図形と方程式 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 点の距離は、三平方の定理そのものだ。

$2$ 点を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形を、頭の中で(できれば図の上で)作る。

• 横の長さ: $x$ 座標の差 $=4-1=3$
• 縦の長さ: $y$ 座標の差 $=6-2=4$

斜辺は三平方の定理で。

$$\mathrm{AB}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

公式として書くと

$$\mathrm{AB}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

$2$ 乗するので、引き算の順序はどちらでもよい($3^2$ でも $(-3{)}^2$ でも $9$)。ここは気楽に構えてよいところだ。

$x$ の差は $4-1=3$、$y$ の差は $6-2=4$。それぞれ2乗して足し、ルートをとる。

$$\mathrm{AB}=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

発展。 「距離」の測り方は、実は $1$ 通りではない。

ふだん使うのはユークリッド距離(直線距離)だ。

$$\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$$

しかし、碁盤の目の街を歩くときはどうか。ビルを突っ切れないので、横に $3$ 進み、縦に $4$ 進むしかない。

$$|\Delta x|+|\Delta y|=3+4=7$$

これをマンハッタン距離という(ニューヨークの街路にちなむ)。同じ $2$ 点なのに、距離が $5$ にも $7$ にもなる。

「距離」は目的に応じて選ぶ物差しだ。

• ユークリッド距離: カラスが飛ぶ最短距離。幾何学の標準
• マンハッタン距離: 街を歩く距離。都市計画、回路設計
• チェビシェフ距離($\max (|\Delta x|,|\Delta y|)=4$): チェスの王が動く手数

数学は「距離とは何か」を抽象化した。 次の $3$ 条件を満たすものは、すべて距離と呼んでよい。

1. $d(\mathrm{A},\mathrm{B})\geqq 0$、$=0$ となるのは $\mathrm{A}=\mathrm{B}$ のときだけ
2. $d(\mathrm{A},\mathrm{B})=d(\mathrm{B},\mathrm{A})$(対称性)
3. $d(\mathrm{A},\mathrm{C})\leqq d(\mathrm{A},\mathrm{B})+d(\mathrm{B},\mathrm{C})$(三角不等式。寄り道すると長くなる)

この $3$ 条件を満たせば、何を距離と呼んでもよい。 文字列の「編集距離」(何文字変えれば別の文字列になるか)や、遺伝子の「進化距離」まで、同じ枠組みで扱える。当たり前に見える $\sqrt{9+16}$ から、「測るとは何か」という問いにつながる。

別解

距離の公式は「三平方の定理の言い換え」にすぎない。 そのことを確認したうえで、$3$ 次元への拡張と、距離が中心になる場面を見ておこう。まず、絵で確認する。

$\mathrm{A}(1,2)$ から真横に進んで $x=4$ まで行き、そこから真上に進んで $\mathrm{B}(4,6)$ に着く、カギ型の経路を考える。

• 横に進んだ距離: $3$
• 縦に進んだ距離: $4$

この $2$ 辺を持つ直角三角形の、斜辺が $\mathrm{AB}$ である。

$${\mathrm{AB}}^2=3^2+4^2=9+16=25⟹\mathrm{AB}=5$$

$3$、$4$、$5$ の直角三角形が現れた。教科書でおなじみの組だ。

距離の公式を「覚える」必要はない。 座標の差を $2$ 辺とする直角三角形を描けば、三平方の定理ですべて分かる。$3$ 次元でも、同じ形で拡張される。

$$\mathrm{AB}=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}$$

たとえば $(0,0,0)$ と $(1,2,2)$ の距離は

$$\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

なぜ $3$ 乗根ではなく、平方根のままなのか。 三平方の定理を $2$ 回使っているからだ。まず床の上で $\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ を出し、次にそれと高さ $2$ で直角三角形を作る($\sqrt{5+4}=3$)。$2$ 段重ねの三平方になっているので、足す項が増えるだけで、根号の形は変わらない。

$4$ 次元でも、$100$ 次元でも同じだ。 データ分析では $100$ 個の特徴を持つデータ点どうしの「距離」を、この公式で測る。距離の概念は次元を選ばない。

そして、距離を中心に考える場面を見る。

• 円: 「中心からの距離が一定」の点の集まり($\Rightarrow$ 円の方程式)
• 垂直二等分線: 「$2$ 点から等距離」の点の集まり
• 楕円: 「$2$ 定点からの距離の和が一定」
• 放物線: 「定点と定直線からの距離が等しい」

この単元(そして数Cの $2$ 次曲線)は、「距離の条件」を「方程式」で表す方法でできている。

$$\text{幾何の条件(距離)}⟷\text{代数の式(方程式)}$$

距離の公式はその最初の道具だ。$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ という式を書けることが、円も、軌跡も、すべての出発点になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 内分点の公式は、たすきに掛けるところに注意する。

$$\mathrm{AB}\text{を}m:n\text{に内分する点}=\left(\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n},\frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n}\right)$$

$\mathrm{A}$ には $n$(遠いほうの比)、$\mathrm{B}$ には $m$(近いほうの比)が掛かる。ここが逆になりやすい。

覚え方。「$\mathrm{B}$ 側の比 $m$ が $\mathrm{B}$ の座標に掛かる」と丸暗記せず、$\mathrm{B}$ に近い点ほど $\mathrm{B}$ の重みが大きいと考える。$2:1$ の内分点は $\mathrm{B}$ 寄りだから、$\mathrm{B}$ の重みが $2$ で大きい。

(1) 中点は $1:1$ の内分だから、ただの平均。

(3) 外分は比の一方を負にした内分と考えると、公式が $1$ 本で済む(別解で詳しく)。

(1) 中点は $1:1$ の内分なので、単純に平均。

$$\mathrm{M}\left(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-4)}{2}\right)=(2,-1)$$

(2) $2:1$ の内分。公式に $m=2$、$n=1$ を入れる。

$$\mathrm{P}\left(\frac{1\cdot (-1)+2\cdot 5}{2+1},\frac{1\cdot 2+2\cdot (-4)}{2+1}\right)=\left(\frac{9}{3},\frac{-6}{3}\right)=(3,-2)$$

(3) $2:1$ の外分。$n$ を $-1$ にして同じ公式。

$$\mathrm{Q}\left(\frac{-1\cdot (-1)+2\cdot 5}{2-1},\frac{-1\cdot 2+2\cdot (-4)}{2-1}\right)=\left(\frac{11}{1},\frac{-10}{1}\right)=(11,-10)$$

発展。 内分点の公式はベクトルで書くと $1$ 行になる。

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n\overrightarrow{\mathrm{OA}}+m\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{m+n}$$

$x$ 座標と $y$ 座標を別々に書く必要がない。 ベクトルは「$2$ つの座標をまとめて扱う」ための記法だから、公式が半分の長さになる。そして、この形は「重みつき平均」そのものだ。

$$\mathrm{P}=\frac{n}{m+n}\mathrm{A}+\frac{m}{m+n}\mathrm{B}$$

$2$ つの係数を足すと $1$($\frac{n}{m+n}+\frac{m}{m+n}=1$)。これが「線分 $\mathrm{AB}$ 上の点」であることの、代数的な特徴づけだ。

$$\mathrm{P}=s\mathrm{A}+t\mathrm{B}(s+t=1,s\geqq 0,t\geqq 0)$$

係数の和が $1$ で、両方 $0$ 以上 → 線分 $\mathrm{AB}$ 上。 係数の和が $1$ で、片方が負 → 直線 $\mathrm{AB}$ 上だが、線分の外(外分点)。

「係数の和が $1$」が、直線を特徴づける。 この見方は数Cのベクトルで「点が直線上にある条件」として再登場し、さらに「点が平面上にある条件」($s+t+u=1$)へと拡張される。

外分点が「負の係数」で表されることも、この枠組みなら自然だ。$\mathrm{Q}(11,-10)$ は

$$\mathrm{Q}=-1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{B}(-1+2=1)$$

係数の和は $1$ のまま、片方が負になっただけ。 内分と外分は、$1$ つの式の中で連続的につながっている。

別解

外分の公式を、内分と別に覚える必要はない。 「外分 $=$ 比を負にした内分」という統一の見方を身につけよう。そして、比の向きを間違えないてこの見方も紹介する。

統一の視点: 外分は「負の比の内分」。内分点の公式は

$$\left(\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n},\frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n}\right)$$

$2:1$ の外分は $2:(-1)$ の内分として計算する。$n=-1$ を代入するだけだ。

$$x=\frac{(-1)(-1)+2\cdot 5}{2+(-1)}=\frac{1+10}{1}=11$$

$$y=\frac{(-1)(2)+2\cdot (-4)}{2-1}=\frac{-2-8}{1}=-10$$

$$\mathrm{Q}(11,-10)$$

公式が $1$ 本になった。 外分点の公式($\frac{-n{x}_1+m{x}_2}{m-n}$)を別に覚える必要はない。内分の公式で、$n$ を $-n$ にするだけである。

なぜ「負の比」でよいのか。 外分点とは「線分の外側にある点で、$\mathrm{A}$ からの距離と $\mathrm{B}$ からの距離の比が $2:1$ になる点」だ。$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{B}$ の外側にあるので、$\mathrm{Q}$ から見ると $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ は同じ側にあり、向きが揃っている。この「向きの反転」が負の符号として現れるのだ。

てこの見方(比の向きを間違えないために)。内分点をシーソーのつり合う点だと思う。

$$\mathrm{A}\bullet -------\stackrel{\mathrm{P}}{△}---\bullet \mathrm{B}$$

$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=2:1$ なら、$\mathrm{A}$ 側の腕が長く、$\mathrm{B}$ 側の腕が短い。

てこの原理: 腕が短い側に、重い重りを置く。 だから

$$(\mathrm{A}\text{の重み}):(\mathrm{B}\text{の重み})=1:2$$

重みつき平均をとると

$$\mathrm{P}=\frac{1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{B}}{1+2}=\frac{1\cdot (-1,2)+2\cdot (5,-4)}{3}=\frac{(-1+10,2-8)}{3}=(3,-2)$$

「$\mathrm{B}$ に近い点だから、$\mathrm{B}$ の重みが大きい」と考えると、直感と一致する。公式の $m$ と $n$ がどちらに掛かるか、二度と迷わない。

検算も忘れずに。

$$\mathrm{AP}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2},\mathrm{PB}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$$

$$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=4\sqrt{2}:2\sqrt{2}=2:1$$

外分点 $\mathrm{Q}$ でも確かめる。

$$\mathrm{AQ}=\sqrt{12^2+12^2}=12\sqrt{2},\mathrm{QB}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$$

$$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=2:1$$

比は確かに $2:1$。ただし $\mathrm{Q}$ は線分の外側にいる。これが「外分」の意味である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 重心の座標は、$3$ 頂点の平均。それだけだ。

$$\mathrm{G}\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$

$$x=\frac{2+(-3)+4}{3}=\frac{3}{3}=1,y=\frac{5+1+0}{3}=\frac{6}{3}=2$$

$$\mathrm{G}(1,2)$$

中点が「$2$ 点の平均」なら、重心は「$3$ 点の平均」 のように、拡張として自然に覚えられる。

この公式は $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ について完全に対称だ。どの頂点を先に書いても答えは同じ。だからこそ「$3$ 本の中線が $1$ 点で交わる」という事実まで、この式が保証している(別解で説明)。

$x$ 座標の平均と $y$ 座標の平均を計算する。

$$\mathrm{G}\left(\frac{2+(-3)+4}{3},\frac{5+1+0}{3}\right)=\left(\frac{3}{3},\frac{6}{3}\right)=(1,2)$$

発展。 重心の公式 $\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$ は物理の「質量中心」そのものである。

$3$ 頂点に同じ重さのおもりを置いたとき、全体がつり合う点が重心だ。$3$ 個の位置の平均をとる、というのは物理でも同じ計算になる。

重さが違ったらどうなるか。 質量 $m_1$、$m_2$、$m_3$ のおもりなら

$$\mathrm{G}=\frac{m_1\mathrm{A}+m_2\mathrm{B}+m_3\mathrm{C}}{m_1+m_2+m_3}$$

重みつき平均になる。数Aで学んだ「質量法(てこの原理)」で三角形の内部の点を扱ったときも、この式を使っていた。そして、この形は統計の「平均」とも同じである。

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$

データの平均も、三角形の重心も、物体の質量中心も、全部おなじ式である。

平均とは「つり合いの点」である。 データの分析で「平均はシーソーの支点」と学んだことと、三角形の重心が「板を支えられる $1$ 点」であることは、まったく同じ数学で説明できる。

単元をまたいで、同じ式が出てくる。 別の単元で同じ式に出会ったとき、「これ、前にも見た形だ」という感覚を、大事にしたい。

別解

「なぜ平均でよいのか」を、中線の $2:1$ から確かめる。 数Aの図形の性質で学んだ事実と、座標の計算がぴったり一致する。中線を使って、重心を出し直す。

手順1: 辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ を求める。

$$\mathrm{M}\left(\frac{-3+4}{2},\frac{1+0}{2}\right)=\mathrm{M}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

手順2: 重心は中線 $\mathrm{AM}$ を $2:1$ に内分する点。(数Aで学んだ性質。頂点側が $2$。)

内分点の公式を使う($\mathrm{A}$ に $1$、$\mathrm{M}$ に $2$ の重み)。

$$x=\frac{1\cdot 2+2\cdot \frac{1}{2}}{3}=\frac{2+1}{3}=1$$

$$y=\frac{1\cdot 5+2\cdot \frac{1}{2}}{3}=\frac{5+1}{3}=2$$

$$\mathrm{G}(1,2)$$

平均で出した答えと、完全に一致した。なぜ一致するのか、式で見る。

$$\mathrm{G}=\frac{1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{M}}{3}=\frac{\mathrm{A}+2\cdot \frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}}{3}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$$

$2$ と $\frac{1}{2}$ が約分されて、きれいな平均になった。 「中線を $2:1$ に内分」と「$3$ 点の平均」は、同じことを言っているのだ。そして、この式の形に注目してほしい。

$$\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$$

$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ が完全に対等である。どれを入れかえても、式は変わらない(対称式だ)。この対称性が重大な事実を証明している。

上の計算では $\mathrm{A}$ から出る中線を使った。しかし $\mathrm{B}$ から出る中線を使っても、$\mathrm{C}$ から出る中線を使っても、まったく同じ計算で同じ $\mathrm{G}$ にたどり着く(式が対称だから)。

$$⟹\text{3 本の中線は、すべて点 G を通る}$$

「$3$ 本の中線が $1$ 点で交わる」という、当たり前ではない幾何の定理が、座標の対称式 $1$ 本から出てきた。

これが座標幾何の利点だ。 図形の性質(数A)では、チェバの定理を持ち出して証明したこの事実が、座標では「平均の式が対称だから」の一言で片づく。

幾何の問題を座標で表す。 そうすると、幾何的なひらめきが要らなくなり、計算だけで答えが出る。デカルトが座標を発明した意義は、ここにある。図形が代数の言葉で語れるようになったのである。

検算しておこう。 $\mathrm{AG}:\mathrm{GM}$ は本当に $2:1$ か。

$$\mathrm{AG}=\sqrt{(2-1{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{10}$$

$$\mathrm{GM}=\sqrt{{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(2-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$$

$$\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=\sqrt{10}:\frac{\sqrt{10}}{2}=2:1$$

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 直線を決めるには、傾きと、通る点 $1$ つの $2$ つがあればよい。

$$y-y_1=m(x-x_1)$$

この形($1$ 点と傾きの公式)が使えれば、直線の問題は $9$ 割片づく。

(1) 傾き $2$、点 $(1,3)$ → そのまま代入する。

$$y-3=2(x-1)⟹y=2x+1$$

(2) $2$ 点しか与えられていない。傾きを、$2$ 点から計算する。

$$m=\frac{(y\text{の変化})}{(x\text{の変化})}=\frac{6-0}{2-(-1)}=\frac{6}{3}=2$$

傾きが出れば、あとは(1)と同じ。 通る点はどちらを使ってもよい($(-1,0)$ が計算は楽だ)。

$$y-0=2(x+1)⟹y=2x+2$$

(1) $m=2$、通る点 $(1,3)$ を入れる。

$$y-3=2(x-1)\Rightarrow y=2x-2+3=2x+1$$

(2) まず傾きを出す。

$$m=\frac{6-0}{2-(-1)}=\frac{6}{3}=2$$

点 $(-1,0)$ を通るので

$$y-0=2(x+1)\Rightarrow y=2x+2$$

発展。 「$2$ 点を通る直線は、ただ $1$ 本」というのは、幾何の公理(証明せずに認める大前提)である。ユークリッドの『原論』の第 $1$ 公準そのものだ。

では、座標を使うと、この公理はどうなるか。$2$ 点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ を通る直線は

$$(y_2-y_1)(x-x_1)=(x_2-x_1)(y-y_1)$$

この式は $x_1=x_2$(縦の直線)でも成り立つ($0=(x_2-x_1)(y-y_1)$ の形で、$x=x_1$ を表す)。分母がないので、場合分けが不要になる。「直線が $1$ 本に決まる」という幾何の公理が、代数では「連立方程式の解が $1$ つに決まる」ことに対応する。

$$\{\begin{array}{l}{y}_1=m{x}_1+k\\ y_2=m{x}_2+k\end{array}$$

$m$、$k$ についての連立 $1$ 次方程式。$x_1\ne x_2$ なら、解はただ $1$ 組なので、直線はただ $1$ 本だ。

幾何の「公理」が代数では「定理」になった。 座標を導入すると、図形の性質が計算で証明できるようになる。

デカルトの座標(解析幾何)は $2000$ 年続いたユークリッド幾何を、根底から変えた発明だった。「図を描いて、ひらめく」やり方を「座標を置いて、計算する」やり方に変え、ひらめきを、手続きに置きかえたのである。

座標の考え方は身の回りの技術でも使われている。コンピュータグラフィックスや GPS でも、図形を座標(数)で表す方法が使われている。

別解

直線の表し方には、いくつかの「形」がある。 それぞれの得意分野を知っておくと、問題に応じて最短の道が選べる。そして検算の作法を固めよう。

まず検算。求めた直線に、与えられた点を代入する。

(2)の答え $y=2x+2$ に、$2$ 点とも入れる。

$$x=-1:y=-2+2=0(\text{点 }(-1,0)\text{を通る})$$

$$x=2:y=4+2=6(\text{点 }(2,6)\text{を通る})$$

両方通った。 $2$ 点を通る直線を求めたら、必ず $2$ 点とも代入して確かめる。すぐにできる。片方だけ通って安心すると、傾きの計算ミスを見逃す。

直線の $4$ つの表し方。

型1: $y=mx+k$(傾きと切片)

いちばん馴染みのある形。グラフを描くのに便利。 ただし $y$ 軸に平行な直線($x=3$ など)は表せないという弱点がある。

型2: $y-y_1=m(x-x_1)$($1$ 点と傾き)

「点を通り、傾きが決まっている」問題に最も向いている。 切片を計算する手間が省ける。接線・平行線・垂線の問題はほぼこれで書く。

型3: $ax+by+c=0$(一般形)

すべての直線を表せる($x=3$ も $1\cdot x+0\cdot y-3=0$ と書ける)。点と直線の距離の公式は、この形でないと使えない。型4: $2$ 点を通る直線の公式

$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$

$2$ 点 $(-1,0)$、$(2,6)$ なら

$$\frac{y-0}{6-0}=\frac{x+1}{2+1}⟹\frac{y}{6}=\frac{x+1}{3}⟹y=2(x+1)=2x+2$$

傾きを別に計算しなくてよいのが利点。ただし分母が $0$ になる($x_1=x_2$ の)ときは使えない。

どの形を選ぶか。

「$y$ 軸に平行」の見落としが間違いのもとになる。 たとえば「点 $(2,3)$ を通り、円に接する直線」を求めるとき、$y=m(x-2)+3$ とだけ置くと、$x=2$ という接線を取りこぼすことがある。$y=mx+k$ の形は、$1$ つだけ表せない直線があることを、いつも頭の隅に置いておきたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 傾きだけが問題だ。通る点はどちらも $(2,1)$ で共通なので、傾きさえ決まれば $y-1=m(x-2)$ に入れて終わる。

(1) 平行 → 傾きが同じ。

$$m=3$$

$$y-1=3(x-2)⟹y=3x-5$$

(2) 垂直 → 傾きの積が $-1$。

$$3\times m=-1⟹m=-\frac{1}{3}$$

$$y-1=-\frac{1}{3}(x-2)⟹y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$$

垂直の傾きは「逆数にして、符号を変える」。 $3\to \frac{1}{3}\to -\frac{1}{3}$ の $2$ 段階だ。符号を変えるのを忘れるのが最頻ミスである。

もとの直線の傾きは $3$。

(1) 平行は傾きも $3$。点 $(2,1)$ を通るので

$$y-1=3(x-2)\Rightarrow y=3x-5$$

(2) 垂直は傾きの積が $-1$。$3\times m=-1$ より $m=-\frac{1}{3}$。点 $(2,1)$ を通るので

$$y-1=-\frac{1}{3}(x-2)\Rightarrow y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}+1=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$$

発展。 「傾きの積が $-1$」という公式には、使えない場合がある。

$x$ 軸に平行な直線($y=5$、傾き $0$)と、$y$ 軸に平行な直線($x=3$、傾きなし)。この $2$ 本は明らかに垂直だが、

$$0\times (\text{傾きなし})=-1?$$

計算できない。 傾き $0$ の直線に垂直な直線は「傾きが定義されない」($y$ 軸に平行)ので、公式が破綻する。

これが $y=mx+k$ という表し方の弱点だ。 「傾き」という概念が、縦の直線を扱えない。一般形なら、この問題は起きない。

$$ax+by+c=0\text{と}{a}^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\text{が垂直}⟺a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }=0$$

$y=5$($0x+1y-5=0$)と $x=3$($1x+0y-3=0$)なら

$$0\times 1+1\times 0=0$$

確かに「垂直」と判定される。 例外がない。

この $a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }=0$ という式は、実は「法線ベクトルの内積 $=0$」である。 直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトル(直線に垂直な方向)は $(a,b)$ で、係数がそのまま法線の向きを表しているのだ。$2$ 直線が垂直 $⟺$ 法線どうしも垂直 $⟺$ 内積が $0$。

「傾き」は便利だが、どんな直線にも使えるわけではない。 縦の直線という特異点を持つ。一方、一般形と法線ベクトルは、すべての直線を平等に扱える。

表現の選び方が扱える範囲を決める。 数学では「どう書くか」が「何ができるか」を左右する。記法は考えるための道具でもある。

別解

「なぜ垂直だと傾きの積が $-1$ なのか」を知ると、公式が忘れられなくなる。そして、一般形での平行・垂直の作り方という実戦的な技も手に入る。

理由: 回転で考える。

傾き $3$ の直線は右へ $1$ 進むと上へ $3$ 進む。方向を表す矢印は $(1,3)$ だ。この矢印を $90^{\circ }$ 回転させると、垂直な方向になる。

平面で $(a,b)$ を $90^{\circ }$ 回転すると $(-b,a)$ になる(反時計回り)。

$$(1,3)\stackrel{90^{\circ }\text{回転}}{\to }(-3,1)$$

回転後の矢印は $(-3,1)$。 その傾きは

$$\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$$

垂直な直線の傾きが出た。

「逆数にして符号を変える」操作は $90^{\circ }$ 回転を表していたのだ。$(1,m)$ を回すと $(-m,1)$ になり、傾きは $\frac{1}{-m}=-\frac{1}{m}$ で、必ず「逆数 $\times$ $(-1)$」になる。

掛け算で確かめると

$$m\times \left(-\frac{1}{m}\right)=-1$$

積が $-1$。 これが公式の理由である。(ベクトルを学ぶと、これは内積が $0$ と言い換えられる: $(1,3)\cdot (-3,1)=-3+3=0$。垂直 $=$ 内積 $0$ が、数Cでの標準的な言い方だ。)

さて、実戦的な技を紹介する。一般形なら、平行・垂直がすぐに書ける。直線 $y=3x-1$ を一般形にすると

$$3x-y-1=0$$

平行な直線は定数項だけを変える。

$$3x-y+c=0$$

点 $(2,1)$ を通るので、代入して $6-1+c=0$ → $c=-5$。

$$3x-y-5=0(\text{つまり }y=3x-5)$$

垂直な直線は $x$ と $y$ の係数を入れかえて、片方の符号を変える。

$$3x-y+c=0⟶x+3y+c^{\prime }=0$$

($3$ と $-1$ を入れかえて $-1$、$3$ → 符号調整して $1$、$3$。)点 $(2,1)$ を代入して $2+3+c^{\prime }=0$ → $c^{\prime }=-5$。

$$x+3y-5=0(\text{つまり }y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3})$$

分数が出てこない。 $y=mx+k$ の形で計算すると $-\frac{1}{3}$ という分数を扱うことになるが、一般形なら整数のまま進められる。

まとめておく。 直線 $ax+by+c=0$ に対して

• 平行: $ax+by+c^{\prime }=0$(係数はそのまま、定数だけ変える)
• 垂直: $bx-ay+c^{\prime }=0$(係数を入れかえて、片方の符号を反転)

この $2$ 行は計算を大幅に速くする。 特に「点と直線の距離」や「垂線の足」を求める問題では、一般形のまま進めるのが定跡だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 点と直線の距離には、公式がある。

$$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

使う前に、直線を $ax+by+c=0$ の形(一般形)にしておく。 今回は最初からその形だ。

$$3x-4y+1=0,(x_0,y_0)=(2,3)$$

分子: 点の座標を直線の式に代入して絶対値。

$$|3\cdot 2-4\cdot 3+1|=|6-12+1|=|-5|=5$$

分母: 係数の $2$ 乗和の平方根。

$$\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{25}=5$$

$$d=\frac{5}{5}=1$$

分子の絶対値を忘れない。 距離は必ず正だから、$-5$ のままにしてはいけない。

① 公式の意味を一言で。 直線 $ax+by+c=0$ にとって $(a,b)$ は直線と垂直な向き(法線)。$|a{x}_0+b{y}_0+c|$ は点が直線からどれだけ離れているかに比例した量で、それを法線の長さ $\sqrt{a^2+b^2}$ で割ると、ちょうど点から直線へ下ろした垂線の長さ(＝距離)になる。だから分母に $\sqrt{a^2+b^2}$ が要る。

② 当てはめる。 $a=3$、$b=-4$、$c=1$、点 $(2,3)$。

$$d=\frac{|3\cdot 2+(-4)\cdot 3+1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|6-12+1|}{\sqrt{25}}=\frac{|-5|}{5}=1$$

まとめ:点と直線の距離は「垂線の長さ」。分子 $|a{x}_0+b{y}_0+c|$ を法線の大きさ $\sqrt{a^2+b^2}$ で割ると、その垂線の長さになる、という仕組みだ。

発展。 点と直線の距離の公式は、「絶対値」を外すと符号がつく。

$$\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

この符号つきの量を「符号つき距離」といい、点が直線のどちら側にあるかを表す。

• 正 → 直線の一方の側
• $0$ → 直線上
• 負 → もう一方の側

この性質が領域の問題(数IIの「軌跡と領域」)の基礎になる。 $ax+by+c>0$ という不等式が「直線の片側」を表すのは、この符号の性質による。そして、機械学習の分類器もこの符号で動いている。

「メールがスパムか否か」「画像が猫か犬か」を判定する最も基本的な手法(サポートベクターマシン)は、データ点を空間に配置し、直線(高次元では超平面)で $2$ つに切り分ける。

$$w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +b>0⟹\text{クラスA}$$ $$<0⟹\text{クラスB}$$

そして「どの直線が最良か」を決める基準が、「点と直線の距離」だ。 両クラスから最も遠い(マージンが最大の)直線を選ぶ。この最適化がSVM の中心となる考え方である。

高校で学ぶ $\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ が、そのまま人工知能の中で動いている。

「点と直線の距離」は、単なる計算問題ではなく、「データをどう分けるか」という問題に、直接つながっている。

別解

公式を使わず、垂線の足を実際に求めて距離を測る。 遠回りだが、公式の意味が分かるし、「垂線の足の座標」自体を聞かれたときにも使える。

手順1: 垂線の方程式を作る。

直線 $3x-4y+1=0$ の傾きは $\frac{3}{4}$($y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ と変形すれば分かる)。

垂直な直線の傾きは $-\frac{4}{3}$。 これが点 $(2,3)$ を通る。

$$y-3=-\frac{4}{3}(x-2)$$

手順2: 交点(垂線の足 $\mathrm{H}$)を求める。

$2$ 式を連立して解く。$y=3-\frac{4}{3}(x-2)$ を、元の直線に代入すると

$$3x-4\left\{3-\frac{4}{3}(x-2)\right\}+1=0$$

$$3x-12+\frac{16}{3}(x-2)+1=0$$

$3$ 倍して整理すると

$$9x-36+16x-32+3=0⟹25x=65⟹x=\frac{13}{5}=2.6$$

$$y=3-\frac{4}{3}(0.6)=3-0.8=2.2$$

垂線の足は $\mathrm{H}(2.6,2.2)$。

手順3: $2$ 点間の距離を計算する。

$$d=\sqrt{(2.6-2{)}^2+(2.2-3{)}^2}=\sqrt{0.36+0.64}=\sqrt{1}=1$$

公式と同じ答えが出た。

手間を比べてほしい。 公式なら $10$ 秒、垂線ルートなら $3$ 分。公式を使う利点がよく分かる。

しかし、垂線ルートにしかできないこともある。

• 垂線の足の座標そのものを聞かれたとき($\mathrm{H}(2.6,2.2)$)
• 対称点を求めるとき(点 $\mathrm{A}$ の対称点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$ は、$\mathrm{H}$ を中点とする点だから ${\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{H}-\mathrm{A}=(3.2,1.4)$)
• 直線への正射影を考えるとき

公式で分かるのは「距離」だけだ。垂線を求める方法なら「どこに落ちるか」まで分かる。

そして、公式の意味も分かる。 分子 $|3x_0-4y_0+1|$ は「点を代入したときの、式のズレ具合」だ。直線上の点なら $0$、離れるほど大きくなる。

分母 $\sqrt{a^2+b^2}$ はそのズレを「実際の距離」に換算するための係数である($3x-4y+1=0$ と $6x-8y+2=0$ は同じ直線だが、代入値は $2$ 倍になる。だから係数の大きさで割って、正規化する必要がある)。

点と直線の距離の公式は、「式の値のズレ」を「幾何的な距離」に変える式だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 円の定義は「中心から等距離にある点の集まり」。距離の公式をそのまま式にすればよい。

$$\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=r⟹(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

(1) 中心 $(1,-2)$、半径 $3$ を代入する。

$$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$$

$y-(-2)=y+2$ となるので、符号の反転に注意。 右辺は $r^2=9$($3$ ではない)。

(2)は逆の操作。 展開された形($x^2+y^2+\cdots =0$)から、中心と半径を読み取る。

やることは平方完成だ。 $x$ と $y$、それぞれについて。

$$x^2-4x=(x-2{)}^2-4,y^2+6y=(y+3{)}^2-9$$

数Iの平方完成がそのまま使える。

(1) 中心 $(1,-2)$、半径 $3$ を入れる。

$$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$$

(2) $x$、$y$ ごとに平方完成する。

$$x^2-4x=(x-2{)}^2-4,y^2+6y=(y+3{)}^2-9$$

もとの式に戻して整理する。

$$(x-2{)}^2-4+(y+3{)}^2-9-3=0\Rightarrow (x-2{)}^2+(y+3{)}^2=16$$

よって中心 $(2,-3)$、半径 $\sqrt{16}=4$。

発展。 円の方程式 $x^2+y^2+\ell x+my+n=0$ には、$3$ つの未知数($\ell$、$m$、$n$)がある。

ということは、$3$ 個の条件があれば円が決まる。

「$3$ 点を通る円は、ただ $1$ つに決まる」(ただし $3$ 点が一直線上にないとき)ことは、外接円の存在の代数的な証明になっている。$3$ 点を代入すれば、$\ell$、$m$、$n$ についての連立 $1$ 次方程式が $3$ 本立ち、解がただ $1$ 組に決まる。

数Aの図形の性質では「$3$ 辺の垂直二等分線が $1$ 点で交わる」という幾何的な議論で外心の存在を示した。 座標では、連立方程式が解けるという代数的な事実がそれを保証する。

同じ定理の、$2$ つの証明。 どちらも正しい証明だ。そして、円と直線の「次数」の違いに注目したい。

• 直線: $ax+by+c=0$、未知数 $2$ 個(比を除く)→ $2$ 点で決まる
• 円: $x^2+y^2+\ell x+my+n=0$、未知数 $3$ 個 → $3$ 点で決まる
• $2$ 次曲線一般(楕円・双曲線・放物線): $a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$、未知数 $5$ 個 → $5$ 点で決まる

「決めるのに必要な点の数」が、図形の自由度を表している。

$5$ 点を通る $2$ 次曲線がただ $1$ つ決まる、という事実は、天文学で大きな役割を果たした。平面上の $2$ 次曲線は曲線上の $5$ 点で確定する。ガウスは $1801$ 年、わずかな観測データから小惑星ケレスの軌道を計算し、見失われていた天体の再発見を導いた(このときガウスは、空間内の軌道を $3$ 回の観測から決める方法を使った)。

方程式の未知数の個数から、条件がいくつ必要かが分かる。

別解

(2)は平方完成をせずに「公式」ですぐに読める。 そして、その公式から円が存在しない場合まで分かる。

一般形の円の方程式。

$$x^2+y^2+\ell x+my+n=0$$

この形なら、中心と半径が直接読める。

$$\text{中心}\left(-\frac{\ell }{2},-\frac{m}{2}\right),\text{半径}r=\sqrt{{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2+{\left(\frac{m}{2}\right)}^2-n}$$

今回の $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ に当てはめる。 $\ell =-4$、$m=6$、$n=-3$。

中心: $\left(-\frac{-4}{2},-\frac{6}{2}\right)=(2,-3)$

半径: $\sqrt{(-2{)}^2+3^2-(-3)}=\sqrt{4+9+3}=\sqrt{16}=4$

平方完成を書かずに、答えが出た。「$x$ の係数の半分に、マイナスをつける」と、中心の座標になる。$-4$ の半分は $-2$、符号を変えて $2$。$6$ の半分は $3$、符号を変えて $-3$。暗算でできる。

そして、この公式から「円が存在するか」まで分かる。半径の根号の中身に注目してほしい。

$${\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2+{\left(\frac{m}{2}\right)}^2-n$$

これが負なら、半径が虚数になってしまう。 つまり円は存在しない。

$3$ つの場合がある。

例を見よう。 $x^2+y^2+1=0$ は、$\ell =m=0$、$n=1$ なので

$$r^2=0+0-1=-1<0$$

円ではない。 当たり前だ。$x^2+y^2=-1$ を満たす実数 $x$、$y$ は存在しない($2$ 乗の和が負になることはない)。

$x^2+y^2-2x+1=0$ なら? $(x-1{)}^2+y^2=0$ となり、点 $(1,0)$ ただ $1$ 点だけ。半径 $0$ の円である。

「円の方程式のように見えても、円とは限らない」ので、この確認を忘れないこと。入試では「$x^2+y^2+kx+2y+5=0$ が円を表すような $k$ の範囲を求めよ」といった形で問われる。

答えは「根号の中身 $>0$」 から

$${\left(\frac{k}{2}\right)}^2+1-5>0⟹k^2>16⟹k<-4\text{または}k>4$$

式の形だけを見て「円だ」と決めつけない。 半径が実在するかを、必ず確かめる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「共有点」とは、両方の式を同時に満たす点。だから連立方程式を解けばよい。

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ y=x+1\end{array}$$

直線の式を円の式に代入する。($y$ が $x$ で表されているので、代入が楽だ。)

$$x^2+(x+1{)}^2=5$$

$$x^2+x^2+2x+1=5⟹2x^2+2x-4=0⟹x^2+x-2=0$$

$2$ 次方程式になった。

$$(x-1)(x+2)=0⟹x=1,-2$$

$y$ を忘れずに求める。 $y=x+1$ に戻して

$$x=1\to y=2,x=-2\to y=-1$$

$x$ だけ出して安心しない。 聞かれているのは点の座標である。

$y=x+1$ を $x^2+y^2=5$ に代入する。

$$x^2+(x+1{)}^2=5$$

展開して整理する。

$$2x^2+2x+1=5\Rightarrow 2x^2+2x-4=0\Rightarrow x^2+x-2=0$$

因数分解して

$$(x+2)(x-1)=0\Rightarrow x=-2,1$$

$y=x+1$ に戻す。$x=-2$ のとき $y=-1$、$x=1$ のとき $y=2$。よって共有点は $(-2,-1)$、$(1,2)$。

発展。 円と直線の共有点は、多くても $2$ 個である。これは「円が $2$ 次曲線だから」だ。

代入して得られる方程式の次数が、共有点の個数の上限を決める。

• 直線と直線: $1$ 次方程式 → 共有点は最大 $1$ 個
• 円と直線: $2$ 次方程式 → 最大 $2$ 個
• 円と円: (引き算すると直線になる)→ 最大 $2$ 個
• $3$ 次曲線と直線: $3$ 次方程式 → 最大 $3$ 個

「$m$ 次曲線と $n$ 次曲線の交点は、最大 $mn$ 個」 という事実を、ベズーの定理という(複素数の範囲で、重複も数えれば、ちょうど $mn$ 個)。

円($2$ 次)と円($2$ 次)なら $2\times 2=4$ 個のはずだが、実際には最大 $2$ 個に見える。残りの $2$ 個はどこへ行ったのか。

答え: 無限遠点と、複素数の点に隠れている。 すべての円は「無限遠にある $2$ つの虚な点」を共有している、という事実がある(円点と呼ばれる)。だから実際に見える交点は $4-2=2$ 個。

この 「見えない交点」 を数に入れることで、定理がきれいに成立する。 数学では、法則が例外なく成り立つように、考える範囲を広げることがよくある。虚数を導入したのと同じ考え方である。

高校の範囲では扱わないが、その先には「射影幾何」「代数幾何」という分野がある。 $x^2+y^2=5$ と $y=x+1$ の交点を求めるという素朴な計算も、これらの分野の基礎になっている。

別解

計算する前に、「共有点がいくつあるか」を予言できる。 中心と直線の距離を見るだけだ。この見方は円と直線の問題すべてを見通す。

予言の方法: 中心から直線までの距離 $d$ と、半径 $r$ を比べる。円 $x^2+y^2=5$ の中心は原点 $(0,0)$、半径は $\sqrt{5}\approx 2.24$。直線 $y=x+1$ を一般形に直す。

$$x-y+1=0$$

中心 $(0,0)$ からの距離を、公式で出す。

$$d=\frac{|1\cdot 0-1\cdot 0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.71$$

比べる。

$$d=0.71<r=2.24$$

距離が半径より小さい → 直線は円の中に食い込んでいる → 共有点は $2$ 個。計算する前に、答えの個数が分かった。$3$ つの場合を、絵で覚える。

判別式と、距離。$2$ つの方法は必ず一致する。実際、代入して得た $2$ 次方程式 $x^2+x-2=0$ の判別式は

$$D=1+8=9>0$$

正 → 実数解 $2$ 個 → 共有点 $2$ 個。距離で予言した通り。

どちらを使うべきか。

• 共有点の「座標」が欲しい → 代入して解く(判別式ルート)
• 共有点の「個数」だけ知りたい → 距離を測る(こちらがずっと速い)
• 接する条件を求めたい → 距離 $=$ 半径とおく(判別式 $=0$ より計算が楽なことが多い)

特に「接する条件」では、距離ルートが強い。たとえば「直線 $y=x+k$ が円 $x^2+y^2=5$ に接するような $k$ を求めよ」なら

$$\frac{|k|}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}⟹|k|=\sqrt{10}⟹k=\pm \sqrt{10}$$

$3$ 行で終わった。 判別式でやると、代入・展開・整理・$D=0$ と手順が増える。

検算も忘れずに。 求めた $2$ 点が本当に円の上にあるか。

$$(1{)}^2+(2{)}^2=5,(-2{)}^2+(-1{)}^2=5$$

両方とも円上にある。 そして直線 $y=x+1$ 上にもある($2=1+1$、$-1=-2+1$)。$2$ つの式を両方チェックする。連立方程式の答えは必ず両方に代入して確かめる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の公式は、とても覚えやすい。

$$x_{1}x+y_{1}y=r^2$$

元の式の $x^2$ を $x_{1}x$ に、$y^2$ を $y_{1}y$ に置きかえるだけ。 $2$ 乗のうち、片方を接点の座標にする、と覚える。

$$3x+4y=25$$

まず確認すべきこと: 点 $(3,4)$ は本当に円上にあるか。

$$3^2+4^2=9+16=25$$

円上にある。 この確認を飛ばしてはいけない。公式は「円上の点」でしか使えないからだ(円の外の点から引く接線は、話が別になる)。

接点 $(3,4)$、$r^2=25$ を当てはめる。

$$3x+4y=25$$

この接線は中心と接点を結ぶ半径に垂直になっている(図)。

発展。 接線の公式 $x_{1}x+y_{1}y=r^2$ の作り方には、「半分ずつ置きかえる」という規則がある。

$$x^2\to x_{1}x,y^2\to y_{1}y$$

この規則は、円が中心からずれていても通用する。円 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上の点 $(x_1,y_1)$ での接線は

$$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$

やはり「片方だけ接点に置きかえる」。

この規則は円だけでなく $2$ 次曲線一般に成り立つ。 楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ での接線は

$$\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$$

まったく同じ形をしている。 数Cの「平面上の曲線」で、この公式に再会するだろう。

なぜこんな規則が成り立つのか。 それは、接線が「曲線を微分したもの」だからである。$x^2+y^2=r^2$ を $x$ で微分すると(陰関数の微分、数III)

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0⟹\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

点 $(3,4)$ での傾きは $-\frac{3}{4}$ となり、別解で求めた傾きと一致する。

「接線 $\perp$ 半径」という幾何的な事実と、「微分が傾きを与える」という解析的な事実が、同じ答えを出す。

幾何・代数・解析の $3$ つの分野が、$1$ 本の接線について同じ答えを出している。 高校数学の各単元はバラバラに見えて、実は同じ対象を違う言葉で表していることが多い。

別解

公式を忘れても、「接線 $\perp$ 半径」から自力で導ける。 そして、この導出から公式の意味が分かる。

手順1: 半径の傾きを求める。

中心 $\mathrm{O}(0,0)$ と接点 $\mathrm{P}(3,4)$ を結ぶ半径 $\mathrm{OP}$ の傾きは

$$\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}$$

手順2: 接線は半径に垂直。

円の接線は接点を通る半径と必ず垂直である(数Aの図形の性質で学んだ通り)。

$$(\text{接線の傾き})=-\frac{3}{4}\left(\frac{4}{3}\times \left(-\frac{3}{4}\right)=-1\right)$$

手順3: 点 $(3,4)$ を通る、傾き $-\frac{3}{4}$ の直線。

$$y-4=-\frac{3}{4}(x-3)$$

$4$ 倍して整理する。

$$4y-16=-3x+9⟹3x+4y=25$$

公式と同じ答えが出た。

この導出で、公式の構造が見える。 接点が $(x_1,y_1)$ なら、半径の傾きは $\frac{y_1}{x_1}$、接線の傾きは $-\frac{x_1}{y_1}$。点 $(x_1,y_1)$ を通る直線は

$$y-y_1=-\frac{x_1}{y_1}(x-x_1)$$

分母を払って整理すると

$$x_{1}x+y_{1}y=x_1^2+y_1^2=r^2$$

(最後は「$(x_1,y_1)$ が円上にある」を使った。)これが公式の証明である。

さらに、$3$ つ目の見方: 中心から接線までの距離がちょうど半径。接線 $3x+4y-25=0$ と中心 $(0,0)$ の距離を測ってみる。

$$d=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 0-25|}{\sqrt{9+16}}=\frac{25}{5}=5=r$$

距離が半径にぴったり等しいことが、「接する」ことの定義そのものだ。答えの検算に使える。

接線の $3$ つの捉え方をまとめる。

円の外の点から接線を引くときは、公式が使えない。 そのときは「傾き $m$ の直線を置いて、中心からの距離 $=$ 半径」とするのが定跡だ($2$ 本引ける)。状況で道具を替えることが、解く力になる。