指数関数・対数関数 ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 指数の連立方程式。$x,y$ が指数の肩に乗ったままでは扱えない。

$2^x$ と $2^y$ をひとかたまりの文字に置き換える。$X=2^x$、$Y=2^y$($X,Y>0$)。すると $X+Y=6$。もう $1$ 本は $2^{x+y}=2^x\cdot 2^y=XY=8$。

「和 $6$・積 $8$ の $2$ 数」なので、$X,Y$ は $2$ 次方程式 $t^2-6t+8=0$ の解。

① 文字におく。 $X=2^x,Y=2^y$($X,Y>0$)とすると

$$X+Y=6,XY=2^{x+y}=8$$

② $2$ 次方程式にする。 $X,Y$ は和 $6$・積 $8$ の $2$ 数だから

$$t^2-6t+8=0⟹(t-2)(t-4)=0⟹t=2,4$$

ともに正なので $X,Y>0$ を満たす。

③ $x,y$ に戻す。 $(X,Y)=(2,4)$ または $(4,2)$。$2^x=2\Rightarrow x=1$、$2^x=4\Rightarrow x=2$ より

$$(x,y)=(1,2),(2,1)$$

まとめ:指数の連立は「$2^x=X$ とおいて和と積 → $2$ 次方程式」。$2^{x+y}=XY$ となるのが要。$X,Y>0$ の確認を経て指数に戻す。対称なので $2$ 組の解が出る。

発展。 「和と積が分かれば、その $2$ 数は $t^2-(\text{和})t+(\text{積})=0$ の解」は対称式の要。$2^x+2^y$ と $2^x\cdot 2^y$ という基本対称式に置き換えたので、$X,Y$ を個別に追わずに $2$ 次方程式$1$本で決まる。連立を対称式に直す典型だ。

別解

別解:$2$ の累乗を目算で見つける(苦手な人向けの直感ルート)。 $2^x$ と $2^y$ は「$2$ の累乗」。足して $6$、掛けて $8$ になる $2$ の累乗の組を探す。

$2$ の累乗は $1,2,4,8,\dots$。この中で「和 $6$・積 $8$」になるのは $2$ と $4$。実際 $2+4=6$、$2\times 4=8$。

だから $\{2^x,2^y\}=\{2,4\}$。$2^x=2$ なら $x=1$、$2^x=4$ なら $x=2$。組み合わせて $(x,y)=(1,2),(2,1)$。$X=2^x,Y=2^y$ の置き換えで $2$ 次方程式を解く本解と、同じ $2$ 数 $\{2,4\}$ にたどり着く。小さい累乗どうしの和と積なら、目算で候補を見つけられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ${\log }_{2}x$ と ${\log }_{x}2$ が混ざっている。底が $2$ と $x$ でバラバラだ。

底の変換で ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$ と書ける。$2$ つは逆数の関係だと気づく。そこで $t={\log }_{2}x$ とおくと、方程式は $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$。

分母を払えば $t$ の $2$ 次方程式。解いてから $x$ に戻す。

① 置きかえる。 $t={\log }_{2}x$ とおくと ${\log }_{x}2=\frac{1}{t}$。方程式は

$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$$

② $2$ 次方程式にする。 両辺に $2t$ を掛けて

$$2t^2+2=5t⟹2t^2-5t+2=0⟹(2t-1)(t-2)=0$$

より $t=\frac{1}{2},2$。

③ $x$ に戻す。 ${\log }_{2}x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2^{1/2}=\sqrt{2}$、${\log }_{2}x=2\Rightarrow x=4$。どちらも $x>0,x\ne 1$ を満たす。よって

$$x=4,\sqrt{2}$$

まとめ:底が逆の対数は「底の変換で逆数」。$t={\log }_{2}x$ の置換で $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$ となり、$2$ 次方程式に。$t=\frac{1}{2},2$ を $x=2^t$ に戻す。真数条件 $x>0,x\ne 1$ の確認も忘れない。

発展。 $t+\frac{1}{t}$ の形は「相反(逆数対称)」の香り。$t>0$ なら相加相乗平均で $t+\frac{1}{t}\ge 2$、最小 $2$ は $t=1$($x=2$)。本問の右辺 $\frac{5}{2}$ は $2$ より大きいので解が $2$ つ、というのも図で見える。$t+\frac{1}{t}=k$ は $k\ge 2$ でだけ実数解をもつ。

別解

別解:$2$ 解が「逆数の関係」だと見抜く(得意な人向けの視点)。 $t={\log }_{2}x$ とおくと、方程式は $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$。左辺は $t$ と $\frac{1}{t}$ の和で、$t\to \frac{1}{t}$ と入れ替えても形が変わらない。

だから解 $t$ が見つかれば $\frac{1}{t}$ も解。$2$ 解は互いに逆数、つまり積が $1$ の関係。$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$ から $2t^2-5t+2=0$、解と係数の関係で積は $\frac{2}{2}=1$。確かに逆数ペア。実際 $t=2$ と $t=\frac{1}{2}$。

$x=2^t$ に戻すと $x=4$ と $x=\sqrt{2}$。この $2$ つは ${\log }_{2}x$ が逆数、すなわち $({\log }_2{x}_1)({\log }_2{x}_2)=1$。$t$ の $2$ 次方程式を解く本解と同じだが、「逆数の対称性」に気づくと解の構造が先に見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 対数の不等式。まず気をつけるのは真数条件。$\log$ の中身は正でなければならない。

$x-2>0$ かつ $x-4>0$ から $x>4$。この条件を最初に確保する。ここを飛ばすと答えを間違える。

次に左辺を ${\log }_3\{(x-2)(x-4)\}$ と $1$ つにまとめる。右辺は $1={\log }_{3}3$。底 $3>1$ だから、$\log$ の大小は真数の大小と同じ向き。真数どうしを比べればよい。

① 真数条件。 $x-2>0$ かつ $x-4>0$ より $x>4$。

② $1$ つにまとめて比べる。 左辺 $={\log }_3\{(x-2)(x-4)\}$、右辺 $1={\log }_{3}3$。底 $3>1$ だから

$$(x-2)(x-4)<3$$

③ $2$ 次不等式を解く。 $x^2-6x+8<3$、すなわち $x^2-6x+5<0$、$(x-1)(x-5)<0$ より $1<x<5$。

④ 共通範囲。 真数条件 $x>4$ と合わせて

$$4<x<5$$

まとめ:対数不等式は「真数条件 → まとめて比較 → 共通範囲」。真数条件 $x>4$ を先に押さえないと、$1<x<5$ をそのまま答える誤りに陥る。底 $3>1$ なので不等号はそのまま(底が $1$ 未満なら反転)。

発展。 対数不等式は「真数条件 → 底で向きを判断 → 真数の不等式」の三段が原則だ。底 $a$ が $0<a<1$ なら $\log$ は減少関数で、真数の不等号が逆転する。底が $1$ をまたぐかどうかで結論が反対になるので、底のチェックが命だ。

別解

別解:数直線で「$2$ つの条件の重なり」を見る(苦手な人向けの視覚ルート)。 この問題は $2$ つの条件を同時に満たす $x$ を探す。数直線で重ね合わせると分かりやすい。

条件$1$(真数条件):$\log$ の中身が正。$x-2>0$ かつ $x-4>0$、厳しいほうを取って $x>4$。条件$2$(不等式本体):$(x-2)(x-4)<3$ を展開すると $x^2-6x+5<0$、因数分解して $(x-1)(x-5)<0$、すなわち $1<x<5$。

数直線に $x>4$ と $1<x<5$ を並べ、両方が重なる部分を読む。重なりは $4<x<5$。左辺をまとめて ${\log }_{3}3$ と比べる本解と同じ。真数条件($x>4$)を先に数直線に置いておくと、うっかり $1<x\le 4$ を答えに含めるミスを防げる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 大きな数 $12^{20}$ の桁数と最高位を求める。実際に計算はできない。

桁数は常用対数($底10$)で分かる。${\log }_{10}N$ の整数部分に $1$ を足すと桁数。まず ${\log }_{10}12^{20}=20{\log }_{10}12$ を、$12=2^2\cdot 3$ を使って $2$ と $3$ の対数で計算する。

最高位は、$\log$ の小数部分 $\alpha$ から $10^{\alpha }$ が何と何の間かで決まる。

① 常用対数を計算する。 $12=2^2\cdot 3$ より

$${\log }_{10}12^{20}=20{\log }_{10}12=20(2{\log }_{10}2+{\log }_{10}3)=20(2\cdot 0.3010+0.4771)$$ $$=20(0.6020+0.4771)=20\cdot 1.0791=21.582$$

② 桁数。 整数部分は $21$ だから、桁数は

$$21+1=22\text{桁}$$

③ 最高位。 小数部分は $0.582$。${\log }_{10}3=0.4771$、${\log }_{10}4=2{\log }_{10}2=0.6020$ で

$$0.4771<0.582<0.6020⟹3<10^{0.582}<4$$

よって最高位の数字は $3$。

まとめ:桁数・最高位は「常用対数を整数部分 + 小数部分に分ける」。整数部分 $21$ → $22$ 桁。小数部分 $0.582$ を $\log 3,\log 4$ ではさんで最高位 $3$。$12=2^2\cdot 3$ の分解が計算の決め手だ。

発展。 桁数 $=\lfloor {\log }_{10}N\rfloor +1$、最高位 $=10^{\{{\log }_{10}N\}}$ の整数部($\{\cdot \}$ は小数部分)。${\log }_{10}N$ の整数部が「大きさの桁」、小数部が「先頭の数字の模様」を担う。ベンフォードの法則(自然界の数の最高位が $1$ に偏る)も、この小数部の分布から説明される。

別解

別解:$12^{20}=2^{40}\cdot 3^{20}$ と素因数で開く(得意な人向けの視点)。 $12=2^2\cdot 3$ だから $12^{20}=(2^2\cdot 3{)}^{20}=2^{40}\cdot 3^{20}$。

常用対数は積を和にほどく。

$${\log }_{10}12^{20}=40{\log }_{10}2+20{\log }_{10}3=40(0.3010)+20(0.4771)=12.040+9.542=\mathrm{21.582.}$$

整数部分 $21$ に $1$ を足して $22$ 桁。最高位は小数部分 $0.582$ で決まる。${\log }_{10}3=0.4771$、${\log }_{10}4=2{\log }_{10}2=0.6020$ だから $0.4771<0.582<0.6020$。よって $3<10^{0.582}<4$、最高位は $3$。

$12=2^2\cdot 3$ を「$1$ 個の因子」として $20(2\log 2+\log 3)$ とする本解と、$2^{40}\cdot 3^{20}$ に開くこの解は、掛ける順序が違うだけで同じ $21.582$。素因数の肩を先に $20$ 倍しておくと、$2$ と $3$ の対数がそのまま係数になって見通しがよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y=4^x-2^{x+2}+5$。指数がいくつも出てくるが、じつは全部 $2^x$ で書ける。

$4^x=(2^x{)}^2$、$2^{x+2}=4\cdot 2^x$。共通の $2^x$ が見える。そこで $t=2^x$ とおくと $y=t^2-4t+5$。見慣れた $2$ 次関数だ。

ただし $t=2^x$ は必ず正。$t>0$ の範囲で最小を調べることが大事だ。

① $2^x$ の式にそろえる。 $4^x=(2^x{)}^2$、$2^{x+2}=2^2\cdot 2^x=4\cdot 2^x$。$t=2^x$($t>0$)とおくと

$$y=t^2-4t+5$$

② 平方完成する。

$$y=(t-2{)}^2+1$$

③ 最小を決める。 頂点 $t=2$ は範囲 $t>0$ に入るので、$t=2$ で最小 $y=1$。このとき $2^x=2$ より $x=1$。

まとめ:指数の最大最小は「$t=2^x$ で $2$ 次関数化 + $t>0$ の範囲」。$4^x=(2^x{)}^2$、$2^{x+2}=4\cdot 2^x$ の書きかえが要。頂点 $t=2$ が $t>0$ に入るので、そのまま最小 $1$。もし頂点が範囲外なら端で最小になる。

発展。 $t=2^x$ のように「置き換えて$2$次関数に落とす」とき、置換後の変数の範囲($t>0$)を必ず引き継ぐ。頂点がその範囲の外なら、最小は端でとる。指数・対数・三角の最大最小は、この「置換 $+$ 変域」が共通の基本だ。

別解

別解:完全平方を一目で見抜く(得意な人向けの視点)。 $y=4^x-2^{x+2}+5$ を $2^x$ で書き直すと $y=(2^x{)}^2-4\cdot 2^x+5$。

$X^2-4X+5$ の形は、$X^2-4X+4=(X-2{)}^2$ に $+1$ したもの。つまり

$$y=(2^x-2{)}^2+1.$$

$2$ 乗は必ず $0$ 以上だから、$y\ge 1$。等号は $2^x-2=0$、すなわち $2^x=2$ で $x=1$ のとき。最小値は $1$。$t=2^x$ とおいて平方完成する本解と同じだが、$X^2-4X+5=(X-2{)}^2+1$ と完全平方をその場で見抜けば、置き換えの手続きなしに最小が読める。$2^x=2$ が解ける($x=1$)ので、頂点に確かに届く点も確認しておく。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $3^n>10^{100}$ を満たす最小の $n$。両辺とも巨大で直接は比べられない。

指数の肩の $n$ を下ろしたい。そのための道具が対数。両辺の常用対数をとる。

$\log$ は増加関数だから、$3^n>10^{100}$ と ${\log }_{10}{3}^n>{\log }_{10}10^{100}$ は同値。$n{\log }_{10}3>100$、すなわち $n>\frac{100}{{\log }_{10}3}$。これを超える最小の整数を探す。

① 常用対数をとる。 $3^n>10^{100}$ の両辺の常用対数をとると(${\log }_{10}$ は増加関数だから不等号はそのまま)

$$n{\log }_{10}3>100$$

② $n$ の範囲。

$$n>\frac{100}{{\log }_{10}3}=\frac{100}{0.4771}=209.6\cdots$$

③ 最小の整数。 $n>209.6\cdots$ を満たす最小の整数は $n=210$。

(確認:$209\times 0.4771=99.71<100$、$210\times 0.4771=100.19>100$。確かに $n=210$ で初めて超える。)

まとめ:指数不等式は「両辺の常用対数」で $n$ の $1$ 次不等式に。$n>\frac{100}{\log 3}=209.6$ を超える最小の整数 $210$。境界の $209,210$ で実際に確かめると安心。

発展。 ${\log }_{3}10=\frac{1}{{\log }_{10}3}$ は「底の入れ替えで対数は逆数になる」性質(${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$)。$10$ と $3$ の間を対数が橋渡しし、片方の値からもう片方が出る。大きな数を「小さい底の何乗か」で表すのは、対数の最も基本的な使い方だ。

別解

別解:$10^{100}$ を $3$ の累乗で書き直す(得意な人向けの視点)。 $3^n>10^{100}$ を「$10^{100}$ が $3$ の何乗か」で捉える。

$10=3^{{\log }_{3}10}$ だから $10^{100}=3^{100{\log }_{3}10}$。ここで ${\log }_{3}10=\frac{1}{{\log }_{10}3}=\frac{1}{0.4771}=2.0961\dots$。よって $10^{100}=3^{209.61\dots }$。

$3^n>3^{209.61\dots }$ となる最小の整数 $n$ は $210$。両辺の常用対数をとって $n>\frac{100}{{\log }_{10}3}$ とする本解と、指数を同じ底 $3$ にそろえるこの解は同じ。$3^n>3^{209.6}$ と底がそろえば、指数を比べるだけで $n\ge 210$ が見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ${\log }_{2}3=a$、${\log }_{3}5=b$ で ${\log }_{15}20$ を表す。底がバラバラ($2,3,15$)なのが難しさ。

方針は「底を $1$ つにそろえる」。ここでは $a$ が底 $2$ の対数なので、底を $2$ に統一する。${\log }_{15}20=\frac{{\log }_{2}20}{{\log }_{2}15}$。あとは $20=2^2\cdot 5$、$15=3\cdot 5$ と素因数分解する。

${\log }_{2}5$ は直接は与えられていないが、${\log }_{2}5={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}5=ab$(底の変換の連鎖)で作れる。

① 底を $2$ にそろえる。

$${\log }_{15}20=\frac{{\log }_{2}20}{{\log }_{2}15}$$

② 素因数分解する。 $20=2^2\cdot 5$、$15=3\cdot 5$ だから

$${\log }_{2}20={\log }_2(2^2\cdot 5)=2+{\log }_{2}5,{\log }_{2}15={\log }_2(3\cdot 5)={\log }_{2}3+{\log }_{2}5$$

③ ${\log }_{2}5$ を $a,b$ で。 ${\log }_{2}5={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}5=ab$。また ${\log }_{2}3=a$。よって

$${\log }_{2}20=2+ab,{\log }_{2}15=a+ab=a(1+b)$$

④ まとめる。

$${\log }_{15}20=\frac{2+ab}{a(1+b)}$$

まとめ:対数を文字で表すのは「共通の底にそろえて素因数分解」。底 $2$ にそろえ、$20=2^2\cdot 5$、$15=3\cdot 5$ を使う。${\log }_{2}5={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}5=ab$ という連鎖(底の変換)がつなぎ目になる。

発展。 ${\log }_{2}5={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}5$ は、底の変換公式 ${\log }_{a}c={\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c$。$2\to 3\to 5$ と橋を架けるように対数を連結できる。どんな底の対数も $1$ つの共通の底(自然対数など)に集約すれば四則で扱える、という自由度の高さが、この公式の利点だ。

別解

別解:底を $3$ にそろえる(別ルートで同じ答え)。 $a={\log }_{2}3$ は底 $2$、$b={\log }_{3}5$ は底 $3$。本解は底 $2$ に統一したが、底 $3$ に統一しても解ける。

$${\log }_{15}20=\frac{{\log }_{3}20}{{\log }_{3}15}.$$

${\log }_{3}20={\log }_3(2^2\cdot 5)=2{\log }_{3}2+{\log }_{3}5$。ここで ${\log }_{3}2=\frac{1}{{\log }_{2}3}=\frac{1}{a}$ だから ${\log }_{3}20=\frac{2}{a}+b$。${\log }_{3}15={\log }_3(3\cdot 5)=1+{\log }_{3}5=1+b$。よって

$${\log }_{15}20=\frac{\frac{2}{a}+b}{1+b}=\frac{2+ab}{a(1+b)}.$$

底 $2$ で ${\log }_{2}5=ab$ を使う本解と同じ式。どの底にそろえても答えは一致する。$b={\log }_{3}5$ が底 $3$ の対数なので、底 $3$ にそろえると $b$ がそのまま出て少し自然だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2^{100},3^{60},5^{40}$ の大小。指数が大きすぎて、そのままでは比べられない。

肩の数を下ろす道具は対数。それぞれの常用対数をとる。$\log$ は増加関数だから、対数の大小がそのまま元の数の大小になる。

${\log }_{10}2,{\log }_{10}3$ は与えられている。${\log }_{10}5={\log }_{10}\frac{10}{2}=1-{\log }_{10}2$ で作れる。

① それぞれの常用対数。

$${\log }_{10}{2}^{100}=100{\log }_{10}2=100\cdot 0.3010=30.10$$ $${\log }_{10}{3}^{60}=60{\log }_{10}3=60\cdot 0.4771=28.626$$ $${\log }_{10}{5}^{40}=40{\log }_{10}5=40(1-0.3010)=40\cdot 0.6990=27.96$$

② 大小を比べる。 $30.10>28.626>27.96$ だから、$\log$ の大小より

$$2^{100}>3^{60}>5^{40}$$

まとめ:大きな累乗の大小は「常用対数をとって数値比較」。$\log$ は増加関数なので対数の大小 = 元の大小。${\log }_{10}5=1-{\log }_{10}2$ で $\log 5$ を作るのが小技。指数を下ろすことで、桁の違う数どうしが横並びで比べられる。

発展。 指数に共通の約数があれば、その乗根でそろえて底を比べるのが最速(対数表いらず)。$2^5=32,3^3=27,5^2=25$ のように小さな数の比較に落ちる。指数がそろわないときだけ対数を使う、と使い分けると計算が軽い。

別解

別解:指数の最大公約数でそろえる(対数を使わないルート)。 指数 $100,60,40$ の最大公約数は $20$。$20$ 乗の形にそろえて、中身(底)だけを比べる。

$$2^{100}=(2^5{)}^{20}=32^{20},3^{60}=(3^3{)}^{20}=27^{20},5^{40}=(5^2{)}^{20}=25^{20}.$$

肩はすべて $20$ でそろった。$20$ 乗は増加だから、底の大小がそのまま。$32>27>25$ なので

$$32^{20}>27^{20}>25^{20},\text{すなわち}{2}^{100}>3^{60}>5^{40}.$$

常用対数をとる本解と同じ順序。指数に共通の約数があるときは、その乗根でそろえると $2^5,3^3,5^2$ という小さな数の比較に落ち、対数表なしで決着する。