指数関数・対数関数 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか)  ​ の計算で $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ とそろえたのと同じことを、3乗根でやる。

中身を「立方数 × 残り」に分ける。$54=27\times 2$、$16=8\times 2$。$\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}$、$\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$ と外へくくり出せば、共通の $\sqrt[3]{2}$ の係数の足し引き $3-2+1=2$ で終わる。

① 中身を「立方数 × 2」に分ける。

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times 2}=3\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\times 2}=2\sqrt[3]{2}$$

② $\sqrt[3]{2}$ でそろえて計算する。 3つとも $\sqrt[3]{2}$ の何倍かになった。

$$3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}=(3-2+1)\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$

まとめ:累乗根の足し引きは中身を「立方数 × 残り」に分けて、同じ根号でそろえるのが基本。 ​ で $\sqrt{2}$ をそろえるのと同じ考え方だ。

発展。 平方根の計算規則($\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ など)が3乗根・$n$ 乗根でも同じ形で成り立つのは、どれも分数指数の指数法則の特別な場合だからだ。規則を根号ごとに覚え直す必要はない。

なお、平方根で問題になった「中身が負のときの注意点」は、3乗根では起きない($\sqrt[3]{-8}=-2$ と定義できる)。奇数乗根は負の数にもそのまま使えて、符号に注意がいるのは偶数乗根だけだ。この対比も頭に置いておくと安全だ。

別解

分数指数で書き直すと、同じ計算が指数法則の練習に変わる。$\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$ だから

$$54^{\frac{1}{3}}=(3^3\times 2{)}^{\frac{1}{3}}=3\cdot 2^{\frac{1}{3}},16^{\frac{1}{3}}=(2^3\times 2{)}^{\frac{1}{3}}=2\cdot 2^{\frac{1}{3}}$$

「立方数をくくり出す」操作は $(ab{)}^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}$ という積の指数法則にもとづいている。

$$3\cdot 2^{\frac{1}{3}}-2\cdot 2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}=2\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2\sqrt[3]{2}$$

累乗根の記号と分数指数は同じものの2つの書き方で、計算に強いのは指数のほう。「困ったら分数指数に直す」はこの単元全体の避難路である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 乗根・$3$ 乗根・$6$ 乗根と、根号の種類がばらばらだ。そのままでは比べられない。

分数指数に直すと $2^{\frac{1}{2}},3^{\frac{1}{3}},10^{\frac{1}{6}}$。指数の分母を $6$ に通分して、全部を $6$ 乗根にそろえる。$2^{\frac{3}{6}}=\sqrt[6]{8}$、$3^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{9}$、$\sqrt[6]{10}$。同じ $6$ 乗根なら、中身 $8<9<10$ の大小がそのまま全体の大小になる。

① 指数の分母を $6$ にそろえる。

$$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{6}}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}$$

$$\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}$$

$$\sqrt[6]{10}=\sqrt[6]{10}$$

② $6$ 乗根の中身で比べる。 中身は $8<9<10$。$6$ 乗根は増加なので大小はそのまま。

$$\sqrt[6]{8}<\sqrt[6]{9}<\sqrt[6]{10}\Rightarrow \sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{10}$$

まとめ:$n$ 乗根の大小は指数の分母を最小公倍数にそろえて同じ根号にする。あとは中身(真数)の大小を見るだけでよい。

発展。 「単調な操作(正の範囲での $n$ 乗、$\log$ をとる、など)は大小を保つ」という原理が、この比較法のもとになっている。対数を学んだ今なら、$\log$ をとって $\frac{\ln 2}{2},\frac{\ln 3}{3},\frac{\ln 10}{6}$ を比べる第3の道もある。

$\sqrt[3]{3}$ と $\sqrt{2}$ の比較は「$2^3$ と $3^2$ の比較」になった。一般の $a^b$ 対 $b^a$ の大小は数学IIIで関数 $\frac{\log x}{x}$ の増減を調べて解決する、よく出るテーマである。

別解

「全部 $6$ 乗してしまう」と、根号が一切出てこない整数の比較になる。比べたい3数はすべて正。正の数どうしなら、$6$ 乗しても大小関係は変わらない($y=x^6$ が $x>0$ で増加関数だからだ)。

$$(\sqrt{2}{)}^6=2^3=8,(\sqrt[3]{3}{)}^6=3^2=9,(\sqrt[6]{10}{)}^6=10$$

$8<9<10$ だから、元の3数も $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{10}$。「何乗すれば全員の根号が消えるか」= 乗根の最小公倍数($2,3,6$ の LCM は $6$)を選ぶのがこつだ。通分ルートと6乗ルートは同じ計算の2つの見せ方だが、6乗のほうは「正だから大小が保たれる」という論拠を1行書く責任が伴う。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$。この読み替えに気づくと、式は $2^x$ の2次式だと分かる。

$t=2^x$ とおけば $t^2-3t-4=0$、因数分解して $(t-4)(t+1)=0$。ここで置きかえの検問。$t=2^x$ は常に正だから、$t=-1$ は捨てる。$t=4$ だけが残り、$2^x=4$ から $x=2$。

① $t=2^x$ で置き換える。 $4^x=(2^x{)}^2=t^2$ なので

$$t^2-3t-4=0$$

② 2次方程式を解く。

$$(t-4)(t+1)=0\Rightarrow t=4\text{ または }t=-1$$

③ $t>0$ で絞る。 $t=2^x$ は必ず正なので $t=-1$ は不適。$t=4$ を採用する。

$$2^x=4=2^2\Rightarrow x=2$$

まとめ:$4^x$ や $9^x$ が出たら $t=2^x$($t=3^x$)で2次方程式にする。$t>0$ の確認を忘れず、負の解を捨てるのが決め手だ。

発展。 $t=2^x$ の置きかえには、$t>0$ という範囲が必ず付いてくる。三角関数の $t=\sin \theta$ に $-1\le t\le 1$ が付くのと同じ、「置きかえと範囲はセット」の原則だ。

右辺が $2^2$ のようにきれいでない方程式($2^x=5$ など)では、$x={\log }_{2}5$ と対数で答える。指数方程式を最後に解く道具が対数であることを、この先の単元で学ぶ。

別解

文字 $t$ を書かずに、$2^x$ のまま因数分解する速記もできる。

$$4^x-3\cdot 2^x-4=(2^x-4)(2^x+1)=0$$

ここで2つの因数の素性を見る。$2^x+1$ は $2^x>0$ だから常に $1$ より大きい。ゼロには絶対なれない。

だから方程式の責任はもう一方が負う。$2^x-4=0$、つまり $2^x=4=2^2$ で、指数を比べて $x=2$。

置きかえルートの「$t=-1$ を捨てる」判断が、この書き方では「$2^x+1>0$ だから因数として無害」という一文に置き換わる。同じ検問を、式のどの段階で通すかの違いだ。慣れたら速記、不安なら $t$ を書く、と使い分ければよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 前問と同じ $t=2^x$($t>0$)の置きかえで、今度は2次不等式になる。

$t^2-5t+4\le 0$ から $(t-1)(t-4)\le 0$、つまり $1\le t\le 4$。$t>0$ とも両立している。最後に $x$ に戻す。$2^0\le 2^x\le 2^2$ で、底 $2$ は $1$ より大きい(増加関数)から、不等号の向きはそのまま $0\le x\le 2$。「戻すときの向き」の判断が最後の関門だ。

① $t=2^x$ で置き換える。

$$t^2-5t+4\leqq 0$$

② 因数分解して $t$ の範囲を出す。

$$(t-1)(t-4)\leqq 0\Rightarrow 1\leqq t\leqq 4$$

(この範囲はすべて $t>0$ を満たすので、置き換えの条件もクリア。)

③ $t=2^x$ に戻す。 $1=2^0$、$4=2^2$。底 $2>1$ なので不等号はそのまま。

$$2^0\leqq 2^x\leqq 2^2\Rightarrow 0\leqq x\leqq 2$$

まとめ:置き換えで $t$ の範囲を出したら、$t=2^x$ に戻して $x$ にする。戻すときの不等号は、底 $>1$ ならそのまま・底 $<1$ なら逆。

発展。 「単調増加なら向きそのまま、単調減少なら反転」という戻しの原則は、対数不等式(底が $1$ より小さい場合)でこの単元のもう1つの山場になる。指数と対数、同じ原則が2回試される。

$t$ の不等式の解が $t\le -1$ のような「$t>0$ と交わらない」区間になったら、対応する $x$ は存在せず「解なし」。置きかえの範囲との共通部分をとる、という集合の操作が常に裏で動いている。

別解

最後の「$t$ から $x$ へ戻す」段を、グラフの絵で確かめる習慣をつけたい。$y=2^x$ のグラフは、右上がりの単調増加。この絵の上で「$2^x$ が $1$ 以上 $4$ 以下」の部分に印をつける。

高さ $1$ に対応する $x$ は $0$。高さ $4$ に対応する $x$ は $2$。単調増加だから、高さの区間 $[1,4]$ と横位置の区間 $[0,2]$ が、順序を保ったまま1対1に対応する。

$$1\le 2^x\le 4⟺0\le x\le 2$$

もし底が $\frac{1}{2}$ なら、グラフは右下がりで、高さの区間と横位置の区間の対応が逆転する。不等号が反転するのは、このグラフの傾きの向きのためだ。「戻す前にグラフを1本描く」だけで、反転の要不要を暗記から観察に変えられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $4^x=(2^x{)}^2$、$2^{x+1}=2\cdot 2^x$。全部が $2^x$ の言葉で書ける。

$t=2^x$ とおくと $y=t^2-2t+3$ の2次関数だ。注意するのは $t$ の範囲だ。$x$ の範囲 $-1\le x\le 2$ を、増加関数 $2^x$ に通して $\frac{1}{2}\le t\le 4$。この区間の中で、放物線の頂点と両端を調べる。

① $t=2^x$ で2次関数にする。 $4^x=(2^x{)}^2=t^2$、$2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t$。

$$y=t^2-2t+3=(t-1{)}^2+2$$

② $t$ の範囲を出す。 $2^x$ は増加関数なので、$-1\leqq x\leqq 2$ から

$$2^{-1}\leqq t\leqq 2^2,\text{つまり}\frac{1}{2}\leqq t\leqq 4$$

③ 放物線で最大・最小を読む。 頂点は $t=1$(範囲内)で最小、範囲の両端のうち頂点から遠い $t=4$ で最大。

$$\text{最小}(t=1):y=2,\text{最大}(t=4):y=16-8+3=11$$

④ $x$ に戻す。 $t=1$ は $2^x=1$ すなわち $x=0$、$t=4$ は $2^x=4$ すなわち $x=2$。

$$\text{最大値 }11(x=2),\text{最小値 }2(x=0)$$

まとめ:指数の最大最小は「$t=2^x$ で2次関数 → $t$ の範囲を出す → 放物線の頂点と両端を見る → $x$ に戻す」。$t$ の範囲を出す一手が最重要だ。

発展。 「置きかえ → 新変数の範囲 → 2次関数 → 元へ戻す」の4段は、$t={\log }_{2}x$(この単元の対数版)でも $t=\sin \theta +\cos \theta$(三角関数)でも、寸分違わず同じだ。単元をまたいで同じ型が3回出る。高校数学で最もよく使い回される型の1つである。

範囲の端に文字が入る($-1\le x\le a$ など)と、2次関数の「軸と区間の位置関係の場合分け」が合流してくる。2つの単元の道具を同時に使う応用問題になる。

別解

最後の判定は2次関数の単元で使った「候補表」に落とすと確実だ。最大・最小の候補は頂点(範囲内にあるとき)と両端しかない。$y=t^2-2t+3=(t-1{)}^2+2$ で、頂点は $t=1$。範囲 $\left[\frac{1}{2},4\right]$ に入っている。

最小は頂点の $2$($x=0$)、最大は右端の $11$($x=2$)。置きかえ問題では $t$ について2次関数の作法で解き、最後に $x$ に戻す。答えの $x$ を書き忘れるミスは、表に「対応する $x$」の列を最初から作っておくと防げる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 底が $2$ と $3$ でばらばらだ。かけ算のままでは進めない。

底の変換公式で、どちらかにそろえる。${\log }_{3}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}3}$。すると積は ${\log }_{2}3\times \frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}3}$ となり、${\log }_{2}3$ が約分で消える。残るのは ${\log }_{2}8=3$。底のちがう対数の積では「そろえて約分」が基本だ。

① 底を $2$ にそろえる。 ${\log }_{3}8$ を底 $2$ に直す。

$${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}8={\log }_{2}3\cdot \frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}3}$$

② 約分する。 ${\log }_{2}3$ が上下で消える。

$$={\log }_{2}8=3$$

まとめ:${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c$ の形は、底をそろえると必ず約分が起きて ${\log }_{a}c$ になる。ここでは ${\log }_{2}8=3$。

発展。 連鎖の特別な場合 ${\log }_{a}b\times {\log }_{b}a=1$、つまり ${\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}$(逆数の関係)も頻出だ。底と真数をひっくり返すと逆数になる。

底の変換公式の由来は指数の言葉に戻ると見える。$b^y=c$ の両辺で底 $a$ の対数をとると $y{\log }_{a}b={\log }_{a}c$ となり、これを割り算1回で変形したものが公式である。公式群はどれも「指数法則を対数で書き直したもの」だ。

別解

この約分は、実は一般法則になっている。「対数の連鎖」だ。

$${\log }_{a}b\times {\log }_{b}c={\log }_{a}c$$

途中の $b$ が乗り継ぎ駅のように消える($a$ から $b$ へ、$b$ から $c$ へ行けば、結局 $a$ から $c$ だ)。底の変換で書き直せば、約分そのものである。今回は $a=2$、$b=3$、$c=8$ で

$${\log }_{2}3\times {\log }_{3}8={\log }_{2}8=3$$

1行で答えが出る。この連鎖の目を持っていると、${\log }_{2}3\times {\log }_{3}4\times {\log }_{4}5\times \cdots$ のような長い積も、乗り継ぎで最初と最後だけ残ると即読みできる。「対数の積を見たら乗り継ぎを疑う」を覚えておこう。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 対数方程式の作法は、手を動かす前に「真数条件」から。$x>0$ かつ $x-2>0$、まとめて $x>2$。

左辺を和の法則で1つにまとめる。${\log }_{2}x(x-2)=3$。定義に戻って外すと $x(x-2)=2^3=8$。2次方程式を解き、最後に真数条件 $x>2$ の検問を通った解だけを答える。

① 真数条件を書く。 真数は両方とも正でなければならない。

$$x>0\text{かつ}x-2>0\Rightarrow x>2$$

② 左辺を1つの対数にまとめる。 和は真数のかけ算。

$${\log }_{2}x(x-2)=3$$

③ 定義で外して解く。 ${\log }_{2}M=3$ は $M=2^3=8$。

$$x(x-2)=8\Rightarrow x^2-2x-8=0\Rightarrow (x-4)(x+2)=0$$

よって $x=4$ または $x=-2$。

④ 真数条件で絞る。 $x>2$ を満たすのは $x=4$ だけ。$x=-2$ は不適。

$$x=4$$

まとめ:対数方程式は「真数条件 → まとめる → 定義で外す → 条件で絞る」。$x=-2$ のように条件を破る解を必ず落とすのが大事だ。

発展。 「変形すると条件がゆるむ」現象は、2乗する変形($\sqrt{x}=x-2$ 型の無理方程式)でも同じ形で現れる。同値性が崩れる変形をしたら、最後に最初の条件で確かめる。この作法は方程式全般で使う基本だ。

真数条件は対数関数の定義域($x>0$)の言い換えである。グラフでいえば「$y={\log }_{2}x$ のグラフは $y$ 軸より右にしかない」ということだ。式の作法と、グラフの姿を同じものとして持っておきたい。

別解

2次方程式 $x(x-2)=8$ は、展開して解の公式へ行く前に「整数の感覚」で見抜ける形だ。「積が $8$ で、差が $2$ の2数」を探している。$4$ と $2$ がすぐ見つかる($4\times 2=8$、$4-2=2$)。だから $x=4$(と、負の側の $x=-2$)。

検算も軽い。$x=4$ なら ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$。確かに成立。

もう1つの候補 $x=-2$ は真数条件 $x>2$ で落ちる。ここでは、真数条件を「変形前の式」の各真数($x$ と $x-2$)に課すことが大事だ。まとめた後の $x(x-2)>0$ で判定すると、$x=-2$ も通ってしまう(負×負=正)。条件は変形でゆるむので、最初に課す。この理屈まで言えると、作法が暗記でなくなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず真数条件 $x-1>0$、つまり $x>1$。

右辺の $-2$ を、同じ底の対数に直す。$-2={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}={\log }_{\frac{1}{2}}4$。対数を外す段で、底 $\frac{1}{2}$ は $1$ より小さい(減少関数)から、不等号が反転する。$x-1<4$。真数条件と合わせて $1<x<5$ だ。

① 真数条件を書く。 $x-1>0$、つまり $x>1$。

② 右辺を同じ底の対数にする。 $-2={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}={\log }_{\frac{1}{2}}4$。

$${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)>{\log }_{\frac{1}{2}}4$$

③ 対数を外す(不等号は逆)。 底 $\frac{1}{2}<1$ なので、真数の大小は逆向き。

$$x-1<4\Rightarrow x<5$$

④ 真数条件と合わせる。 $x>1$ かつ $x<5$。

$$1<x<5$$

まとめ:底が $1$ より小さい対数不等式は、外すときに不等号を逆にする。さらに真数条件($x>1$)と必ず合わせて範囲を確定する。

発展。 反転が起きるのは、グラフの向きのためだ。$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ は右下がりで、「値が大きい ⟺ 真数が小さい」。指数不等式で底 $\frac{1}{2}$ のときに反転したのと、まったく同じ現象である。

底に文字が入る ${\log }_{a}x>1$ のような問題では、「$a>1$ か $0<a<1$ か」の場合分けが正面から問われる。この問題の2つの処理の仕方(外すとき・そろえるとき)のどちらでも扱えるようにしておくと、その応用が軽くなる。

別解

反転のタイミングを1回に固定したいなら、最初に底を $2$ に変換してしまう手がある。$\frac{1}{2}=2^{-1}$ だから、底の変換で

$${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)=\frac{{\log }_2(x-1)}{{\log }_2\frac{1}{2}}=-{\log }_2(x-1)$$

不等式は $-{\log }_2(x-1)>-2$、両辺を $-1$ 倍して(ここで反転)

$${\log }_2(x-1)<2$$

底 $2$ は $1$ より大きいから、あとは何も反転せず $x-1<4$。真数条件と合わせて $1<x<5$。

「底が $1$ 未満の対数=マイナス1個ぶん」と最初に清算しておけば、以降は底 $2$ の対数だけで安心して進める。反転を「対数を外す瞬間」に払うか、「底をそろえる瞬間」に払うかは、支払いのタイミングが違うだけで、総額は同じである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $({\log }_{2}x{)}^2$ と ${\log }_2{x}^2$。よく似た2つは別物だ。後者は $2{\log }_{2}x$ と1次に開ける。

$t={\log }_{2}x$ とおくと $y=t^2-2t+3$ の2次関数になる。ここでも注意するのは $t$ の範囲だ。$1\le x\le 8$ を ${\log }_2$ に通して $0\le t\le 3$。この区間で頂点と両端を調べる。

① ${\log }_2{x}^2$ を直して置き換える。 ${\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}x$ なので、$t={\log }_{2}x$ とおくと

$$y=t^2-2t+3=(t-1{)}^2+2$$

② $t$ の範囲を出す。 ${\log }_{2}x$ は増加関数なので、$1\leqq x\leqq 8$ から

$${\log }_{2}1\leqq t\leqq {\log }_{2}8,\text{つまり}0\leqq t\leqq 3$$

③ 放物線で読む。 頂点 $t=1$(範囲内)で最小、頂点から遠い端 $t=3$ で最大。

$$\text{最小}(t=1):y=2,\text{最大}(t=3):y=9-6+3=6$$

④ $x$ に戻す。 $t=1$ は ${\log }_{2}x=1$ すなわち $x=2$、$t=3$ は $x=8$。

$$\text{最大値 }6(x=8),\text{最小値 }2(x=2)$$

まとめ:対数の最大最小も「$\log$ を1文字 $t$ に → $t$ の範囲 → 放物線」。まず ${\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}x$ と直して1文字にまとめるのがコツだ。

発展。 ${\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}x$ が使えたのは $x>0$ の範囲だからだ。$x$ が負も動く一般の場面では ${\log }_2{x}^2=2{\log }_2|x|$ と絶対値が要る。2乗があるので真数は負にならず、その分だけ条件がゆるむ。この差を見落とすと、方程式で解が増えたり減ったりする。

置きかえの2次関数という形は指数版とまったく同じ。2問をセットで復習すると、「新変数の範囲」がこの単元のどの問題でも大事なことがよくわかる。

別解

指数の問題(同じ2次式 $t^2-2t+3$ が出た問題)と並べて見ると、この単元の設計が見える。そちらでは $t=2^x$ で範囲 $\left[\frac{1}{2},4\right]$、今回は $t={\log }_{2}x$ で範囲 $[0,3]$。中身の2次関数はまったく同じだ。候補表で仕上げる。$y=(t-1{)}^2+2$、頂点 $t=1$ は範囲内。

• 左端 $t=0$($x=1$): $y=3$
• 頂点 $t=1$($x=2$): $y=2$(最小)
• 右端 $t=3$($x=8$): $y=6$(最大)

指数と対数は互いに逆関数だから、置きかえた先の形も逆の関係になる($2^x$ は $x$ の等差を $t$ の等比に、${\log }_{2}x$ は $x$ の等比を $t$ の等差に変える)。$x=1,2,4,8$ が $t=0,1,2,3$ と等間隔に並ぶのが、その鏡の証拠だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 桁数は常用対数の整数部分で決まる。$N$ が $n$ 桁 ⟺ $10^{n-1}\le N<10^n$ ⟺ ${\log }_{10}N$ の整数部分が $n-1$。

$12=2^2\times 3$ と分解して、与えられた値で

$${\log }_{10}12^{10}=10(2{\log }_{10}2+{\log }_{10}3)=10(0.6020+0.4771)=10.791$$

整数部分 $10$ に $1$ を足して $11$ 桁だ。

① ${\log }_{10}12$ を求める。 $12=2^2\times 3$。

$${\log }_{10}12=2{\log }_{10}2+{\log }_{10}3=2\times 0.3010+0.4771=1.0792$$

② ${\log }_{10}12^{10}$ を計算する。 指数は前に出せる。

$${\log }_{10}12^{10}=10{\log }_{10}12=10\times 1.0792=10.792$$

③ 整数部分に $1$ を足す。 $[10.792]=10$ なので

$$\text{桁数}=10+1=11$$

まとめ:桁数は「素因数分解して $\log$ を与えられた値で表す → $10$ 倍 → 整数部分 $+1$」。${\log }_{10}N=10.\dots$ は $N$ が $10^{10}$ 台(11桁)を意味する。

発展。 別解の「小数部分が先頭の数字を決める」は、最高位の数字を問う発展問題そのものの解法だ。桁数と最高位はワンセットで出題される。

$2^{10}=1024\approx 10^3$ という近似(${\log }_{10}2\approx 0.3$ の由来)を知っていると、桁の見積もりが暗算でできる。情報科学で「2の10乗=約1000」(キロ)として日常的に使われている感覚である。

別解

「+1」を公式でなく、$10$ のべきの挟み撃ちで毎回導くと、ずれのミスがなくなる。${\log }_{10}12^{10}=10.791$ は

$$12^{10}=10^{10.791}=10^{10}\times 10^{0.791}$$

と読める。$10^{0.791}$ は $1$ と $10$ の間の数だから、$12^{10}$ は「$10^{10}$ の何倍か($1$〜$10$ 倍)」で表せる。つまり $10^{10}$ 台の数で、$11$ 桁だ。

おまけに、$10^{0.791}$ の値を見積もると先頭の数字までわかる。${\log }_{10}6={\log }_{10}2+{\log }_{10}3=0.7781$、${\log }_{10}7\approx 0.845$ だから、$0.791$ はその間。$12^{10}$ は $6$ で始まる $11$ 桁の数である(実際 $12^{10}=61917364224$)。

小数部分が「先頭の数字」を、整数部分が「桁数」を決める。常用対数の2つの部分から、数の大きさがくわしく分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $1$ より小さい正の数では、常用対数が負になる。その整数部分の読み方がこの問題の主題だ。

${\log }_{10}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}=-10{\log }_{10}3=-4.771$。$-5<-4.771<-4$ だから、$N=10^{-4.771}$ は $10^{-5}$ 台。小数第 $5$ 位で初めて $0$ でない数字が現れる。「$-5$ と $-4$ の間」という負の数の挟み方を、数直線で確かめながら進めるのが安全だ。

① ${\log }_{10}$ をとる。

$${\log }_{10}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}=-10{\log }_{10}3=-10\times 0.4771=-4.771$$

② どの $10^{-k}$ の間かを見る。 $-4.771$ は $-5$ と $-4$ の間。

$$-5<-4.771<-4\Rightarrow 10^{-5}<N<10^{-4}$$

③ 位を読む。 $10^{-5}$ 台なので、初めて $0$ でない数字は小数第 $5$ 位に現れる。

まとめ:小数首位は「${\log }_{10}$ が $-5$ 台($-5$ と $-4$ の間)なら第 $5$ 位」。桁数の話の裏返しで、負の指数の整数部分を見ればよい。実際 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}=\frac{1}{59049}=0.00001\dots$ で、確かに第 $5$ 位から始まる。

発展。 別解の対応(分母が $n$ 桁 ⟺ 逆数は第 $n$ 位に初めて数字)は、$3^{10}=59049$ のように分母が $10^{n-1}$ ちょうどでない限り成り立つ。境界($\frac{1}{10000}$ など)だけ例外になるので、端を確かめる習慣がここでも役に立つ。

「とても小さい数の大きさを桁で表す」のは、原子の大きさ($10^{-10}$ m)や確率の見積もりなど、科学の記法(浮動小数点)の基礎そのものだ。

別解

逆数の「桁数」に言い換えると、前問の知識がそのまま使える。${\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}=\frac{1}{3^{10}}$。分母の桁数を調べよう。${\log }_{10}{3}^{10}=4.771$ だから、$3^{10}$ は $5$ 桁の数(実際 $3^{10}=59049$)。

$5$ 桁の数の逆数は $\frac{1}{100000}$ より大きく $\frac{1}{10000}$ 以下になる。$10000$ ちょうどでなければ、小数第 $5$ 位で初めて $0$ でない数字が出る。

$$\frac{1}{59049}=0.0000169\dots$$

確かに第 $5$ 位に $1$ が現れている。「$n$ 桁の数の逆数は、小数第 $n$ 位に初めて数字が立つ」($10^{n-1}$ ちょうどのときを除く)という対応で、桁数の問題と小数首位の問題は同じ1つの問題の表裏になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $n$ 時間後は $2^n$ 倍。「$1000$ 倍を超える」を式にすると $2^n>1000$。

指数の不等式は両辺の常用対数をとって次数を下ろす。$n{\log }_{10}2>3$、つまり

$$n>\frac{3}{0.3010}=9.96\dots$$

これを満たす最小の整数は $n=10$。「超える最小」だから切り上げ、が最後の判断である。

① 条件を式にする。 $n$ 時間後は $2^n$ 倍なので、条件は

$$2^n>1000$$

② 両辺の ${\log }_{10}$ をとる。 ${\log }_{10}1000=3$。

$$n{\log }_{10}2>3\Rightarrow n>\frac{3}{0.3010}=9.96\dots$$

③ 最小の整数を選ぶ。 $n$ は $9.96\dots$ より大きい最小の整数、つまり $n=10$。

$$\text{(確かめ)}{2}^{10}=1024>1000,2^9=512<1000$$

よって $10$ 時間後。

まとめ:「何倍を超えるのは何回後か」は $2^n>M$ の形。${\log }_{10}$ をとって $n$ の下限を出し、それを超える最小の整数を選ぶ。最後に $2^{10}=1024$ で確かめると安心だ。

発展。 倍々の成長(指数的増加)は直感を裏切る速さを持つ。$10$ 時間で $1000$ 倍なら、$20$ 時間で $100$ 万倍、$30$ 時間で $10$ 億倍。「等間隔の時間で等倍」という指数の性質を、対数が「掛け算を足し算に」直して手なずけている。

半減期(倍々の逆)、複利、感染の初期増加など、この計算の型は理科や社会の定量的な議論にそのまま使える。数学IIの中でも、実生活との接点が特に太い問題である。

別解

$2$ のべきの常識、$2^{10}=1024$ を知っていれば、対数を使わずにすぐ答えが出る。

$$2^{10}=1024>1000,2^9=512<1000$$

$9$ 時間後はまだ $512$ 倍で足りず、$10$ 時間後に $1024$ 倍で初めて $1000$ 倍を超える。答えは $10$ 時間後。「じゃあ対数は要らないのか」というと、そうではない。$1000$ 倍が $10$ 億倍($10^9$)になったら、$2^n>10^9$ を満たす $n$ をべきの暗記で探すのは無理で、$n>\frac{9}{0.3010}=29.9\dots \to 30$ と対数が必須になる。

小さい数では検算に、大きい数では本線に。$2^{10}\approx 10^3$ という関係(${\log }_{10}2\approx 0.3$ の由来)は、両者をつなぐものとして覚えておくとよい。