図形と計量 最難関編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 対角線 AC は、$△ABC$ と $△ACD$ の両方に共有されている。だから AC を両方の三角形から余弦定理で表し、等号で結ぶ。

未知の角が2つ($\angle B,\angle D$)出てくるが、ここで円に内接する条件を使う。向かい合う角の和が $180^{\circ }$ だから、$\cos D=-\cos B$。未知は $\cos B$ ひとつになり、AC が決まる。

面積も同じ角を使う。2つの三角形の和で出せばよい。

① AC を2通りに表す。 $△ABC$ で ${\mathrm{AC}}^2=1^2+2^2-2\cdot 1\cdot 2\cos B=5-4\cos B$。$△ACD$ で ${\mathrm{AC}}^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cos D=25-24\cos D$。

② 対角の関係で結ぶ。 $\cos D=-\cos B$ を代入して等号で結ぶ:

$$5-4\cos B=25+24\cos B⟺-20=28\cos B⟺\cos B=-\frac{5}{7}$$

③ AC を求める。

$${\mathrm{AC}}^2=5-4\left(-\frac{5}{7}\right)=5+\frac{20}{7}=\frac{55}{7},\mathrm{AC}=\sqrt{\frac{55}{7}}=\frac{\sqrt{385}}{7}$$

④ 面積。 $\sin B=\sqrt{1-\frac{25}{49}}=\frac{\sqrt{24}}{7}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$。$\sin D=\sin B$ だから

$$S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\sin B+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\sin D=(1+6)\sin B=7\cdot \frac{2\sqrt{6}}{7}=2\sqrt{6}$$

まとめ: 共有する対角線を2つの三角形から表し、対角の和 $180^{\circ }$($\cos D=-\cos B$)で結ぶ。これが内接四角形の計量の型だ。面積は $\sin$ が共通だから $(1+6)\sin B$ とまとまり、きれいに $2\sqrt{6}$ になる。

発展。 円に内接する四角形の面積には、ヘロンの公式の親戚「ブラーマグプタの公式」$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$($s$ は周の半分)がある。本問では $s=5$ で $S=\sqrt{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=2\sqrt{6}$。④の答えと一致する。

別解

もう1本の対角線とトレミーの定理(得意な人向けの検算)。 同じ手順を対角線 BD に使ってみる。$△ABD$ と $△CBD$ で BD を2通りに表すと

$${\mathrm{BD}}^2=1+16-8\cos A=17-8\cos A,{\mathrm{BD}}^2=4+9+12\cos A=13+12\cos A$$

($\angle C=180^{\circ }-\angle A$ を使った)。等号で結んで $\cos A=\frac{1}{5}$、${\mathrm{BD}}^2=\frac{77}{5}$。ここで、円に内接する四角形についての「トレミーの定理」(対角線の積 $=$ 対辺の積の和)を検算に使える:

$$\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\sqrt{\frac{55}{7}}\cdot \sqrt{\frac{77}{5}}=\sqrt{\frac{55\cdot 77}{35}}=\sqrt{121}=11$$

一方、$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{DA}=1\cdot 3+2\cdot 4=11$。ぴったり一致した。2本の対角線を別々に求めて、トレミーで突き合わせる。答えを自分で確かめられるうえ、$\sqrt{55/7}$ という複雑な値でも、定理の式ではきちんと成り立つことが分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「3組の対辺がそれぞれ等しい」という強い対称性は、直方体への埋め込みを示唆する。直方体の8頂点から1つおきに4頂点を選ぶと四面体ができ、その6辺はちょうど直方体の面対角線(3種類が2本ずつ)になるからだ。

直方体の辺を $p,q,r$ とすれば、四面体の辺の2乗は $p^2+q^2,q^2+r^2,r^2+p^2$。与えられた $5,10,13$ をこれに対応させて $p,q,r$ を求める。体積は「直方体から四隅の三角錐4つを切り落とす」と直方体の $\frac{1}{3}$ になる。

① 直方体の辺を求める。 辺 $p,q,r$ の直方体で、面対角線の2乗は $p^2+q^2,q^2+r^2,r^2+p^2$。これらが $5,10,13$(順不同)だ。3式を全部足すと

$$2(p^2+q^2+r^2)=5+10+13=28⟺p^2+q^2+r^2=14$$

各辺の2乗は $14$ から対応する面対角線の2乗を引けば出る。$p^2=14-13=1,q^2=14-10=4,r^2=14-5=9$。すなわち $p=1,q=2,r=3$。

② 体積。 直方体の体積は $pqr=1\cdot 2\cdot 3=6$。四面体はその $\frac{1}{3}$ だから

$$V=\frac{1}{3}\cdot 6=2$$

まとめ: 対辺が等しい四面体を直方体に埋め込む。これに気づけば解ける。面対角線の2乗の和から $p^2+q^2+r^2$ を出し、各辺を引き算で逆算する。体積は直方体の $\frac{1}{3}$ としてすぐに出る。

発展。 この四面体は4つの面がすべて合同(等面四面体)になっている。「対辺が3組等しい ⟺ 直方体に埋め込める ⟺ 4面が合同」で、しかも各面は必ず鋭角三角形になる。直方体という「箱」から、この立体の性質がすべて分かる。

別解

四隅を実際に切り落とす(体積 1/3 になる理由)。 「直方体の $\frac{1}{3}$」を公式として使わず、その場で確かめよう。

$1\times 2\times 3$ の直方体から四面体 ABCD を取り出すと、残りは「隅の三角錐」4個だ。どの隅の三角錐も直方体の1つの頂点に集まる3辺($1,2,3$)を直交する3辺としてもつ。だから1個の体積は

$$\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\right)\times 3=1$$

(底面は直角三角形で面積 $1$、高さ $3$。)これが4個で $4$。よって

$$V=6-4\times 1=2$$

一般の $p,q,r$ でも同じ計算で、隅1個は $\frac{1}{6}pqr$、4個で $\frac{2}{3}pqr$。残る四面体は $pqr-\frac{2}{3}pqr=\frac{1}{3}pqr$ になる。「$\frac{1}{3}$」になる理由はこの四隅の切り落としにある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 角の二等分線 AD の長さは、面積の分割でとらえるのが速い。

$\angle A=120^{\circ }$ を二等分するので $\angle BAD=\angle CAD=60^{\circ }$。$△ABC=△ABD+△ACD$ の各面積を「$\frac{1}{2}\times (\text{はさむ2辺})\times \sin (\text{はさむ角})$」で表す。AD を未知数 $x$ にすると、面積の等式が $x$ の1次方程式になり、すぐに解ける。

① 全体の面積。 $△ABC=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$。

② 分割の和。 $\mathrm{AD}=x$ とおく。$\angle BAD=\angle CAD=60^{\circ }$ より

$$△ABD=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot x\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{4}x$$ $$△ACD=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AC}\cdot x\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}x$$

③ 等式を解く。 $△ABC=△ABD+△ACD$ だから

$$\frac{15\sqrt{3}}{4}=\frac{5\sqrt{3}}{4}x+\frac{3\sqrt{3}}{4}x=\frac{8\sqrt{3}}{4}x$$

両辺を $\frac{\sqrt{3}}{4}$ で割って $15=8x$。すなわち $x=\frac{15}{8}$。

まとめ: 二等分線で $\angle A$ が $60^{\circ }+60^{\circ }$ に分かれることを使い、「面積 $=$ 分割の和」を AD の方程式にする。$\sin 60^{\circ }$ が全項で共通だから約せて、一般形 $\mathrm{AD}=\frac{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\cos 60^{\circ }}{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}$ の形になる。

発展。 一般形を整理すると $\mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}$。前半の $\frac{2bc}{b+c}$ は2辺 $b,c$ の調和平均だ。二等分線の長さは「調和平均 × 半角の余弦」という覚え方ができる。

別解

二等分線の長さの公式で(得意な人向け)。 角の二等分線には、方べきの定理の香りがする名公式がある:

$${\mathrm{AD}}^2=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}-\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC}$$

使ってみよう。まず余弦定理で ${\mathrm{BC}}^2=25+9-2\cdot 15\cos 120^{\circ }=34+15=49$、$\mathrm{BC}=7$。二等分線の性質から $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:3$ なので、$\mathrm{BD}=\frac{35}{8},\mathrm{DC}=\frac{21}{8}$。よって

$${\mathrm{AD}}^2=5\cdot 3-\frac{35}{8}\cdot \frac{21}{8}=15-\frac{735}{64}=\frac{225}{64},\mathrm{AD}=\frac{15}{8}$$

公式の出どころも一言。AD を延長して外接円との交点を E とすると、円周角から $△ABD$ と $△AEC$ が相似で $\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}$。方べきの定理で $\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC}=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{DE}$。差をとると $\mathrm{AD}\cdot (\mathrm{AE}-\mathrm{DE})={\mathrm{AD}}^2$ が残る。円の道具(数A)と計量を組み合わせた公式だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 正四角錐は上下対称だから、頂点 P の真下は底面の正方形の中心 O だ。まず高さ $h=\mathrm{PO}$ を、直角三角形 P-O-(底面の頂点)で三平方から求める。体積はそれで出る。

二面角(側面と底面のなす角)は、底面の辺の中点 M を使う。辺に垂直な断面が直角三角形 P-O-M で、$\mathrm{OM}$ は中心から辺までの距離、$\mathrm{PM}$ は側面の高さ。$\cos \theta =\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{PM}}$ で測れる。

① 高さ。 底面の対角線は $6\sqrt{2}$ で、中心 O から頂点までは半分の $3\sqrt{2}$。側辺 $\mathrm{PA}=5$ の直角三角形 P-O-A で

$$h^2={\mathrm{PO}}^2=5^2-(3\sqrt{2}{)}^2=25-18=7,h=\sqrt{7}$$

② 体積。 底面積 $6^2=36$ より

$$V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot \sqrt{7}=12\sqrt{7}$$

③ 二面角。 底面の辺の中点を M とすると、$\mathrm{OM}=3$(中心から辺までの距離 $=\frac{6}{2}$)。側面の高さは $\mathrm{PM}=\sqrt{{\mathrm{PO}}^2+{\mathrm{OM}}^2}=\sqrt{7+9}=4$。二面角 $\theta =\angle \mathrm{PMO}$ は直角三角形 P-O-M で

$$\cos \theta =\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{PM}}=\frac{3}{4}$$

まとめ: 垂線の足=中心、で高さを三平方から出すのが第一。二面角は「辺に垂直な断面(直角三角形 P-O-M)」で測る。立体の角度は適切な断面に落とせば平面の計算になる。

発展。 一般に、平面図形を角 $\theta$ だけ傾いた平面に正射影すると、面積は $\cos \theta$ 倍になる。二面角の計算はこの原理の逆用でもできて、複雑な立体では「影の面積 ÷ 実面積」が角度の測定器になる。

別解

影の面積で測る(正射影ルート)。 二面角を長さの比でなく面積の比で測ることもできる。側面 $△$PAB を、真上から底面に投影してみる。P は中心 O に落ち、A, B はそのまま。影は $△$OAB だ。

2つの三角形は底辺 AB($=6$)を共有し、高さだけが違う。側面の高さは $\mathrm{PM}=4$、影の高さは $\mathrm{OM}=3$。斜面が角 $\theta$ だけ傾いているとき、高さは $\cos \theta$ 倍に縮む($\mathrm{OM}=\mathrm{PM}\cos \theta$)。だから

$$\cos \theta =\frac{△\mathrm{OAB}}{△\mathrm{PAB}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3}{\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$$

「傾いた面の影は $\cos \theta$ 倍」という見方は、面積さえ分かれば角が出るので、断面の直角三角形が見つけにくい複雑な立体ほど役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $36^{\circ }$ は有名角ではないのに、値が求まる。決め手は $2\times 36^{\circ }+3\times 36^{\circ }=180^{\circ }$ という関係だ。

$\sin$ は補角で等しいから $\sin 72^{\circ }=\sin 108^{\circ }$、つまり $\sin 2\theta =\sin 3\theta$($\theta =36^{\circ }$)。ここに2倍角・3倍角の公式を入れると、$\cos \theta$ だけの方程式になる。$x=\cos 36^{\circ }$ を2次方程式の解として求めればよい。

① 等式を立てる。 $\theta =36^{\circ }$ とすると $2\theta +3\theta =180^{\circ }$ より $\sin 2\theta =\sin (180^{\circ }-2\theta )=\sin 3\theta$。

② 公式で展開する。

$$2\sin \theta \cos \theta =\sin \theta (3-4{\sin }^2\theta )$$

$\sin \theta \ne 0$ だから両辺を $\sin \theta$ で割ってよい。${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を代入して

$$2\cos \theta =3-4(1-{\cos }^2\theta )=4{\cos }^2\theta -1$$

③ $\cos \theta$ の方程式を解く。 $x=\cos \theta$ とおくと

$$4x^2-2x-1=0⟺x=\frac{2\pm \sqrt{4+16}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$$

$\cos 36^{\circ }>0$ だから正の解をとって

$$\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$

まとめ: $2\theta +3\theta =180^{\circ }$ から $\sin 2\theta =\sin 3\theta$ を作り、倍角の公式で $\cos \theta$ の2次方程式に落とす。最後は符号($\cos 36^{\circ }>0$)で解を選ぶ。$36^{\circ }$ が「方程式の解」として捕まる瞬間だ。

発展。 $\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\phi }{2}$($\phi$ は黄金比)。正五角形の対角線と辺の比がちょうど $\phi$ で、五芒星の中には同じ比が入れ子で無限に現れる。$36^{\circ }$ の三角比は黄金比の別の表し方である。

別解

正五角形の相似で(数Iだけの黄金比ルート)。 倍角の公式(数II)を使わずに、図形の相似だけでも出せる。頂角 $36^{\circ }$、底角 $72^{\circ }$、等しい2辺が $1$ の二等辺三角形を考える(正五角形の対角線2本が作る三角形)。底辺を $x$ とする。

底角($72^{\circ }$)の二等分線を引くと、$36^{\circ }$ の角が2つでき、もとの三角形と相似な小さい二等辺三角形が現れる。等しい線分を追うと、二等分線の長さも、切り取られる線分も $x$ になり、相似比の等式

$$\frac{1}{x}=\frac{x}{1-x}⟺x^2=1-x⟺x^2+x-1=0$$

が立つ。$x>0$ より $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。仕上げは余弦定理だ。頂角 $36^{\circ }$ をはさむ2辺が $1$、対辺が $x$ だから

$$x^2=1+1-2\cos 36^{\circ }⟺\cos 36^{\circ }=\frac{2-x^2}{2}=\frac{2-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$

図形の中に方程式 $x^2=1-x$(黄金比の方程式)が隠れている。それを取り出すのがこのルートの見どころだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 3辺の長さだけが与えられている。まずヘロンの公式で面積 $S$ を確定させる。

$S$ さえ出れば、あとは逆算だ。内接円半径は $S=rs$(面積 $=$ 内接円半径 $\times$ 周の半分)。外接円半径は $S=\frac{abc}{4R}$。面積を「共通の橋」にして、2つの半径を取り出す。

① 面積(ヘロン)。 $s=\frac{13+14+15}{2}=21$。

$$S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$$

② 内接円半径。

$$84=r\cdot 21⟺r=4$$

③ 外接円半径。

$$84=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4R}=\frac{2730}{4R}⟺R=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}$$

まとめ: 面積を先に確定し、$S=rs$ と $S=\frac{abc}{4R}$ で $r,R$ を逆算する。3つの量が、面積という1つの値を軸につながっている。

発展。 $13,14,15$ は「辺も面積も整数」になるヘロン三角形の代表格だ。この三角形は直角三角形 $5$-$12$-$13$ と $9$-$12$-$15$ を高さ $12$ で貼り合わせたものだ(別解)。この見方を知っていると、$S=84$ も $r=4$ も、いつでもすぐに再現できる。

別解

垂線で2つの直角三角形に割る(ヘロンを使わないルート)。 ヘロンの公式を忘れても、垂線1本で解ける。BC$=14$ を底辺にして、A から垂線 AH を下ろす。$\mathrm{BH}=x$ とおくと $\mathrm{HC}=14-x$。左右の直角三角形で高さ ${\mathrm{AH}}^2$ を2通りに表す:

$$13^2-x^2=15^2-(14-x{)}^2$$

展開すると $169-x^2=225-196+28x-x^2$、整理して $169=29+28x$、$x=5$。

すると ${\mathrm{AH}}^2=169-25=144$、$\mathrm{AH}=12$。実は左は $5$-$12$-$13$、右は $9$-$12$-$15$($=3\times (3,4,5)$)という有名直角三角形の貼り合わせだった。面積は

$$S=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12=84$$

$r=\frac{S}{s}=4$、$R=\frac{abc}{4S}=\frac{65}{8}$ は本解と同じ。$13$-$14$-$15$ がどういう三角形かが分かるルートだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 曲面に沿った最短経路は、曲面を平面に展開して直線で結ぶ。これが原則だ。

円錐の側面を切り開くと扇形になる。扇形の半径は母線 $4$。中心角は「底面の円周 $=$ 扇形の弧の長さ」から決まる。

展開図の上で、出発点 A と「1周して戻ってきた A」は、扇形の両端の半径の上に、ともに中心から距離 $4$ の位置に現れる。この2点を結ぶ直線の長さが、求める最短だ。

① 展開図の中心角。 底面の円周は $2\pi \cdot 1=2\pi$。これが半径 $4$ の扇形の弧の長さになる。中心角を $\alpha$ とすると弧長 $=4\alpha =2\pi$、すなわち

$$\alpha =\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$

② 展開図上の2点。 出発点 A と1周後の A′ は扇形の2つの半径(ともに長さ $4$)の端にあり、はさむ角は中心角 $\alpha =\frac{\pi }{2}$。

③ 直線距離(余弦定理)。 中心 O、$\mathrm{OA}=\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }=4$、$\angle \mathrm{AO}{\mathrm{A}}^{\prime }=\frac{\pi }{2}$ の三角形で

$${\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }}^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cos \frac{\pi }{2}=32-0=32,\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }=4\sqrt{2}$$

よって最短の糸の長さは $4\sqrt{2}$。

まとめ: 曲面の最短は「展開して直線」。扇形の中心角を「弧長 $=$ 底面の円周」から出し、両端の A を余弦定理で結ぶ。今回は中心角がちょうど $90^{\circ }$ になり、直角二等辺三角形の斜辺として $4\sqrt{2}$ が出た。

発展。 展開図からは追加の情報も読める。糸が頂点に最も近づく距離は、O から線分 AA′ までの距離で $4\cos 45^{\circ }=2\sqrt{2}$。また、糸の長さ $4\sqrt{2}\approx 5.66$ は底面の円周 $2\pi \approx 6.28$ より短い。まっすぐ張った糸は水平にぐるりと巻くより、頂点側へ膨らむ分だけ得をしている。

別解

一般の円錐で公式にする(得意な人向け)。 母線 $\ell$、底面の半径 $r$ の円錐で、同じ計算を文字のまま実行してみる。展開図の中心角は $\alpha =\frac{2\pi r}{\ell }$。1周する最短の糸は、半径 $\ell$・頂角 $\alpha$ の二等辺三角形の底辺だから、二等辺三角形を半分に割って

$$(\text{最短})=2\ell \sin \frac{\alpha }{2}=2\ell \sin \frac{\pi r}{\ell }$$

本問は $\ell =4,r=1$ で $2\cdot 4\sin \frac{\pi }{4}=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$。一致する。

この公式からは適用範囲も分かる。中心角 $\alpha$ が $180^{\circ }$ を超える(つまり $r>\frac{\ell }{2}$ の平たい円錐)と、2点を結ぶ直線が扇形の外にはみ出してしまい、「展開して直線」の答えはそのままでは使えなくなる。公式化は答えと一緒に「成り立つ条件」まで見せてくれる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 辺と角が混じった条件は、正弦定理で辺を角($\sin$)にそろえると見通しがよい。

$a=2R\sin A,b=2R\sin B$ を代入すると $\sin A\cos A=\sin B\cos B$。左右とも $\frac{1}{2}\sin 2\bullet$ の形だから、$\sin 2A=\sin 2B$ になる。$\sin$ が等しい2つの角の関係は、「等しい」か「和が $\pi$」の2通り。それぞれが三角形のどんな形を表すかを読む。

① 角にそろえる。 $a\cos A=b\cos B$ に正弦定理を代入し、両辺を $2R$ で割ると

$$\sin A\cos A=\sin B\cos B⟺\frac{1}{2}\sin 2A=\frac{1}{2}\sin 2B⟺\sin 2A=\sin 2B$$

② 三角方程式を解く。 $0<A,B<\pi$ より $0<2A,2B<2\pi$。$\sin 2A=\sin 2B$ となるのは

$$2A=2B\text{または}2A=\pi -2B$$

③ 形を読み取る。

• $2A=2B$ のとき $A=B$。2つの角が等しいから、$a=b$ の二等辺三角形
• $2A=\pi -2B$ のとき $A+B=\frac{\pi }{2}$。残る角は $C=\pi -(A+B)=\frac{\pi }{2}$、すなわち $C=90^{\circ }$ の直角三角形

よって $△ABC$ は「$A=B$ の二等辺三角形」または「$C=90^{\circ }$ の直角三角形」。

まとめ: 辺を正弦定理で角にそろえ、$\sin 2A=\sin 2B$ に持ち込む。$\sin$ が等しい=「角が等しい」か「和が $\pi$」の2通りを、両方書くのが要。形状決定は「どちらか」を落とした時点で誤答になる。

発展。 2つの場合は排反ではない。$A=B=45^{\circ }$ の直角二等辺三角形は、両方の条件を同時に満たしている。「または」は「少なくとも一方」の意味で、重なりも許す。単位円で見れば、$\sin 2A=\sin 2B$ は「$2A$ と $2B$ が同じ高さ」で、同じ点か、$y$ 軸対称の点かの2通りに対応する。

別解

辺だけで押し切る(余弦定理ルート)。 $\cos$ を辺で書き下ろして、正弦定理を使わずに解くこともできる。$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$、$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ を条件式に代入し、両辺に $2abc$ を掛けると

$$a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(a^2+c^2-b^2)$$

展開して整理する。$a^2{b}^2$ が消えて

$$a^2{c}^2-b^2{c}^2=a^4-b^4⟺c^2(a^2-b^2)=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$$

右辺に移項して因数分解:

$$(a^2-b^2)(c^2-a^2-b^2)=0$$

よって $a=b$(二等辺)または $c^2=a^2+b^2$(三平方の逆で $C=90^{\circ }$)。三角方程式の場合分けが因数分解の2つの因数として現れる。ここで $(a^2-b^2)$ を「両辺から割って」消してしまうと、二等辺の答えを自分で捨てることになる。因数の形のまま残すのが原則だ。