式と証明 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 全部展開してはいけない。ほしいのは定数項の1つだけだ。

二項定理の一般項を書き、$x$ の次数がちょうど $0$ になる項だけを狙い撃つ。$x^2$ 側と $-\frac{1}{x}$ 側で次数がプラスとマイナスに働くので、「次数の帳尻が合う選び方はどれか」という方程式を先に解く。それが設計図になる。

一般項は

$${}_6{\mathrm{C}}_r(x^2{)}^{6-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r={}_6{\mathrm{C}}_r(-1{)}^r{x}^{2(6-r)-r}={}_6{\mathrm{C}}_r(-1{)}^r{x}^{12-3r}$$

$x$ の次数は $12-3r$。定数項は $12-3r=0$、つまり $r=4$。

$${}_6{\mathrm{C}}_4(-1{)}^4=15$$

よって定数項は $15$。

発展。 「次数の帳尻方程式」$3a-6=0$ がもし整数解を持たなければ、定数項は $0$ である。$x^7$ の係数を聞かれても、同じ方程式($3a-6=7$)が整数解を持たないから即座に $0$ と答えられる。存在しないことまで機械的に判定できるのが、この方法の強みだ。

3項の展開 $(x+y+z{)}^n$ では、選び方が多項係数 $\frac{n!}{p!q!r!}$ になる。「選んで掛けて足す」という原理はそのまま拡張される。

別解

一般項の式を書かず、「選び方」の言葉で直接読むこともできる。展開とは6個のカッコのそれぞれから $x^2$ か $-\frac{1}{x}$ を1つずつ選んで掛け、すべての選び方を足すことだ。$x^2$ を $a$ 個、$-\frac{1}{x}$ を $6-a$ 個選ぶと、$x$ の次数は $2a-(6-a)=3a-6$。

定数項は次数 $0$ だから $a=2$。つまり「$x^2$ を2個、$-\frac{1}{x}$ を4個」選んだ項だけが残る。選び方は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通り、符号は $(-1{)}^4=+1$。よって定数項は $15$。

一般項の公式はこの「選んで掛けて足す」を文字で書いただけのものだ。仕組みで考えれば、公式の添字($r$ をどちらの個数にするか)で迷わなくなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 係数を1個ずつ求めて足すのは最終手段だ。この等式は「どんな $x$ でも成り立つ恒等式」であることに注目する。

恒等式なら、好きな値を代入してよい。$x=1$ を入れると、右辺は係数の総和そのものになる。(2)の符号が交互の和は、$x=-1$ の代入で作れる。「ほしい和の形から、逆に代入する値を設計する」のが、この問題の要点だ。

$(1+2x{)}^6=a_0+a_{1}x+\cdots +a_6{x}^6$ に、うまい値を代入する。

(1) $x=1$ を代入すると、左辺は $(1+2{)}^6=3^6$、右辺は $a_0+a_1+\cdots +a_6$。よって

$$a_0+a_1+\cdots +a_6=3^6=729$$

(2) $x=-1$ を代入すると、左辺は $(1-2{)}^6=(-1{)}^6=1$、右辺は $a_0-a_1+a_2-\cdots +a_6$。よって

$$a_0-a_1+a_2-\cdots +a_6=1$$

(展開せず、代入だけで係数の和が出る。$x=1$ と $x=-1$ の使い分けがコツだ。)

発展。 $x$ に代入する値の設計は、$1$ と $-1$ にとどまらない。$x=2$ なら $a_k{2}^k$ の和が出るし、微分してから代入すれば $k{a}_k$ の重みつき和も作れる(数IIの微分を学んだ後の話だ)。

$(1+x{)}^n$ に $x=1$ を入れた ${}_n{\mathrm{C}}_0+{}_n{\mathrm{C}}_1+\cdots +{}_n{\mathrm{C}}_n=2^n$ は、この技のいちばん有名な特例で、「部分集合の総数」という組合せの事実とも一致する。

別解

(1)と(2)を「連立」させると、さらに2つの和が手に入る。偶数番目だけの和と、奇数番目だけの和だ。(1) $a_0+a_1+\cdots +a_6=729$ と (2) $a_0-a_1+a_2-\cdots +a_6=1$ を足すと、奇数番目が消えて

$$2(a_0+a_2+a_4+a_6)=730\Rightarrow a_0+a_2+a_4+a_6=365$$

引くと偶数番目が消えて $a_1+a_3+a_5=364$。「$x=1$ と $x=-1$ の代入結果を足し引きして、偶数次・奇数次を分離する」。この足し引きの方法は係数の和の問題でよく続けて使われ、入試では(1)(2)のあと、この分離まで続けて問われることが多い。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^{2024}$ を実際に割ることはできない。割り算の等式 $P(x)=(x^2-1)Q(x)+ax+b$ を書いて、$Q(x)$ を消す作戦に出る。

$Q(x)$ を消すには、$x^2-1$ が $0$ になる値、$x=1,-1$ を代入すればよい。2回の代入で $a,b$ の連立方程式ができる。「割る式の根を代入して商を消す」は、余りの問題の基本である。割る式は $2$ 次だから、余りは1次以下。$x^{2024}+x+1=(x^2-1)Q(x)+ax+b$ とおく。

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ なので、$x=1$、$x=-1$ を代入すると右辺の $(x^2-1)Q(x)$ が消える。$x=1$:左辺 $1^{2024}+1+1=3$、右辺 $a+b$。よって $a+b=3$。$x=-1$:左辺 $(-1{)}^{2024}-1+1=1$、右辺 $-a+b$。よって $-a+b=1$。

2式を解いて $a=1$、$b=2$。よって余りは

$$x+2$$

($x^{2024}=(x^2{)}^{1012}$ は $x=\pm 1$ でともに $1$。割る式の根を代入するのが、この型の解き方だ。)

発展。 次数下げの置き換え規則は割る式で決まる。$x^2+1$ で割るなら $x^2\to -1$、$x^2-x-1$ なら $x^2\to x+1$。「割る式 $=0$」を移項した形が、そのまま置き換えの辞書になる。

この見方は複素数と方程式の単元($\omega$ の計算、$x^{100}$ を $x^2+x+1$ で割る型)で中心的に使う。大きな指数を周期で折りたたむ技として、覚えておく価値が高い。

別解

「次数下げ」の見方も役に立つ。余りだけを考えるなら、$x^2-1$ の分だけ自由に引いてよい。つまり $x^2$ を $1$ に置き換えてよい。

$x^2$ を $1$ とみなすと

$$x^{2024}=(x^2{)}^{1012}\to 1^{1012}=1$$

だから $x^{2024}+x+1$ は、余りだけを見れば $1+x+1=x+2$ と同じものだ。次数が1次以下まで下がったこれが、そのまま余りである。

代入ルートが「値の連立」で攻めるのに対し、次数下げは「式のまま」置き換えで進む。指数が大きいときほど、$(x^2{)}^{1012}$ と1行で片づくこの見方が役に立つ。整数の合同式($10\equiv 1$ を使う桁の議論)と同じ発想の、多項式版だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $P(x)$ がどんな式かは分からない。でも、余りの問題では式そのものは要らない。

$(x-1)(x-2)$ で割った余りは、2次式で割るのだから $ax+b$ とおける。決め手は条件を式に直すことだ。「$x-1$ で割ると余り $3$」は「$P(1)=3$」という値の情報である(剰余の定理)。$x=1,2$ の代入で $ax+b$ の連立ができあがる。

$(x-1)(x-2)$ は $2$ 次だから、余りは1次以下。$P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b$ とおく。『$x-1$ で割った余りが $3$』は $P(1)=3$、『$x-2$ で割った余りが $5$』は $P(2)=5$。この $x=1,2$ を上の式に入れると $(x-1)(x-2)Q(x)$ が消える。

$x=1$:$P(1)=a+b=3$。 $x=2$:$P(2)=2a+b=5$。

2式を引いて $a=2$、戻して $b=1$。よって余りは

$$2x+1$$

発展。 割る式が $(x-1{)}^2(x-2)$ のように重根を含むと、値の情報だけでは足りなくなり、「$(x-1{)}^2$ で割った余り」の形を経由する、一段むずかしい型になる。値が使えるのは根がすべて異なるときだ、という条件を意識しておこう。

別解の「点を通る多項式の当てはめ」は補間と呼ばれる考え方の基本で、実験データから式を推定する数値計算の基礎にもなっている。

別解

連立を解く代わりに、「グラフの直線当てはめ」で読む方法もある。条件を点の言葉で言い換えると、$P(1)=3$、$P(2)=5$。求める余り $r(x)=ax+b$ は1次式、つまり直線で、$P$ と同じ値を $x=1,2$ でとる。だから $r(x)$ は2点 $(1,3)$ と $(2,5)$ を通る直線だ。

傾きは $\frac{5-3}{2-1}=2$。$y=2x+1$ と即座に書ける($x=1$ で $3$、$x=2$ で $5$ の検算もすぐにできる)。「$n$ 個の点を通る $n-1$ 次式」という見方は、割る式が3次以上になっても通用する(3点なら放物線の当てはめ)。連立の計算を図形の性質で置き換えられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分解後の形($\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x+2}$)が指定されているから、これを恒等式として $a,b$ を決める問題だ。

両辺に $(x+1)(x+2)$ をかけて分数を払う。$4x+5=a(x+2)+b(x+1)$。ここで、どんな $x$ でも成り立つのだから、$x=-1$ と $x=-2$ を選んで代入する。片方の項が消える値を選ぶのがうまさで、$a,b$ が1回ずつの代入で確定する。

両辺に $(x+1)(x+2)$ をかける。

$$4x+5=a(x+2)+b(x+1)$$

$x=-1$ を代入:$4(-1)+5=1=a(1)$ より $a=1$。$x=-2$ を代入:$4(-2)+5=-3=b(-1)$ より $b=3$。

$$\frac{4x+5}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}+\frac{3}{x+2}$$

(部分分数分解は、数列の和や積分で役に立つ重要な道具だ。)

発展。 部分分数分解は数学Bの数列の和で特によく使う。$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ と分解すると、和をとったとき隣どうしが打ち消し合い、長い和が両端だけ残る(望遠鏡和)。

分母に $(x+1{)}^2$ のような重複因子があるときは、$\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1{)}^2}$ と項を増やして分解する。数学IIIの積分でも、分数関数を積分できる形に直す基本の方法として使い続けることになる。

別解

恒等式のもう1つの決め方、「係数比較」でも解ける。$4x+5=a(x+2)+b(x+1)$ の右辺を整理すると $(a+b)x+(2a+b)$。左辺と係数を見比べて

$$a+b=4,2a+b=5$$

差をとって $a=1$、よって $b=3$。代入ルートと同じ答えだ。

恒等式の係数の決定には「数値代入」と「係数比較」の2大手法があり、どちらでも必ず同じ結論に着く。代入は消える値があるとき速く、係数比較は機械的で見落としがない。両方を持って、式の形で使い分けるのが理想である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分数の中に分数が入った繁分数式。見た目の複雑さにまどわされず、「小さい分数を消す」ことだけ考える。

分子・分母の中の分数の分母は $x$ と $y$。その最小公倍数 $xy$ を、外側の分子と分母の両方にかける。

$$\frac{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\times xy}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\times xy}=\frac{y-x}{y+x}$$

一度の掛け算で入れ子が消える。「分子・分母に同じものをかけても値は不変」という分数の原理そのものだ。分子・分母に $xy$ をかける(中の分母を払う)。

分子:$\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\times xy=y-x$。分母:$\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\times xy=y+x$。よって

$$\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\frac{y-x}{y+x}$$

(繁分数は『分子・分母に共通の数をかけて小さい分数を消す』のが速い。)

発展。 繁分数を次々に入れ子にした $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots }}$ という形は連分数と呼ばれ、$\sqrt{2}$ や黄金比の近似分数を作る方法として数学史に名を残している。互除法とも深くつながる話題だ。

実用面では電気回路の並列抵抗 $\frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}$ など、逆数の和の形は自然科学の随所に現れる。この問題の整理の仕方はその読み書きの基礎である。

別解

「中を先に片づけてから割る」2段ルートも、着実で間違えにくい。まず分子を通分する。$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}$。分母も通分する。$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}$。

繁分数は「分子 ÷ 分母」だから

$$\frac{y-x}{xy}÷\frac{y+x}{xy}=\frac{y-x}{xy}\times \frac{xy}{y+x}=\frac{y-x}{y+x}$$

一括で $xy$ をかける本解と、通分してから割る別解。手数は別解のほうが多いが、1歩ずつが小さいのでミスが起きにくい。複雑な繁分数(3段以上の入れ子)では、内側から1段ずつ処理するこの方式なら、間違いを防ぎやすい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 比例式の証明の基本は「$=k$ とおく」だ。$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ と共通の値に名前を付ける。

すると $a=bk$、$c=dk$ と、4文字が2文字と $k$ で書き直せる。あとは示したい式の左辺に代入して、$k$ になることを確かめるだけ。分数のまま変形して迷子になるのを、$k$ という固定点が防いでくれる。$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とおく。すると $a=bk$、$c=dk$。

左辺に代入する。

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{(b+d)k}{b+d}=k$$

右辺は $\frac{a}{b}=k$。よって両辺とも $k$ で等しい。$■$

(比例式は『$=k$ とおいて、文字を $k$ で表す』のが証明の基本だ。)

発展。 この問題の等式は「加比の理」と呼ばれる性質だ。$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ のとき、分子どうし・分母どうしを足した $\frac{a+c}{b+d}$ も同じ比になる。混ぜても濃度が変わらない食塩水のイメージで覚えられる。

比例式は数学Cのベクトルの成分比や、図形の相似比の計算で絶えず出てくる。「$=k$ とおく」「積に払う」の2つの方法は、そのすべての場面で通用する。

別解

$k$ を置かずに、「分数を払って積の等式で示す」方法もある。条件 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ は、分母を払えば $ad=bc$ という積の等式だ。示したい $\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}$ も、分母を払えば $b(a+c)=a(b+d)$、展開して

$$ab+bc=ab+ad$$

つまり $bc=ad$。これは条件そのものだ。変形はすべて同値(分母は $0$ でない)だから、証明が完成する。

分数の等式を「たすき掛けの積」に直して代数の式として扱うこの方式は、文字の置き方すら不要な最短路になることがある。$=k$ 方式との使い分けは、連なる比が3つ以上あるか($a:b:c$ 型なら $k$ が便利)が目安だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 前問と同じ配置だから、同じ第一手。$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とおく。

$a=bk$、$c=dk$ を左辺・右辺の両方に代入する。左辺は分子・分母から $k^2$ がくくり出せて $k^2$。右辺も $k^2$。両辺が同じ値に落ちれば証明完了だ。2乗が絡んでも、$k$ 方式の手順は何も変わらない。$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とおくと $a=bk$、$c=dk$。

左辺:

$$\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{b^2+d^2}=\frac{(b^2+d^2)k^2}{b^2+d^2}=k^2$$

右辺:

$$\frac{ac}{bd}=\frac{bk\cdot dk}{bd}=\frac{bd{k}^2}{bd}=k^2$$

両辺とも $k^2$ で等しい。$■$

発展。 条件つき等式の証明は「条件で文字を減らす($=k$)」か「差を作って条件の因数を見つける」の二本立てだ。条件が $a+b+c=0$ 型のときも、この2つ($c=-a-b$ の代入か、差の中に $a+b+c$ を探すか)がそのまま主戦力になる。

この問題の左辺 $\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$ と右辺 $\frac{ac}{bd}$ が等しいという事実は、比が等しい2組の数では「2乗の和の比」も「積の比」も元の比の2乗に一致する、という比例式の増殖性を示している。

別解

積の等式で攻めると、きれいな因数分解が姿を見せる。条件は $ad=bc$。示したい等式の分母を払うと $(a^2+c^2)bd=ac(b^2+d^2)$、つまり

$$a^{2}bd+b{c}^{2}d-a{b}^{2}c-ac{d}^2=0$$

を示せばよい。この左辺は因数分解できる。前2項と後2項を組み直すと

$$(ad-bc)(ab-cd)$$

条件 $ad-bc=0$ から、積は確かに $0$。証明が終わる。「差を作って因数分解し、条件の因数を見つける」のは、等式証明のもう1つの型だ。$ad-bc$ という条件の形が、差の中に因数としてそのまま埋まっている様子は、$k$ 方式では見えない点である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\frac{b}{a}$ と $\frac{a}{b}$、2つの正の数の和の下限を問われている。

この2数、掛けると $1$ になる。積が定数の2数の和ときたら、相加平均・相乗平均の関係を使う。$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}=2$。等号は2数が等しいとき、つまり $a=b$。使用条件(2数が正)の確認を忘れずに。

$a>0$、$b>0$ なので $\frac{b}{a}>0$、$\frac{a}{b}>0$。この2数に相加相乗を使う。

$$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}=2\sqrt{1}=2$$

($\frac{b}{a}\times \frac{a}{b}=1$ なので、右辺が定数 $2$ になる。)

まとめ:等号は $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$、つまり $a^2=b^2$、$a,b>0$ より $a=b$ のとき。$■$

発展。 「積が定数になる2数の和」は、相加相乗がいちばん役に立つ場面だ。$x+\frac{1}{x}$、$2x+\frac{9}{2x}$ など、逆数がらみの最小値問題はすべてこの型で、この単元の最後の問題で本格的に登場する。

相加相乗は3数版($\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$)にも拡張される。2数版が $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$ で示せたのに対し、3数版の証明はぐっと歯ごたえが増す、よい練習問題である。

別解

相加相乗を使わず、「差を平方の形にする」直接証明もできる。不等式証明の原点の型だ。左辺から右辺を引いて、通分する。

$$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}-2=\frac{b^2+a^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b{)}^2}{ab}$$

分子は2乗だから $0$ 以上。分母は $a>0$、$b>0$ から正。よって全体は $0$以上で、不等式が成り立つ。

等号は分子が $0$、つまり $a=b$ のとき。等号条件が $(a-b{)}^2$ の形から目で読めるのが、この方式の利点だ。実は相加相乗の関係そのものが、この「差=平方」で証明される。この問題の2つの解法は定理を使うか、定理の証明を現場でなぞるかの違いである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 左辺のカッコ2つは、そのままでは相加相乗の形をしていない。まず展開して形を確かめる。

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$

現れた $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ は、積が $1$ の2数の和。前問で示したとおり $2$ 以上だ。よって全体は $2+2=4$ 以上。等号は $a=b$ のとき。前問の結果が部品としてそのまま使われている。

左辺を展開する。

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$

$\frac{a}{b}>0$、$\frac{b}{a}>0$ に相加相乗を使うと $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$。よって

$$2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2+2=4$$

まとめ:等号は $\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$、つまり $a=b$ のとき。$■$

発展。 この不等式は $n$ 個に一般化される。$(a_1+\cdots +a_n)\left(\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}\right)\ge n^2$。「相加平均は調和平均以上」という平均どうしの序列の言い換えでもある。

カッコごとに相加相乗を使う道($a+b\ge 2\sqrt{ab}$ と $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{2}{\sqrt{ab}}$ を掛ける)も正しく通るが、掛け合わせてよいのは両辺が正のときだけ、という注意が要る。複数の不等式を合成するときの作法として覚えておきたい。

別解

この後の問題で証明する不等式 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$ を先取りして使うと、展開すら不要になる。その不等式に、$a,b$ の代わりに $\sqrt{a},\sqrt{b}$ を、$x,y$ の代わりに $\frac{1}{\sqrt{a}},\frac{1}{\sqrt{b}}$ を入れる($a>0$、$b>0$ だから根号がとれる)。

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge {\left(\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot \frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2=(1+1{)}^2=4$$

右辺の中身が $1+1$ になって文字が消えるので、1行で終わる。等号は $\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{b}}=\sqrt{b}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}$、整理して $a=b$。「何を代入するとほしい形になるか」を逆算して不等式に食わせる。この使い方こそが有名不等式を道具として運用する感覚である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 大小を示す基本は「差をとる」。左辺から右辺を引いて、$0$ 以上だと分かる形(平方の形)にまとめにいく。

展開すると $a^2{x}^2$ と $b^2{y}^2$ は打ち消し合い、残るのは $a^2{y}^2-2abxy+b^2{x}^2$。これは $(ay-bx{)}^2$。2乗だから $0$ 以上で、証明が終わる。等号は $ay=bx$ のとき。「差を平方に押し込む」型の代表格だ。差をとる。左辺・右辺を展開して

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by{)}^2$$

$$=(a^2{x}^2+a^2{y}^2+b^2{x}^2+b^2{y}^2)-(a^2{x}^2+2abxy+b^2{y}^2)$$

$$=a^2{y}^2-2abxy+b^2{x}^2=(ay-bx{)}^2$$

$2$ 乗は $0$ 以上だから $(ay-bx{)}^2\ge 0$。よって

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$$

等号は $ay-bx=0$、つまり $ay=bx$ のとき。$■$

(これはコーシー・シュワルツの不等式の基本形。差が $2$ 乗になることが証明の決め手だ。)

発展。 この不等式はコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれ、数学の全域で使われる大物だ。ベクトルの言葉では $|\vec{u}{|}^2|\vec{v}{|}^2\ge (\vec{u}\cdot \vec{v}{)}^2$、つまり「内積は長さの積を超えない」($\cos \theta$ が $1$ を超えない)ことを言っている。

文字を増やした $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (ax+by+cz{)}^2$ も、別解の2次関数方式ならそのまま証明できる(平方の数が3つに増えるだけだ)。差の平方方式では項の整理が大変になるので、一般化には判別式方式が強い。

別解

2次関数の判別式から出す、視点の高い証明もある。$t$ の関数 $f(t)=(at-x{)}^2+(bt-y{)}^2$ を考える。2乗の和だから、どんな $t$ でも $f(t)\ge 0$ だ。展開して $t$ について整理すると

$$f(t)=(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t+(x^2+y^2)$$

$a^2+b^2>0$ のとき、下に凸の放物線が $t$ 軸より下に潜らない条件は、判別式が $0$ 以下。

$$\frac{D}{4}=(ax+by{)}^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)\le 0$$

移項すれば示したい不等式そのものだ。等号は $f(t)=0$ となる $t$ がある場合、つまり $at=x$ かつ $bt=y$、比の言葉で $ay=bx$。「うまい2次関数を作って判別式で落とす」この設計は、より多くの文字の不等式にもそのまま伸びる、汎用性の高い型である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分子が2次・分母が1次の分数式。このままでは知っている方法が使えない。

分母 $x+1$ をひとかたまりに、$t=x+1$($t>1$)と置きかえる。分子を $t$ で書き直すと

$$\frac{t^2+2}{t}=t+\frac{2}{t}$$

「変数+定数/変数」の形が現れた。積が定数 $2$ の2数の和だから、相加相乗を使う。等号成立の $t$ が範囲($t>1$)に入るかの検分まで含めて1セットである。

$x+1=t$ とおく($x>0$ より $t>1$)。分子は平方完成すると $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2$ なので

$$\frac{x^2+2x+3}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+2}{x+1}=\frac{t^2+2}{t}=t+\frac{2}{t}$$

$t>0$ なので相加相乗より

$$t+\frac{2}{t}\ge 2\sqrt{t\cdot \frac{2}{t}}=2\sqrt{2}$$

等号は $t=\frac{2}{t}$、つまり $t=\sqrt{2}$($>1$ で範囲内)のとき。$t=x+1=\sqrt{2}$ より $x=\sqrt{2}-1$($>0$)。よって $x=\sqrt{2}-1$ のとき最小値 $2\sqrt{2}$。

($(x+1{)}^2+2$ と平方完成して $t=x+1$ で置きかえれば解ける。等号がとれる $t$ が範囲内かの確認も忘れずに。)

発展。 相加相乗で最小値を求めるときは、「等号が成立できるか」の検分を必ず行う。もし定義域が $x\ge 2$ なら、等号点 $x=\sqrt{2}-1$ は範囲外となり、相加相乗の $2\sqrt{2}$ は「到達できない下界」にすぎなくなる(そのときは単調性で端の値が最小になる)。

数学IIIに進むと、この種の分数関数の増減は微分で機械的に調べられるようになる。相加相乗・逆手流・微分の3本の道を持つのが最終形だ。

別解

「$=m$ とおいて、実数解の存在条件から $m$ の範囲を出す」逆手流でも解ける。$\frac{x^2+2x+3}{x+1}=m$ とおき、分母を払って整理すると

$$x^2+(2-m)x+3-m=0$$

この方程式が $x>0$ の解を持つような $m$ の範囲が、そのまま関数のとりうる値の範囲だ。判別式は $D=(2-m{)}^2-4(3-m)=m^2-8$。実数解には $m\ge 2\sqrt{2}$(今の設定では $m>0$ 側)が必要になる。境目の $m=2\sqrt{2}$ では重解 $x=\frac{m-2}{2}=\sqrt{2}-1>0$ で、範囲の条件も満たす。よって最小値 $2\sqrt{2}$($x=\sqrt{2}-1$)。

「関数の値域=方程式が解を持つ $m$ の集合」という発想の転換は、分数関数・2変数の最大最小で広く使える方法だ。相加相乗と答えが一致することが、双方の検算になる。