指数関数・対数関数 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 指数の計算は、$3$ つの法則で全部片づく。

$$a^m\times a^n=a^{m+n},\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},(a^m{)}^n=a^{mn}$$

そして、$2$ つの約束。

$$a^0=1,a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(1) 負の指数は「逆数」。

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}={\left(\frac{2}{1}\right)}^3=8$$

分数の負の指数はひっくり返して正の指数にする。

(2) $2^0=1$、$2^{-2}=\frac{1}{4}$。掛けて $\frac{1}{4}$。

(3) 指数の引き算。

$$\frac{3^5}{3^2}=3^{5-2}=3^3=27$$

「同じ底なら、指数を足し引きする」ことが、指数計算の中心である。

(1) マイナスの指数は逆数にする。$\frac{1}{2}$ の逆数は $2$。

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=2^3=8$$

(2) かけ算なので指数を足す。$2^0=1$ にも注意。

$$2^0\times 2^{-2}=2^{0+(-2)}=2^{-2}=\frac{1}{4}$$

(3) わり算なので指数を引く。

$$\frac{3^5}{3^2}=3^{5-2}=3^3=27$$

発展。 指数を拡張していく道のりは、まだ続く。

「$2$ を $\sqrt{2}$ 回掛ける」とはいったい何を意味するのか。

答え: 有理数で近似して、その極限をとる。

$$\sqrt{2}=1.41421356\dots$$

$$2^{1.4},2^{1.41},2^{1.414},2^{1.4142},\dots$$

この数列はある値に収束する。 その極限を $2^{\sqrt{2}}$ と定義する($\approx 2.6651$)。

「掛ける回数」という素朴な意味は、とっくに失われている。 それでも指数法則は成り立ち続ける。だから拡張する価値がある。

そして、複素数の指数。

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

オイラーの公式。 ここで「$e$ を $i\theta$ 回掛ける」などと考えてはいけない。指数関数の性質(微分すると自分自身になる)を保つように定義すると、必然的にこの形になるのだ。

そして $\theta =\pi$ とすると

$$e^{i\pi }=-1⟹e^{i\pi }+1=0$$

オイラーの等式。 数学の $5$ つの重要な定数($e$、$i$、$\pi$、$1$、$0$)が、$1$ 本の式に集まる。数学で最も有名な式のひとつと言われる。

$2^0=1$ から始まった拡張の旅が、ここまで来た。 「規則を保つように定義を広げる」という一手が、これほど遠くまで連れて行く。

別解

「$2^0=1$」も「$2^{-2}=\frac{1}{4}$」も、なぜそう決まっているのか。 天下り式に覚えるのではなく、必然性を見よう。理由が分かれば、二度と忘れない。

表を作って、指数を $1$ ずつ下げていく。

規則を読む。 右へ $1$ つ進むごとに(指数が $1$ 減るごとに)、値が半分になっている。

$$8\to 4\to 2\to \dots$$

この規則をそのまま続けたらどうなるか。

$$2÷2=1⟹2^0=1$$

$$1÷2=\frac{1}{2}⟹2^{-1}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{2}÷2=\frac{1}{4}⟹2^{-2}=\frac{1}{4}$$

表が完成した。

$2^0=1$ も、$2^{-2}=\frac{1}{4}$ も、「表を自然に延長した結果」だった。これが「定義の拡張」の作法である。

$$\boxed{\text{今まで通用していた規則が、拡張後も成り立つように決める}}$$

指数法則で確かめる。 $a^m÷a^n=a^{m-n}$ という法則を、$m=n$ の場合にも使いたい。

$$\frac{2^3}{2^3}=2^{3-3}=2^0$$

左辺は明らかに $1$。 だから $2^0=1$ でなければならない。法則を守るには、そう決めるしかない。

負の指数も同様。

$$\frac{2^1}{2^3}=2^{1-3}=2^{-2}$$

左辺は $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。 だから $2^{-2}=\frac{1}{4}$

「$0$ 乗は $1$ 個も掛けないから $0$ じゃないの?」という素朴な疑問への答えも、ここにある。

$2^3$ を「$2$ を $3$ 回掛ける」と読む限り、$2^0$ は意味をなさない。 そこで読み方を変えるのだ。

$$2^n=1\times \underset{n\text{回}}{\underbrace{2\times 2\times \cdots \times 2}}$$

「$1$ に、$2$ を $n$ 回掛ける」 と読めば、$n=0$ は「$1$ に何も掛けない」= $1$。意味が通る。同じ発想は他でも使われている。

• $0!=1$($n!=n\times (n-1)!$ という規則を保つため)
• 空集合の要素の和 $=0$、積 $=1$(何も足さなければ $0$、何も掛けなければ $1$)

「規則が壊れないように、境界の値を決める」という方法で、数学は扱える範囲を広げてきた。$2^0=1$ は指数法則から自然に決まる値だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分数の指数は、累乗根を意味する。

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

「分母は根っこ($n$ 乗根)、分子はべき($m$ 乗)」という対応を押さえる。

しかし、根号のまま計算するのは大変だ。$2$ のべきに統一するのが、この単元の必勝法である。

(1) $8=2^3$ に注目する。

$$8^{\frac{2}{3}}=(2^3{)}^{\frac{2}{3}}=2^{3\times \frac{2}{3}}=2^2=4$$

指数どうしの掛け算で、$3$ と $\frac{2}{3}$ が約分される。 根号を書く必要すらない。

(2) $\sqrt[3]{16}=2^{4/3}$、$\sqrt[3]{4}=2^{2/3}$。掛けると指数が足されて $2^2=4$。

(3) $16=2^4$ だから $16^{-\frac{1}{4}}=2^{-1}=\frac{1}{2}$。

「底を素因数分解して、$2$ のべきに揃える」だけで全問解ける。

(1) $8=2^3$ に直すと、指数どうしのかけ算になる。

$$8^{\frac{2}{3}}=(2^3{)}^{\frac{2}{3}}=2^{3\times \frac{2}{3}}=2^2=4$$

(2) 累乗根の積は中身をまとめる。

$$\sqrt[3]{16}\times \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{16\times 4}=\sqrt[3]{64}=4$$

(3) $16=2^4$、マイナス指数は逆数。

$$16^{-\frac{1}{4}}=(2^4{)}^{-\frac{1}{4}}=2^{-1}=\frac{1}{2}$$

発展。 分数指数を使うと、$1$ 年で $10\%$ 増える利率は半年でいくつかという問いに正しく答えられる。

素朴な誤り: 「半年なら $5\%$ だろう」

正しくは: $1$ 年で $1.1$ 倍になるということは、半年では $1.1^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1.1}\approx 1.0488$ 倍。

約 $4.88\%$ であって、$5\%$ ではない。

なぜか。 半年で $5\%$ ずつ増えると、$1$ 年では

$$1.05\times 1.05=1.1025$$

$10.25\%$ 増えてしまう。複利のせいで、多すぎるのだ。「掛け算で考えるときは、半分にするのは『割る $2$』ではなく『平方根』」と覚えておくと、指数的な変化がつかみやすい。

同じ計算がいろいろな場面で必要になる。

放射性物質の半減期。 半減期 $T$ の物質は $T$ 時間で半分になる。では $\frac{T}{2}$ 時間では?

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$$

約 $70.7\%$ 残る($75\%$ ではない)。

音楽の平均律。 $1$ オクターブ($=$ 振動数 $2$ 倍)を $12$ 音に等分するには、$1$ 音あたり $2^{\frac{1}{12}}\approx 1.0595$ 倍にする。

$${\left(2^{\frac{1}{12}}\right)}^{12}=2$$

ピアノの隣り合う鍵盤の振動数の比は、$\sqrt[12]{2}$ という無理数である。バッハの時代に確立されたこの調律法が、$12$ 乗根という数学の上に成り立っている。

「等分する」とき、足し算的に等分するのか、掛け算的に等分するのか。 指数で考えるときは、後者になる。分数指数はそれを表す書き方である。

別解

根号のまま計算するルートも見ておこう。分数指数に慣れないうちは、こちらのほうが安心できる。そして「なぜ $a^{1/2}=\sqrt{a}$ なのか」を確かめる。

根号ルートで解く。

(1) $8^{\frac{2}{3}}$

$$8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$$

または、順番を変えて

$$8^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$$

どちらでも同じ。 ただし後者のほうが楽だ($64$ の $3$ 乗根より、$8$ の $3$ 乗根のほうが計算しやすい)。「先に根をとってから、べきにする」と、数が小さく保てる。

(2) $\sqrt[3]{16}\times \sqrt[3]{4}$

同じ $3$ 乗根どうしは中身を掛けてよい。

$$\sqrt[3]{16}\times \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{16\times 4}=\sqrt[3]{64}=4$$

$\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ は、平方根のときと同じ規則だ。

(3) $16^{-\frac{1}{4}}$

$$16^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{16^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{16}}=\frac{1}{2}$$

負の指数 → 逆数、分数指数 → 累乗根。$2$ 段階で処理する。さて、「なぜ $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$ なのか」。

指数法則を守るように決めたからで、ここでも同じ理屈である。

$${\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}^2=a^{\frac{1}{2}\times 2}=a^1=a$$

「$2$ 乗すると $a$ になる数」は、$\sqrt{a}$ そのものである。

同じく

$${\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^3=a^1=a⟹a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$$

指数法則 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ を保とうとすると、分数指数は累乗根でしかありえない。どちらのルートを使うべきか。

慣れたら分数指数、迷ったら根号。 ただし、この先(対数、微分積分)では分数指数が標準になる。$\sqrt{x}=x^{1/2}$ と書けないと、微分の公式が使えない。

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

根号のままでは、この計算はできない。 分数指数はこの先の単元で使うための準備である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y=2^x$ のグラフを、値の表から起こしてみる。

$3$ つのことが読み取れる。

定義域: $x$ にはどんな実数を入れてもよい($2^{-100}$ でも $2^{3.7}$ でも計算できる)。

$$\text{定義域: 実数全体}$$

値域: $y$ は必ず正。どんなに $x$ を小さくしても、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{16}$、$\frac{1}{32}$ $\dots$ と $0$ に近づくが、決して $0$ にはならない。

$$\text{値域: }y>0$$

増減: $x$ が増えると $y$ も増える。

$$\text{増加関数}$$

「$0$ に近づくが $0$ にならない」ので、$x$ 軸が漸近線になっている。

$y=2^x$ は $a=2>1$ の指数関数。

• 定義域:$x$ にはどんな実数を入れてもよいので、実数全体。
• 値域:$2^x$ は $x$ が大きな負でも $0$ に近づくだけで、$0$ や負にはならない。よって $y>0$。
• 増減:$a=2>1$ なので $x$ が増えると $y$ も増える。増加関数。

発展。 指数関数には、特別な底がある。ネイピア数 $e=2.71828\dots$ だ。

なぜ $e$ が特別なのか。 $y=e^x$ は微分しても自分自身になる唯一の関数だからだ(定数倍を除いて)。

$${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$$

グラフのどの点でも、「高さ」と「傾き」が等しい。 高さ $5$ のところでは傾きも $5$、高さ $100$ のところでは傾きも $100$ になる。増え方が現在の量に比例する。

これは、自然界のあらゆる「自己増殖」の法則そのものである。

$$\frac{dy}{dx}=y(\text{増加率}\propto \text{現在の量})$$

• 細菌: 数が多いほど、増える速さも大きい
• お金(複利): 元本が多いほど、利息も多い
• 放射性崩壊: 原子が多いほど、崩壊する数も多い(こちらは減少なので $\frac{dy}{dx}=-ky$)
• 人口増加: 人が多いほど、生まれる子も多い

「変化率が、現在の量に比例する」現象は、必ず $e^{kx}$ の形になる。 これは微分方程式の最も基本的な解であり、自然現象を表すときによく使う関数だ。$e$ の定義の $1$ つは、複利から出てくる。

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

「年利 $100\%$ を、$n$ 回に分けて複利計算する」と考える。$1$ 回なら $2$ 倍、$2$ 回なら $(1.5{)}^2=2.25$ 倍、$12$ 回なら約 $2.613$ 倍 $\dots$ となり、無限に細かく分けると、$e\approx 2.718$ 倍に収束する。

「連続複利の極限」が $e$。 銀行の利息計算から、自然界の成長法則まで、$1$ つの数がつないでいる。

$y=2^x$ を学ぶことは、$y=e^x$ への準備運動である。 数IIIではこの特別な関数を中心に学ぶ。

別解

底が変わると、グラフはどう変わるか。 それを押さえておけば、指数関数のすべてが見える。底が $1$ より大きいとき($a>1$)。

$y=2^x$、$y=3^x$、$y=10^x$ は、どれも増加関数だ。

底が大きいほど、急激に増える。 $x=3$ で比べると

$$2^3=8,3^3=27,10^3=1000$$

底が $1$ より小さいとき($0<a<1$)。$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ の値の表を作る。

$x$ が増えると、$y$ は減るので、減少関数だ。

なぜか。 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$ と書き直せば分かる。$y=2^x$ を、$y$ 軸で折り返したグラフである($x\to -x$)。

$$\boxed{a>1\to \text{増加},0<a<1\to \text{減少}}$$

この違いが、不等式を解くときに大事になる。すべての指数関数に共通する性質。共通1: 必ず点 $(0,1)$ を通る。

$$a^0=1(\text{どんな底でも})$$

すべての指数関数のグラフが $1$ 点 $(0,1)$ で交わるのである。共通2: 値域はいつも $y>0$。

正の数を何乗しても、正である。$0$ にも負にもならない。

共通3: $x$ 軸が漸近線。

$a>1$ なら $x\to -\infty$ で、$0<a<1$ なら $x\to +\infty$ で、$0$ に限りなく近づく。この「$0$ に近づくが $0$ にならない」性質が、現実の現象を記述する。

放射性物質の崩壊。 半減期ごとに半分になるが、完全にゼロにはならない(数学的には)。

$$\text{残量}=(\text{初期量})\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$$

薬の血中濃度。 体内から少しずつ抜けていくが、指数的に減衰する。

コーヒーの冷め方(ニュートンの冷却法則)。 室温との温度差が指数的に減っていく。そして、増加のほうも急激だ。

細菌の増殖、複利、ムーアの法則(半導体の性能は $2$ 年で $2$ 倍)、SNS の情報拡散は、すべて $y=a^x$ の形をしている。「指数関数的」という言葉が、日常語として使われるほど、この関数は現実を支配している。

$1$ 枚の紙を $42$ 回折ると、月に届く。($0.1$ mm $\times 2^{42}\approx 44$ 万 km。実際には折れないが、計算はこうなる。)

指数の増え方は人間の直感を軽々と超える。 その増え方の速さを知っておくことも、この関数を学ぶ意味である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt[3]{4}$ は根号の種類がバラバラで、このままでは比べられない。

そこで、すべてを「$2$ の何乗か」に統一する。

$$1=2^0$$

$$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$$

$$\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac{2}{3}}$$

底が $2$ に揃った。 あとは指数だけを比べればよい。

$$0<\frac{1}{2}<\frac{2}{3}$$

$y=2^x$ は増加関数だから、指数が大きいほど値も大きい。

$$2^0<2^{\frac{1}{2}}<2^{\frac{2}{3}}$$

$$1<\sqrt{2}<\sqrt[3]{4}$$

指数の大小比較は「底を揃えて、指数を比べる」ことに尽きる。

① 底を $2$ にそろえる。

$$1=2^0,\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}},\sqrt[3]{4}=(2^2{)}^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{2}{3}}$$

② 指数を比べる。 $0$、$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$ を通分すると $\frac{0}{6}$、$\frac{3}{6}$、$\frac{4}{6}$。よって $0<\frac{1}{2}<\frac{2}{3}$。

底 $2>1$ の指数関数は増加関数なので、指数の大小がそのまま数の大小。

$$1<\sqrt{2}<\sqrt[3]{4}$$

まとめ:形の違う累乗の大小は底をそろえて指数を比べる。底が $1$ より大きいなら指数の大小がそのまま答え。

発展。 「底を揃える」「累乗して整数化する」以外にも、大小比較の道具がある。対数をとる方法だ。

例: $2^{100}$ と $3^{60}$ は、どちらが大きいか?

巨大すぎて計算できない($2^{100}$ は $31$ 桁の数だ)。累乗して整数化する手も使えない。そこで、両方の常用対数をとる。

$${\log }_{10}{2}^{100}=100{\log }_{10}2=100\times 0.3010=30.10$$

$${\log }_{10}{3}^{60}=60{\log }_{10}3=60\times 0.4771=28.63$$

$$30.10>28.63⟹2^{100}>3^{60}$$

大きな数の比較が小数点以下 $2$ 桁の比較になった。

なぜこれが正しいのか。 $\log$ は増加関数だから、大小関係を保つ。

$$A<B⟺\log A<\log B(A,B>0)$$

「対数をとっても、順序は変わらない」ので、安心して対数に移して比べられる。この「対数を使って大きな数を扱う」という発想が、対数を発明した動機だった。

$17$ 世紀の天文学者たちは大きな数の掛け算に多くの時間を使っていた。惑星の軌道計算では $10$ 桁 $\times$ $10$ 桁の掛け算を何百回も手計算する必要があった。ネイピアは掛け算を足し算に変える表(対数表)を作った。

$$\log (AB)=\log A+\log B$$

掛け算 $\to$ 足し算。 計算時間が大きく短縮され、「天文学者の寿命が $2$ 倍になった」と言われた。

電卓が登場するまでの $350$ 年間、対数表と計算尺(対数目盛の定規)が、科学技術の計算に使われていた。 アポロ計画の宇宙飛行士も計算尺を持って月へ行った。

「大きすぎる数を、扱いやすい大きさに畳み込む」のが対数の役割であり、次の問題群で学ぶ内容の中心である。

別解

根号のまま比べる方法もある。「同じ乗数で累乗して、整数にする」ルートだ。 分数指数に不安があるときの、確実な逃げ道になる。

発想: $3$ つの数を、同じ回数だけ累乗して、根号を消す。$\sqrt{2}=2^{1/2}$ の根号を消すには $2$ 乗、$\sqrt[3]{4}=4^{1/3}$ を消すには $3$ 乗。両方を消すには、$2$ と $3$ の最小公倍数 $=6$ 乗すればよい。

$6$ 乗する。

$$1^6=1$$

$${\left(\sqrt{2}\right)}^6={\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^6=2^3=8$$

$${\left(\sqrt[3]{4}\right)}^6={\left(4^{\frac{1}{3}}\right)}^6=4^2=16$$

根号がすべて消えて、整数になった。

$$1<8<16$$

$6$ 乗した結果の大小が、元の数の大小と同じ($3$ つとも正の数で、$x^6$ は正の数の範囲で増加関数だから)。

$$1<\sqrt{2}<\sqrt[3]{4}$$

指数を比べるルートと、同じ答え。この方法の要点は「$x^6$ が単調増加である」という事実だ。

$$a<b⟺a^6<b^6(a,b>0)$$

正の数どうしなら、累乗しても大小関係は変わらない。

ただし、負の数が混じると崩れる。 $-3<2$ だが、$2$ 乗すると $9>4$ となり、逆転する。 だから「両方とも正」という条件が不可欠だ。

数値でも確かめておこう。

$$\sqrt{2}\approx 1.414,\sqrt[3]{4}\approx 1.587$$

$$1<1.414<1.587$$

確かに合っている。

どちらのルートを選ぶか。

• 底が揃えられる($2$ のべきに書ける)→ 指数比較が速い
• 底がバラバラ($\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ など)→ 累乗して整数化

たとえば $\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ を比べるなら、底を揃えられない($2$ と $3$ は別物)。だから $6$ 乗する。

$${\left(\sqrt{2}\right)}^6=8,{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^6=3^2=9$$

$$8<9⟹\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$$

根号の中身が違っても、比較できた。 この技は大小比較の問題で必ず役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 指数方程式の原則は、両辺の底を揃えること。

(1) $2^x=32$

$32$ を $2$ のべきで書き直す。

$$32=2^5$$

$$2^x=2^5$$

底が同じなら、指数も同じ。

$$x=5$$

(2) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=27$

左辺の底を $3$ に直す。 $\frac{1}{3}=3^{-1}$ だから

$${\left(3^{-1}\right)}^x=3^{-x}$$

右辺は $27=3^3$。

$$3^{-x}=3^3⟹-x=3⟹x=-3$$

「底を揃えて、指数を比べる」ことができるのは、指数関数が $1$ 対 $1$ である(違う $x$ が同じ値を返さない)からだ。

(1) $32=2^5$ なので、両辺が $2$ の累乗になる。

$$2^x=2^5\Rightarrow x=5$$

(2) 底を $3$ にそろえる。$\frac{1}{3}=3^{-1}$、$27=3^3$。

$$(3^{-1}{)}^x=3^3\Rightarrow 3^{-x}=3^3\Rightarrow -x=3\Rightarrow x=-3$$

発展。 「底を揃えて指数を比べる」という推論が正しいのは、指数関数が $1$ 対 $1$ だからである。

$$a^{x_1}=a^{x_2}⟹x_1=x_2(a>0,a\ne 1)$$

「違う指数からは、必ず違う値が出る」ので、逆に値が同じなら指数も同じだと言える。なぜ $a\ne 1$ という条件が必要か。

$a=1$ だと、$1^x=1$ で、$x$ が何であっても同じ値になる。$1^3=1^{100}=1$ となり、$1$ 対 $1$ でない。

だから $1^x=1$ という方程式の解は「すべての実数」であり、指数を比べる推論は使えない。$a>0$ という条件も、実は重要だ。

$a$ が負だとどうなるか。 $(-2{)}^x$ を考えると

• $x=2$ → $4$(正)
• $x=3$ → $-8$(負)
• $x=\frac{1}{2}$ → $\sqrt{-2}$(実数では定義できない)

負の数の指数関数は実数の範囲では「穴だらけ」になる。 だから指数関数の底は正で、$1$ でないと決められている。この条件は、対数の底にもそのまま引き継がれる。

$${\log }_{a}x(a>0,a\ne 1,x>0)$$

$3$ つの条件がついてまわる。

• 底 $a>0$: 負の底では指数関数が定義できない
• 底 $a\ne 1$: $1$ を何乗しても $1$ で、$1$ 対 $1$ でない
• 真数 $x>0$: $a^y$ は必ず正なので、${\log }_{a}x$ の $x$ は正の数しかありえない

この最後の条件(真数条件)が対数方程式で命取りになる(問題 $11$ で見る)。

「条件がついている」ことには、必ず理由がある。 理由まで理解しておくと、条件を忘れなくなる。

別解

底が揃えられない場合はどうするか。 そこで登場するのが対数だ。この問題を対数で解いてみると、対数の存在理由がはっきりする。

対数ルートで解く。

(1) $2^x=32$

両辺の ${\log }_2$ をとる。

$${\log }_2{2}^x={\log }_{2}32$$

左辺は対数の定義から $x$ そのもの($2$ を $x$ 乗すると $2^x$ なので、「$2^x$ は $2$ の何乗か」の答えは $x$)。

$$x={\log }_{2}32=5$$

同じ答え

「対数をとる」とは「何乗か」を取り出す操作である。指数の肩に乗っている $x$ を、地上に引きずり下ろす。

$${\log }_a{a}^x=x$$

この式が対数の存在理由そのものだ。

(2) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=27$ も、対数をとれば

$$x{\log }_3\frac{1}{3}={\log }_{3}27⟹x\times (-1)=3⟹x=-3$$

対数が特に役に立つのは、「底が揃えられない」ときだ。

例: $2^x=10$ を解け。

$10$ は $2$ のべきでは書けない。 $2^3=8$、$2^4=16$ なので、$x$ は $3$ と $4$ のあいだだと分かるが、正確な値は?底を揃える作戦はここで詰む。

対数なら、答えが書ける。

$$x={\log }_{2}10=\frac{{\log }_{10}10}{{\log }_{10}2}=\frac{1}{0.3010}\approx 3.32$$

$x\approx 3.32$。 確かに $3$ と $4$ のあいだだ

「$2$ を何乗すると $10$ になるか」という問いに、${\log }_{2}10$ という「名前」を与えたのが、対数の発明である。$\sqrt{2}$ が「$2$ 乗すると $2$ になる数」に与えられた名前であるのと、まったく同じ構造だ。

「求まらない答えに、名前をつける」のは、数学でよく使う方法だ。名前をつけた瞬間、その数を式の中で自由に使えるようになる。

そして名前をつけた後で、その性質を調べる。 $\log$ なら「積が和になる」という性質が見つかった。次の問題で、それを学ぶ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 不等式も、まず底を揃える。しかし、方程式とは違う注意点がある。

(1) $2^x>32=2^5$

底 $2$ は $1$ より大きい → $y=2^x$ は増加関数。増加関数では、大小関係がそのまま指数に引き継がれる。

$$2^x>2^5⟹x>5$$

(2) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\geqq 27$

底 $\frac{1}{3}$ は $1$ より小さい → 減少関数だ。

減少関数では、値が大きいほど、指数は小さい。 つまり不等号が反転する。

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\geqq {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}⟹x\leqq -3$$

($27=3^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$ と、底を $\frac{1}{3}$ に揃えた。)

底が $1$ より小さいと、不等号がひっくり返る。これがこの単元でいちばん多い間違いである。

(1) $32=2^5$。底 $2>1$ なので不等号はそのまま。

$$2^x>2^5\Rightarrow x>5$$

(2) 底を $\frac{1}{3}$ にそろえる。$27=3^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$。底 $\frac{1}{3}<1$ なので、指数を比べるとき不等号が逆になる。

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}\Rightarrow x\le -3$$

発展。 「増加関数か減少関数か」で不等号の扱いが変わる。この構造はあらゆる不等式に共通する原理である。

$$f(A)<f(B)⟹\{\begin{array}{ll}A<B& (f\text{が増加関数})\\ A>B& (f\text{が減少関数})\end{array}$$

「単調な関数を通しても、順序は保たれる(または反転する)」

この原理が使える場面。

• 指数: $a>1$ で保存、$0<a<1$ で反転
• 対数: 底 $a>1$ で保存、$0<a<1$ で反転(同じ)
• $2$ 乗: $x>0$ の範囲でのみ保存($x^2$ は正の範囲で増加)
• 逆数: $\frac{1}{x}$ は($x>0$ で)減少関数 → 反転する

逆数で反転する例。

$$2<3⟹\frac{1}{2}>\frac{1}{3}$$

当たり前に見えるが、これも「減少関数だから反転」の一例だ。そして、この原理を知らないと、危険な間違いを犯す。

$$\frac{1}{x}<2$$

両辺に $x$ を掛けて $1<2x$、つまり $x>\frac{1}{2}$?

間違い。 $x$ が負のとき($x=-1$ など)を確かめてみよう。

$$\frac{1}{-1}=-1<2\text{成り立つ}$$

しかし $x=-1$ は $x>\frac{1}{2}$ を満たさない。 解を落としている。

正しい答えは $x<0$ または $x>\frac{1}{2}$。なぜ間違えたか。「$x$ を掛ける」とき、$x$ の符号が分からないのに、不等号の向きを固定してしまった。

$x>0$ なら向きはそのまま、$x<0$ なら反転するので、場合分けが必要になる。

「掛ける数・割る数の符号」「関数の増減」 の $2$ つを、不等式では常に意識する。等式では気にしなくてよかったことが、不等式では命取りになる。

別解

「不等号がひっくり返る」を、忘れずに済む方法がある。 グラフを見ることと、数値で確かめることだ。

グラフで理解する。

$y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ は、右下がりのグラフ(減少関数)。$x$ が増えると $y$ は減る。だから「$y$ が大きい」ということは「$x$ が小さい」ということだ。

「$y\geqq 27$」の部分を、グラフで探す。 グラフの左側(x が小さいほう)で、$y$ の値が大きくなっている。$y=27$ となるのは $x=-3$。

そこより左(小さい $x$)が $y\geqq 27$ の範囲。

$$x\leqq -3$$

グラフを見れば、「左側だ」と一目で分かる。 不等号の向きを頭で考える必要すらない。数値で確かめる(最も確実な検算)。

答え $x\leqq -3$ が正しいか、実際に数値を入れてみる。

$x=-4$(答えの範囲内):

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}=3^4=81\geqq 27\text{成り立つ}$$

$x=-2$(答えの範囲外):

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2=9\geqq 27?\text{偽}$$

成り立たない。範囲外なので、これで正しい。

もし答えを $x\geqq -3$ と間違えていたら、$x=-2$ が解に含まれることになる。しかし $9<27$ で不等式を満たさないので、$1$ 回代入すれば、間違いが分かる。

$10$ 秒の検算で、致命的なミスが防げる。「不等号の向きに迷ったら、数値を $1$ つ入れる」ことを、習慣にしておきたい。なぜ底が $1$ より小さいと反転するのか、もう $1$ 度整理する。

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=3^{-x}$$

書き直すと、指数にマイナスがついている。

$$3^{-x}\geqq 3^3$$

底 $3$ は $1$ より大きい(増加関数)ので、そのまま指数を比べられる。

$$-x\geqq 3⟹x\leqq -3$$

最後に「両辺を $-1$ で割った」から、不等号が反転した

「底が $1$ より小さい」を「指数にマイナスがつく」に読みかえれば、反転の理由は「負の数で割ったから」 と分かり、中学以来おなじみのルールに帰着する。

$2$ つの理解を持っておこう。

• グラフの目: 減少関数だから、大小が逆転する
• 式の目: ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$ で、負の数を割ることになる

どちらでもよい。$1$ つでも腑に落ちれば、二度と間違えない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 対数は、「何乗すればよいか」を答える関数である。

$${\log }_{a}x=(\text{a を何乗すると x になるか})$$

日本語で読み下すのが、いちばん確実だ。

(1) ${\log }_{2}8$:「$2$ を何乗すると $8$?」

$$2^3=8⟹{\log }_{2}8=3$$

(2) ${\log }_3\frac{1}{9}$:「$3$ を何乗すると $\frac{1}{9}$?」

$$3^{-2}=\frac{1}{9}⟹{\log }_3\frac{1}{9}=-2$$

分数になったら、指数は負だ。

(3) ${\log }_{10}1$:「$10$ を何乗すると $1$?」

$$10^0=1⟹{\log }_{10}1=0$$

どんな底でも ${\log }_{a}1=0$。 $a^0=1$ だからだ。「$\log$ を見たら、指数の式に直す」のが、対数の第一歩である。

(1) $2$ を何乗すれば $8$ か。$2^3=8$ なので

$${\log }_{2}8=3$$

(2) $3$ を何乗すれば $\frac{1}{9}$ か。$3^{-2}=\frac{1}{9}$ なので

$${\log }_3\frac{1}{9}=-2$$

(3) どんな底でも $a^0=1$ なので

$${\log }_{10}1=0$$

発展。 対数は「$\log$」という記号のせいで難しく見えるが、人間の感覚そのものでもある。

フェヒナーの法則。 人間の感覚は刺激の対数に比例する。

$$(\text{感じる強さ})\propto \log (\text{刺激の強さ})$$

音の大きさ。 $10$ 倍のエネルギーの音を、人は「$2$ 倍うるさい」程度にしか感じない。だから音の単位デシベルは対数目盛だ。

$$(\text{音圧レベル})=20{\log }_{10}\frac{P}{P_0}\text{dB}$$

$20$ dB 増えると、音の強さは $10$ 倍。

地震のマグニチュード。 $M$ が $1$ 増えると、エネルギーは約 $32$ 倍。

$$M=\frac{2}{3}{\log }_{10}E+\text{定数}$$

$M7$ と $M9$ の差は $2$ だが、エネルギーは $1000$ 倍($32^2\approx 1000$)。$2$ という小さな数字の裏に、$1000$ 倍の差が隠れている。対数目盛では、小さな差が大きな違いを表す。

星の明るさ(等級)、酸性度(pH)、味覚、視覚のように、対数で表す量は多い。人間の感覚は、ほとんどが対数的である。

なぜ人間はこう作られているのか。 「$1$ 円と $2$ 円の差」と「$100$ 万円と $100$ 万 $1$ 円の差」は、同じ $1$ 円でも重みがまるで違う。変化の「割合」が問題であって、「差」ではない。

対数は割合を差に変える。

$$\log (2x)-\log (x)=\log 2(\text{x が何であっても、2 倍なら同じ差})$$

「$2$ 倍」という割合が、どこでも同じ「距離」になるのが、対数目盛の特徴だ。人間の感覚が対数的なのは、広い範囲の刺激(ささやき声から爆音まで、$100$ 万倍の幅)を、限られた神経で処理するためかもしれない。

${\log }_{2}8=3$ という計算は、この「割合を差に変える」働きを式で表したものだ。

別解

対数と指数は、$1$ つの事実の「言い換え」にすぎない。 その対応表を作っておけば、どんな問題でも行き来できる。

変換の公式。

$$\boxed{{\log }_{a}M=p⟺a^p=M}$$

左が対数の言葉、右が指数の言葉。 同じ内容を、$2$ 通りに書いているだけだ。

実例で確かめる。

$3$ つの数(底・指数・値)が登場し、対数と指数で「どれに注目するか」が変わる。

$$a^{\boxed{p}}=M\text{↔}{\log }_{a}M=\boxed{p}$$

「指数 $p$ を求めたい」ときに使うのが、対数。 求める数の位置が違うだけである。この対応から、$2$ つの重要な公式が「当たり前」として出てくる。

公式1: $a^{{\log }_{a}M}=M$

「$a$ を『$a$ を何乗すれば $M$ になるか』乗する」のだから、$M$ になるのは当然だ。同語反復のような当たり前だ。

$$2^{{\log }_{2}7}=7$$

公式2: ${\log }_a{a}^p=p$

「$a^p$ は $a$ の何乗か?」と聞かれれば、$p$ 乗に決まっている。

$${\log }_2{2}^5=5$$

この $2$ つは、「指数と対数が互いに逆の操作である」ことの表明だ。$\sqrt{x^2}=x$($x>0$)や、$(\sqrt{x}{)}^2=x$ と同じ関係にある。そして、この「逆」という関係が、グラフに現れる。

$$y=a^x\text{と}y={\log }_{a}x\text{は、直線 }y=x\text{ に関して対称}$$

逆関数どうしのグラフは $y=x$ に関して対称になる。問題 $10$ で、この事実を確認する。

対数を「新しい難しい関数」だと思わないこと。 それは指数を裏返して見ているだけであり、まったく新しい内容ではない。

迷ったら、必ず指数の式に書き直す。 $\log$ の計算で行き詰まる人の $9$ 割は、この書き直しをしていない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 対数の $3$ つの性質を使う。

$${\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_{a}MN$$

$${\log }_{a}M-{\log }_{a}N={\log }_a\frac{M}{N}$$

$${\log }_a{M}^k=k{\log }_{a}M$$

$\log$ の足し算は真数の掛け算。$\log$ の引き算は真数の割り算。

$3$ つを $1$ つにまとめる。

$${\log }_{2}3+{\log }_{2}6-{\log }_{2}9={\log }_2\frac{3\times 6}{9}={\log }_2\frac{18}{9}={\log }_{2}2$$

$${\log }_{2}2=1$$

${\log }_{2}3$ や ${\log }_{2}6$ の値は、それぞれは無理数(汚い数)だ。 しかしまとめると、きれいに $1$ になる。

「バラバラの $\log$ を、$1$ つにまとめる」のが、対数計算の基本方針である。

① 1つの対数にまとめる。 和はかけ算、差はわり算。

$${\log }_{2}3+{\log }_{2}6-{\log }_{2}9={\log }_2\frac{3\times 6}{9}={\log }_2\frac{18}{9}={\log }_{2}2$$

② 定義で値を出す。 $2^1=2$ なので

$${\log }_{2}2=1$$

まとめ:バラバラの対数は、和 → かけ算・差 → わり算 で1つにまとめると真数が簡単になる。最後は定義で値を読む。

発展。 「掛け算を足し算に変える」という性質から、計算尺という道具が生まれた。

計算尺のしくみ。 $2$ 本の定規に、対数目盛(等間隔ではなく、$1,2,3,\dots$ の位置が $\log 1,\log 2,\log 3,\dots$ に対応する目盛)を刻む。

$2\times 3$ を計算したいとき。 片方の定規の「$1$」を、もう片方の「$2$」に合わせ、そこから「$3$」の位置を読むと、$6$ が出る。

なぜか。 対数目盛では、位置が $\log$ に対応している。定規をずらして足し合わせると

$$\log 2+\log 3=\log 6$$

「長さの足し算」が、「数の掛け算」になる

掛け算を、定規をずらすだけで実行できる。 電卓のない時代、技術者は計算尺を胸ポケットに入れて持ち歩いた。

アポロ $11$ 号の月着陸($1969$ 年)でも、宇宙飛行士は計算尺を携行していた。 コンピュータが故障したときの、最後の砦として。そして、対数の発明者ネイピア($1614$ 年)は、こう書いている。

「計算に費やす無駄な時間と、避けがたい誤りほど、数学の学徒を悩ませるものはない。」

彼は $20$ 年かけて対数表を作り、天文学者たちの膨大な計算を救った。 ラプラスは「対数の発明は、天文学者の寿命を $2$ 倍にした」と讃えた。この性質は今も使われている。

コンピュータの内部では大きな数の掛け算を「対数をとって足す」ことがある(浮動小数点数の指数部の足し算が、その例だ)。

音量調節のつまみ、写真の露出、機械学習の損失関数(対数尤度) のように、掛け算を足し算に変える対数の性質は、今もいろいろな場面で使われている。

${\log }_{2}3+{\log }_{2}6-{\log }_{2}9=1$ という小さな計算。 この性質は、$400$ 年前に対数が作られてから、ずっと計算に使われてきた。

別解

「なぜ $\log$ の和が、真数の積になるのか」は、指数法則を裏返すと分かる。証明を知れば、公式は忘れられない。そして数値で検算しよう。

証明: 指数法則から導く。

$$M=a^p,N=a^q$$

とおく(つまり $p={\log }_{a}M$、$q={\log }_{a}N$)。指数法則から

$$MN=a^p\times a^q=a^{p+q}$$

これを対数の言葉で書く。

$${\log }_a(MN)=p+q={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$$

証明終わり。

「指数を足すと、値が掛かる」 という指数法則を、裏返しただけだ。

$$\underset{\text{指数法則}}{\underbrace{a^p\times a^q=a^{p+q}}}⟺\underset{\text{対数の性質}}{\underbrace{\log MN=\log M+\log N}}$$

対数の性質はすべて指数法則の言い換えである。

$3$ つとも、左を裏返せば右になる。 覚えるのは指数法則だけでよい。

数値で検算する。

$${\log }_{2}3\approx 1.585,{\log }_{2}6\approx 2.585,{\log }_{2}9\approx 3.170$$

$$1.585+2.585-3.170=1.000$$

ぴったり $1$ になった。 個々の値は無理数なのに、和が整数になる。まとめてから計算する意味がここにある。

もし $1$ つずつ小数で計算していたら、誤差が入るし、$1$ という整数の答えも得られなかった。さて、対数計算でいちばん多い誤りを、はっきりさせておこう。

$$\log (M+N)\ne \log M+\log N$$

これは決して成り立たない。 正しいのは

$$\log (M\times N)=\log M+\log N$$

「掛け算が、足し算になる」のであって、「足し算が足し算になる」のではない。

確かめてみよう。 ${\log }_2(2+2)={\log }_{2}4=2$。一方 ${\log }_{2}2+{\log }_{2}2=1+1=2$。

たまたま一致した。 しかし、これは偶然だ。${\log }_2(4+4)={\log }_{2}8=3$ に対し、${\log }_{2}4+{\log }_{2}4=2+2=4$。今度は違う。

$1$ つの例で確かめただけでは、公式の真偽は分からない。 反例を探すことが、公式を疑うということだ。

対数の中の足し算は「外に出せない」。 これが、$\log$ を扱ううえで最も重要な戒めである。