指数関数・対数関数 実戦編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2^{1000}$ を計算するのは論外。「桁数」を聞かれたら常用対数だ。

理由は桁数の仕組みにある。3桁の数は $10^2$ 以上 $10^3$ 未満、つまり常用対数が $2$ 台。一般に、桁数は「常用対数の整数部分 $+1$」で決まる。

だから ${\log }_{10}{2}^{1000}=1000{\log }_{10}2$ を計算し、整数部分を読めばよい。指数の $1000$ が対数では掛け算の $1000$ 倍に降りてくる。

① 常用対数をとる。 $${\log }_{10}(2^{1000})=1000{\log }_{10}2=1000\times 0.3010=\mathrm{301.0.}$$ ② 桁数。 整数部分は $301$ なので $$\text{桁数}=301+1=302.$$ (実際 $2^{1000}\approx 1.07\times 10^{301}$ で $302$ 桁。)

まとめ ${\log }_{10}(2^{1000})=301.0$、桁数 $=\lfloor 301.0\rfloor +1=302$ 桁。常用対数と桁数の融合。指数を対数で「大きさの位取り」に変えれば解ける。

発展。 ${\log }_{10}{2}^{1000}=301.03$ の小数部分 $0.03$ は、最高位の数字を教える。$10^{0.03}\approx 1.07$ だから $2^{1000}=1.07\times 10^{301}$、先頭は $1$(実際 $10715\cdots$ で始まる)。整数部分が桁数を、小数部分が最高位を決める。常用対数を見れば、大きな数のおおよその位置がすべて分かる。

別解

別解:$2^{10}=1024$ で見積もる(得意な人向けの高い視点)。 対数表がなくても、$2^{10}=1024$ という常識から桁数は見積もれる。

$$2^{1000}=(2^{10}{)}^{100}=1024^{100}=10^{300}\times 1.024^{100}.$$

補正係数 $1.024^{100}$ の大きさを測る。$1.024^{100}$ は「$2.4\%$ の複利を $100$ 回」で、およそ $10.7$ 倍になる(${\log }_{10}1.024\approx 0.0103$ より $10^{1.03}$)。

$$2^{1000}\approx 10.7\times 10^{300}=1.07\times 10^{301}.$$

$10^{301}$ 台の数だから $302$ 桁。しかも先頭の数字が $1$ であることまで見える(実際、$2^{1000}=10715\cdots$ で始まる)。「$1024\approx 10^3$ のずれ $2.4\%$ が $100$ 回でひと桁分たまる」という概算は、対数の計算の検算として役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $4^x$ と $2^x$ が混ざっている。底をそろえると $4^x=(2^x{)}^2$、$2^{x+1}=2\cdot 2^x$ となり、すべて $2^x$ のかたまりで書ける。

そこで $t=2^x$ とおく。不等式は $t^2-6t+8\le 0$ という、ただの2次不等式になる。置換したら範囲に注意。$t=2^x$ は常に正だ。$t$ の範囲を解いたら、最後に指数関数の単調性で $x$ の範囲へ戻す。

① 置換。 $t=2^x$($t>0$)とおくと $$t^2-3\cdot 2t+8\le 0⟹t^2-6t+8\le 0.$$ ② $2$ 次不等式。 $(t-2)(t-4)\le 0\Rightarrow 2\le t\le 4$($t>0$ を満たす)。

③ $x$ に戻す。 $2\le 2^x\le 4$、すなわち $2^1\le 2^x\le 2^2$。$2^x$ は単調増加だから $$1\le x\le 2.$$

まとめ $t=2^x$ で $t^2-6t+8\le 0$、$2\le t\le 4$ を $x$ に戻して $1\le x\le 2$。指数不等式と $2$ 次不等式の融合。単調性で不等号を保つのが要。

発展。 底を $\frac{1}{2}$ に変えた ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ の同じ不等式では、$2\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^x\le 4$ を戻す最後の一手で不等号が反転し、解は $-2\le x\le -1$ になる。置換と2次不等式は同じでも、「戻し」の単調性(増加か減少か)だけが答えの向きを決める。

別解

別解:値の表で当たりをつけてから証明する(苦手な人向け)。 いきなり置換せず、左辺 $f(x)=4^x-3\cdot 2^{x+1}+8$ に整数を入れて表を作ってみる。

• $f(0)=1-6+8=3>0$
• $f(1)=4-12+8=0$
• $f(1.5)=16-12\sqrt{2}\approx -0.97<0$
• $f(2)=16-24+8=0$
• $f(3)=64-48+8=24>0$

$x=1$ と $x=2$ でちょうど $0$ になり、間で負、外で正になる。解は $1\le x\le 2$ らしい、と見当がつく。

見当がつけば、あとは証明だ。$t=2^x$ の置換で $(t-2)(t-4)\le 0$ と因数分解できることから、表の「ちょうど $0$ になる2点」($t=2,4$、つまり $x=1,2$)が現れた理由が分かる。実験 → 構造の発見 → 証明、の順で進むと置換の意味がよく見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 底がバラバラの対数の積。まず全部を同じ底にそろえたくなる。

底の変換公式で ${\log }_k(k+1)=\frac{\log (k+1)}{\log k}$(底は何でもよい)。すると積は

分数の鎖 $\frac{\log 3}{\log 2}\cdot \frac{\log 4}{\log 3}\cdot \frac{\log 5}{\log 4}\cdots$ になり、分子と分母が隣どうしで消えていく(望遠鏡)。残るのは最初の分母と最後の分子だけだ。

① 共通の底にそろえる。 各因数を自然対数で書くと $$\prod _{k=2}^{31}{\log }_k(k+1)=\frac{\log 3}{\log 2}\cdot \frac{\log 4}{\log 3}\cdot \frac{\log 5}{\log 4}\cdots \frac{\log 32}{\log 31}.$$ ② 望遠鏡積。 分子の $\log 3,\log 4,\dots ,\log 31$ が次の分母と打ち消し合い、残るのは $$\frac{\log 32}{\log 2}={\log }_{2}32.$$ ③ 値。 $32=2^5$ より ${\log }_{2}32=5$。

まとめ底の変換で $\frac{\log (k+1)}{\log k}$ の積 → 望遠鏡で両端だけ残り ${\log }_{2}32=5$。底の変換と望遠鏡積の融合。

発展。 「乗数の合成」${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$ は底の変換公式の本体である。この連鎖の構造は微分の連鎖律 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ とよく似ている。「変化率の乗り継ぎ」と「乗数の乗り継ぎ」は同じ発想だ。

別解

別解:「何乗するか」の連鎖で読む(苦手な人向け)。 ${\log }_{2}3$ とは「$2$ を何乗すると $3$ になるか」という数だ。

$2^a=3$、$3^b=4$ とすると、$2$ を $a$ 乗して $3$、その $3$ を $b$ 乗して $4$。つまり $2^{ab}=(2^a{)}^b=3^b=4$ となり、乗数は掛け算で合成される。この連鎖を最後までつなぐ。$2\to 3\to 4\to \cdots \to 32$ と乗り継ぐと、乗数の総積は「$2$ を何乗すると $32$ になるか」、すなわち ${\log }_{2}32$ に等しい。

$${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4\cdots {\log }_{31}32={\log }_{2}32=5.$$

底の変換公式(本解)を使わずに、「対数=乗数」の定義だけで着地した。分数の約分に見えた望遠鏡の形は、乗り継ぎの合成を表していたのである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $8^x=(2^x{)}^3$。つまり聞かれているのは、$a=2^x$、$b=2^{-x}$ とおいたときの $a^3+b^3$ だ。

$a+b=3$ は与えられている。そして $ab=2^x\cdot 2^{-x}=1$ となる。積が自動的に $1$ になるのが、この形のいちばんの利点である。

和と積が分かれば、対称式は全部計算できる。$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$ に流し込むだけだ。

① $3$ 乗の和に。 $8^x+8^{-x}=(2^x{)}^3+(2^{-x}{)}^3=a^3+b^3$($a=2^x,b=2^{-x}$)。

② 対称式で表す。 $a+b=3$、$ab=2^x\cdot 2^{-x}=1$。 $$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=3^3-3\cdot 1\cdot 3=27-9=18.$$

まとめ $8^x+8^{-x}=a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=27-9=18$($ab=1$)。指数と対称式の融合。$8^x=(2^x{)}^3$ と $ab=1$ が要。

発展。 $2^x$ の値も求まる。$a+b=3,ab=1$ から $a=2^x$ は $u^2-3u+1=0$ の解 $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$。大きい方は黄金比 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ の2乗である(${\phi }^2=\phi +1$ から確かめられる)。対称式の問題の裏に、黄金比がひっそり座っていた。

別解

別解:漸化式で次々に作る(得意な人向けの高い視点)。 $p_n=2^{nx}+2^{-nx}$ とおくと、$t=p_1=3$ を掛けることで

$$p_1\cdot p_n=p_{n+1}+p_{n-1}⟹p_{n+1}=3p_n-p_{n-1}.$$

($2^x\cdot 2^{nx}=2^{(n+1)x}$ と $2^x\cdot 2^{-nx}=2^{-(n-1)x}$ の交差項が $p_{n-1}$ になる。)初期値 $p_0=2$、$p_1=3$ から回すと

$$p_2=3\cdot 3-2=7,p_3=3\cdot 7-3=18.$$

$8^x+8^{-x}=p_3=18$。しかも途中で $4^x+4^{-x}=p_2=7$ もタダで手に入る。この漸化式は $x+\frac{1}{x}$ の対称式とまったく同じ構造で、$16^x+16^{-x}=3\cdot 18-7=47$ と、いくらでも先へ進める。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ${\log }_{2}x$ が2か所に現れる。同じかたまりは1文字にするのが基本で、$t={\log }_{2}x$ とおく。

置換したら、範囲の置き換えを忘れない。$1\le x\le 8$ は $t={\log }_{2}x$ の単調増加により $0\le t\le 3$ に写る。あとは閉区間上の2次関数 $y=t^2-2t$ の最大最小。平方完成して頂点と端点を見比べ、最後に $t$ を $x$ に戻して答える。

① 置換と範囲。 $t={\log }_{2}x$ とおく。$x=1\Rightarrow t=0$、$x=8\Rightarrow t=3$。${\log }_{2}x$ は単調増加だから $0\le t\le 3$。

② $2$ 次関数に。 $$y=t^2-2t=(t-1{)}^2-1.$$ 下に凸、頂点 $t=1$(範囲内)。

③ 最大・最小。

• 最小:頂点 $t=1$(=$x=2$)で $y=-1$。
• 最大:頂点から遠い端 $t=3$(=$x=8$)で $y=9-6=3$($t=0$ では $y=0$)。

よって最大値 $3$($x=8$)、最小値 $-1$($x=2$)。

まとめ $t={\log }_{2}x$ で $0\le t\le 3$、$y=(t-1{)}^2-1$。最小 $-1$($x=2$)、最大 $3$($x=8$)。対数(置換)と $2$ 次関数の融合。範囲の変換を忘れない。

発展。 「零点の相乗平均が最小点」は偶然ではない。$y={\log }_{2}x\cdot {\log }_2\frac{x}{4}$ は $x\to \frac{4}{x}$ の置き換えで不変(2つの因数が入れ替わるだけ)で、この対称の中心が $x=2$。ふつうの放物線の「軸対称」は、対数を通すと「逆数型の対称」に変わる。

別解

別解:積の形にして「零点の相乗平均」を見る(得意な人向けの高い視点)。 $y$ を因数分解してみる。

$$y=({\log }_{2}x)({\log }_{2}x-2)={\log }_{2}x\cdot {\log }_2\frac{x}{4}.$$

$y=0$ となるのは $x=1$ と $x=4$。放物線(の対数版)の対称軸はこの2つの零点の「真ん中」にある。ただし対数の目盛りでの真ん中だから、算術平均でなく相乗平均 $\sqrt{1\cdot 4}=2$。実際、最小は $x=2$ で起きている($t$ で見たときの軸 $t=1$ は $x=2^1$)。

ふつうの放物線の軸が零点の算術平均であるのに対し、$\log$ を通した放物線の軸は零点の相乗平均になる。「対数は掛け算を足し算に変える」という性質が、最大最小の位置にまで現れている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $3^{44}$ と $4^{33}$ と $5^{22}$ のように、指数も底も違う大きな数は、そのままでは比べられない。

大小比較では、常用対数をとるのが基本だ。$\log$ は単調増加だから、対数の大小がそのまま元の数の大小になる。指数が前に降りて $44\log 3$、$33\log 4=66\log 2$、$22\log 5=22(1-\log 2)$。与えられた $2$ つの値だけで全部が数値になる。

① 対数をとる。 $$\log 3^{44}=44\log 3=44\times 0.4771=20.99,$$ $$\log 4^{33}=33\log 4=33\times 2\log 2=66\times 0.3010=19.87,$$ $$\log 5^{22}=22\log 5=22\times (1-0.3010)=22\times 0.6990=\mathrm{15.38.}$$ ② 大小。 $20.99>19.87>15.38$。対数は単調増加だから元の数も同じ順。 $$3^{44}>4^{33}>5^{22}.$$

まとめ常用対数をとって $20.99,19.87,15.38$、よって $3^{44}>4^{33}>5^{22}$。大小比較と常用対数の融合。$\log 4=2\log 2,\log 5=1-\log 2$ の書き換えが要。

発展。 「指数の公約数でくくる」と「対数をとる」は同じことの2つの表し方だ。$a^x$ と $b^y$ の比較は $x\log a$ と $y\log b$ の比較で、$x,y$ を公約数 $d$ でくくるのは対数の両辺を $d$ で割ることに当たる。きれいにくくれるときは指数で比べ、くくれない一般の場合は対数で比べる、と使い分ける。

別解

別解:対数を使わず、指数を $11$ でそろえる(得意な人向けの短いルート)。 指数 $44,33,22$ の最大公約数は $11$。そこで全部を「$11$ 乗」の形にくくる。

$$3^{44}=(3^4{)}^{11}=81^{11},4^{33}=(4^3{)}^{11}=64^{11},5^{22}=(5^2{)}^{11}=25^{11}.$$

同じ $11$ 乗どうしなら、中身の大小がそのまま全体の大小($x^{11}$ は正の範囲で単調増加)。

$$81>64>25⟹3^{44}>4^{33}>5^{22}.$$

対数表なし・計算ほぼゼロで順位が確定する。指数の公約数をくくる手は、大小比較でまず最初に試す価値がある。対数(本解)は公約数がないときの一般兵器だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $0.9$ を何回掛けたら $\frac{1}{100}$ を下回るか。回数 $n$ が指数の位置にいるから、対数で引きずり下ろす。

両辺の常用対数をとると $n\log 0.9<-2$。ここで最大の注意点がある。$\log 0.9$ は負だ。

負の数で割ると不等号の向きが反転する。$n>\frac{2}{0.0458}$ と正しく向きを変え、これを超える最小の自然数を選ぶ。

① 対数をとる。 $0.9^n<0.01=10^{-2}$ の両辺の常用対数をとると $$n\log 0.9<-2.$$ ② $\log 0.9$ を数値化。 $\log 0.9=\log \frac{9}{10}=\log 9-1=2\log 3-1=2\times 0.4771-1=-0.0458$。

③ $n$ を求める。 $-0.0458n<-2$。両辺を負の $-0.0458$ で割ると不等号が反転し $$n>\frac{2}{0.0458}=43.6\dots .$$ これを満たす最小の自然数は $n=44$。

まとめ $\log 0.9=-0.0458<0$、$n\log 0.9<-2$ を反転して $n>43.6$、最小 $n=44$。指数不等式と常用対数の融合。負の対数で不等号が反転するのを忘れない。

発展。 $0.9$ 倍の繰り返しは「減衰」であり、半分になるまでの回数(半減期)は $\frac{\log 0.5}{\log 0.9}\approx 6.6$ 回。$\frac{1}{100}$ は半分を約 $6.64$ 回重ねた量($2^{6.64}\approx 100$)だから、$6.6\times 6.64\approx 44$ 回となり、同じ答えになる。放射性物質の崩壊や薬の血中濃度など、減衰現象はみなこの計算で読める。

別解

別解:分数をなくしてから対数をとる(符号ミスを防ぐルート)。 $\log 0.9$ が負であることが、この問題でいちばん間違えやすいところだ。そこで、負の対数が出ない形に先に直す。

$$0.9^n<\frac{1}{100}⟺{\left(\frac{9}{10}\right)}^n<\frac{1}{100}⟺9^n\cdot 100<10^n⟺9^n<10^{n-2}.$$

両辺とも $1$ より大きい数のべきになった。常用対数をとると

$$2n{\log }_{10}3<n-2⟺n(1-2{\log }_{10}3)>2⟺n>\frac{2}{1-0.9542}=\frac{2}{0.0458}=43.6\cdots$$

よって最小の $n$ は $44$。移項の途中で負の数で割る場面が消え、不等号の反転を一度も使わずに済んだ。検算として $0.9^{43}\approx 0.0107>0.01$、$0.9^{44}\approx 0.0097<0.01$ も成り立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 指数の位置に ${\log }_{10}x$ が乗っている異形の方程式。指数にある対数を降ろすには、両辺の対数をとるのが基本だ。

左辺は $\log (x^{\log x})=({\log }_{10}x{)}^2$ と、対数の2乗が現れる。右辺は $\log 1000+2{\log }_{10}x=3+2{\log }_{10}x$。$t={\log }_{10}x$ とおけば $t^2=3+2t$、ただの2次方程式である。$t$ の各解を $x=10^t$ に戻して仕上げる。

① 両辺の対数をとる。 $x>0$ で $${\log }_{10}(x^{{\log }_{10}x})={\log }_{10}(1000x^2)⟹({\log }_{10}x{)}^2=3+2{\log }_{10}x.$$ ② $2$ 次方程式に。 $t={\log }_{10}x$ とおくと $$t^2=3+2t⟹t^2-2t-3=0⟹(t-3)(t+1)=0,$$ $t=3$ または $t=-1$。

③ $x$ に戻す。 ${\log }_{10}x=3\Rightarrow x=10^3=1000$、${\log }_{10}x=-1\Rightarrow x=10^{-1}=\frac{1}{10}$。どちらも $x>0$ を満たす。

まとめ両辺の対数で $(\log x{)}^2=3+2\log x$、$t=\log x$ で $t^2-2t-3=0$、$x=1000,\frac{1}{10}$。対数方程式と $2$ 次方程式の融合。対数をとって肩を下ろせば解ける。

発展。 $y=x^{{\log }_{10}x}$ は ${\log }_{10}y=({\log }_{10}x{)}^2$、つまり両軸を対数目盛りにしたグラフ(両対数グラフ)の上では放物線になる。データ解析で両対数プロットで直線や放物線が現れるのは、この「指数・べきの構造が対数で多項式になる」仕組みそのものである。

別解

別解:$x=10^t$ の指数表示で書き換える(得意な人向けの短いルート)。 「対数をとる」代わりに、最初から $x=10^t$ と指数の形で書いてしまう($x>0$ なので必ず書ける)。

左辺は

$$x^{{\log }_{10}x}=(10^t{)}^t=10^{t^2}.$$

右辺は $1000x^2=10^3\cdot 10^{2t}=10^{3+2t}$。$10$ のべきどうしが等しいから指数を比べて

$$t^2=3+2t⟺(t-3)(t+1)=0⟺t=3,-1.$$

$x=10^3=1000$ と $x=10^{-1}=\frac{1}{10}$。検算すると $1000^3=10^9=1000\cdot 1000^2$、$0.1^{-1}=10=1000\cdot 0.01$ でどちらも成立。「両辺の対数をとる」(本解)と「両辺を $10$ のべきで書く」(この解)は同じことの表裏だが、指数表示は $\log$ の入れ子を書かずに済む分、式が軽い。