図形と計量 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 三角比の定義は、角 $A$ から見た $3$ 辺の呼び名を決めるところから始まる。

• 斜辺: 直角の向かい($AB=5$)
• 対辺(向かい合う辺): $BC=3$
• 隣辺(はさむ辺): $CA=4$

$$\sin A=\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}},\cos A=\frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}},\tan A=\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$$

どの角から見るかで、対辺と隣辺が入れ替わる。角 $A$ の話をしているのに角 $B$ の対辺を使う、というミスがいちばん多い。

直角は $\angle C$。だから斜辺は向かいの $AB=5$ だ。角 $A$ の位置に立ったつもりで、残り2辺を見分ける。

• 対辺(角 $A$ の真向かい): $BC=3$
• 隣辺(角 $A$ のとなり): $CA=4$

あとは定義の分数に入れるだけ。

$$\sin A=\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$$

$$\cos A=\frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}=\frac{CA}{AB}=\frac{4}{5}$$

$$\tan A=\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}=\frac{BC}{CA}=\frac{3}{4}$$

もし $\sin A=\frac{4}{5}$ としたら、角 $B$ から見た対辺と取りちがえている。図で『$A$ の向かいはどれ?』を指でさして確かめるとよい。

まとめ:最後に検算。$3^2+4^2=25=5^2$ だから、確かに $\angle C=90^{\circ }$ の直角三角形だ。${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ も成り立つ。この ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ は、次の問題で中心的に使う。

発展。 $3:4:5$ は、辺の長さがすべて整数になる有名な直角三角形(ピタゴラス数)。$5:12:13$、$8:15:17$ も同じ仲間で、問題作りで好んで使われる。$\sin ,\cos$ が分数できれいに出たら、この三角形を疑ってよい。

三角比の値は三角形の大きさによらない。$3:4:5$ でも $6:8:10$ でも $\sin A=\frac{3}{5}$ で同じになる。相似な三角形は同じ三角比を持つからだ。だから三角比は「形(角度)だけで決まる量」であり、角度の情報を数値で表す道具として働く。この性質が測量や物理でこれほど使われる理由である。

別解

対辺・隣辺の取り違えを防ぐ、指差し確認の手順を紹介する。

角 $A$ の三角比を求める → 角 $A$ の頂点に指を置く。

1. 斜辺: 直角($C$)の向かい側の辺で、三角形で最も長い $AB=5$。どの角を見ても斜辺は同じ。
2. 対辺: 指を置いた角 $A$ から、まっすぐ向かい側の辺で、$BC=3$。角 $A$ に触れていない辺だ。
3. 隣辺: 残りの辺で、$CA=4$。角 $A$ に触れている(斜辺以外の)辺。

$$\sin A=\frac{3}{5},\cos A=\frac{4}{5},\tan A=\frac{3}{4}$$

もし角 $B$ で聞かれたら、対辺と隣辺が入れ替わる。$\sin B=\frac{4}{5}$、$\cos B=\frac{3}{5}$、$\tan B=\frac{4}{3}$。

$$\sin A=\cos B,\cos A=\sin B$$

$A+B=90^{\circ }$(直角三角形だから)なので、これは $\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta$ という公式そのものだ。「サイン」と「コサイン」の 「co」 は complementary(余角)の意味だ。$2$ つの角がペアで補い合っている。

検算は相互関係で。${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9+16}{25}=1$ となり、${\sin }^2+{\cos }^2=1$ が成り立つ(三平方の定理の言い換え)。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$ の値は、三角定規 $2$ 枚から読み取れる。

• $45^{\circ }$ の定規($1:1:\sqrt{2}$): $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $30^{\circ }$–$60^{\circ }$ の定規($1:\sqrt{3}:2$): $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$、$\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

値を代入して計算するだけだが、$\sin$ と $\cos$ の取り違えが最頻ミス。定規の絵を描いて、対辺・隣辺を確認してから代入したい。

(1) 値をそのまま入れる。

$$\sin 30^{\circ }\cos 60^{\circ }+\cos 30^{\circ }\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$$

$\sin 30^{\circ }$ と $\cos 30^{\circ }$ の取りちがえがよくあるミスだ。『$30^{\circ }$ は低い角。だから高さの割合 $\sin$ は小さくて $\frac{1}{2}$』と、意味で覚えると混ざらない。

(2) $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$、$\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ を入れる。

$$\tan 30^{\circ }\tan 60^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \sqrt{3}=1$$

きれいに $1$ になったのは偶然ではない。$30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$ の2角では、$\tan$ の積はいつも $1$ になる。

(3) $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので

$$(\sin 45^{\circ }+\cos 45^{\circ }{)}^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$$

まとめ:別のやり方もある。展開して ${\sin }^{2}45^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=1$ と $2\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }=1$ を使えば、$1+1=2$ だ。

発展。 三角比の値の暗記は「定規の絵から読む」が最も確実だが、表として整理するとパターンが見える。$\sin$ の値を $0^{\circ },30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ で並べると

$$\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$$

分子の根号の中が $0,1,2,3,4$ と並ぶという規則がある($\cos$ は逆順)。この覚え方なら、$5$ つの値を $1$ つの規則で再現できる。$45^{\circ }$ の値 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の有理化。どちらで書いてもよいが、分母に根号を残さないのが答案の作法である。

別解

$3$ つの答えがすべてきれいな数($1,1,2$)になったのは偶然ではない。それぞれに理由がある。

(1) $\sin 30^{\circ }\cos 60^{\circ }+\cos 30^{\circ }\sin 60^{\circ }=1$

これは加法定理 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$(数IIで学ぶ)の形。$\alpha =30^{\circ },\beta =60^{\circ }$ なので

$$=\sin (30^{\circ }+60^{\circ })=\sin 90^{\circ }=1$$

計算せずに答えが出る。「$\sin \cos +\cos \sin$」の形を見たら、角を足す。

(2) $\tan 30^{\circ }\tan 60^{\circ }=1$

$30^{\circ }$ と $60^{\circ }$ は余角($30+60=90$)。余角どうしの $\tan$ は互いに逆数だ($\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$、$\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$)。逆数の積は必ず $1$。

(3) $(\sin 45^{\circ }+\cos 45^{\circ }{)}^2=2$

展開すると ${\sin }^2+2\sin \cos +{\cos }^2=1+2\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }$。$\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }=\frac{1}{2}$ なので $1+1=2$。

相互関係 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ を使えば、値を代入せずに済む。$45^{\circ }$ に限らず、どんな $\theta$ でも $(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=1+2\sin \theta \cos \theta$ が成り立つ。

答えがきれいになるときは、公式の構造が理由になっている。計算して確かめるだけでなく、「なぜきれいになったか」を問うと、あとで学ぶ公式の形が分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 使う道具は相互関係

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

$\sin \theta =\frac{3}{5}$ を代入すると ${\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$、よって $\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$。

ここで符号を決める。$\theta$ は鋭角(問題文にある)なので $\cos \theta >0$、だから $\frac{4}{5}$。$\pm$ のまま答えるのが最頻ミス。角の範囲を必ず確認して符号を確定する。これが三角比の計算の作法である。

まず $\cos \theta$。 相互関係 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を ${\cos }^2$ について解く。

$${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

ここで $\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$ の2択が出る。2乗の情報だけでは符号が決まらないからだ。決め手は『$\theta$ は鋭角』。鋭角なら $\cos \theta >0$ なので

$$\cos \theta =\frac{4}{5}$$

次に $\tan \theta$。 $\tan =\frac{\sin }{\cos }$ に入れる。

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{3}{5}÷\frac{4}{5}=\frac{3}{5}\times \frac{5}{4}=\frac{3}{4}$$

この答えは、辺が $3,4,5$ の直角三角形を思いうかべると確かめられる。$\sin \theta =\frac{3}{5}$ は、この三角形の話だ。

発展。 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ は、三平方の定理そのものだ。斜辺 $1$ の直角三角形を描けば、対辺が $\sin \theta$、隣辺が $\cos \theta$ になり、$3$ 平方で ${\sin }^2+{\cos }^2=1^2$。「相互関係」という名前だが、中身は中学の定理である。

この式は角度が何であれ成り立つ($90^{\circ }$ でも、鈍角でも、数IIで学ぶ $360^{\circ }$ 超でも)。単位円($x^2+y^2=1$)の上の点が $(\cos \theta ,\sin \theta )$ だから、円の方程式がそのまま相互関係になっている。三角比の理論は単位円の幾何学である。

別解

計算せず、直角三角形を描いて三平方で解くこともできる。こちらは符号の迷いが原理的に起きない。$\sin \theta =\frac{3}{5}$ とは「対辺 $3$、斜辺 $5$」の直角三角形があるということ($\theta$ は鋭角なので、実際にそういう三角形が描ける)。

残りの隣辺は三平方の定理で

$$\text{隣辺}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$$

$3$–$4$–$5$ の三角形だ。$3$ 辺が揃えば、定義から直接読める。

$$\cos \theta =\frac{4}{5},\tan \theta =\frac{3}{4}$$

辺の長さは正なので、符号の問題が発生しない。これがこの方法の最大の利点だ。$\pm$ を書いて「鋭角だから正」と論じる手間が省ける。

ただし鈍角($90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$)では、直角三角形が描けないので相互関係の式で処理する必要がある(そのとき $\cos$ は負)。

• 鋭角なら三角形を描く(速い・確実)
• 鈍角を含むなら相互関係 $+$ 符号の吟味(汎用)

$2$ つを使い分けられると、三角比の計算が一段速くなる。$\tan$ も $\frac{\sin }{\cos }=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$ と分数の割り算で出るが、三角形なら $\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$ で、すぐに出る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\tan$ から出発するときの相互関係は

$$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$

(${\sin }^2+{\cos }^2=1$ の両辺を ${\cos }^2\theta$ で割った形。)$\tan \theta =2$ を代入すると $1+4=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$、つまり ${\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$。鋭角なので $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$(有理化)。$\sin \theta$ は $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ から $\sin \theta =2\cos \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

まず $\cos \theta$。 これに $\tan \theta =2$ を入れる。

$$\frac{1}{{\cos }^2\theta }=1+2^2=5\text{よって}{\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$$

右辺が ${\cos }^2\theta$ ではなく、その逆数になっている点に注意。ここを取りちがえると ${\cos }^2\theta =5$ という変な値が出る。$\cos$ は $1$ 以下のはず、という感覚があればミスに気づける。$\theta$ は鋭角なので $\cos \theta >0$。有理化して

$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

次に $\sin \theta$。 $\tan =\frac{\sin }{\cos }$ を変形した $\sin \theta =\tan \theta \cos \theta$ を使う。

$$\sin \theta =2\times \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

検算: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$。確かに成り立つ。イメージでも確かめられる。底辺 $1$、高さ $2$ の直角三角形なら斜辺は $\sqrt{5}$。そこから $\tan \theta =2$、$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$、$\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}$ が読み取れる。公式で出した値と絵が一致する。

発展。 $\tan \theta =2$ という値は、傾き $2$ の直線が $x$ 軸となす角でもある。$y=2x$ の直線を描けば、$x$ 軸との角が $\theta$ になる。$\tan$ は「傾き」の別名だ($\theta \approx 63.4^{\circ }$)。図形と方程式(数II)で「$2$ 直線のなす角」を $\tan$ で求めるのは、この対応が理由である。

$3$ つの相互関係(${\sin }^2+{\cos }^2=1$、$\tan =\frac{\sin }{\cos }$、$1+{\tan }^2=\frac{1}{{\cos }^2}$)のうち、独立なのは最初の $2$ つだけだ。$3$ つ目は前 $2$ つから導ける。覚える公式は少ないほどよい、という原則からすると、$3$ つ目は「導ける便利式」として扱えば十分だ。

別解

ここでも三角形を描くルートが速い。公式を $1$ つも使わずに済む。$\tan \theta =2=\frac{2}{1}$ とは「対辺 $2$、隣辺 $1$」の直角三角形のこと。

斜辺は三平方で

$$\text{斜辺}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$

$3$ 辺が $1,2,\sqrt{5}$ と揃った。定義から読むだけだ。

$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5},\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

公式 $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ を覚えていなくても解ける。三角形を描けば、必要な情報は全部そこにある。しかもこの図から、公式の意味まで分かる。斜辺の $2$ 乗は $1+{\tan }^2\theta$($=1+4=5$)で、$\cos \theta =\frac{1}{\text{斜辺}}$ だから

$$\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\text{斜辺}}^2=1+{\tan }^2\theta$$

公式はこの三角形の三平方の定理を書き直しただけである。検算も忘れずに。${\sin }^2+{\cos }^2=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$、$\frac{\sin }{\cos }=2$ となる。$2$ つの関係が両方成り立てば、まず間違いない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 鈍角の三角比は、補角の公式で鋭角に直す。

$$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta ,\tan (180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$$

$\sin$ だけ符号がそのまま、$\cos$ と $\tan$ はマイナスが付く。符号を間違えやすい。(1) $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$ なので $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$(正のまま)。

(2) $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$ なので $\cos 135^{\circ }=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$(マイナスが付く)。

$180^{\circ }-\theta$ の公式で、鋭角の三角比に直して求める。

(1) $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$ なので

$$\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

(2) $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$ なので

$$\cos 135^{\circ }=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

(3) $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$ なので

$$\tan 150^{\circ }=-\tan 30^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

公式だけでなく、符号を図で確かめておく。$90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$(鈍角)では、半円上の点は左上にある。$x$ 座標が負だから $\cos \theta <0$、$\tan \theta <0$。$y$ 座標は正だから $\sin \theta >0$。

まとめ:『鈍角で負になるのは $\cos$ と $\tan$。$\sin$ は正のまま』。この符号の地図が頭にあれば、マイナスのつけ場所をまちがえても自分で気づける。

発展。 三角比を鈍角まで拡張するのは、三角形の内角には鈍角がありうるからだ。鈍角三角形で余弦定理や正弦定理を使うには、$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ のような値が必要になる。定義を「直角三角形の辺の比」から「単位円の座標」へ広げたことで、$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ のすべての角が扱えるようになった。

数IIではさらに広げて、$360^{\circ }$ を超える角や負の角も扱う(そこでは「三角関数」と呼ばれる)。定義を広げても、既に知っている値は変わらない。定義を広げても、それまでの値はそのまま使える。数の範囲を負・分数・無理数・複素数と広げてきたのと同じ考え方である。

別解

符号の規則を丸暗記せず、単位円で毎回導けるようにしよう。半径 $1$ の円で、$x$ 軸から角 $\theta$ だけ回った点 $\mathrm{P}$ をとる。このとき

$$\cos \theta =\mathrm{P}\text{の}x\text{座標},\sin \theta =\mathrm{P}\text{の}y\text{座標}$$

これが三角比の拡張された定義だ。あとは座標の符号を見るだけ。

$\theta =120^{\circ }$ の点は、円の左上(第 $2$ 象限)にいる。

• $y$ 座標(高さ)は正 → $\sin 120^{\circ }>0$。値は $60^{\circ }$ の点と同じ高さ($\frac{\sqrt{3}}{2}$)
• $x$ 座標(横)は負 → $\cos 120^{\circ }<0$

$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ までは、点は円の上半分にいる。だから $y$ 座標($\sin$)は常に $0$ 以上。「$\sin 120^{\circ }$ にマイナスを付ける」という誤りは、この一言で防げる。

一方 $x$ 座標($\cos$)は $90^{\circ }$ を境に正から負へ変わる。$\tan =\frac{\sin }{\cos }$ は、$\sin$ が正・$\cos$ が負の鈍角では必ず負になる。

$$\tan 150^{\circ }=\frac{\sin 150^{\circ }}{\cos 150^{\circ }}=\frac{1/2}{-\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

単位円の絵 $1$ 枚で、$3$ つの公式の符号がすべて説明できる。暗記でなく、絵を描いて確かめる習慣を持ちたい。この単位円の見方は数IIの三角関数でそのまま中心的に使う。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「鋭角の三角比で表せ」とあるので、$180^{\circ }-\theta$ の公式を使って、角を $90^{\circ }$ 未満に落とす。

$$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta ,\tan (180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$$

(1) $160^{\circ }=180^{\circ }-20^{\circ }$ → $\sin 160^{\circ }=\sin 20^{\circ }$(符号そのまま)(2) $110^{\circ }=180^{\circ }-70^{\circ }$ → $\cos 110^{\circ }=-\cos 70^{\circ }$(マイナス)計算の中身は「$180$ から引く」だけ。$\sin$ は符号そのまま、$\cos$ と $\tan$ はマイナス。この $1$ 行を守れば終わる。

(1) $160^{\circ }=180^{\circ }-20^{\circ }$ なので

$$\sin 160^{\circ }=\sin (180^{\circ }-20^{\circ })=\sin 20^{\circ }$$

図で納得しておく。$20^{\circ }$ と $160^{\circ }$ の点は $y$ 軸をはさんで左右対称の位置にある。高さ($y$ 座標 $=\sin$)は同じ。だから $\sin$ にマイナスはつかない。

(2) $110^{\circ }=180^{\circ }-70^{\circ }$ なので

$$\cos 110^{\circ }=\cos (180^{\circ }-70^{\circ })=-\cos 70^{\circ }$$

左右対称の点では、$x$ 座標($=\cos$)は符号だけ反転する。だからマイナスがつく。

(3) $95^{\circ }=180^{\circ }-85^{\circ }$ なので

$$\tan 95^{\circ }=\tan (180^{\circ }-85^{\circ })=-\tan 85^{\circ }$$

まとめ:なお、$90^{\circ }-\theta$ の公式も使うと、(2)は $-\cos 70^{\circ }=-\sin 20^{\circ }$ とも書ける。表し方は1通りではない。鋭角の三角比で表せていれば、どの形でも正解だ。

発展。 $90^{\circ }-\theta$ の公式($\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta$ など)も、あわせて押さえたい。こちらは余角の関係で、直角三角形の $2$ つの鋭角の関係($A+B=90^{\circ }$)そのものだ。

• 補角 $180^{\circ }-\theta$: $\sin$ は不変、$\cos$・$\tan$ は符号反転($2$ 直角から引く)
• 余角 $90^{\circ }-\theta$: $\sin$ と $\cos$ が入れ替わる($1$ 直角から引く)

$2$ つの公式は役割が違う。補角は「鈍角を鋭角に直す」、余角は「$\sin$ と $\cos$ を行き来する」ために使う。どちらも単位円の対称性(左右反転・対角線反転)から導ける。単位円 $1$ 枚から、これらの公式がすべて導ける。

別解

符号の $◯\times$ を、単位円の象限で判定すると確実だ。$0^{\circ }$〜$180^{\circ }$ の角は単位円の上半分にいる。$90^{\circ }$ を境に $2$ つの象限に分かれる。

鈍角($90^{\circ }$ 超)では $\cos$ と $\tan$ が負、$\sin$ は正のまま。これを $3$ 問に当てはめる。

• (1) $160^{\circ }$ は鈍角 → $\sin$ は正 → $\sin 160^{\circ }=+\sin 20^{\circ }$
• (2) $110^{\circ }$ は鈍角 → $\cos$ は負 → $\cos 110^{\circ }=-\cos 70^{\circ }$
• (3) $95^{\circ }$ は鈍角(かろうじて $90^{\circ }$ 超)→ $\tan$ は負 → $\tan 95^{\circ }=-\tan 85^{\circ }$

「符号は象限で決まる、大きさは補角($180^{\circ }$ から引いた角)で決まる」。この $2$ 段で考えれば、公式を $3$ つ覚える必要はない。

(3)の $95^{\circ }$ は $90^{\circ }$ をわずかに超えただけだが、$\tan$ の符号は急激に反転する($\tan 89^{\circ }\approx 57$、$\tan 91^{\circ }\approx -57$)。$\tan 90^{\circ }$ は定義されない。$\cos 90^{\circ }=0$ で分母が $0$ になるからだ。$90^{\circ }$ 付近の $\tan$ の激変は、単位円で $x$ 座標が $0$ を横切ることの現れである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 三角比の方程式は、$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ の範囲で、その値になる角をすべて探すのが仕事だ。

注意するのは解の個数である。

• $\sin$ の方程式: 上半円で同じ高さの点は左右に $2$ つある($\theta$ と $180^{\circ }-\theta$)→ 解が $2$ 個になりやすい
• $\cos$ の方程式: $x$ 座標は $180^{\circ }$ まで単調に減るので、同じ値の点はただ $1$ つ → 解は $1$ 個

(1)の $\sin \theta =\frac{1}{2}$ は $30^{\circ }$ と $150^{\circ }$ の $2$ 個。$150^{\circ }$ を忘れるのが最頻ミスである。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ の範囲で、半円上の点の座標を手がかりに考える。

(1) $\sin \theta =\frac{1}{2}$ は、半円上で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ になる角。高さ $\frac{1}{2}$ の水平線を引くと、半円と2か所で交わる。鋭角側の $\theta =30^{\circ }$ と、対称な鈍角側 $\theta =150^{\circ }$($\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }$)だ。

$$\theta =30^{\circ },150^{\circ }$$

$30^{\circ }$ だけ答えて鈍角側を落とすのが、この型で最も多いミス。『$\sin =c$($0<c<1$)は解2つ』と、交点の個数で覚えたい。

(2) $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ は、$x$ 座標が $-\frac{1}{2}$ になる角。$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ なので、$\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$ より

$$\theta =120^{\circ }$$

こちらは解が1つだけ。$0^{\circ }$〜$180^{\circ }$ では $x$ 座標は $1$ から $-1$ へ一方通行で動くので、縦線は1回しか交わらない。$\sin$ と $\cos$ で解の個数がちがう、という対比を図で押さえておく。

(3) $\tan \theta =-1$。$\tan 45^{\circ }=1$ なので、$\tan 135^{\circ }=-\tan 45^{\circ }=-1$ より

$$\theta =135^{\circ }$$

まとめ:$\tan$ が負になるのは鈍角のとき。符号から『答えは鈍角側』と当たりをつけてから探すと速い。

発展。 $\cos$ の解が $1$ 個なのは、$0^{\circ }$〜$180^{\circ }$ で $\cos$ が単調減少($1$ から $-1$ へ一直線に減る)だからだ。単調な関数は同じ値を $2$ 度とらない。単調性が解の一意性を保証する、という論理は数学全体で使われる。

一方 $\sin$ は $90^{\circ }$ で最大 $1$ をとる山型なので、同じ値を $2$ 度とる。だから解が $2$ 個。関数の増減の形が方程式の解の個数を決める。$2$ 次関数のグラフと $x$ 軸の交点の議論と同じ考え方が、ここにも現れている。

数IIで角の範囲を $0^{\circ }$〜$360^{\circ }$ に広げると、$\cos$ の方程式も解が $2$ 個になる(下半円にも交点ができる)。解の個数は考える範囲によって変わる。範囲の確認が常に最初の一手である。

別解

解の個数を単位円の絵で確定させれば、書き漏らしが構造的になくなる。

(1) $\sin \theta =\frac{1}{2}$ のとき。 $\sin$ は $y$ 座標だ。上半円で「高さが $\frac{1}{2}$」の点を探す。水平線 $y=\frac{1}{2}$ を引くと、円と $2$ か所で交わる(右上と左上)。

$$\theta =30^{\circ },150^{\circ }$$

水平線は円を $2$ 回切る。だから $\sin$ の方程式は解が $2$ 個になる(値がちょうど $1$ のときだけ $1$ 個)。

(2) $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ のとき。 $\cos$ は $x$ 座標だ。「横位置が $-\frac{1}{2}$」の点を探す。垂直線 $x=-\frac{1}{2}$ を引くと、上半円では $1$ か所しか交わらない(下半分の交点は範囲外)。

$$\theta =120^{\circ }$$

垂直線は上半円を $1$ 回だけ切る。だから $\cos$ の方程式は解が $1$ 個だ。

(3) $\tan \theta =-1$ のとき。 $\tan$ が負なので鈍角だと分かる。$\tan 45^{\circ }=1$ だから、補角の $135^{\circ }$ で $\tan 135^{\circ }=-1$ となる。

$$\theta =135^{\circ }$$

「$\sin$ は水平線で $2$ 交点、$\cos$ は垂直線で $1$ 交点」。この絵を持てば、解の個数で悩まない。$\sin$ の問題で答えを $1$ つしか書かない、という減点が消える。

検算は代入で。$\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ となる。補角の公式がもう $1$ つの解の存在を保証している。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 正弦定理は「辺とその向かいの角」をペアで結ぶ。

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

($a$ は角 $A$ の対辺、$R$ は外接円の半径。)使うときは「$2$ 組のうち $3$ つが分かれば、残り $1$ つが出る」。

$BC=6$ は角 $A$ の対辺($a=6$)で、$\angle A=60^{\circ }$ だから、辺と対角のペアが揃っている。$CA$ は角 $B$ の対辺($b$)で、$\angle B=45^{\circ }$ となっている。辺と対角のペアで考えるのが正弦定理の要点だ。

まず対応の確認から。角 $A$ の対辺が $BC=a=6$、角 $B$ の対辺が $CA=b$ だ。図で『角の向かい側の辺』を指さして確かめてから式を立てる。

(1) 正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ より

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{6\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=6\times \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$$

よって $CA=2\sqrt{6}$ だ。分数の中に分数が入る形になるが、$\frac{\sqrt{2}}{2}÷\frac{\sqrt{3}}{2}$ で $2$ が約分される。落ち着いて処理すればきれいになる。

(2) 正弦定理のもう1つの形 $\frac{a}{\sin A}=2R$ を使う。外接円の半径が正弦定理から出るのは意外かもしれないが、これが正弦定理の本体だ。

$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{6}{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$$

まとめ:$2R$ の $2$ を忘れて $R=\frac{a}{\sin A}$ とするミスが多い。『$=2R$』までを1つの公式として、声に出して覚えたい。

発展。 正弦定理は「大きい角の向かいには長い辺」を数値化したものだ。$\sin$ は $0^{\circ }$〜$90^{\circ }$ で増加するので、角が大きいほど対辺も長い。今回なら $\angle A=60^{\circ }>\angle B=45^{\circ }$ だから $a=6>b=2\sqrt{6}\approx 4.9$。答えの大小関係が角の大小と合っているか、最後に確認したい。

$2R$ という量が出てくるのは、円周角の定理が背景にあるからだ。外接円で弦 $a$ に対する円周角が $A$ のとき、$a=2R\sin A$ となる。これは円周角の定理の三角比版だ。正弦定理は円の幾何学の言い換えである。だから外接円の半径が自然に登場する。

別解

正弦定理を使う順序にコツがある。先に $2R$ を求めておくと、以降の辺がすべて掛け算 $1$ 回で出る。

手順1: 完全なペアから $2R$ を出す

$a=6$、$\angle A=60^{\circ }$ が揃っている。

$$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{6}{\sin 60^{\circ }}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$

外接円の半径 $R=2\sqrt{3}$ で、(2)の答えが先に出た。

手順2: $2R$ を使って他の辺を出す

正弦定理を $b=2R\sin B$ の形で使う。

$$CA=b=4\sqrt{3}\times \sin 45^{\circ }=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{6}$$

掛け算 $1$ 回で終わり。比例式を立てて交差乗算する手間がない。

$$\boxed{\text{辺}=2R\times \sin (\text{対角})}$$

この形で覚えておくと、$c$(角 $C=75^{\circ }$ の対辺)も同じく $4\sqrt{3}\sin 75^{\circ }$ で即座に出る。

$2R$ は三角形の 「変換係数」 と言える。すべての辺が「$2R\times$ 対角の $\sin$」で表せる。正弦定理が言っているのは、「辺と $\sin$ が比例し、その比例定数が $2R$」ということだ。$R$ を聞かれていなくても、まず $2R$ を出すのが定跡である。

検算: $2R$ の値がどのペアでも同じか確かめる。$\frac{2\sqrt{6}}{\sin 45^{\circ }}=\frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\sqrt{3}$ で、一致した。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 与えられたのは $2$ 辺($AB=8$、$AC=5$)と、そのあいだの角($\angle A=60^{\circ }$)。

このとき使う道具は $1$ つに決まる。余弦定理だ。

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

「$2$ 辺とはさむ角 → 向かいの辺」がこの定理の役割である。正弦定理は「辺と対角のペア」が要るが、ここには対角のペアが $1$ 組もない。だから正弦定理では動けない。

どちらの定理を使うかは与えられた情報の形で決まる。これが三角形の計量の基本だ。

求めたい辺 $BC$ を $a$、はさむ2辺を $b$、$c$、間の角を $A$ とみて当てはめる。

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$$

値を入れる。

$$B{C}^2=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-80\times \frac{1}{2}=89-40=49$$

$BC>0$ なので

$$BC=7$$

最後の平方根で $\pm 7$ と迷わなくていい。辺の長さは正、の一言で片づく。

検算のコツ。余弦定理は『三平方の定理の補正版』だ。$\angle A=60^{\circ }<90^{\circ }$ なら補正項 $-2bc\cos A$ が負に働くので、$B{C}^2$ は三平方の値 $8^2+5^2=89$ より小さくなるはず。確かに $49<89$ だ。角が $90^{\circ }$ ならちょうど三平方、鈍角なら三平方より大きくなる。この感覚は符号ミスの検出器として役立つ。

発展。 $8$、$5$、$60^{\circ }$ から $7$ という整数が出たのは偶然ではない。$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ のおかげで $2bc\cos A=bc$ となり、

$$a^2=b^2+c^2-bc$$

という整数だけの式になるからだ。$(b,c)=(8,5)$ で $64+25-40=49=7^2$。$60^{\circ }$ や $120^{\circ }$($\cos =-\frac{1}{2}$)を含む三角形は、こうして整数の辺の組が作りやすい。$(3,8,7)$ や $(5,8,7)$ は入試でもよく登場する「$60^{\circ }$ の三角形」である。

さらに一歩。ベクトルを学ぶと、余弦定理は

$$|\vec{b}-\vec{c}{|}^2=|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2-2\vec{b}\cdot \vec{c}$$

の言い換えだと分かる($\vec{b}\cdot \vec{c}=|\vec{b}||\vec{c}|\cos A$)。三平方 → 座標 → ベクトルと表現を変えながら、同じ $1$ つの事実が姿を変えて現れる。

別解

余弦定理を「覚えた公式」でなく、座標に置いて三平方の定理で押し切る方法を見ておこう。公式を忘れても解けるし、余弦定理がなぜ成り立つかも分かる。頂点 $A$ を原点に置き、辺 $AB$ を $x$ 軸に重ねる。

• $A=(0,0)$
• $B=(8,0)$ ($AB=8$ を $x$ 軸方向に)
• $C$ は $A$ から距離 $5$、$x$ 軸との角 $60^{\circ }$ の位置。つまり

$$C=(5\cos 60^{\circ },5\sin 60^{\circ })=\left(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$$

あとは $2$ 点間の距離(三平方の定理)を計算するだけだ。

$$B{C}^2={\left(8-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(0-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)}^2={\left(\frac{11}{2}\right)}^2+\frac{75}{4}=\frac{121}{4}+\frac{75}{4}=\frac{196}{4}=49$$

$$BC=7$$

余弦定理と同じ答えになった。

ここで公式の意味が分かる。 一般に $B=(c,0)$、$C=(b\cos A,b\sin A)$ と置くと

$$B{C}^2=(c-b\cos A{)}^2+(b\sin A{)}^2=c^2-2bc\cos A+b^2({\cos }^{2}A+{\sin }^{2}A)=b^2+c^2-2bc\cos A$$

(${\cos }^{2}A+{\sin }^{2}A=1$ を使った。)余弦定理は、座標に置いた三平方の定理そのものである。

$\angle A=90^{\circ }$ なら $\cos A=0$ で補正項が消え、$a^2=b^2+c^2$ となる。ただの三平方の定理に戻る。$-2bc\cos A$ は「直角からのズレの補正」。角が鋭角なら $\cos A>0$ で対辺は短くなり、鈍角なら $\cos A<0$ で対辺は長くなる。図の直感と一致する。