関数と極限 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 漸近線とは、グラフが限りなく近づくが、決して触れない直線のことだ。

この関数の形を見る。

$$y=\frac{1}{x-2}+3$$

基本の双曲線 $y=\frac{1}{x}$ に、何が起きているか。

• $x$ が $x-2$ に変わった → 右へ $2$ 平行移動
• $+3$ がついた → 上へ $3$ 平行移動

$y=\frac{1}{x}$ の漸近線は $x=0$ と $y=0$($x$ 軸と $y$ 軸)だった。グラフごと動かしたのだから、漸近線も同じだけ動く。

$$x=0\to x=2,y=0\to y=3$$

「複雑な式を、基本形 $+$ 平行移動に分解する」のは、$2$ 次関数の頂点を求めたときとまったく同じ発想だ。

$y=\frac{1}{x-2}+3$ は、基本形 $y=\frac{1}{x}$(漸近線 $x=0$、$y=0$)を右へ $2$、上へ $3$ 動かしたもの。漸近線も同じだけ動く。

$$\text{縦の漸近線}:x=2,\text{横の漸近線}:y=3$$

まとめ:分数関数は「基本の双曲線を平行移動したもの」とみる。$x-2$ は右に $2$、$+3$ は上に $3$。漸近線は分母が $0$ になる $x=2$ と、動かした先の $y=3$ だ。

発展。 「漸近線には触れない」というのは、いつでも正しいだろうか。

実は、正しくない。

次の関数を見てほしい。

$$y=\frac{\sin x}{x}$$

$x\to \infty$ のとき、分母が無限に大きくなるので $y\to 0$。 横の漸近線は $y=0$($x$ 軸)である。だが、このグラフは $x$ 軸と何度も交わる。

$$\sin x=0⟹x=\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$$

$x$ 軸を無限回、横切りながら、それでも $x$ 軸に近づいていく。

波打ちながら、振幅がどんどん小さくなる。 グラフを描くと、$x$ 軸を軸にして波が減衰していく形になる。「漸近線に触れない」は双曲線でたまたま成り立っていただけだった。

漸近線の正しい定義は「触れない直線」ではない。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left\{f(x)-(\text{直線})\right\}=0$$

無限の彼方で、差が $0$ に近づく直線である。途中で何回交わろうと、構わない。

この誤解は、教科書の例が双曲線ばかりであることから生まれる。

「よく見る例で成り立つ性質」を「定義」と取り違えない。 数学では、これが大事になる。もう $1$ つ、漸近線がある。

$$y=x+\frac{1}{x}$$

$x\to \infty$ で $\frac{1}{x}\to 0$ だから、$y$ は $y=x$ に近づく。

漸近線が斜めの直線だ(斜め漸近線)。

縦・横だけが漸近線ではなく、「無限の彼方で差が $0$ になる直線」なら、傾いていても漸近線である。

定義に立ち返れば、視野が広がる。 覚えた形だけで判断すると、こういう関数の前で立ち止まってしまう。

別解

「平行移動」で覚えず、極限で確かめる。漸近線の定義に、正面から戻る別解である。

漸近線とは何か。

• 縦の漸近線: そこに近づくと、$y$ が $\pm \infty$ に飛ぶ直線
• 横の漸近線: $x$ を無限に飛ばしたとき、$y$ が近づく値

この定義をそのまま計算する。

① 縦の漸近線を探す。

$y$ が限りなく大きくなるのは、分母が $0$ になるところだ。

$$x-2=0⟹x=2$$

本当に飛ぶか、確かめよう。$x=2.001$ を入れると

$$y=\frac{1}{0.001}+3=1003$$

$x=2.0000001$ なら

$$y=\frac{1}{0.0000001}+3=10000003$$

右から $2$ に近づけると、$y$ は $+\infty$ へ。

左から近づけると? $x=1.999$ なら

$$y=\frac{1}{-0.001}+3=-997$$

$-\infty$ へ。

$$\underset{x\to 2+0}{\lim }y=+\infty ,\underset{x\to 2-0}{\lim }y=-\infty$$

$x=2$ が縦の漸近線

② 横の漸近線を探す。

$x$ を無限に飛ばす。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{x-2}+3\right)=0+3=3$$

$\frac{1}{x-2}$ の分母が無限に大きくなるので、この項は $0$ に消える。 残るのは $3$ だけ。

$x\to -\infty$ でも同じだ。

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x-2}+3\right)=0+3=3$$

$y=3$ が横の漸近線

この方法の価値。

平行移動で覚えていると、$y=\frac{2x+1}{x-3}$ のような「分解されていない形」で手が止まる。極限で攻めれば、どんな形でも同じ手順で漸近線が出る。

• 分母 $=0$ になる $x$ → 縦の漸近線の候補
• $x\to \pm \infty$ の極限値 → 横の漸近線

そして、この方法から「漸近線に触れない理由」も分かる。

$$\frac{1}{x-2}\ne 0(\text{どんな x でも})$$

$\frac{1}{x-2}$ は $0$ に限りなく近づくが、決して $0$ にならない。 だから $y$ も $3$ に近づくだけで、$3$ ちょうどにはならない。「近づくが、届かない」という極限の考え方が、この $1$ 本の直線に表れている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 関数を見たら、まず「入れられない $x$」がないかを確認する。

危険なのは $2$ か所だけだ。

• 分母:$0$ にしてはいけない
• 根号の中:負にしてはいけない

この関数は根号があるから、中身に条件がつく。

$$x+1\geqq 0$$

これが定義域を決める。

値域は  ​ の性質から出る。

根号は負の値を返さない。 $\sqrt{0}=0$ が最小で、あとは上へ伸びていくだけだ。

$$y\geqq 0$$

「入れられる範囲(定義域)」と「出てくる範囲(値域)」を分けて考える。 この $2$ つの区別が関数を扱う出発点である。

① 定義域を求める。 根号の中は $0$ 以上。

$$x+1\geqq 0\Rightarrow x\geqq -1$$

② 値域を求める。  ​ はつねに $0$ 以上。

$$y\geqq 0$$

まとめ:無理関数は「根号の中 $\geqq 0$」が定義域の絶対条件。グラフは $(-1,0)$ から始まって右上へ伸びる曲線(放物線を横に寝かせた半分)。値は $0$ から増える。

発展。 「定義域」という概念は目立たないが、数学で間違えやすい点のほとんどに関係している。

有名な「$2=1$ の証明」を見てみよう。

$$a=b\text{とする}$$ $$a^2=ab(\text{両辺に }a\text{ を掛けた})$$ $$a^2-b^2=ab-b^2$$ $$(a+b)(a-b)=b(a-b)$$ $$a+b=b(\text{両辺を }a-b\text{ で割った})$$ $$2b=b⟹2=1$$

どこがおかしいか。

$a=b$ なのだから、$a-b=0$。$0$ で割ったのが誤りだ。「$0$ では割れない」という定義域の制約を破った瞬間、数学は崩壊する。

同じ注意点が根号にもある。

$$\sqrt{x^2}=x?$$

$x=-3$ を入れてみよう。

$$\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3\ne -3$$

正しくは

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

根号は「正のほうを返す」約束だったから、絶対値がつく。$2$ 乗と根号は、互いに逆の操作に見えて、完全な逆ではない。

$$x\stackrel{2\text{ 乗}}{\to }{x}^2\stackrel{\sqrt{}}{\to }|x|$$

符号の情報が $2$ 乗の時点で失われている。 $3$ も $-3$ も $2$ 乗すれば同じ $9$ になる。失われた情報は根号では取り戻せない。

この非対称性が方程式で「$2$ 乗したら必ず検算」というルールを生む。

$$\sqrt{x+1}=x-1$$

両辺を $2$ 乗すると $x+1=x^2-2x+1$、つまり $x^2-3x=0$、$x=0,3$。

$x=0$ を代入すると左辺 $=1$、右辺 $=-1$ となり、成り立たない。

$2$ 乗したときに、「右辺が負」という不可能な解まで混ざり込んだ。 偽の解、と呼ばれる。定義域を意識しない計算は、しばしば嘘の答えを生む。

「その式は、どこで意味をもつのか」という問いを忘れないことが、正しい数学の第一歩である。

別解

逆関数を作ると、定義域と値域が「見える」。$y=\sqrt{x+1}$ を、$x$ について解いてみよう。

両辺を $2$ 乗する。

$$y^2=x+1⟹x=y^2-1$$

$x$ が $y$ の $2$ 次式で書けた。

ここで大事な但し書きがある。 もとの式で $y=\sqrt{}\geqq 0$ だから

$$x=y^2-1(y\geqq 0)$$

この式は何のグラフか。

$x$ と $y$ の役割を入れかえて読むと、$y=x^2-1$ という放物線である。頂点は $(-1,0)$ に相当する。つまり、もとの無理関数のグラフは放物線を横倒しにしたものの「上半分」だ。

横倒しの放物線 $x=y^2-1$ の頂点は $(-1,0)$。そこから右へ、上下に開いていく。その上半分($y\geqq 0$)だけを切り取ったものが、$y=\sqrt{x+1}$ のグラフである。

この見方で、定義域と値域が一目で分かる。

• $x$ の動く範囲: 頂点 $-1$ から右へ、いくらでも → $x\geqq -1$
• $y$ の動く範囲: 上半分だから $0$ から上へ → $y\geqq 0$

なぜ「上半分だけ」なのか。

$\sqrt{4}=2$ であって、$-2$ ではない。 根号は「$2$ 乗して $4$ になる数」のうち、正のほうだけを返す約束になっている。もし下半分も含めたら、$1$ つの $x$ に $2$ つの $y$ が対応してしまい、関数でなくなる。

逆関数の視点から分かること。

$$y=\sqrt{x+1}⟺x=y^2-1(y\geqq 0)$$

もとの関数の「定義域」は逆関数の「値域」。 もとの関数の「値域」は逆関数の「定義域」。

$2$ つが、きれいに入れかわる。

根号を見て「定義域は?」と身構えるより、$2$ 乗して放物線に直すほうが、絵として理解しやすい。 $2$ 乗するのは、根号を外すいちばん素直な方法でもある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 逆関数とは、入力と出力を、逆にした関数だ。

もとの関数 $y=2x+3$ は、$x$ を入れて $y$ を返す。逆関数は $y$ を入れて $x$ を返す。

$$x\stackrel{f}{\to }yy\stackrel{f^{-1}}{\to }x$$

だから、作り方はこうなる。「$x$ について解いて、$x$ と $y$ の名前を入れかえる」式の上では、$x$ と $y$ を入れかえて $y$ について解く、と覚えればよい。

グラフでは $y=x$ に関して折り返した形になる。 入力軸と出力軸を入れかえるのだから、$45^{\circ }$ の線で鏡映しになるのは当然だ。

手順は $2$ 段階。 入れかえて、解く。それだけである。

① $x$ と $y$ を入れかえる。 $y=2x+3$ の $x$ と $y$ を交換。

$$x=2y+3$$

② $y$ について解く。

$$2y=x-3\Rightarrow y=\frac{x-3}{2}$$

まとめ:逆関数は「入力と出力を逆にした関数」。作り方は $x\leftrightarrow y$ を入れかえて解くだけ。グラフは元の関数を $y=x$ の直線で折り返した位置にくる。

発展。 すべての関数に、逆関数があるわけではない。

$y=x^2$ を考えよう。

$y=4$ になる $x$ は?

$$x=2\text{でも}x=-2\text{でも成り立つ}$$

$2$ つある。 「$4$ を入れたら何が返る?」に、答えが $1$ つに決まらない。

これでは関数にならない(関数は、入力 $1$ つに出力 $1$ つ)。だから $y=x^2$ には、そのままでは逆関数がない。逆関数をもつ条件は、はっきりしている。

$$\boxed{\text{異なる x には、必ず異なる y が対応する}}$$

これを $1$ 対 $1$(単射)という。グラフで判定する方法がある。

横線テスト。 どんな水平線を引いても、グラフと $2$ 回以上交わらなければ、$1$ 対 $1$ である。

• $y=2x+3$(直線)→ 水平線は必ず $1$ 回だけ交わる → 逆関数あり
• $y=x^2$(放物線)→ 水平線 $y=4$ が $2$ 回交わる → 逆関数なし

では、$y=x^2$ を救う方法はないのか。ある。定義域を制限すればいい。

$$y=x^2(x\geqq 0)$$

右半分だけに絞れば、$1$ 対 $1$ になる。 そして、この逆関数こそが

$$y=\sqrt{x}$$

根号は「$x\geqq 0$ に制限した $2$ 乗関数」の逆関数である。同じ話が三角関数にもある。$y=\sin x$ は周期的に同じ値を繰り返すので、$1$ 対 $1$ ではない($\sin 0=\sin \pi =0$)。

そこで $-\frac{\pi }{2}\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ に制限する。 その逆関数が $\arcsin$(${\sin }^{-1}$)である。「逆関数が欲しければ、$1$ 対 $1$ になるまで定義域を狭める」

これが、逆三角関数・対数関数・累乗根など、すべての「逆」の関数を作る共通の手順である。

逆をたどれるかどうかは、もとの関数が「情報を失っていないか」で決まる。 $2$ 乗は符号の情報を捨てるから、逆をたどれない。捨てないように定義域を切れば、逆がよみがえる。

別解

関数を「操作の手順」と見て、逆再生する。$y=2x+3$ は、$x$ に対して何をしているか。$2$ つの操作を、順にやっている。

$$x\stackrel{\text{2 倍する}}{\to }2x\stackrel{\text{3 を足す}}{\to }2x+3$$

逆関数はこの操作を「元に戻す」手続きだ。元に戻すには、逆の操作を逆の順番でやる。

$$y\stackrel{\text{3 を引く}}{\to }y-3\stackrel{\text{2 で割る}}{\to }\frac{y-3}{2}$$

順番が逆になることに注意する。 靴下と靴を履くとき、脱ぐのは靴が先だ。最後にやった操作から、先に戻す。

$x$ と $y$ の名前を入れかえて

$$y=\frac{x-3}{2}$$

本解と同じ答え

この見方の強み。

式変形を $1$ 度もしていない。 「$2$ 倍して $3$ 足す」の逆は「$3$ 引いて $2$ で割る」と、言葉で追っただけだ。検算もこの見方でできる。

$f$ を通してから $f^{-1}$ を通せば、元に戻るはずだ。

$$x=1\stackrel{f}{\to }2(1)+3=5\stackrel{f^{-1}}{\to }\frac{5-3}{2}=1$$

式でも確かめよう。

$$f^{-1}(f(x))=\frac{(2x+3)-3}{2}=\frac{2x}{2}=x$$

$$f(f^{-1}(x))=2\cdot \frac{x-3}{2}+3=(x-3)+3=x$$

どちらの順で通しても、元に戻る。 これが「逆関数である」ことの正しい定義だ。

答えが合っているか不安なときは、必ずこの合成で検算する。

もう $1$ つ、グラフから読めること。もとの傾きは $2$、逆関数の傾きは $\frac{1}{2}$ で、逆数になっている。

当たり前だ。 $y=x$ で折り返すと、「右に $1$ 進んで上に $2$」が「右に $2$ 進んで上に $1$」に変わる。この「傾きが逆数」という関係は、あとで逆関数の微分($\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$)につながっていく。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $n\to \infty$ を、そのまま代入してみる。

$$\frac{3n+1}{n+2}\to \frac{\infty }{\infty }$$

これでは、値が決まらない。

なぜ決まらないのか。 分子も分母も無限に大きくなるが、どちらがどれくらい速く大きくなるかで、比の行き先が変わるからだ。

• 分子のほうがずっと速ければ → $\infty$
• 分母のほうが速ければ → $0$
• 同じくらいの速さなら → 有限の値

$\frac{\infty }{\infty }$ は「不定形」と呼ばれる。形だけでは決まらない、という意味である。決着をつける手は $1$ つ。分母の最高次 $n$ で、分子・分母を割る。

すると $\frac{1}{n}\to 0$ が使えて、消える項と残る項がはっきりする。「不定形は、割って形を変えてから極限をとる」のが、極限計算の基本の方法だ。

分子・分母を $n$ で割る。

$$\frac{3n+1}{n+2}=\frac{3+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}$$

$n\to \infty$ で $\frac{1}{n}\to 0$、$\frac{2}{n}\to 0$ なので

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{n+2}=\frac{3+0}{1+0}=3$$

まとめ:$\frac{\infty }{\infty }$ はそのままでは分からない(不定形)。分母の最高次 $n$ で割ると、$\frac{1}{n}\to 0$ により、最高次の係数の比 $\frac{3}{1}$ が残る。

発展。 $\frac{\infty }{\infty }$ が「不定形」であることを、実感しておこう。

分母も分子も $\infty$ に飛ぶ、$3$ つの例を並べる。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }n=\infty$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{n+2}=3$$

どれも形は $\frac{\infty }{\infty }$。だが答えは $\infty$、$0$、$3$ とバラバラだ。「形が同じでも、答えは決まらない」というのが、不定形の意味である。

決めているのは、「無限大の格」だ。無限大にも、大きさの序列がある。

$$\log n\ll n\ll n^2\ll 2^n\ll n!$$

右へ行くほど、ずっと速く大きくなる。

どれくらい違うか。 $n=100$ で比べよう。

$${\log }_{10}100=2,100,10000,2^{100}\approx 10^{30},100!\approx 10^{158}$$

$\log$ と $n!$ では、比べる意味がないほどの差だ。この序列が分かっていれば、極限は「見るだけ」で分かる。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{100}}{2^n}=0$$

$n^{100}$ は $n=100$ のとき $10^{200}$ というとても大きな数だ。 それでも、$2^n$ という指数関数には必ず追い越される。

どんなに高い次数の多項式も指数関数には勝てない。この事実はコンピュータの分野で大きな意味をもつ。アルゴリズムの計算時間が

• $n^2$(多項式時間) → データが $10$ 倍で、時間は $100$ 倍。実用的
• $2^n$(指数時間) → データが $10$ 増えるだけで、時間は $1000$ 倍。手に負えない

$n=50$ の指数時間の問題はスーパーコンピュータでも $1000$ 年かかる。「多項式時間で解けるか、指数時間しかないか」が、コンピュータサイエンス最大の未解決問題($\mathrm{P}$ 対 $\mathrm{NP}$ 問題、懸賞金 $100$ 万ドル)の中心にある問いである。

極限の序列を知ることは、「何が計算可能か」を知ることでもあるのだ。

別解

割り算をして、「定数 $+$ 消える項」の形にする。分子を分母で割ってみよう。

$$3n+1=3(n+2)-5$$

確かめる。 $3(n+2)=3n+6$、そこから $5$ を引くと $3n+1$

この変形をもとの式に入れる。

$$\frac{3n+1}{n+2}=\frac{3(n+2)-5}{n+2}=3-\frac{5}{n+2}$$

式がまったく違う顔になった。

$$\frac{3n+1}{n+2}=3-\frac{5}{n+2}$$

ここまで来れば、極限は目で見える。$n$ を大きくすると、$\frac{5}{n+2}$ の分母が無限に大きくなり、この項は $0$ に消える。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3-\frac{5}{n+2}\right)=3-0=3$$

本解と同じ答え

この形の利点は「どう近づくか」まで分かることだ。

$$3-\frac{5}{n+2}<3$$

引き算だから、値は必ず $3$ より小さい。 つまり下から $3$ に近づく。

確かめよう。

$$n=1:\frac{4}{3}\approx 1.33,n=10:\frac{31}{12}\approx 2.58$$ $$n=100:\frac{301}{102}\approx 2.95,n=1000:\approx 2.995$$

下からじわじわと $3$ に迫っている。 決して $3$ を超えない。「近づき方」の情報は割った形でないと見えない。

そして、この式からはもう $1$ つのことが分かる。

$$y=\frac{3x+1}{x+2}=3-\frac{5}{x+2}$$

これは双曲線だ。 漸近線は $x=-2$ と $y=3$。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{n+2}=3$ が計算していたのは、横の漸近線の高さである。「分数式の極限」と「双曲線の漸近線」は、同じことを違う言葉で言っている。

割り算をして「定数 $+$ 分数」に直す変形は、極限にもグラフにも使える、分数式の基本の作法だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) また $\frac{\infty }{\infty }$ だ。手順は前と同じ。分母の最高次で割る。

今度の最高次は $n^2$ である。

$$\frac{2n^2-1}{n^2+n}$$

次数が上がっても、やることは変わらない。割ったあとは、$\frac{1}{n}\to 0$ と $\frac{1}{n^2}\to 0$ で、余計な項がすべて消える。残るのは、最高次の係数どうしの比だけ。

$$\frac{2n^2}{n^2}=2$$

そう、答えは最初から見えている。 $n$ がとても大きいとき、$-1$ や $+n$ は $n^2$ に比べて無視できるほど小さい。「$\frac{\infty }{\infty }$ の極限は、最高次の項だけで決まる」ことを、きちんと示すための手続きが割り算だ。

分子・分母を $n^2$ で割る。

$$\frac{2n^2-1}{n^2+n}=\frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}}$$

$n\to \infty$ で $\frac{1}{n^2}\to 0$、$\frac{1}{n}\to 0$ なので

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2-1}{n^2+n}=\frac{2-0}{1+0}=2$$

まとめ:分母の最高次で割るのは $2$ 次でも同じ。$\frac{1}{n}$ や $\frac{1}{n^2}$ はすべて $0$ に。最高次の係数の比 $\frac{2}{1}$ が答えだ。

発展。 「最高次の項だけが結果を決める」という考え方は、数学以外でも広く使われている。

その名をオーダー(次数)という。コンピュータの分野ではこう書く。

$$2n^2-1=O(n^2)$$

「$n$ が大きいとき、おおよそ $n^2$ のスケールで増える」という意味だ。 係数の $2$ も、定数の $-1$ も、まとめて無視する。

なぜ無視してよいのか。

$n$ が $2$ 倍になったとき、何倍になるかを見よう。

$$\frac{2(2n{)}^2}{2n^2}=4$$

係数 $2$ は約分で消える。 どんな係数でも、「$n$ が $2$ 倍で、時間は $4$ 倍」という性質は変わらない。

これがオーダーの考え方だ。細かい係数より、「どのスケールで増えるか」を見る。実際の例で、その効果を確かめる。

アルゴリズム $A$: $100n$ 回の計算($O(n)$) アルゴリズム $B$: $n^2$ 回の計算($O(n^2)$)

$n=10$ なら $A$ は $1000$ 回、$B$ は $100$ 回。$B$ のほうが $10$ 倍速い。

だが $n=1000$ なら $A$ は $10$ 万回、$B$ は $100$ 万回。$A$ が $10$ 倍速い。

$n=100$ 万なら $A$ は $1$ 億回、$B$ は $1$ 兆回。$A$ が $1$ 万倍速い。

係数 $100$ という大きなハンデがあっても、$n$ が大きくなれば、次数の低いほうが必ず勝つ。「大きな $n$ では、次数がすべてを決める。」この原理があるから、ソートのアルゴリズムは $O(n^2)$ から $O(n\log n)$ への改良に、あれほど価値がある。

$n=100$ 万件のデータで

$$n^2=10^{12}\text{対}n{\log }_{2}n\approx 2\times 10^7$$

$5$ 万倍の差。 $1$ 日かかる処理が $2$ 秒で終わる。「$n$ を大きくしたとき、何が支配的か」という極限の考え方は、ほかの分野でもよく使われる。

細部を捨て、結果を左右する部分だけを見る。 それが極限の眼差しである。

別解

手を動かして、実際に数を入れてみる。極限が「信じられない」ときは、数値実験がいちばんの薬だ。$n$ を大きくしながら、値を計算する。

$$n=10:\frac{2(100)-1}{100+10}=\frac{199}{110}\approx 1.809$$

$$n=100:\frac{19999}{10100}\approx 1.980$$

$$n=1000:\frac{1999999}{1001000}\approx 1.998$$

$$n=10000:\approx 1.9998$$

$2$ に向かって、じりじりと近づいている。

しかも、常に $2$ より小さい。 下から $2$ に迫っている。「本当に $2$ に近づくんだな」と、目で納得できる。

では、なぜ $2$ なのか。数の大きさを比べてみよう。$n=1000$ のとき、それぞれの項の大きさは

$$2n^2=2,000,000,-1=-1$$ $$n^2=1,000,000,n=1,000$$

分子では、$2n^2$ が $200$ 万なのに対し、$-1$ は $1$ にすぎない。 ほとんど何もしていない。分母でも、$n^2$ が $100$ 万に対し、$n$ は $1000$ で、$0.1\%$ の影響しかない。

$n$ を大きくすればするほど、この差は開いていく。だから、実質的にはこうだ。

$$\frac{2n^2-1}{n^2+n}\approx \frac{2n^2}{n^2}=2$$

「最高次の係数の比」が答えになる理由が、これで見える。この直感を一般化しておこう。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a{n}^2+\cdots }{b{n}^2+\cdots }=\frac{a}{b}$$

分子と分母の次数が同じなら、極限は最高次の係数の比。さらに、次数が違う場合は?

• 分子の次数 $<$ 分母の次数 → $0$(分母が圧勝)
• 分子の次数 $>$ 分母の次数 → $\pm \infty$(分子が圧勝)
• 同じ次数 → 係数の比

この $3$ パターンを頭に入れておけば、$\frac{\infty }{\infty }$ の分数式は、すぐに答えが分かる。

ただし、答えを「当てる」のと、「示す」のは別だ。 記述では必ず最高次で割る計算を書く。直感は方向を示し、計算がそれを証明する。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ を、実際に書き出してみよう。

$$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\dots$$

毎回、半分になる。 どんどん小さくなり、$0$ に近づいていく。$r^n$ の振る舞いは公比 $r$ の大きさだけで決まる。

• $|r|<1$(小数を掛け続ける)→ $0$ に収束
• $|r|>1$(大きくなる数を掛ける)→ 発散
• $r=1$ → ずっと $1$

「$r^n$ を見たら、まず $|r|$ と $1$ の大小を比べる。」

今回は $r=\frac{1}{2}$ で、$|r|<1$。 だから $0$ に収束する。

ただし、$0$ になるのではない。 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}$ も、極めて小さいが、確かに正の数だ。$0$ に「近づく」だけである。

$r=\frac{1}{2}$ は $|r|<1$ を満たす。かけるほど小さくなるので $0$ に近づく。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{2}{)}^n=0$$

まとめ:$r^n$ は「$1$ より小さい数を何回もかけると $0$」というイメージ。${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ は $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots$ とどんどん小さくなる。$|r|<1$ が収束の条件だ。

発展。 公比 $r$ の値によって、$r^n$ の振る舞いは $4$ 通りに分かれる。境界がどこにあるかを、正確に押さえよう。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=\{\begin{array}{ll}0& (|r|<1)\\ 1& (r=1)\\ +\infty & (r>1)\\ \text{振動(極限なし)}& (r\leqq -1)\end{array}$$

注意すべきは $r=-1$ の場合だ。

$$(-1{)}^n:-1,1,-1,1,\dots$$

$1$ と $-1$ を、永遠に行き来する。 大きくもならず、$1$ つの値にも落ち着かない。

これを「振動」といい、極限は存在しない。 発散の一種として扱われる。

$|r|=1$ という境界線上で、$r=1$(収束)と $r=-1$(振動)が分かれる。 わずかな差で、結果が変わる。さて、この $|r|<1$ という条件は、別の場面にも出てくる。

これはカオスの話につながる。

漸化式 $a_{n+1}=p{a}_n$ を思い出そう。 これは $a_n=a_1{p}^{n-1}$ となり、等比数列そのものだ。

• $|p|<1$ → $0$ に収束(安定)
• $|p|>1$ → 発散(不安定)

もっと一般に、$a_{n+1}=f(a_n)$ という漸化式で、$f$ の不動点 $\alpha$ の近くでは

$$a_{n+1}-\alpha \approx f^{\prime }(\alpha )(a_n-\alpha )$$

ズレが $f^{\prime }(\alpha )$ 倍ずつ変化する。 これは等比数列だ。

$$\boxed{|f^{\prime }(\alpha )|<1\text{なら収束},|f^{\prime }(\alpha )|>1\text{なら発散}}$$

「$1$ より小さいか、大きいか」という $1$ 本の境界線が、安定と不安定を分ける。

天気予報が長期的に当たらないのも、この $1$ を超えているからだ。 大気の運動では、わずかな初期のズレが $|f^{\prime }|>1$ で拡大し続ける。$2$ 週間先には、初期の $0.001$ 度の誤差が天気を変えてしまう。

「バタフライ効果」を数学的に表すと、$|r|>1$ の等比数列になる。${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$ という素朴な事実は、「予測できる場合」と「できない場合」の境界にかかわっている。

別解

「$0$ に近づく」を、はさみうちできっちり示す。公式を使わずに、$0$ に収束する理由を証明する別解である。まず、$2^n$ と $n$ を比べよう。

$$\begin{array}{ccc}n& 2^n& n\\ 1& 2& 1\\ 2& 4& 2\\ 3& 8& 3\\ 5& 32& 5\\ 10& 1024& 10\end{array}$$

いつでも $2^n>n$ である。

なぜか。 $2^n$ は $n$ が $1$ 増えるたびに $2$ 倍になるが、$n$ は $1$ 増えるだけ。倍々で増えるほうが必ず勝つ。

この不等式を逆数にする。

$$2^n>n⟹\frac{1}{2^n}<\frac{1}{n}$$

($2$ つとも正の数なので、逆数をとると不等号が反転する。)そして、${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ は必ず正である。この $2$ つを合わせると、はさみうちの形になる。

$$0<{\left(\frac{1}{2}\right)}^n<\frac{1}{n}$$

両端の極限を見る。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }0=0,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$

左も右も $0$ に行く。 間に挟まれたものは $0$ に行くしかない。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$$

はさみうちの原理で、証明できた

この原理の使いどころ。

「直接は計算できないが、上と下から評価できる」 ときに強い。

例。 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}$ を求めよ、と言われたら。

$\sin n$ は $n$ とともに振動して、極限をもたない。 直接は手が出ない。だが、$-1\leqq \sin n\leqq 1$ は必ず成り立つ。

$$-\frac{1}{n}\leqq \frac{\sin n}{n}\leqq \frac{1}{n}$$

両端は $0$ に行く。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}=0$$

振動する部分を、絶対値の上限で押さえ込んだ。「値そのものは追えなくても、大きさなら押さえられる」という場面で、はさみうちが役に立つ。もう $1$ つ、対数を使う見方もある。

$${\log }_2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=-n\to -\infty$$

指数が $-\infty$ に飛ぶ → 値は $0$ へ。「掛け算(等比)を、足し算(等差)に直す」のが、対数の得意とする使い方である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 無限個の数を足す。答えは無限大になりそうに思える。

ところが、そうならない。

$$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots$$

足す数がどんどん小さくなるからだ。 次に足す量が $\frac{1}{3}$ 倍ずつ縮んでいく。

部分和を計算してみよう。

$$1,1.333,1.444,1.481,1.494,\dots$$

$1.5$ に近づいて、そこで止まりそうだ。

この直感は正しい。 $|r|<1$ の等比級数は、必ず有限の値に収束する。

$$S=\frac{a}{1-r}(a=\text{初項},r=\text{公比})$$

「無限に足しても、有限に収まることがある」のは、直感に反する事実だ。まずこの感覚を掴んでほしい。

初項 $a=1$、公比 $r=\frac{1}{3}$。$|r|<1$ なので収束する。

$$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots =\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$$

まとめ:無限に足しても有限の値に落ち着くのが等比級数($|r|<1$ のとき)。和は $\frac{a}{1-r}$。ここでは $\frac{1}{1-1/3}=\frac{3}{2}$。分母の計算に注意。

発展。 「足す数が $0$ に近づけば、和は収束する」と思っていないだろうか。

残念ながら、これは間違いだ。反例が $1$ つある。

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$$

調和級数と呼ばれる。

足す数 $\frac{1}{n}$ は確かに $0$ に近づく。 それでも、この和は無限大に発散する。

信じがたいので、証明を見てほしい。項をこうグループ分けする。

$$1+\frac{1}{2}+\underset{2\text{ 項}}{\underbrace{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)}}+\underset{4\text{ 項}}{\underbrace{\left(\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{8}\right)}}+\underset{8\text{ 項}}{\underbrace{\left(\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{16}\right)}}+\cdots$$

各グループを下から評価する。

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}\times 4=\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{16}>\frac{1}{16}\times 8=\frac{1}{2}$$

どのグループも $\frac{1}{2}$ より大きい。そんなグループが無限に続く。

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots \to \infty$$

和は無限大に発散する。ただし、発散のスピードは絶望的に遅い。

和が $10$ を超えるには、約 $12,367$ 項。 和が $100$ を超えるには、約 $10^{43}$ 項が必要で、宇宙の全原子を使っても足りない。

それでも、無限に足せば、どんな大きな数も超えていく。この違いはどこから来るのか。

$$\text{等比級数}\frac{1}{3^n}:\text{減り方が指数的}\to \text{収束}$$

$$\text{調和級数}\frac{1}{n}:\text{減り方が緩やか}\to \text{発散}$$

「$0$ に近づく」だけでは足りない。「十分速く $0$ に近づく」ことが要る。ちなみに、$\frac{1}{n^2}$ なら収束する。

$$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1.6449$$

なぜか $\pi$ が出てくる。 オイラーが $1735$ 年に解いた、バーゼル問題である。

$\frac{1}{n}$ は発散し、$\frac{1}{n^2}$ は収束する。 収束と発散の境目は、この $2$ つのあいだのきわどいところにある。

別解

「自分自身」を使って、方程式を立てる。公式を忘れても、この手が使える。級数の「自己相似性」を使う別解である。

和を $S$ とおく。

$$S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots$$

ここで、右辺の $2$ 項目以降をよく見る。

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots$$

全体を $\frac{1}{3}$ でくくると

$$\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots \right)$$

カッコの中は $S$ そのものだ。

無限に続く級数だからこそ、$1$ 項ずらしても同じ形が現れる。 これを自己相似という。だから、こう書ける。

$$S=1+\frac{1}{3}S$$

$S$ についての、ただの $1$ 次方程式になった。

解く。

$$S-\frac{1}{3}S=1⟹\frac{2}{3}S=1⟹S=\frac{3}{2}$$

本解と同じ答え

公式 $\frac{a}{1-r}$ がなぜ成り立つかが、これで分かる。一般に $S=a+rS$ とおけば

$$S(1-r)=a⟹S=\frac{a}{1-r}$$

公式はこの $1$ 次方程式を解いた結果にすぎなかった。ただし、大事な注意がある。この計算は「$S$ が有限の値として存在する」ことを前提にしている。

存在しない場合に使うと、嘘の答えが出る。

やってみよう。 $1+2+4+8+\cdots$(公比 $2$)で、同じ操作をする。

$$S=1+2(1+2+4+\cdots )=1+2S$$

$$-S=1⟹S=-1$$

正の数を無限に足したのに、答えが $-1$?

もちろん、間違いだ。 この級数は $+\infty$ に発散し、$S$ という有限の値は存在しない。存在しないものを $S$ とおいて計算したから、無意味な答えが出た。

$$\boxed{\text{自己相似の式が使えるのは }|r|<1\text{ のときだけ}}$$

「収束を確かめてから、計算する」という順序を逆にすると、簡単に誤った結論が出てしまう。便利な技法ほど、使ってよい条件を確認する習慣が要る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず、素直に $x=2$ を代入してみる。

$$\frac{2^2-4}{2-2}=\frac{0}{0}$$

分母が $0$。計算できない。

だが、諦めるのは早い。

$\frac{0}{0}$ は不定形だ。 分子も分母も $0$ に近づくが、どちらがどう $0$ に近づくかで、比の行き先が変わる。

そして、$\frac{0}{0}$ になったということは、大事な情報でもある。

分子と分母が、どちらも $x=2$ で $0$ になる。つまり両方が $(x-2)$ を因数にもつということだ。

その共通因数こそが $\frac{0}{0}$ を作っている犯人である。 約分して追い出せばいい。

$$x^2-4=(x+2)(x-2)$$

「$\frac{0}{0}$ は、$0$ を生む共通因数を約分して解消する。」 これが関数の極限の基本だ。

① 因数分解する。 $x^2-4=(x+2)(x-2)$。

$$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2(x\ne 2)$$

② 約分後に代入する。

$$\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=2+2=4$$

まとめ:$\frac{0}{0}$ は「$0$ を作っている共通因数 $(x-2)$」を約分すれば解ける。$x\to 2$ は「$x$ が $2$ に近づく(=$2$ そのものではない)」ので、$(x-2)$ で割ってよい。

発展。 なぜ「$x\ne 2$」だと言い切って、約分してよいのか。極限の定義に立ち返ろう。

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$$

この式の意味はこうだ。「$x$ を $2$ に近づけると、$f(x)$ は $4$ に近づく」ここで、$x=2$ ちょうどのときの値はまったく問題にしていない。

近づく途中の話であって、到着点の話ではない。 だから $x\ne 2$ の範囲で考えてよく、$x-2\ne 0$ だから約分できる。この区別が極限のいちばん大事なところである。

極端な例を作ってみよう。

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}x+2& (x\ne 2)\\ 100& (x=2)\end{array}$$

$x=2$ だけ、値が $100$ に飛んでいる変な関数だ。それでも

$$\underset{x\to 2}{\lim }g(x)=4$$

である。 $x$ を $2$ に近づけると、$g(x)$ は $4$ に近づく。$x=2$ での値($100$)は極限には何の関係もない。

「近づく先」と「その点での値」は、別の概念だ。この $2$ つが一致するとき、関数は連続という。

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)(\text{連続の定義})$$

上の $g(x)$ は $x=2$ で不連続。 極限($4$)と値($100$)が違うからだ。そして、この問題の関数

$$h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$$

は、$x=2$ で「定義されていない」。グラフは直線 $y=x+2$ から、$(2,4)$ の $1$ 点だけを抜いた形になる。そこに穴が空いている。

極限は $4$ なので、この穴を $4$ で埋めれば、連続な関数になる。除去可能な不連続点と呼ばれる。「極限は存在するのに、値が定義されていない(あるいは違う値)」という状況は、微分係数の定義でも出てきた。

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ は $h=0$ で定義されない。 だが極限は存在する。その極限値に $f^{\prime }(a)$ という名前をつけたのが、微分である。

「穴の空いた点で、値を極限で定義する」この考え方が、微積分の基礎になっている。

別解

この式は「微分係数の定義」の形をしている。

式をじっと見てほしい。

$$\frac{x^2-4}{x-2}$$

$f(x)=x^2$ とおくと、$4=f(2)$ だから

$$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$$

この形に、見覚えはないだろうか。$2$ 点 $(2,f(2))$ と $(x,f(x))$ を結ぶ直線の傾きで、平均変化率にあたる。そして、$x\to 2$ の極限をとると?

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)$$

微分係数の定義そのものだ。

$f(x)=x^2$ の導関数は $f^{\prime }(x)=2x$ だから

$$f^{\prime }(2)=2\times 2=4$$

本解と同じ答え

この見方から分かること。$\frac{0}{0}$ の不定形は、じつは微分につながる形だった。

微分係数の定義

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

この式は $h\to 0$ のとき分子も $0$ に近づき、分母も $0$ に近づくので、必ず $\frac{0}{0}$ の形をしている。つまり、微分とは「$\frac{0}{0}$ を、うまく計算する方法」だ。

幾何的に見よう。

$$\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{y\text{ の変化}}{x\text{ の変化}}$$

これは $2$ 点を結ぶ直線(割線)の傾き。

$x$ を $2$ に近づけると、$2$ 点が重なっていく。 割線は接線に近づく。

$$\text{割線の傾き}⟶\text{接線の傾き}$$

$x=2$ ちょうどでは、$2$ 点が完全に重なって「$2$ 点を結ぶ直線」が定義できない($\frac{0}{0}$ になる理由がこれだ)。だが、近づける途中の傾きは確かに $4$ に近づいていく。

$$x=2.1\to 4.1,x=2.01\to 4.01,x=2.001\to 4.001$$

接点そのものでは測れないのに、極限としてなら測れる。この逆説を乗り越えるために、$300$ 年前にニュートンとライプニッツが微分を作った。目の前の $\frac{x^2-4}{x-2}$ も、その歴史につながる例である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x=0$ を代入すると $\frac{\sin 0}{0}=\frac{0}{0}$ となり、また不定形だ。

だが今度は、因数分解も約分もできない。 $\sin x$ は多項式ではないからだ。そこで、この極限は「基本の道具」として与えられる。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

丸暗記ではなく、意味を掴んでほしい。

$x$ が小さいとき、$\sin x\approx x$ ということだ。

実際に数を入れてみよう($x$ は弧度法)。

$$\sin (0.1)=0.09983\dots \sin (0.01)=0.0099998\dots$$

$x$ と、ほとんど同じ値になっている。

単位円で言えば、小さい角では弧の長さと、それに対する縦の高さがほぼ等しいということ。この $1$ つの極限が三角関数の微分のすべての基礎になる。

これは公式として与えられている基本極限。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

$x\to 0$ のとき $\sin x$ と $x$ はほぼ同じ大きさになる(グラフでも $y=\sin x$ と $y=x$ は原点付近でほぼ重なる)。

まとめ:$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ は三角関数の極限の基本になる。$\frac{0}{0}$ の形だが、値は $1$。角は必ず弧度法で測ること(度数法だと成り立たない)。この形に持ち込むのが多くの問題の目標になる。

発展。 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ は、なぜ「基本極限」として特別扱いされるのか。

それは、三角関数の微分がこの $1$ 行から生まれるからだ。$\sin x$ を、定義に従って微分してみよう。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$$

加法定理で展開する。

$$\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$$

$$\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}=\sin x\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot \frac{\sin h}{h}$$

$2$ つの極限が出てきた。

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1\text{(この問題の結果)}$$

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}=0\text{(これも }\frac{\sin h}{h}\text{ から導ける)}$$

代入すると

$$(\sin x{)}^{\prime }=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x$$

$$\boxed{(\sin x{)}^{\prime }=\cos x}$$

この有名な公式の根拠が $\frac{\sin x}{x}\to 1$ である。

もしこの極限が $1$ でなかったら(たとえば度数法なら $\frac{\pi }{180}$)、微分の公式はこうなる。

$$(\sin x^{\circ }{)}^{\prime }=\frac{\pi }{180}\cos x^{\circ }$$

毎回、$\frac{\pi }{180}$ という汚い係数がついてまわる。 積分でも、微分方程式でも、波の方程式でも、この係数が式を汚し続ける。弧度法を使うと、それが消える。

「$\sin x\approx x$($x$ が小さいとき)」という近似も、ここから来ている。この近似は物理学でとても重要だ。振り子の運動方程式は本来こうだ。

$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{g}{L}\sin \theta$$

この方程式は初等的には解けない。だが、振れ角が小さいとき $\sin \theta \approx \theta$ と近似すると

$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{g}{L}\theta$$

単振動の方程式になり、きれいに解ける。 振り子の周期 $T=2\pi \sqrt{L/g}$ も、この近似から出てくる。時計が正確に時を刻めるのも、$\sin x\approx x$ という近似が成り立つからだ。

$1$ 行のこの極限から、三角関数の微分公式も振り子の周期の式も出てくる。

別解

「なぜ $1$ になるのか」を、面積の比較で証明する。公式として与えられているが、その根拠を知っておくと忘れない。

単位円(半径 $1$)を考える。 中心 $\mathrm{O}$、$x$ 軸上に点 $\mathrm{A}(1,0)$ をとり、角 $x$($0<x<\frac{\pi }{2}$)の位置に点 $\mathrm{P}$ をとる。

$3$ つの図形の面積を比べる。

① 三角形 $\mathrm{OAP}$

底辺 $\mathrm{OA}=1$、高さは $\mathrm{P}$ の $y$ 座標 $=\sin x$。

$$S_1=\frac{1}{2}\sin x$$

② 扇形 $\mathrm{OAP}$(中心角 $x$、半径 $1$)

$$S_2=\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot x=\frac{x}{2}$$

③ 三角形 $\mathrm{OAT}$($\mathrm{A}$ での接線と、直線 $\mathrm{OP}$ の交点を $\mathrm{T}$ とする)

底辺 $\mathrm{OA}=1$、高さは $\mathrm{AT}=\tan x$。

$$S_3=\frac{1}{2}\tan x$$

この $3$ つは、明らかに「小さい順に入れ子」になっている。三角形 $\mathrm{OAP}$ は扇形にすっぽり含まれ、扇形は三角形 $\mathrm{OAT}$ に含まれる。

$$\frac{1}{2}\sin x<\frac{x}{2}<\frac{1}{2}\tan x$$

各辺を $2$ 倍する。

$$\sin x<x<\tan x$$

各辺を $\sin x(>0)$ で割る。

$$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$$

逆数をとる(正の数なので、不等号は反転する)。

$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$

はさみうちの完成だ。

$x\to 0$ のとき、左端は

$$\cos x\to \cos 0=1$$

右端はずっと $1$。両端が $1$ に向かうのだから、間に挟まれたものも $1$ に行くしかない。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1■$$

証明できた

そして、この証明には隠れた前提がある。

扇形の面積を $\frac{1}{2}x$ と書いたが、これは弧度法だから成り立つ式だ。もし度数法($x$ を「度」で測る)なら、どうなるか。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x^{\circ }}{x}=\frac{\pi }{180}\approx 0.01745$$

$1$ にならない。

「$\sin x/x\to 1$」という簡単な式は、弧度法という単位を選んだから成り立つのだ。

弧度法が「自然な」角度の測り方と呼ばれる理由が、ここにある。 数学IIIで角度をラジアンで測るのは、こだわりでも意地悪でもなく、この $1$ 行を成り立たせるためである。