してみよう。

$${\int }_0^{2\pi }\sin x\cos xdx=0$$

$${\int }_0^{2\pi }\sin x\sin 2xdx=0$$

$${\int }_0^{2\pi }\cos x\cos 3xdx=0$$

周波数が違う波どうしの積は、積分すると必ず $0$ になる。ところが、同じ波どうしなら

$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}xdx=\pi (\ne 0)$$

$0$ ではない値が出る。

この性質を直交性という。

なぜ「直交」なのか。

ベクトルの内積を思い出そう。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟺\vec{a}\perp \vec{b}$$

関数どうしの「内積」を、積分で定義する。

$$⟨f,g⟩={\int }_0^{2\pi }f(x)g(x)dx$$

すると、異なる周波数の三角関数は、この内積が $0$ になる。つまり「直交している」ことになる。

関数を無限次元空間のベクトルと見る。 その空間で、$\sin x$、$\cos x$、$\sin 2x$、$\cos 2x$、$\dots$ は互いに直交する基底ベクトルになる。そして、ここからフーリエ級数が生まれる。

「どんな周期関数も、$\sin$ と $\cos$ の重ね合わせで書ける」

$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

係数 $a_n$、$b_n$ は、どうやって求めるか。

直交性を使う。 両辺に $\cos nx$ を掛けて、$0$ から $2\pi$ まで積分する。すると、直交性により、$\cos nx$ の項だけが残り、他はすべて $0$ になる。

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\cos nxdx$$

欲しい成分だけを、「取り出す」ことができる。これは、ベクトルの成分を内積で取り出すのと、まったく同じ操作だ。

$$a_x=\vec{a}\cdot \overrightarrow{e_x}$$

フーリエ解析は現代の多くの技術で使われている。

• MP3: 音を周波数成分に分解し、聞こえない成分を捨てて圧縮
• JPEG: 画像を周波数成分に分解し、細かい成分を捨てて圧縮
• 医療のMRI: 信号を周波数分解して、体内の画像を再構成
• 地震波の解析、音声認識、通信

どれも、この直交性を使っている。そして、その直交性は $\int \cos xdx=\sin x$ のような素朴な積分公式を積み重ねて証明される。基本公式は決して「基本」にとどまらない。

別解

面積として、$\cos$ の積分を「見る」。公式を使うだけでなく、定積分の値がグラフのどこを表しているのかを確かめよう。

$0$ から $\frac{\pi }{2}$ まで積分する。

$${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx={\left[\sin x\right]}_0^{\pi /2}=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1-0=1$$

答えはちょうど $1$。

これは何の面積か。

$\cos$ のグラフで、$x=0$(高さ $1$)から $x=\frac{\pi }{2}$(高さ $0$)まで、なめらかに下がる曲線の下の面積だ。幅は $\frac{\pi }{2}\approx 1.57$、高さは最大 $1$。もし三角形なら、面積は $\frac{1}{2}\times 1.57\times 1\approx 0.785$。

もし長方形なら $1.57$。

実際の面積は $1$ で、その中間にある。 曲線が三角形の斜辺より上に膨らんでいるぶん、面積が大きくなっている。それがちょうど $1$ になる。

次に、$1$ 周期分を積分してみよう。

$${\int }_0^{2\pi }\cos xdx={\left[\sin x\right]}_0^{2\pi }=\sin 2\pi -\sin 0=0-0=0$$

答えは $0$ だ。

なぜ $0$ になるのか。

$\cos$ のグラフは $x$ 軸の上と下を、対称に行き来する。

• $0\sim \frac{\pi }{2}$: 正の面積 $+1$
• $\frac{\pi }{2}\sim \frac{3\pi }{2}$: 負の面積 $-2$
• $\frac{3\pi }{2}\sim 2\pi$: 正の面積 $+1$

合計 $1-2+1=0$。

上と下が、きれいに打ち消し合う。

これは「面積が $0$」ということではない。 実際の面積(絶対値の和)は $4$ だ。

定積分は $x$ 軸より下を負として数える。この符号つきの面積を、符号つき面積という。「$1$ 周期の積分が $0$」という事実には、大事な意味がある。

交流電流(正弦波)の平均値は $0$ だ。 プラスとマイナスが打ち消し合うから。だから、交流の「大きさ」を表すには、平均値では役に立たない。

そこで、$2$ 乗してから平均する(実効値)。

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$$

平均は $\frac{\pi /2}{\pi }=\frac{1}{2}$、その平方根が $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$。

家庭のコンセントが「$100$ V」というのは、この実効値だ。 実際の電圧は $\pm 141$ V の間を振動している($100\times \sqrt{2}\approx 141$)。$\int \cos xdx=\sin x$ という $1$ 行の公式が、電力の計算でも使われる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\frac{1}{x^2}$ を見ると、「また対数か?」と思うかもしれない。

違う。 対数になるのは、$\frac{1}{x}$ だけだ。

指数に直して確かめよう。

$$\frac{1}{x^2}=x^{-2}$$

累乗の公式が使えるのは、$n\ne -1$ のとき。

今回は $n=-2$。 $-1$ ではないので、公式が使える。

$$\int x^{-2}dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}+C$$

答えにマイナスがつくのは、$-1$ で割ったからだ。

検算しよう。

$${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{x^2}$$

「分数の形を見たら対数」ではない。

$\frac{1}{x}$(指数 $-1$)だけが例外で、それ以外は累乗の公式。 この区別を確実にしておこう。

① 指数に直す。 $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$。$n=-2$($\ne -1$)なので公式が使える。

② 公式で積分する。 指数を $1$ 増やして $x^{-1}$、その数 $-1$ で割る。

$$\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x}+C$$

まとめ:$\frac{1}{x^2}$ は $x^{-2}$ に直せば累乗の公式が使える($n=-2$ は例外の $-1$ ではない)。積分結果 $-\frac{1}{x}$ を微分すると $\frac{1}{x^2}$ に戻る。$\frac{1}{x}$($n=-1$)だけが $\log$ になる例外だ。

発展。 「無限に広がるのに、面積は有限」という話を、もう一歩進める。

トリチェリのラッパ(ガブリエルのホルン)という、有名な図形がある。$y=\frac{1}{x}$($x\geqq 1$)を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体だ。無限に長い、細くなっていくラッパの形をしている。

この立体の体積を計算しよう。

$$V=\pi {\int }_1^{\infty }{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}dx=\pi {\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^{\infty }=\pi (0+1)=\pi$$

体積は $\pi$ で、有限だ。無限に長い立体なのに、$\pi$ リットルの水で満たせる。次に、表面積を計算する。

表面積の公式は複雑だが、下から評価するだけで十分だ。

$$S>2\pi {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx=2\pi {\left[\log x\right]}_1^{\infty }=\infty$$

表面積は無限大。

まとめると、こうなる。

$$\boxed{\text{体積}=\pi (\text{有限}),\text{表面積}=\infty }$$

ここに、有名な逆説が生まれる。「このラッパは、$\pi$ リットルのペンキで満たせる。」「だが、内側の表面を塗るには、無限のペンキが要る。」

満たせるのに、塗れない?

どこがおかしいのか。

おかしくない。 数学的には、どちらも正しい。逆説に見える理由は「ペンキを塗る」という物理的なイメージにある。

現実のペンキには、厚みがある。 厚み $t$ のペンキを塗るなら、必要な量は「表面積 $\times$ $t$」で、確かに無限になる。

だが、ラッパの細い部分では、直径がペンキの厚みより小さくなってしまう。 そこはもう「塗る」ことができない。一方、「満たす」というのは、厚みゼロの数学的な体積の話だ。

「無限の表面積」と「有限の体積」は、矛盾しない。 直感が $3$ 次元の物理的な感覚にもとづいているために、矛盾に見えるだけだ。この図形を発見したトリチェリ($1608$–$1647$)の結果は、当時の数学者たちにとって意外なものだった。

「無限は、有限に含まれうる」この事実は、無限という概念への理解を、根本から書き換えた。$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}$ という、なんでもない公式。

この公式から、$400$ 年前に議論された無限の逆説が出てくる。

別解

$\frac{1}{x^2}$ と $\frac{1}{x}$ の違いを、「無限まで積分する」ことで見る。

どちらも $x\to \infty$ で $0$ に近づく関数だ。 グラフの形も似ている。だが、無限まで積分すると、正反対の結果になる。

まず、$\frac{1}{x^2}$ を、$1$ から $M$ まで積分する。

$${\int }_1^M\frac{1}{x^2}dx={\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^M=-\frac{1}{M}+1=1-\frac{1}{M}$$

$M$ をどんどん大きくすると?

$$M=10:0.9,M=100:0.99,M=10000:0.9999$$

$$\underset{M\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{M}\right)=1$$

無限まで積分しても、面積は $1$ に収まる。

無限に広がる領域なのに、面積は有限。次に、$\frac{1}{x}$ で同じことをする。

$${\int }_1^M\frac{1}{x}dx={\left[\log x\right]}_1^M=\log M$$

$M$ を大きくすると?

$$M=10:2.30,M=100:4.61,M=10^{10}:23.03$$

$$\underset{M\to \infty }{\lim }\log M=\infty$$

発散する。 面積は無限大になってしまう。同じような形の $2$ つの曲線。片方は面積が有限、もう片方は無限。

この差はどこから来るのか。「$0$ への近づき方の速さ」だ。

$$\frac{1}{x^2}\text{は}\frac{1}{x}\text{より速く }0\text{ に近づく}$$

$x=100$ で比べると、$\frac{1}{100^2}=0.0001$ に対し、$\frac{1}{100}=0.01$。$100$ 倍の差だ。すそが薄いほうが、面積を稼がない。

この境目がちょうど $\frac{1}{x}$ にある。

$${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{ll}\text{収束}& (p>1)\\ \text{発散}& (p\leqq 1)\end{array}$$

$p=1$、つまり $\frac{1}{x}$ が収束と発散を分ける境界線だ。そして、この境界は無限級数の話と完全に対応している。

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\infty (\text{調和級数なので発散})$$

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}(\text{収束})$$

積分の収束・発散と、級数の収束・発散が、同じ境界をもつ。

これは偶然ではない。 積分は「連続的な足し算」、級数は「離散的な足し算」で、どちらも足し上げる操作だからだ(積分判定法)。$\frac{1}{x}$ という関数はあらゆる意味で「境界線上」にいる。

• 積分公式: 累乗公式が使えない唯一の例外
• 原始関数: べき関数でなく、対数
• 広義積分: 収束と発散の境目
• 級数: 収束と発散の境目

この $4$ つの「特別扱い」はすべて同じ根っこから生えている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 定積分の手順は、$2$ 段階だ。

① 原始関数を求める → ② 上端と下端を代入して、引く

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\left[F(x)\right]}_a^b=F(b)-F(a)$$

この問題では、原始関数は $\log |x|$。積分区間 $[1,e]$ はすべて正なので、絶対値は外してよい。

$${\int }_1^e\frac{1}{x}dx={\left[\log x\right]}_1^e=\log e-\log 1$$

ここで、$\log$ の値を思い出す。

$$\log e=1(\text{e の 1 乗が e だから})$$ $$\log 1=0(\text{e の 0 乗が 1 だから})$$

$$=1-0=1$$

答えはぴったり $1$。

上端が $e$ に選ばれているのは、偶然ではなく、面積がちょうど $1$ になるように、$e$ が定められているのだ。その意味は別解で明らかにする。

① 原始関数を求める。 $\log |x|$($1\leqq x\leqq e$ で正なので $\log x$)。

② 代入して引く。

$${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=[\log x{]}_1^e=\log e-\log 1=1-0=1$$

まとめ:$\frac{1}{x}$ の定積分は $\log$ で計算する。$\log e=1$、$\log 1=0$ を使う。区間 $[1,e]$ の面積がちょうど $1$ になる、きれいな結果だ。

発展。 $\frac{1}{x}$ の積分が対数になるという事実は、素数の分布ともつながっている。

素数定理という、数論の有名な定理がある。「$x$ 以下の素数の個数 $\pi (x)$ は、$\frac{x}{\log x}$ に近い」

$$\pi (x)\approx \frac{x}{\log x}$$

確かめよう。

• $x=100$: 実際の素数は $25$ 個。$\frac{100}{\log 100}=\frac{100}{4.6}\approx 21.7$
• $x=10^6$: 実際は $78498$ 個。$\frac{10^6}{\log 10^6}\approx 72382$

そこそこ合っている。

もっと精度の高い近似は積分で書かれる。

$$\pi (x)\approx \mathrm{Li}(x)={\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$$

対数積分と呼ばれる。

• $x=10^6$: $\mathrm{Li}(10^6)\approx 78628$(実際は $78498$ で、誤差 $0.17\%$)

かなり高い精度だ。

なぜ、素数の分布に $\log$ が現れるのか。

直感的にはこうだ。

「$x$ の近くの数が素数である確率は、およそ $\frac{1}{\log x}$」

$x$ が大きくなるほど、素数はまばらになる。 その「まばらさ」の度合いが、$\log x$ で測られる。だから、$2$ から $x$ まで、$\frac{1}{\log t}$ を「足し上げれば」(積分すれば)、素数の個数の見積もりになる。

$${\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$$

素数という、離散的で気まぐれに見える対象。その分布が連続的な積分で、これほど正確に記述される。これは、$19$ 世紀の数学者たちが見つけた事実である。

そして、この近似の「誤差」を精密に評価する問題が、リーマン予想だ。

$1859$ 年にリーマンが提出したこの予想は、$160$ 年以上、未解決のまま。 懸賞金 $100$ 万ドルがかかっている。「$\pi (x)$ と $\mathrm{Li}(x)$ の誤差は、$\sqrt{x}\log x$ 程度に収まるか?」

これが証明できれば、素数の分布が完全に理解できる。${\int }_1^e\frac{dx}{x}=1$ という、教科書の定積分。その $\frac{1}{x}$ と $\log$ の関係は、素数についての古くからの問題の、中心部分にまでつながっている。

基本公式は決して「基本」では終わらない。

別解

この定積分は $e$ の「定義」そのものである。

$e$ とは何か。 いくつかの答え方がある。

• ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ の極限
• 微分しても変わらない指数関数の底
• $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots$ の和

そして、もう $1$ つ。

$$\boxed{{\int }_1^e\frac{1}{x}dx=1\text{となる数}}$$

「双曲線 $y=\frac{1}{x}$ の下の面積が、ちょうど $1$ になるところ」

それが $e$ だ。

この定義がいちばん幾何的で分かりやすい。確かめよう。上端をいろいろ変えて、面積を測ってみる。

$${\int }_1^2\frac{1}{x}dx=\log 2\approx 0.693(\text{まだ }1\text{ に足りない})$$

$${\int }_1^{2.7}\frac{1}{x}dx=\log 2.7\approx 0.993(\text{惜しい})$$

$${\int }_1^{2.8}\frac{1}{x}dx=\log 2.8\approx 1.030(\text{行き過ぎた})$$

面積が $1$ になるのは、$2.7$ と $2.8$ の間。その正確な値が

$$e=2.718281828\dots$$

面積を測るだけで、$e$ が現れる。なぜ、これが自然な定義なのか。歴史的に、対数はこの面積として発見された。

$17$ 世紀の数学者たちは $y=\frac{1}{x}$ の下の面積を調べていて、それが特別な性質をもつことに気づいた。

$$A(ab)=A(a)+A(b)$$

「掛け算が、足し算になる」のは、対数の性質だ。面積を測っていたら、対数が出てきてしまった。そして、その対数の「底」が何かを調べると、$2.718\dots$ という数が出てきた。

この数に $e$ という名前をつけたのが、オイラーである。$4$ つの定義がすべて同じ数を指す。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=(\text{微分不変な底})=\left({\int }_1^e\frac{dx}{x}=1\text{ となる数}\right)$$

極限、級数、微分、積分という $4$ つの別々の考え方から、同じ $1$ つの数にたどり着く。

これほど多面的な数は $\pi$ と $e$ のほかにない。そういう数だけが「自然」と呼ばれる資格をもつ。この問題の答えが $1$ というきれいな数になるのは、$e$ がそう定義されているからだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $e^x$ の原始関数は、$e^x$ 自身だ。

$$\int e^{x}dx=e^x+C$$

微分しても積分しても、姿が変わらない。 これが $e^x$ の特権である。あとは、端点を代入して引くだけ。

$${\int }_0^1{e}^{x}dx={\left[e^x\right]}_0^1=e^1-e^0=e-1$$

$e^0=1$ を忘れないこと。 どんな数の $0$ 乗も $1$ だ。

$$e-1\approx 2.718-1=1.718$$

この値の意味を確かめておこう。$y=e^x$ は $x=0$ で高さ $1$、$x=1$ で高さ $e\approx 2.72$ の曲線。もし直線(台形)なら、面積は $\frac{1+2.72}{2}\times 1=1.86$。

実際の面積 $1.72$ はそれより少し小さい。 曲線が下に凸で、台形の斜辺より下にあるからだ。

答えが出たら、大きさの見当と合うか確かめる。 それが検算になる。

① 原始関数は $e^x$。

② 代入して引く。 $e^0=1$。

$${\int }_0^1{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e^1-e^0=e-1$$

まとめ:$e^x$ の定積分は「$e^x$ に上端・下端を代入して引く」。$e^0=1$ を忘れずに。$e-1\approx 1.72$ が、$e^x$ と $x$ 軸が $[0,1]$ で囲む面積になる。

発展。 「微分しても積分しても変わらない」という $e^x$ の性質は、微分方程式でとても重要な役割をもつ。

もっとも基本的な微分方程式はこれだ。

$$y^{\prime }=y$$

解は $y=C{e}^x$。 他にはない。では、$2$ 階の微分方程式なら?

$$y^{\prime \prime }=y$$

「$2$ 回微分すると、自分に戻る」

解は $y=A{e}^x+B{e}^{-x}$。 やはり指数関数だ。次に、符号を変えてみる。

$$y^{\prime \prime }=-y$$

「$2$ 回微分すると、自分の $-1$ 倍」この解は $y=A\cos x+B\sin x$ で、三角関数になる。$y^{\prime \prime }=y$ なら指数関数、$y^{\prime \prime }=-y$ なら三角関数。

符号 $1$ つで、まったく違う種類の関数が現れる。そして、この $2$ つを橋渡しするのが、複素数だ。

$$y^{\prime \prime }=-y⟹y=e^{ix}\text{も解}$$

確かめる。 $(e^{ix}{)}^{\prime \prime }=(i{e}^{ix}{)}^{\prime }=i^2{e}^{ix}=-e^{ix}$

指数関数の肩に $i$ をつけると、三角関数になる。

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

オイラーの公式が微分方程式の側から現れた。この構造が物理学のすべてを支配している。

指数的な成長・減衰($y^{\prime }=ky$)。

• 人口、複利、放射性崩壊、細菌の増殖

振動($y^{\prime \prime }=-{\omega }^{2}y$)。

• バネ、振り子、音波、光波、電磁波

そして、両方が混ざった減衰振動。

$$y^{\prime \prime }+2\gamma y^{\prime }+{\omega }^{2}y=0$$

解は $y=A{e}^{-\gamma t}\cos ({\omega }^{\prime }t+\varphi )$ で、指数的に減衰しながら振動する。

車のサスペンション、建物の耐震設計、電気回路は、どれもこの方程式を使って設計される。そして、量子力学の基本方程式(シュレーディンガー方程式)も、$e^{i\cdots }$ の形をしている。

$$\psi (x,t)={\psi }_0{e}^{i(kx-\omega t)}$$

このように、$e$ は物理の多くの式に現れる。${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$ という、$1$ 行の計算。指数関数が微分方程式の解としてよく現れることが、その理由である。

別解

面積の定義(長方形の足し上げ)から、$e-1$ を出してみる。「なぜ $e-1$ になるのか」を、原始関数を使わずに確かめる別解である。区間 $[0,1]$ を $n$ 等分し、長方形の面積を足す。

$$S_n=\sum _{k=1}^n{e}^{k/n}\cdot \frac{1}{n}$$

この和をじっと見てほしい。

$$e^{1/n},e^{2/n},e^{3/n},\dots ,e^{n/n}$$

これは、公比 $e^{1/n}$ の等比数列だ。

($e^{k/n}={\left(e^{1/n}\right)}^k$ だから。)

等比数列の和の公式が使える。 初項 $a=e^{1/n}$、公比 $r=e^{1/n}$、項数 $n$。

$$\sum _{k=1}^n{\left(e^{1/n}\right)}^k=e^{1/n}\cdot \frac{{\left(e^{1/n}\right)}^n-1}{e^{1/n}-1}=e^{1/n}\cdot \frac{e-1}{e^{1/n}-1}$$

(${\left(e^{1/n}\right)}^n=e^1=e$ となるのが、分かりやすい。)$\frac{1}{n}$ を掛けて

$$S_n=\frac{1}{n}\cdot e^{1/n}\cdot \frac{e-1}{e^{1/n}-1}$$

$n\to \infty$ の極限をとる。

$h=\frac{1}{n}$ とおくと、$h\to 0$。

$$S_n=e^h\cdot (e-1)\cdot \frac{h}{e^h-1}$$

ここで、$2$ つの極限を使う。

$$e^h\to 1,\frac{e^h-1}{h}\to 1(\text{つまり }\frac{h}{e^h-1}\to 1)$$

($2$ 番目は、$e^x$ の $x=0$ での微分係数が $1$ であることと同じだ。)

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=1\times (e-1)\times 1=e-1$$

面積は $e-1$ 原始関数を使わずに導けた。

数値で確かめよう。

$$S_{100}=1.7269,S_{10000}=1.71837$$

$e-1=1.71828\dots$ に近づいている

この計算から見えること。

指数関数の積分が $e^x$ そのものになる理由が、等比数列の性質に根ざしている。$e^x$ は「等間隔で見ると、等比数列になる」関数だ。

$$e^0,e^h,e^{2h},e^{3h},\dots$$

どの隣どうしの比も $e^h$ で一定。和をとると、等比数列の和の公式で「初項と末項の差」が出てくる。

$$\text{和}\propto \frac{e-1}{e^h-1}$$

そして極限をとると、$e^x$ の値の差 $F(b)-F(a)$ の形が現れる。「等比数列の和 → 指数関数の積分」離散的な等比数列が、連続にすると指数関数になり、その和が積分になる。

数列(数学B)と微積分(数学III)が、ここで $1$ 本につながる。