図形と方程式 ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 直線に関する対称点は、$2$ つの条件で決まる。対称点 ${\mathrm{A}}^{\prime }(s,t)$ とおいて式にする。

条件1: 線分 ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ の中点が直線 $\ell$ 上にある(折り返しの軸だから、中点は軸の上)。条件2: ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ が $\ell$ に垂直(折り返しは軸に垂直な向き)。$\ell$ の傾き $2$ に対し、${\mathrm{AA}}^{\prime }$ の傾きは $-\frac{1}{2}$。この $2$ 式を連立して $s,t$ を解く。

① 垂直条件。 $\ell$ の傾きは $2$。${\mathrm{A}}^{\prime }(s,t)$ として ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ の傾きは $\frac{t-2}{s-1}$。垂直だから傾きの積が $-1$:

$$\frac{t-2}{s-1}\cdot 2=-1⟹2(t-2)=-(s-1)⟹s+2t=5$$

② 中点条件。 中点 $\left(\frac{1+s}{2},\frac{2+t}{2}\right)$ が $\ell :y=2x-1$ 上:

$$\frac{2+t}{2}=2\cdot \frac{1+s}{2}-1⟹2+t=2(1+s)-2=2s⟹t=2s-2$$

③ 連立する。 $s+2t=5$ に $t=2s-2$ を代入:$s+2(2s-2)=5$、$5s-4=5$、$s=\frac{9}{5}$。$t=2\cdot \frac{9}{5}-2=\frac{8}{5}$。よって

$${\mathrm{A}}^{\prime }\left(\frac{9}{5},\frac{8}{5}\right)$$

まとめ:対称点は「中点が直線上 + 垂直」の連立。傾きの積 $=-1$(垂直)と、中点が直線を満たす、の $2$ 本で $s,t$ が決まる。図で $\mathrm{A}$ と ${\mathrm{A}}^{\prime }$ が $\ell$ をはさんで反対側にあることを確かめると安心。

発展。 直線に関する対称移動(折り返し)は $1$ 次変換(と平行移動)で書け、$2$ 回折り返すと元に戻る(対合)。直線 $y=x$ に関する対称なら $(x,y)\to (y,x)$ と座標が入れ替わる。対称移動は合同変換の基本で、$2$ 本の直線に順に折り返すと回転(または平行移動)になる。

別解

別解:垂線の足を求めて $2$ 倍する(視覚で捉えるルート)。 対称点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$ は $\mathrm{A}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ を使って、${\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{H}-\mathrm{A}$($\mathrm{H}$ が $\mathrm{A}$ と ${\mathrm{A}}^{\prime }$ の中点)と書ける。

まず垂線の足 $\mathrm{H}$。$\mathrm{A}(1,2)$ を通り $\ell$($傾き2$)に垂直な直線は傾き $-\frac{1}{2}$: $y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$。$\ell :y=2x-1$ と連立する。

$2x-1=-\frac{1}{2}(x-1)+2$ を解くと $x=\frac{7}{5}$、$y=\frac{9}{5}$。$\mathrm{H}\left(\frac{7}{5},\frac{9}{5}\right)$。${\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{H}-\mathrm{A}=\left(\frac{14}{5}-1,\frac{18}{5}-2\right)=\left(\frac{9}{5},\frac{8}{5}\right)$。

${\mathrm{A}}^{\prime }$ を $2$ 条件で連立する本解に対し、「垂線の足 $\mathrm{H}$ を先に求め、$\mathrm{A}$ を $\mathrm{H}$ で折り返す」と、対称点の意味(軸への垂線の延長で等距離)がそのまま計算になる。${\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{H}-\mathrm{A}$ は「$\mathrm{H}$ が中点」を式にしたものだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 三角形 $\mathrm{PAB}$ の面積を、底辺 $\mathrm{AB}$ を固定して考える。面積 $=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot (\mathrm{P}$ から直線 $\mathrm{AB}$ までの距離$)$。

$\mathrm{AB}$ の長さと、直線 $\mathrm{AB}$ の方程式を求める。$\mathrm{AB}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$、直線 $\mathrm{AB}$ は $x+3y-3=0$。$\mathrm{P}$ は $y=x$ 上だから $\mathrm{P}(t,t)$。$\mathrm{P}$ から直線 $\mathrm{AB}$ までの距離を $t$ で表し、面積 $=5$ の方程式を立てる。$t$ の絶対値の方程式になり、$2$ 解が出る。

① 底辺と直線 $\mathrm{AB}$。 $\mathrm{AB}=\sqrt{(3-0{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{10}$。直線 $\mathrm{AB}$ は $2$ 点 $(0,1),(3,0)$ を通り、$x+3y-3=0$。

② 高さを $t$ で表す。 $\mathrm{P}(t,t)$ から直線 $\mathrm{AB}$ までの距離は

$$d=\frac{|t+3t-3|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|4t-3|}{\sqrt{10}}$$

③ 面積の方程式。

$$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10}\cdot \frac{|4t-3|}{\sqrt{10}}=5⟹\frac{|4t-3|}{2}=5⟹|4t-3|=10$$

$4t-3=10$ より $t=\frac{13}{4}$、$4t-3=-10$ より $t=-\frac{7}{4}$。よって

$$\mathrm{P}\left(\frac{13}{4},\frac{13}{4}\right),\left(-\frac{7}{4},-\frac{7}{4}\right)$$

まとめ:「動点をとって三角形の面積を指定」は、底辺を固定し高さ(点と直線の距離)を変数で表す。$\sqrt{10}$ が約分で消え、$|4t-3|=10$ という絶対値方程式に。直線の反対側に $2$ 点できるので解は $2$ つ。

発展。 $3$ 点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ の三角形の面積は $\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$(座標の行列式)。$\mathrm{P}$ を動かすと面積が $1$ 次式で変わり、面積一定の $\mathrm{P}$ は $\mathrm{AB}$ に平行な $2$ 直線上に並ぶ。ベクトルの外積の大きさが平行四辺形の面積、という考えの $2$ 次元版だ。

別解

別解:面積を座標の行列式で直接立てる(得意な人向けの視点)。 $\mathrm{P}(t,t)$、$\mathrm{A}(0,1)$、$\mathrm{B}(3,0)$ の三角形の面積を、座標から直接計算する公式で書く。

$$△\mathrm{PAB}=\frac{1}{2}|(A_x-P_x)(B_y-P_y)-(B_x-P_x)(A_y-P_y)|.$$

$\mathrm{P}(t,t)$ を代入すると

$$\frac{1}{2}|(0-t)(0-t)-(3-t)(1-t)|=\frac{1}{2}|t^2-(3-4t+t^2)|=\frac{1}{2}|4t-3|.$$

これが $5$ だから $|4t-3|=10$、$t=\frac{13}{4}$ または $t=-\frac{7}{4}$。$\mathrm{P}\left(\frac{13}{4},\frac{13}{4}\right)$ と $\left(-\frac{7}{4},-\frac{7}{4}\right)$。底辺 $\times$ 高さの本解と同じだが、$3$ 点の座標から面積を出す行列式(たすき掛け)公式なら、直線 $\mathrm{AB}$ の距離を経由せずにすぐ出る。$t^2$ の項がきれいに消えて $1$ 次式 $|4t-3|$ になるのも見どころだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $3$ 直線が三角形を作らないのは $2$ 通り。場合を尽くす。

(A) どれか $2$ 直線が平行(交わらないので三角形にならない)。傾きを比べる。$x+y=1$ の傾き $-1$、$2x-y=4$ の傾き $2$、$ax+y=0$ の傾き $-a$。$-a=-1$ で $a=1$、$-a=2$ で $a=-2$。

(B) $3$ 直線が $1$ 点で交わる(共点だと三角形の内部がつぶれる)。前 $2$ 直線の交点を求め、$3$ 本目がそこを通る $a$ を出す。両方あわせて $a=1,-2,\frac{2}{5}$。

① 傾きを整理する。 $x+y=1$ は傾き $-1$、$2x-y=4$ は傾き $2$、$ax+y=0$ は傾き $-a$。

② (A) 平行になる。 第 $3$ 直線が他のどちらかと平行:

• $-a=-1$ → $a=1$(第 $1$ 直線と平行)
• $-a=2$ → $a=-2$(第 $2$ 直線と平行)

③ (B) $3$ 直線が共点。 第 $1$、第 $2$ 直線の交点を求める。$x+y=1$ と $2x-y=4$ を足すと $3x=5$、$x=\frac{5}{3}$、$y=1-\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}$。交点 $\left(\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right)$ を第 $3$ 直線 $ax+y=0$ が通る:

$$a\cdot \frac{5}{3}-\frac{2}{3}=0⟹5a=2⟹a=\frac{2}{5}$$

④ まとめる。 $a=1,-2,\frac{2}{5}$。

まとめ:「三角形を作らない」は「平行 or 共点」の $2$ 場合を漏れなく。平行は傾きの一致、共点は他 $2$ 直線の交点を通る条件。$3$ つの $a$ が出る。

発展。 $3$ 直線 $a_{i}x+b_{i}y+c_i=0$ が三角形をなさない条件は、係数の $3\times 3$ 行列式 $=0$。行列式 $=0$ は「$3$ 本が平行または $1$ 点で交わる」を一度に表す。連立方程式が解をもつ・もたない・無数にもつの判定(クラメルの公式)と直結し、線形代数の基本だ。

別解

別解:連立の解の存在で「三角形をなす」を判定する(得意な人向けの視点)。 $3$ 直線が三角形をなす $⟺$ どの $2$ 本も交わり、$3$ 本が $1$ 点に集まらない。これを「$3$ 本のうち $2$ 本ずつの交点が $3$ 個できて、互いに異なる」と読む。

平行(交点が無限遠)になるのは傾きの一致。$-a=-1$($a=1$)、$-a=2$($a=-2$)で $3$ 本目が他のどちらかと平行。共点(交点が $1$ 個に重なる)は、前 $2$ 直線 $x+y=1$、$2x-y=4$ の交点を $3$ 本目が通るとき。交点は連立して $\left(\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right)$。$a\cdot \frac{5}{3}-\frac{2}{3}=0$ から $a=\frac{2}{5}$。

$3$ 直線の係数行列の行列式 $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& -1& -4\\ a& 1& 0\end{array}\right|=0$ が「平行または共点」($3$ 本が三角形をなさない)の統一条件で、これを解くと $a=1,-2,\frac{2}{5}$ がすべて出る。場合分け(本解)を $1$ つの行列式にまとめられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 傾き $2$ の接線を $y=2x+k$ とおく。未知は切片 $k$ だけ。

円と直線が接する条件は「中心から直線までの距離 $=$ 半径」。中心は原点、半径は $\sqrt{5}$。直線を $2x-y+k=0$ の形にして、原点からの距離 $\frac{|k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|k|}{\sqrt{5}}$。これが $\sqrt{5}$ に等しいから $|k|=5$、$k=\pm 5$。

① 接線をおく。 傾き $2$ より $y=2x+k$、すなわち $2x-y+k=0$。

② 距離 = 半径。 中心は原点 $(0,0)$、半径は $\sqrt{5}$。原点から直線 $2x-y+k=0$ までの距離が $\sqrt{5}$:

$$\frac{|2\cdot 0-0+k|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{5}⟹\frac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}⟹|k|=5$$

③ $k$ を求める。 $k=\pm 5$。よって接線は

$$y=2x+5,y=2x-5$$

まとめ:傾きが決まった接線は「$y=(\text{傾き})x+k$ とおき、中心からの距離 $=$ 半径」で $k$ を出す。原点中心なら分子が $|k|$ になって計算が軽い。傾きが同じ接線は円の上下に $2$ 本できる。

発展。 円 $x^2+y^2=r^2$ の傾き $m$ の接線は $y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}$(切片が $\pm r\sqrt{1+m^2}$)。$2$ 本あるのは、円をはさむ上下の平行な接線。楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ なら $y=mx\pm \sqrt{a^2{m}^2+b^2}$。傾きを指定した接線は円錐曲線でこの形の公式をもつ。

別解

別解:接点を法線で捉える(得意な人向けの視点)。 円 $x^2+y^2=5$ 上の点 $(x_0,y_0)$ での接線は $x_{0}x+y_{0}y=5$。この接線の傾きは $-\frac{x_0}{y_0}$。傾き $2$ の接線なら $-\frac{x_0}{y_0}=2$、すなわち $x_0=-2y_0$。

接点は円上だから $x_0^2+y_0^2=5$。$x_0=-2y_0$ を代入すると $4y_0^2+y_0^2=5$、$y_0^2=1$、$y_0=\pm 1$。$y_0=1$ なら $x_0=-2$、接点 $(-2,1)$。接線 $-2x+y=5$、すなわち $y=2x+5$。$y_0=-1$ なら接点 $(2,-1)$、接線 $y=2x-5$。

中心からの距離で解く本解と同じ $y=2x\pm 5$。接点を「傾きから逆算」すると、$2$ つの接点 $(\mp 2,\pm 1)$ が具体的に出る。接線の傾きが $-\frac{x_0}{y_0}$(半径 $\perp$ 接線)であることを使えば、円上の点と接線が対応する。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 円の交点を通る円は、円束(2円の式の線形結合)で表せる。交点を求めずに済む方法だ。

$(x^2+y^2-5)+k(x^2+y^2-4x-2y+3)=0$ の形。この式は、$k$ がどんな値でも $2$ 交点を通る(両方の円の式が $0$ になる点だから)。原点 $(0,0)$ を通る条件を代入する。$-5+3k=0$ から $k=\frac{5}{3}$。これを代入し、$x^2+y^2$ の係数で割って整理すれば、求める円の式が出る。

① 束をおく。 $f=x^2+y^2-5$、$g=x^2+y^2-4x-2y+3$ として

$$(x^2+y^2-5)+k(x^2+y^2-4x-2y+3)=0$$

② 原点を通る条件。 $(x,y)=(0,0)$ を代入:$(-5)+k(3)=0$、$k=\frac{5}{3}$。

③ 代入して整理する。 $k=\frac{5}{3}$ を入れ、全体を $3$ 倍する。

$$3(x^2+y^2-5)+5(x^2+y^2-4x-2y+3)=0$$ $$8x^2+8y^2-20x-10y+0=0$$

両辺を $8$ で割って

$$x^2+y^2-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}y=0$$

まとめ:$2$ 円の交点を通る円は「束 $f+kg=0$」で表し、追加条件で $k$ を決める。交点を求めずに済むのが強み。定数項が消えて原点を通る形になり、確かに $(0,0)$ を通る。

発展。 $2$ 円 $C_1,C_2$ の $1$ 次結合 $C_1+k{C}_2=0$ は、$2$ 交点を通る図形の族(円束)。$k=-1$ で $x^2+y^2$ が消えて直線(根軸)になる。$3$ 番目の条件(原点通過)で $k$ が $1$ つに定まる。円束は $2$ 円の交点を通る円・直線をパラメータ $1$ つで統一的に扱える道具だ。

別解

別解:根軸(交点を通る直線)を経由する(得意な人向けの視点)。 $2$ 円の式を引くと、交点を通る直線(根軸)が出る。$(x^2+y^2-5)-(x^2+y^2-4x-2y+3)=4x+2y-8=0$、すなわち $2x+y-4=0$。$2$ 交点はこの直線上にある。

求める円は「$2$ 交点 $+$ 原点」を通る。$2$ 交点を通る円は片方の円と根軸の線形結合 $(x^2+y^2-5)+m(2x+y-4)=0$ でも表せる。原点 $(0,0)$ を代入すると $-5+m(-4)=0$、$m=-\frac{5}{4}$。

$$x^2+y^2-5-\frac{5}{4}(2x+y-4)=x^2+y^2-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}y-5+5=x^2+y^2-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}y=0.$$

円束(本解)は $2$ 円の結合、こちらは「$1$ 円 $+$ 根軸」の結合。どちらも $2$ 交点を通る図形の族を作り、原点条件で $1$ つに絞る。根軸を経由すると、係数が $2$ 次でなく $1$ 次で扱いやすい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 円の弦の中点 $\mathrm{M}$ と中心 $\mathrm{C}$ を結ぶ線分 $\mathrm{CM}$ は、弦に垂直(中心から弦の中点への線は弦と直交する)。この性質を使えば解ける。

だから弦の傾きは $\mathrm{CM}$ の傾きの「$-1$ の逆数」。まず $\mathrm{CM}$ の傾きを求める。$\mathrm{C}(3,1)$、$\mathrm{M}(2,1)$ は $y$ 座標が同じ($\mathrm{CM}$ は水平、傾き $0$)。水平線に垂直なのは鉛直線。だから弦は $\mathrm{M}(2,1)$ を通る鉛直線 $x=2$。

① $\mathrm{CM}$ の向き。 中心 $\mathrm{C}(3,1)$、中点 $\mathrm{M}(2,1)$。$\mathrm{CM}$ は $(2-3,1-1)=(-1,0)$、すなわち水平方向(傾き $0$)。

② 弦の向き。 弦は $\mathrm{CM}$ に垂直だから、水平に垂直 = 鉛直(縦)。$\mathrm{M}(2,1)$ を通る鉛直線は

$$x=2$$

③ 確認。 直線 $x=2$ と円の交点は $(2-3{)}^2+(y-1{)}^2=10$ より $(y-1{)}^2=9$、$y=4,-2$。端点 $(2,4),(2,-2)$ の中点は $\left(2,\frac{4-2}{2}\right)=(2,1)=\mathrm{M}$。確かに中点が $\mathrm{M}$。

まとめ:弦の中点が与えられたら「中心と中点を結び、それに垂直」が弦の向き。$\mathrm{CM}$ が水平なら弦は鉛直($x=$ 一定)。傾きが $0$ や存在しない(鉛直)場合は、逆数でなく「水平 ⟺ 鉛直」で考えると間違えない。

発展。 「弦の中点 $\mathrm{M}$ での弦 $\perp$ 中心と $\mathrm{M}$ を結ぶ線」は、円の対称性の帰結。中点弦の直線は点 $\mathrm{M}$ の円に関する「極線」に平行。放物線・楕円・双曲線でも「弦の中点の軌跡」(直径)は同様に扱え、円錐曲線の対称性を反映する。

別解

別解:陰関数の微分(または円の接線公式)で弦の傾きを出す(得意な人向けの視点)。 弦の中点 $\mathrm{M}$ での弦の傾きは円の「極線」の考え方でも出る。中点 $\mathrm{M}(x_1,y_1)$ を弦の中点とする弦の直線は

$$x_{1}x+y_{1}y-\cdots \text{ではなく}(\text{中点弦の公式})(x_1-3)(x-3)+(y_1-1)(y-1)=(x_1-3{)}^2+(y_1-1{)}^2.$$

$\mathrm{M}(2,1)$ を代入すると、$(2-3)(x-3)+(1-1)(y-1)=(2-3{)}^2+0$、すなわち $-(x-3)=1$、$x=2$。

中点弦の直線は「中心と中点を結ぶ線に垂直で、中点を通る」直線で、上の公式はそれを1行で与える。$\mathrm{CM}$ の傾きから垂直を作る本解と同じ $x=2$。$\mathrm{CM}$ が水平($\mathrm{C},\mathrm{M}$ の $y$ 座標が同じ)なので弦は鉛直、と幾何で見ても、公式で計算しても同じ結論だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$k$ によらず通る定点」は、式を $k$ について整理するのが基本だ。$k$ でくくる。

$(2k+1)x+(k-1)y-(k+2)=0$ を $k$ について整理すると $k(2x+y-1)+(x-y-2)=0$。$k$ がどんな値でも成り立つには、$k$ の係数と定数項が同時に $0$。すなわち $2x+y-1=0$ かつ $x-y-2=0$。この連立を解くと定点 $(1,-1)$。

① $k$ について整理する。 $(2k+1)x+(k-1)y-(k+2)=0$ を $k$ でくくる。

$$k(2x+y-1)+(x-y-2)=0$$

② 係数を $0$ にする。 $k$ によらず成り立つには

$$2x+y-1=0\text{かつ}x-y-2=0$$

③ 連立する。 $2$ 式を足すと $3x-3=0$、$x=1$。$x-y-2=0$ に代入して $y=-1$。よって定点は

$$(1,-1)$$

まとめ:「パラメータによらず通る定点」は「$k$ について整理して、係数と定数をともに $0$」。$k$ の恒等式とみれば解ける。$2$ 式の連立で定点の座標が決まる。図では、$k$ を変えた各直線が $1$ 点で束になって通る。

発展。 パラメータ $k$ を含む直線 $f(x,y)+kg(x,y)=0$ は、$f=0$ と $g=0$ の交点を必ず通る直線の族(直線束)。定点は $f=0\cap g=0$。$2$ 円の交点を通る円の族(円束、前問)と同じ発想で、「共通点を通る図形の族」はパラメータ $1$ つで表せる。射影幾何の基本構造だ。

別解

別解:$2$ 本の具体的な直線の交点として求める(苦手な人にも確実なルート)。 「$k$ によらず通る定点」は、$k$ に具体的な値を $2$ つ入れて $2$ 本の直線を作り、その交点を求めればよい(定点はどの $k$ の直線にも乗るから)。

$k=0$: $x-y-2=0$、すなわち $x-y=2$。 $k=1$: $3x+0\cdot y-3=0$、すなわち $x=1$。

この $2$ 本を連立: $x=1$ を $x-y=2$ に入れて $y=-1$。交点 $(1,-1)$。念のため別の $k$ で確認する。$k=-2$ なら $(2\cdot (-2)+1)x+(-2-1)y-(-2+2)=-3x-3y=0$、すなわち $x+y=0$。$(1,-1)$ は $1+(-1)=0$ で満たす。

$k$ でくくって係数 $=0$ とする本解と同じ $(1,-1)$。「定点は全部の直線に乗る」から、$2$ 本の代表を選んで交点を出せば十分。$k$ の一次式の「束」はその定点を中心に回る直線の集まりだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 円上の点 $\mathrm{P}$ から直線までの距離は、まず「中心から直線までの距離 $d$」を基準にする。

中心 $(1,2)$ から直線 $3x+4y=0$ までの距離は $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{11}{5}$。$\mathrm{P}$ は半径 $r=2$ の円周上を動く。$\mathrm{P}$ から直線までの距離は中心からの $d$ を中心に $\pm r$ の範囲を動く。最大は $d+r=\frac{11}{5}+2=\frac{21}{5}$、最小は $d-r=\frac{11}{5}-2=\frac{1}{5}$。

① 中心から直線までの距離。 中心 $\mathrm{C}(1,2)$、半径 $r=2$。直線 $3x+4y=0$ までの距離は

$$d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3+8|}{5}=\frac{11}{5}$$

$d=\frac{11}{5}>r=2$ なので、直線は円と交わらない。

② 最大・最小。 円上の点から直線までの距離は $d\pm r$ の範囲。

$$\text{最大}=d+r=\frac{11}{5}+2=\frac{21}{5},\text{最小}=d-r=\frac{11}{5}-2=\frac{1}{5}$$

まとめ:円上の点と直線の距離は「中心からの距離 $d$ ± 半径 $r$」。$d>r$(交わらない)なら最小 $d-r>0$。中心を通り直線に垂直な線が最も近い点と遠い点を通る。$d<r$(交わる)なら最小は $0$ になる点に注意。

発展。 円上の点から直線までの距離が「中心距離 $\pm$ 半径」を動くのは、円が直線から最も近い点・遠い点が、中心から直線に下ろした垂線と円の交点だから。最大点と最小点は直径の両端(中心を通り直線に垂直な直線上)にある。距離の最大最小は「中心を基準に半径ぶん揺れる」という円の一様性の現れだ。

別解

別解:中心・直線・円のパラメータで最遠・最近点を特定する(得意な人向けの視点)。 円上の点を $\mathrm{P}(1+2\cos \theta ,2+2\sin \theta )$($中心(1,2)$・半径 $2$)とパラメータ表示し、直線 $3x+4y=0$ までの距離を $\theta$ で書く。

$$\text{距離}=\frac{|3(1+2\cos \theta )+4(2+2\sin \theta )|}{5}=\frac{|11+6\cos \theta +8\sin \theta |}{5}.$$

$6\cos \theta +8\sin \theta$ は合成すると $\sqrt{6^2+8^2}\sin (\theta +\phi )=10\sin (\theta +\phi )$、範囲 $[-10,10]$。だから分子の中身 $11+6\cos \theta +8\sin \theta$ は $11-10=1$ から $11+10=21$ を動く。距離は $\frac{1}{5}$ から $\frac{21}{5}$。

「中心から距離 $\pm$ 半径」の本解と同じ最大 $\frac{21}{5}$・最小 $\frac{1}{5}$。合成 $6\cos \theta +8\sin \theta$ の振幅 $10$ が「半径 $2\times$ 法線係数 $5$」に対応する($10=2\cdot 5$)。円周上を回る点の直線までの距離が正弦波になる、と見える。