指数関数・対数関数 ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2^x$ と $2^{-x}$ は掛けると $1$ になる。逆数どうしだ。

この対称性を使う。与式を $2$ 乗すれば $4^x+4^{-x}$、$3$ 乗すれば $8^x+8^{-x}$ が現れる。「和の分かった逆数ペアは、$2$ 乗・$3$ 乗の展開で高次の和が出せる」。対称式の発想がそのまま使える。

① 逆数の関係を確認する。 $2^x\cdot 2^{-x}=2^{x-x}=2^0=1$。

(1) 与式を $2$ 乗する。まん中の項は $2\cdot 2^x\cdot 2^{-x}=2$。

$$(2^x+2^{-x}{)}^2=4^x+2\cdot 2^x{2}^{-x}+4^{-x}=4^x+4^{-x}+2$$

左辺は $3^2=9$ なので

$$9=4^x+4^{-x}+2\Rightarrow 4^x+4^{-x}=7$$

(2) 与式を $3$ 乗する。$(a+b{)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ で $ab=1$。

$$(2^x+2^{-x}{)}^3=8^x+8^{-x}+3\cdot 1\cdot (2^x+2^{-x})$$

左辺は $3^3=27$、右端の $(2^x+2^{-x})=3$ なので

$$27=8^x+8^{-x}+3\times 3\Rightarrow 8^x+8^{-x}=27-9=18$$

まとめ:$2^x$ と $2^{-x}$ は積が $1$ の逆数ペア。「和が分かっているとき $2$ 乗・$3$ 乗で高次の和が出る」対称式の技がそのまま使える。

発展。 $s_n=2^{nx}+2^{-nx}$ とおくと、この量は $1$ 本の漸化式で次々に決まる。

$2^x$ と $2^{-x}$ は積が $1$ なので $s_{n+1}=(2^x+2^{-x})s_n-s_{n-1}=3s_n-s_{n-1}$ が成り立つ。$s_0=2$、$s_1=3$ から $s_2=7$、$s_3=18$、$s_4=47$ と、割り算も展開もなしに芋づる式で出る。

和 $c$ をもつ逆数ペアの高次和は、$2\cos n\theta$ が満たすのと同じ形の三項間漸化式 $a_{n+1}=c{a}_n-a_{n-1}$ に乗る。$1$ つの対称式から無限個の高次和が生まれる、チェビシェフ多項式に通じる構造だ。

別解

別解:$2^x$ を実際に求めてしまう(苦手な人向けの直球ルート)。 $u=2^x$ とおくと $2^{-x}=\frac{1}{u}$。与式は $u+\frac{1}{u}=3$。

分母を払うと $u^2-3u+1=0$。解の公式で $u=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$。$2^x>0$ なのでどちらでもよく、大きいほうを $u$、小さいほうが $\frac{1}{u}$ にあたる。

あとは求める量を $u$ で書く。$4^x+4^{-x}=u^2+\frac{1}{u^2}$、$8^x+8^{-x}=u^3+\frac{1}{u^3}$。$u=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ を入れると $u^2=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$、$\frac{1}{u^2}=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ で和は $7$。$u^3=9+4\sqrt{5}$、$\frac{1}{u^3}=9-4\sqrt{5}$ で和は $18$。

$$4^x+4^{-x}=7,8^x+8^{-x}=18.$$

$ab=1$ の対称式として展開だけで済ませる本解と同じ答え。「$2^x$ の具体的な値を出してから代入する」ぶん計算は増えるが、何をしているかが分かりやすい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 底が違う ${\log }_{2}3$ と ${\log }_{3}5$ は、直接には比べにくい。

そこで、あいだに『ものさし $\frac{3}{2}$』を $1$ 本入れる。両者をそれぞれ $\frac{3}{2}$ と比べるのだ。片方が $\frac{3}{2}$ より大きく、もう片方が $\frac{3}{2}$ より小さいと言えれば決着する。「直接比べられない $2$ 数は、中間の基準ではさむ」というはさみこみの発想が核だ。

① ${\log }_{2}3$ と $\frac{3}{2}$ を比べる。 ${\log }_{2}3>\frac{3}{2}$ は、両辺を $2$ の指数にして $3>2^{\frac{3}{2}}$ と同じ。

$$2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}=2\times 1.41\dots =2.83\dots <3$$

よって ${\log }_{2}3>\frac{3}{2}$。

② ${\log }_{3}5$ と $\frac{3}{2}$ を比べる。 ${\log }_{3}5<\frac{3}{2}$ は $5<3^{\frac{3}{2}}$ と同じ。

$$3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt{3}=3\times 1.73\dots =5.19\dots >5$$

よって ${\log }_{3}5<\frac{3}{2}$。

③ はさみこむ。 ①②より

$${\log }_{3}5<\frac{3}{2}<{\log }_{2}3\Rightarrow {\log }_{2}3>{\log }_{3}5$$

まとめ:底がそろわない対数の大小は、$\frac{3}{2}$ のような「きりのいい基準値」を1本はさむ。$\log$ の不等式は「$a^p$ と真数」の比較に直すと確かめられる。

発展。 ${\log }_{a}M$ と分数 $\frac{p}{q}$ の大小は、じつは小数も根号も使わずに決められる。

${\log }_{a}M\gtrless \frac{p}{q}$ は両辺を $q$ 乗して $M^q\gtrless a^p$ という整数どうしの比較になる($a>1$)。本問なら ${\log }_{2}3>\frac{3}{2}⟺3^2>2^3⟺9>8$、${\log }_{3}5<\frac{3}{2}⟺5^2<3^3⟺25<27$。$2\sqrt{2}$ や $3\sqrt{3}$ の近似を持ち出さなくても、$9>8$ と $25<27$ という整数の一目で済む。これが「きりのいい分数のものさしを入れる」技の本体だ。

別解

別解:分数に直してたすき掛けする(得意な人向けの視点)。 底の変換で両方を同じ底 $10$ に直す。${\log }_{2}3=\frac{{\log }_{10}3}{{\log }_{10}2}$、${\log }_{3}5=\frac{{\log }_{10}5}{{\log }_{10}3}$。

$2$ つの分数の大小はたすき掛けで積の比較になる。どちらの分母も正だから

$${\log }_{2}3\gtrless {\log }_{3}5⟺({\log }_{10}3{)}^2\gtrless {\log }_{10}2\cdot {\log }_{10}5.$$

常用対数の概算 ${\log }_{10}2\approx 0.30$、${\log }_{10}3\approx 0.48$、${\log }_{10}5\approx 0.70$ を入れると、左は $0.48^2=0.2304$、右は $0.30\times 0.70=0.21$。左が大きいので ${\log }_{2}3>{\log }_{3}5$。中間のものさしではさむ本解と同じ結論だ。常用対数の値を覚えていれば、大小は積の比較 $1$ 回で片づく。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $t=2^x$ とおけば $2$ 次関数に直せそうだ。

ただし $2^{x+2}=4\cdot 2^x=4t$ の変形を落とさないように注意する。指数の $+2$ は係数 $4$ となって外に出る。あとは $x$ の範囲を $t$ の範囲に移し、放物線として頂点と両端で最大最小を調べればよい。

① $t=2^x$ で2次関数にする。 $4^x=(2^x{)}^2=t^2$、$2^{x+2}=4\cdot 2^x=4t$。

$$y=t^2-4t+5=(t-2{)}^2+1$$

② $t$ の範囲を出す。 $2^x$ は増加関数なので $0\leqq x\leqq 3$ から

$$2^0\leqq t\leqq 2^3,\text{つまり}1\leqq t\leqq 8$$

③ 放物線で読む。 頂点 $t=2$(範囲内)で最小、頂点から遠い端 $t=8$ で最大。

$$\text{最小}(t=2):y=1,\text{最大}(t=8):y=64-32+5=37$$

④ $x$ に戻す。 $t=2$ は $x=1$、$t=8$ は $x=3$。

$$\text{最大値 }37(x=3),\text{最小値 }1(x=1)$$

まとめ:$2^{x+2}$ のような「ずれた指数」は $4\cdot 2^x$ と分けて $t$ に直す。あとは $t$ の範囲を出して放物線、が指数の最大最小の型だ。

発展。 置換で $y=(t-2{)}^2+1$ という上に開いた放物線になった。上に開いた放物線を閉区間で見るとき、最大は必ず「軸から遠いほうの端」で起こる。

一般に $y=a(t-p{)}^2+q$($a>0$)を $\alpha \le t\le \beta$ で調べると、最小は軸 $t=p$ が区間に入ればそこ、外れれば近い端。最大はつねに軸から遠い端だ。本問は軸 $t=2$ が区間 $[1,8]$ に入り、遠い端は $t=8$ だった。

もし両端が軸から等距離なら、最大は両端の $2$ か所で同時に起こる。「頂点の位置」だけでなく「区間が軸に対してどう乗るか」が、最大最小の場所を決める。

別解

別解:値を追って山の形をつかむ(苦手な人向けの実験ルート)。 難しく考えず、$x$ をいくつか入れて $y$ の動きを見る。

$x=0,1,2,3$ で $y=4^x-2^{x+2}+5$ を計算すると、順に $2,1,5,37$。$x$ が増えると $y$ は一度 $2\to 1$ と下がり、そのあと $1\to 5\to 37$ と上がり続ける。

谷が $1$ つだけな理由は、$t=2^x$ が $x$ とともに着実に増え、$y=(t-2{)}^2+1$ が $t=2$(つまり $x=1$)で $1$ 回だけ向きを変えるからだ。左では下がり、右では上がる。折り返しは一度きり。

だから最も低いのは谷底の $x=1$ で $y=1$、最も高いのは右端 $x=3$ で $y=37$。放物線の頂点と端を読む本解と同じ答えに、値を追うだけでたどり着く。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 底が $2,4,8$ とバラバラで、そのままでは足せない。

そこで底の変換を使い、全部を底 $2$ にそろえる。真数も $9=3^2$、$27=3^3$ と直す。すると各項が ${\log }_{2}3$ の何倍かで表せる。「底も真数も統一すれば、$1$ つの量の定数倍に集約される」という発想だ。

① 第2項を底 $2$ に直す。 ${\log }_{4}9=\frac{{\log }_{2}9}{{\log }_{2}4}=\frac{2{\log }_{2}3}{2}={\log }_{2}3$。

② 第3項を底 $2$ に直す。 ${\log }_{8}27=\frac{{\log }_{2}27}{{\log }_{2}8}=\frac{3{\log }_{2}3}{3}={\log }_{2}3$。

③ 足し合わせる。 3項とも ${\log }_{2}3$ になった。

$${\log }_{2}3+{\log }_{2}3+{\log }_{2}3=3{\log }_{2}3={\log }_{2}27$$

まとめ:${\log }_{4}9$ や ${\log }_{8}27$ は底も真数も「$2$ の累乗・$3$ の累乗」でそろう。底の変換をすると係数がきれいに約分され、全部 ${\log }_{2}3$ にまとまる。

発展。 本問がきれいにそろったのは、底 $2^k$ と真数 $3^k$ が同じ指数 $k$ を持っていたからだ。

もし真数の指数がそろわないと、こうはならない。たとえば ${\log }_{2}3+{\log }_{4}3+{\log }_{8}3$ は、底だけが $2,2^2,2^3$ なので ${\log }_{2}3\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{6}{\log }_{2}3$ となる。底が $2^k$ になるたび係数 $\frac{1}{k}$ が外へ出るからだ。

本問では真数側の $3^k$ がその $\frac{1}{k}$ をちょうど打ち消し、どの項も ${\log }_{2}3$ まるまるに戻った。「底と真数を同じ指数で持ち上げても対数は変わらない」という不変性が働いている。

別解

別解:対数の定義に戻って読む(得意な人向けの視点)。 ${\log }_{2}3=u$ とおく。定義より $2^u=3$。この $u$ で各項を読む。

${\log }_{4}9$ は「$4$ を何乗すると $9$ か」。$4^p=9$ とおくと $2^{2p}=3^2=(2^u{)}^2=2^{2u}$。指数を比べて $p=u$。

${\log }_{8}27$ も同じ。$8^q=27$ から $2^{3q}=3^3=2^{3u}$、よって $q=u$。$3$ 項はすべて $u={\log }_{2}3$。和は $3u=3{\log }_{2}3={\log }_{2}27$。底の変換の分数計算をする本解と同じで、定義に戻ると「底と真数を同じ指数にそろえた対数は等しい」という理由まで見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $6^{20}$ そのものは巨大で書き出せない。だが常用対数 ${\log }_{10}{6}^{20}$ なら手が届く。

その整数部分から桁数が読める。小数部分からは最高位の数字が読める。最高位 $d$ は ${\log }_{10}d\leqq (\text{小数部})<{\log }_{10}(d+1)$ で決まる。「整数部=桁数、小数部=最高位」という二重の情報を使い分けるのが発想だ。

① ${\log }_{10}{6}^{20}$ を求める。 ${\log }_{10}6={\log }_{10}2+{\log }_{10}3=0.3010+0.4771=0.7781$。

$${\log }_{10}{6}^{20}=20\times 0.7781=15.562$$

② 桁数を出す。 整数部分は $15$ なので

$$\text{桁数}=15+1=16$$

③ 最高位を出す。 小数部分は $f=0.562$。$6^{20}=10^{15}\times 10^{0.562}$ なので、先頭の数字は $10^{0.562}$ で決まる。${\log }_{10}3=0.4771$、${\log }_{10}4=2{\log }_{10}2=0.6020$ と比べる。

$${\log }_{10}3=0.4771\leqq 0.562<0.6020={\log }_{10}4$$

よって $3\leqq 10^{0.562}<4$、最高位の数字は $3$。

まとめ:桁数は整数部分 $+1$、最高位は小数部分 $f$ を ${\log }_{10}d$ たちと比べる。$10^f$ が $3$ 台なら先頭は $3$。整数部と小数部を役割分担で読むのがポイントだ。

発展。 小数部分は最高位の $1$ 桁だけでなく、その先の数桁も握っている。

本問の小数部分は $0.562$。$10^{0.562}\approx 3.65$ だから、最高位は $3$、しかも次の桁まで見れば $6^{20}$ は $36\dots$ で始まると分かる(実際 $6^{20}=3656\dots$)。$10^{(\text{小数部})}$ の値そのものが、先頭から数桁分の数字を表している。

いっぽう整数部分は桁数、すなわち大きさの規模だけを担う。${\log }_{10}N$ を整数部と小数部に割ると、規模と先頭の模様がきれいに分業される。

別解

別解:実際にざっと計算してしまう(苦手な人向けの直球ルート)。 対数を使わず、$6^{20}$ の大きさを直に見積もる。

$6^{20}=(6^{10}{)}^2$ だから、まず $6^{10}$ を出す。$6^5=7776$ なので $6^{10}=7776^2=60466176$。これは約 $6.05\times 10^7$。

$2$ 乗すると $6^{20}\approx (6.05\times 10^7{)}^2=36.6\times 10^{14}=3.66\times 10^{15}$。$3.66\times 10^{15}$ は $16$ 桁で、先頭は $3$。常用対数を整数部・小数部に分ける本解と、同じ「$16$ 桁・最高位 $3$」にたどり着く。実際の値も $6^{20}=3656158440062976$($16$ 桁)で一致する。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$5$ 年ごとに半分」を式にする。$n$ 回半減すれば量は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ 倍だ。

求めたいのは、これが $\frac{1}{100}$ 以下になること。つまり ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\leqq \frac{1}{100}$ という不等式を立てる。$n$ が指数の肩にいるので、${\log }_{10}$ をとって下ろす。最後に、回数 $n$ を年数 $5n$ に直すのを忘れないように注意する。

① 条件を式にする。 $5$ 年ごとに半分なので、$n$ 回半減($5n$ 年後)で ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ 倍。条件は

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\leqq \frac{1}{100}$$

② 両辺の ${\log }_{10}$ をとる。 ${\log }_{10}\frac{1}{100}=-2$。

$$-n{\log }_{10}2\leqq -2\Rightarrow n{\log }_{10}2\geqq 2\Rightarrow n\geqq \frac{2}{0.3010}=6.6\dots$$

(両辺を $-1$ 倍したので不等号が逆になった点に注意。)

③ 最小の整数を選び、年数に直す。 $n$ は $6.6\dots$ 以上の最小の整数、つまり $n=7$。

$$\text{(確かめ)}{\left(\frac{1}{2}\right)}^7=\frac{1}{128}\leqq \frac{1}{100},{\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{1}{64}>\frac{1}{100}$$

半減 $7$ 回 $=5\times 7=35$ 年後。

まとめ:半減期の問題は「$n$ 回で ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ 倍」。${\log }_{10}$ をとると $-1$ 倍で不等号が逆になる。整数 $n$ を出したら、$1$ 回あたりの年数($5$ 年)を掛けるのを忘れずに。

発展。 半減期のもとには、連続的な減衰 $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ がある。半減期 $T$ と減衰定数 $\lambda$ は $\lambda =\frac{\ln 2}{T}$ で結ばれる。

この連続モデルで $\frac{1}{100}$ になる時刻を出すと、$t=\frac{\ln 100}{\lambda }=\frac{5\ln 100}{\ln 2}\approx 33.2$ 年。ところが実際の減少は $5$ 年ごとに階段状に起こる。だから連続では $33.2$ 年でも、$5$ 年の区切りで初めて条件を満たすのは次の目盛り $35$ 年になる。

「連続なら約 $33$ 年、離散だから $35$ 年」。同じ現象を連続と離散のどちらで見るかで、答えの丸め方が変わる好例だ。

別解

別解:半分にする回数を実際に数える(苦手な人向けの実験ルート)。 対数を持ち出さず、実際に半分にしていって数える。

条件 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\leqq \frac{1}{100}$ は、両辺の逆数をとれば $2^n\geqq 100$ と同じ。$2$ を何乗すれば $100$ に届くかを見ればよい。$2^6=64$ はまだ $100$ に届かない。$2^7=128$ で初めて $100$ を超える。だから必要な半減回数は $n=7$。

$1$ 回が $5$ 年なので $5\times 7=35$ 年後。対数をとって $n\geqq \frac{2}{{\log }_{10}2}$ を解く本解と、同じ $35$ 年にたどり着く。$2$ の累乗を覚えていれば、対数なしで決まる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 両辺を $1$ つの対数の形にそろえたい。そうすれば真数どうしの等式に持ち込める。

そのために、係数 $2$ は真数の $2$ 乗に取り込む。右辺の $+1$ は ${\log }_{2}2$ と見て対数に押し込む。こうして「係数・定数を対数の中へ押し込んでから真数比較」に持ち込む。同時に、真数条件で解を絞り込むところまでが一組の作業だ。

① 真数条件を書く。 $x-1>0$ かつ $x+1>0$、まとめて $x>1$。

② 両辺を1つの対数にそろえる。 係数 $2$ は $2$ 乗、$+1$ は ${\log }_{2}2$。

$$\text{左辺}={\log }_2(x-1{)}^2,\text{右辺}={\log }_2(x+1)+{\log }_{2}2={\log }_{2}2(x+1)$$

③ 真数を等しいとおく。 同じ底の対数が等しいので真数も等しい。

$$(x-1{)}^2=2(x+1)$$

$$x^2-2x+1=2x+2\Rightarrow x^2-4x-1=0$$

解の公式より

$$x=2\pm \sqrt{5}$$

④ 真数条件で絞る。 $x>1$ が必要。$2-\sqrt{5}=-0.23\dots <1$ は不適。$2+\sqrt{5}=4.23\dots$ は $x>1$ を満たす。

$$x=2+\sqrt{5}$$

まとめ:係数つき対数方程式は「真数条件 → 係数を指数に・定数を $\log$ に → 真数を等しいとおく → 条件で絞る」。$2-\sqrt{5}$ のような条件外の解を落とすところまでが解答だ。

発展。 なぜ $2-\sqrt{5}$ という「にせの解」が現れたのか。犯人は「係数を指数に取り込む」変形そのものだ。

もとの $2{\log }_2(x-1)$ は $x-1>0$、つまり $x>1$ でしか定義されない。ところが変形後の ${\log }_2(x-1{)}^2$ は $(x-1{)}^2>0$、つまり $x\ne 1$ なら定義される。この変形で、$x<1$ の範囲まで定義域が広がってしまう。

広がった側に紛れ込んだのが $2-\sqrt{5}<1$ だ。変形が定義域を広げるときは、得た解を必ずもとの条件に照らす。対数・根号の方程式で「にせの解」が出る仕組みは、いつもこの定義域の拡大にある。

別解

別解:$2$ つのグラフの交わりで見る(苦手な人向けの視覚ルート)。 左辺 $y=2{\log }_2(x-1)$ と右辺 $y={\log }_2(x+1)+1$ を、同じ $xy$ 平面のグラフとして思い描く。

どちらも $x>1$ でしか描けない。$x$ が $1$ に近づくと左辺は真っ逆さまに $-\infty$ へ落ち、$x$ が大きくなると左辺のほうが速く伸びる。だから $2$ 本は $x>1$ の範囲でちょうど $1$ 回だけ交わる。

その交点が答え。交点の $x$ を式で出すと $(x-1{)}^2=2(x+1)$、すなわち $x^2-4x-1=0$ から $x=2\pm \sqrt{5}$。グラフが $x>1$ でしか存在しないので、$2-\sqrt{5}\approx -0.24$ はそもそもグラフの無い場所にある「幻」。残るのは $2+\sqrt{5}$ だけだ。真数条件で機械的に絞る本解と同じ答えに、絵で納得できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $t={\log }_{2}x$ とおくと $2$ 次関数になる。$x$ の範囲 $\frac{1}{2}\sim 8$ を移すと、$t$ は負の値も含む範囲になる。

放物線なので頂点で最小。問題は最大がどこかだ。もし両端が頂点から等距離なら、最大は両端で同時に起こる。「$t$ の範囲に頂点の左右がどう入るか」で最大の場所が決まる。この $2$ 次関数の判断を、対数の置換で行う。

① $t={\log }_{2}x$ で2次関数にする。

$$y=t^2-2t-2=(t-1{)}^2-3$$

② $t$ の範囲を出す。 ${\log }_{2}x$ は増加関数。${\log }_2\frac{1}{2}=-1$、${\log }_{2}8=3$ なので

$$-1\leqq t\leqq 3$$

③ 放物線で読む。 頂点は $t=1$(範囲内)で最小 $-3$。両端は頂点 $t=1$ から見て、$t=-1$ も $t=3$ も距離 $2$ で等しい。だから最大は両端で同時に起こる。

$$\text{最小}(t=1):y=-3,\text{最大}(t=-1,3):y=(\pm 2{)}^2-3=1$$

④ $x$ に戻す。 $t=1$ は $x=2$、$t=-1$ は $x=\frac{1}{2}$、$t=3$ は $x=8$。

$$\text{最大値 }1\left(x=\frac{1}{2},8\right),\text{最小値 }-3(x=2)$$

まとめ:頂点から両端までの距離が等しいと、最大値は両端の2か所で同時に取れる。$t$ の範囲に負が入ることも見落とさず、$x$ に戻すときは $t=-1\to x=\frac{1}{2}$ のように正しく対応させる。

発展。 この関数には、同じ $y$ を与える $x$ が対になって現れる隠れた規則がある。

$y=(t-1{)}^2-3$ は軸 $t=1$ について対称なので、同じ $y$ の $2$ 解 $t_1,t_2$ は $t_1+t_2=2$ を満たす。$t={\log }_{2}x$ に戻すと ${\log }_2{x}_1+{\log }_2{x}_2=2$、つまり $x_1{x}_2=4$。

実際、最大を与える $x=\frac{1}{2}$ と $x=8$ は積が $4$。$y=-2$ を与える $x=1$ と $x=4$ も積が $4$。「等しい高さの $2$ 点は積 $4$ で結ばれる」という対称性は、軸 $t=1$ を元の変数で言いかえたものだ。

だから最大が $2$ か所に出たのも偶然ではない。定義域 $\left[\frac{1}{2},8\right]$ の両端が、ちょうど積 $4$ の対($\frac{1}{2}\times 8=4$)になっていたからだ。

別解

別解:変数を軸へずらして偶関数にする(得意な人向けの視点)。 軸が $t=1$ なら、そこを原点にずらすと式が見やすい。

$u={\log }_{2}x-1={\log }_2\frac{x}{2}$ とおく。すると $y=(t-1{)}^2-3=u^2-3$。定義域は $\frac{1}{2}\leqq x\leqq 8$ から $\frac{1}{4}\leqq \frac{x}{2}\leqq 4$、すなわち $-2\leqq u\leqq 2$。

$y=u^2-3$ は $u$ の偶関数で、区間 $[-2,2]$ も左右対称。だから最小は真ん中 $u=0$ で $y=-3$、最大は両端 $u=\pm 2$ で $y=1$ と、ひと目で分かる。

$u=0$ は $x=2$、$u=2$ は $x=8$、$u=-2$ は $x=\frac{1}{2}$。置換して放物線を読む本解と同じ答え。軸へ変数をずらすと「偶関数 × 対称区間」になり、最大が両端 $2$ か所に出る理由が透けて見える。