数と式 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) この問題の作業は2つある。「同類項をまとめる」と「並べ替える」だ。

同時にやろうとするとミスが出る。先にまとめて、あとで並べる。工程を分けるのが出発点になる。

(2)で「$x$ に着目」と言われたら、$y$ は数の仲間として扱う。着目する文字を決めてから手を動かすと、迷わない。

(1) 同類項をまとめる。$x^2$ の項: $2x^2-x^2=x^2$。$xy$ の項: $-3xy+4xy=xy$。$y^2$ の項: $5y^2-2y^2=3y^2$。残りはそのまま。

$$\begin{array}{rl}A& =(2x^2-x^2)+(-3xy+4xy)+(5y^2-2y^2)+6x-8\\ & =x^2+xy+3y^2+6x-8\end{array}$$

(2) $x$ について整理する。$x^2$ の項は $x^2$、$x$ の項は $xy+6x=(y+6)x$、$x$ を含まない項は $3y^2-8$。まとめて

$$A=x^2+(y+6)x+3y^2-8$$

まとめ:$x$ の係数が $y+6$ とひとまとまりになる点、$3y^2-8$ が($y$ が入っていても)$x$ から見れば定数になる点がポイント。

発展。 「どの文字に着目するか」で式の見え方が変わる、という見方はこの先ずっと使う。同じ $A$ でも $y$ に着目すれば $3y^2+xy+(x^2+6x-8)$ となり、1次の係数は $x$、定数項は $x^2+6x-8$ に変わる。

因数分解で「次数の低い文字について整理する」技や、数学IIの整式の割り算は、すべてこの「着目する文字を決める」見方から始まる。

別解

同類項をまとめる作業は「種類ごとの箱に仕分ける」と考えると目で追いやすい。$x^2$ の箱、$xy$ の箱、$y^2$ の箱、$x$ の箱、数だけの箱。この5つを用意して、項を順に放り込む。

• $x^2$ の箱: $2x^2$ と $-x^2$ で $x^2$
• $xy$ の箱: $-3xy$ と $+4xy$ で $xy$
• $y^2$ の箱: $5y^2$ と $-2y^2$ で $3y^2$
• $x$ の箱: $6x$
• 数の箱: $-8$

箱の中身を並べれば $x^2+xy+3y^2+6x-8$ になる。仕分けてから足すので、符号の見落としが起きにくい。

(2)の降べきの順も同じ要領だ。今度は「$x$ が2次の棚・1次の棚・0次の棚」の3段に置き直す。$xy$ は $x$ が1次だから1次の棚へ。$3y^2$ と $-8$ は $x$ を含まないから0次の棚に入る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $A$ と $B$ の中身をすぐ代入したくなる。でも、それは最後の手段だ。

先に代入すると文字が増えて、式がふくらむ。まず $A$、$B$ を文字のまま整理して、式を短くする。$3A-2B-(A-3B)$ は、$A$ どうし・$B$ どうしをまとめれば $2A+B$ まで縮む。代入はそれからでいい。

まず、$A$、$B$ を文字のままにして式を整理する。$-(A-3B)$ のカッコを外すと符号が変わって $-A+3B$。

$$3A-2B-(A-3B)=3A-2B-A+3B=2A+B$$

ここまで来てから、$A$、$B$ の中身を代入する。

$$\begin{array}{rl}2A+B& =2(2x^2-3x+4)+(x^2+2x-3)\\ & =4x^2-6x+8+x^2+2x-3\\ & =5x^2-4x+5\end{array}$$

最初から代入するより、先に $2A+B$ まで整理しておくほうが、あつかう式が短くなってミスしにくい。

発展。 「式を1つの数のように扱う」感覚は、これから先も役に立つ。$A$ や $B$ を数のように足し引きできたのは、整式の和・差・定数倍がまた整式になるからだ。

数学IIで整式の割り算や恒等式を学ぶと、この「式そのものを計算の対象にする」見方が本格的に活躍する。

別解

慣れてきたら、「係数だけ」を取り出して計算する方法もある。$x^2$、$x$、数の順に係数を並べると、$A$ は $(2,-3,4)$、$B$ は $(1,2,-3)$ という数の組になる。$2A+B$ はこの組の足し算で計算できる。$(4,-6,8)+(1,2,-3)=(5,-4,5)$。

つまり答えは $5x^2-4x+5$ だ。文字を書かない分だけ速く、位取りの筆算と同じ感覚で進められる。ただし、並べる順番(次数の位置)は最初に固定しておくこと。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 係数がつき、文字が2つに増えた。それでも最初にやることは同じで、「どの形か」を見分ける。

(1)は差の2乗。(2)は和と差の積。(3)はどの公式にも当てはまらないから、1つずつ配って掛ける。

公式を使うときは $3x$ や $2y$ をひとかたまりと見る。かたまりごと2乗するので、$(3x{)}^2=9x^2$ と係数も2乗される。ここを先に意識しておくとミスが減る。

(1) $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ で、$a=3x$、$b=2y$。

$$(3x-2y{)}^2=(3x{)}^2-2\cdot 3x\cdot 2y+(2y{)}^2=9x^2-12xy+4y^2$$

$(3x{)}^2=9x^2$ のように、係数も2乗する。

(2) 和と差のかけ算 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。

$$(4a+5b)(4a-5b)=(4a{)}^2-(5b{)}^2=16a^2-25b^2$$

(3) これは公式にあてはまらないので、1つずつ配ってかける。

$$\begin{array}{rl}(2x+3y)(3x-4y)& =2x\cdot 3x+2x\cdot (-4y)+3y\cdot 3x+3y\cdot (-4y)\\ & =6x^2-8xy+9xy-12y^2\\ & =6x^2+xy-12y^2\end{array}$$

まとめ:まん中の $xy$ の項($-8xy+9xy=xy$)をまとめるのを忘れずに。

発展。 和と差の積 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ は、数の暗算にも使える。たとえば $97\times 103=(100-3)(100+3)=10000-9=9991$。

展開公式は「文字の式の整理術」であると同時に、「数の計算の近道」でもある。形を見抜く目はどちらの場面でも同じように役に立つ。

別解

(3)のような「公式なし」の展開は、掛け算の表を書くと取りこぼしがなくなる。縦に $2x$ と $3y$、横に $3x$ と $-4y$ を並べて、マスごとに掛ける。

• $2x\times 3x=6x^2$
• $2x\times (-4y)=-8xy$
• $3y\times 3x=9xy$
• $3y\times (-4y)=-12y^2$

4つのマスを全部足して $6x^2-8xy+9xy-12y^2=6x^2+xy-12y^2$。「左の項それぞれ × 右の項それぞれ」を表にしただけだが、符号つきの項が多いときほど書き出す効果は大きい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 4つのカッコを左から順に掛けると、項があふれて手に負えなくなる。

そこで思い出したいのは、掛け算は順序を選べるということだ。どの2つを先に組むかはこちらの自由。

狙いは「共通のかたまりが現れる組み方」だ。定数どうしの和が等しくなるペアを組むと、同じかたまりが2回出る。$1+(-2)$ と $3+(-4)$ はどちらも $-1$。だから $(x+1)(x-2)$ と $(x+3)(x-4)$ を組めば、$x^2-x$ が共通に現れる。

かける順番を工夫して、2つずつ組む。$(x+1)(x-2)$ と $(x+3)(x-4)$ を先に計算すると

$$(x+1)(x-2)=x^2-x-2,(x+3)(x-4)=x^2-x-12$$

どちらにも $x^2-x$ が現れた。これを $t=x^2-x$ とおくと

$$\begin{array}{rl}(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)& =(t-2)(t-12)\\ & =t^2-14t+24\end{array}$$

$t$ をもとに戻して展開する。

$$\begin{array}{rl}& =(x^2-x{)}^2-14(x^2-x)+24\\ & =x^4-2x^3+x^2-14x^2+14x+24\\ & =x^4-2x^3-13x^2+14x+24\end{array}$$

まとめ:共通のかたまりが出るようにペアを組むことが大事だ。定数どうしの積・和を見て、$x^2-x$ がそろうように $(x+1)(x-2)$ と $(x+3)(x-4)$ を選んだ。

発展。 「定数の和が等しいペアを組む」工夫は、グラフの言葉でいうと、4つの1次式のずらしを左右対称にそろえる操作になっている。真ん中をそろえるから、同じかたまりが現れる。

数学IIで4次方程式を解くときにも、この組み方がそのまま基本の方法として使える。

別解

力がついてきたら、「展開の意味」から係数を直接求める方法もある。展開とは各カッコから項を1つずつ選んで掛け、すべての選び方を足し合わせることだ。カッコの定数は $1$、$3$、$-2$、$-4$ の4つ。

• $x^4$ の項: 4つとも $x$ を選ぶ。係数は $1$
• $x^3$ の項: 定数を1つだけ選ぶ。$1+3-2-4=-2$
• $x^2$ の項: 定数を2つ選ぶ。$1\cdot 3$、$1\cdot (-2)$、$1\cdot (-4)$、$3\cdot (-2)$、$3\cdot (-4)$、$(-2)(-4)$ の和で $3-2-4-6-12+8=-13$
• $x$ の項: 定数を3つ選ぶ。$-6-12+8+24=14$
• 定数項: 4つ全部の積 $1\cdot 3\cdot (-2)\cdot (-4)=24$

合わせて $x^4-2x^3-13x^2+14x+24$。書く量は多く見えるが、ペア組みに気づけなくても確実に届く。なにより「展開=選んで掛けて足す」という仕組みそのものが身につく。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)は項が3つの2乗だ。2項の公式しか知らないと手が止まるが、3項版の公式がある。2乗3つと、掛け合わせ3つの2倍。全部で6項をそろえる。

(2)は順序の問題だ。左から機械的に掛けるのではなく、相性のよいペアを探す。$(x-2)(x+2)$ を先に計算すれば和と差の積になる。その結果と $x^2+4$ もまた和と差の積になる。公式が2連続で使える順番を選ぶ。

(1) 3つの項の2乗の公式

$$(A+B+C{)}^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2CA$$

に、$A=a$、$B=2b$、$C=-3c$ を当てはめる。

$$\begin{array}{rl}(a+2b-3c{)}^2& =a^2+(2b{)}^2+(-3c{)}^2+2\cdot a\cdot 2b+2\cdot 2b\cdot (-3c)+2\cdot (-3c)\cdot a\\ & =a^2+4b^2+9c^2+4ab-12bc-6ca\end{array}$$

$C=-3c$ の符号を、かけ算の中でていねいに追うこと。

(2) 先に $(x-2)(x+2)$ を計算すると、和と差のかけ算だ。

$$(x-2)(x+2)=x^2-4$$

残りの $(x^2+4)$ をかけると、これもまた和と差のかけ算の形になる。

$$(x^2-4)(x^2+4)=(x^2{)}^2-4^2=x^4-16$$

発展。 (2)の連鎖は続けられる。$(x-2)(x+2)(x^2+4)(x^4+16)$ なら $x^8-256$ だ。掛けるたびに差が消えて、次数が倍になっていく。

$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\cdots$ という「和と差の積の連鎖」は、この先も式の計算やべき乗の話題で出てくる。

別解

(1)は3項の公式を忘れても解ける。$a+2b$ をひとかたまりにして、2項の公式を2回使えばいい。$A=a+2b$ とおくと、$(A-3c{)}^2=A^2-6cA+9c^2$。

あとは $A^2=(a+2b{)}^2=a^2+4ab+4b^2$ と $-6cA=-6ca-12bc$ を戻して足せば、$a^2+4b^2+9c^2+4ab-12bc-6ca$ になる。3項の2乗は「かたまりを作って2項に落とす」で必ず処理できる。公式の丸暗記より、この落とし方を覚えておくほうが応用が利く。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 因数分解の第一手は、いつでも「共通因数はないか」だ。

(1)は全部の項に $4y$ が入っている。ただし、くくったら終わりではない。カッコの中がまだ分解できないか、もう一度見る。2段構えを最初から予定しておく。

(2)は $(a-3b)$ と $(3b-a)$。そっくりだが符号が逆だ。$3b-a=-(a-3b)$ と書き直せば、共通因数が現れる。

(1) まず共通因数 $4y$ でくくる。

$$4x^{2}y-24xy+36y=4y(x^2-6x+9)$$

カッコの中 $x^2-6x+9$ は、$(x-3{)}^2$ にさらに因数分解できる。

$$=4y(x-3{)}^2$$

共通因数でくくって終わり、ではなく「中身がまだ分解できないか」を必ず見る。

(2) $(a-3b)$ と $(3b-a)$ は符号が逆で似ている。$3b-a=-(a-3b)$ と書きかえて、符号をそろえる。

$$\begin{array}{rl}(a-3b)x+(3b-a)y& =(a-3b)x-(a-3b)y\\ & =(a-3b)(x-y)\end{array}$$

まとめ:共通の $(a-3b)$ が見えたのでくくれた。符号違いのかたまりを見たら、$-(\cdots )$ でそろえられないか考えよう。

発展。 因数分解は「これ以上分解できなくなるまで」が約束だ。だから「くくったら、カッコの中をもう一度見る」を習慣にしたい。

このあと学ぶ複2次式や2文字の因数分解でも、最後の一手はいつも同じ確認になる。仕上げに展開して元に戻るかを見れば、検算まで完了する。

別解

(2)はいったん展開してから組み直すルートでも解ける。$(a-3b)x+(3b-a)y=ax-3bx+3by-ay$。この4項を、$a$ のつく項と $3b$ のつく項で組み直す。$(ax-ay)-(3bx-3by)=a(x-y)-3b(x-y)$。

こんどは $(x-y)$ が共通因数として見えるから、$(a-3b)(x-y)$ とくくれる。「符号ちがいのカッコ」に気づけなかったときの保険になる。どう組んでも同じ答えに着地することも確かめられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)には $x+2y$ が2回現れている。同じかたまりの繰り返しは置きかえのサインだ。

$x+2y=t$ とおけば $t^2-6t+8$。見慣れた2次式になる。分解したら $t$ を元に戻す。

(2)は $9a^2=(3a{)}^2$。引かれているほうも $(b-c{)}^2$ で、どちらも2乗だ。2乗の差と見抜ければ、和と差の積に分解できる。

(1) $x+2y$ を1つのかたまり $t$ とおく。すると $t$ の2次式だ。

$$t^2-6t+8$$

因数分解して

$$t^2-6t+8=(t-2)(t-4)$$

$t$ を $x+2y$ に戻して

$$(x+2y-2)(x+2y-4)$$

(2) $9a^2=(3a{)}^2$、そして $(b-c{)}^2$。$b-c$ をひとかたまりとみると、2乗 − 2乗の形なので和と差のかけ算が使える。

$$\begin{array}{rl}9a^2-(b-c{)}^2& =(3a{)}^2-(b-c{)}^2\\ & =\{3a+(b-c)\}\{3a-(b-c)\}\\ & =(3a+b-c)(3a-b+c)\end{array}$$

後ろのカッコで $-(b-c)=-b+c$ と符号が変わるところに注意。

発展。 「同じ形の繰り返しを1文字と見る」見方は、このあと何度も使う。複2次式の置きかえ、三角比の式、指数の式など、置きかえで見慣れた2次式に落とす場面は数学の全域に現れる。

「かたまりを探す」が置きかえの合図だと覚えておこう。

別解

(1)はかたまりに気づけなくても解ける。展開して、「2文字の整理」で分解し直すルートだ。展開すると $x^2+4xy+4y^2-6x-12y+8$。これを $y$ について整理すると $4y^2+4(x-3)y+(x-2)(x-4)$ になる(定数あつかいの $x^2-6x+8$ を先に分解した)。

たすき掛けで $(2y+x-2)(2y+x-4)$。並べ直せば $(x+2y-2)(x+2y-4)$ で、同じ答えに着く。ただし手数はずっと多い。「かたまりのまま扱えば2手で済む」ことを実感するための別ルートでもある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^2$ の係数が $1$ ではない。この時点で、たすき掛けを使うと判断する。

縦の積が「最高次の係数」と「定数項」、たすきの和が「まん中の係数」。この条件に合う組を探す。(2)は文字が2つあるが、$y$ を数のように扱えば同じ手順だ。$-5y^2$ の分け方は符号込みで試す。

(1) $3x^2+10x+8$。$3x^2=x\times 3x$、$8=2\times 4$ と分けて、たすきの和が10になる組を探す。

$$1\times 4+3\times 2=4+6=10$$

合った。だから

$$3x^2+10x+8=(x+2)(3x+4)$$

(2) $6x^2-7xy-5y^2$。$6x^2=2x\times 3x$、$-5y^2=y\times (-5y)$ と分けて、たすきの和が $-7y$ になる組を探す。

$$2\times (-5y)+3\times y=-10y+3y=-7y$$

合った。だから

$$6x^2-7xy-5y^2=(2x+y)(3x-5y)$$

まとめ:2文字でも、たすき掛けの手順は1文字のときと変わらない。見つけたら展開して確かめよう。

発展。 たすき掛けで見つかる分解は、2次方程式の解と表裏一体だ。解の公式で解を求めてから分解する方法を学ぶと、どんな2次式でも(整数の組が無くても)分解の形がわかるようになる。

どう試しても組が見つからないときは、「整数や分数の範囲では分解できない」サインであることが多い。その最終判定を引き受けるのが、2次方程式の単元で学ぶ判別式だ。

別解

たすきの表がどうも合わない、という人には「まん中を分ける」方法もある。(1)なら、まず $3\times 8=24$ を計算する。掛けて $24$、足して $10$ になる2数を探すと、$6$ と $4$ だ。まん中の $10x$ を $6x+4x$ に分けて書き直す。$3x^2+6x+4x+8$。

前半と後半で別々にくくると $3x(x+2)+4(x+2)$。共通の $(x+2)$ でくくって $(x+2)(3x+4)$。中身はたすき掛けと同じだが、「掛けて◯・足して◯の2数を探す」感覚は係数 $1$ の因数分解と地続きなので、こちらのほうが入りやすい人も多い。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「因数分解するとこうなる」と言われたら、逆向きに考える。展開すれば元の式に戻るはずだ。

つまり $(x+3)(2x+b)$ を展開した式と $2x^2+ax-15$ は、どんな $x$ でも同じ値になる同一の式ということ。同じ式なら、係数どうしが一致する。$x$ の係数と定数項を見比べれば、$a$ と $b$ が決まる。$(x+3)(2x+b)$ を展開する。

$$\begin{array}{rl}(x+3)(2x+b)& =2x^2+bx+6x+3b\\ & =2x^2+(b+6)x+3b\end{array}$$

これが $2x^2+ax-15$ と同じ式になるので、同じ次数の項の係数を等しいとおく(係数比較)。定数項を比べて $3b=-15$、つまり $b=-5$。$x$ の係数を比べて $a=b+6=-5+6=1$。よって $a=1$、$b=-5$。確かめると

$$2x^2+x-15=(x+3)(2x-5)$$

となり、正しく因数分解できている。

発展。 「どんな $x$ でも成り立つ等式」を恒等式という。恒等式の係数の決め方には今回の係数比較と、別解の数値代入の2本立てがある。

数学IIで恒等式の単元に入ると、この2つが正式な道具として登場する。どちらでも同じ答えに着くことを、今のうちに体で覚えておくと強い。

別解

別の求め方もある。$(x+3)$ が因数なら、$x=-3$ を入れると式全体が $0$ になるはずだ(因数定理の考え方)。もとの式 $2x^2+ax-15$ に $x=-3$ を入れると

$$2\cdot (-3{)}^2+a\cdot (-3)-15=18-3a-15=3-3a$$

これが $0$ だから $a=1$。$a$ が決まれば $2x^2+x-15=(x+3)(2x-5)$ と因数分解できて、$b=-5$ もわかる。「どんな $x$ でも成り立つ等式には、好きな値を代入してよい」。この考え方は係数比較と並ぶもう1つの基本ルートだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^4$ と $x^2$ だけの式(複2次式)は、$x^2=t$ の置きかえが第一候補だ。

(1)はこれで $t^2-13t+36$ になり、ふつうの因数分解で進む。$t$ を戻したあと、まだ分解できるかの確認を忘れない。

(2)は置きかえても $t^2+3t+4$ が分解できず、行き止まりに見える。ここであきらめず、発想を切り替える。2乗の差の形が作れないか。まん中の項を調整して平方を作るのが、この型の突破口だ。

(1) $x^2=t$ とおくと

$$t^2-13t+36$$

因数分解して

$$t^2-13t+36=(t-4)(t-9)$$

$t$ を戻し、$x^2-4$、$x^2-9$ をさらに分解する。

$$x^4-13x^2+36=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)$$

(2) $x^4+3x^2+4$ は、$x^2=t$ とおいても $t^2+3t+4$ となり、これは因数分解できない。そこで工夫する。まん中を $4x^2$ にすれば2乗の形が作れるので、$4x^2$ にして、増やしすぎた分($x^2$)を引く。

$$\begin{array}{rl}{x}^4+3x^2+4& =(x^4+4x^2+4)-x^2\\ & =(x^2+2{)}^2-x^2\end{array}$$

これで2乗 − 2乗の形になった。和と差のかけ算を使う。

$$\begin{array}{rl}& =\{(x^2+2)+x\}\{(x^2+2)-x\}\\ & =(x^2+x+2)(x^2-x+2)\end{array}$$

まとめ:『$t$ の因数分解ができないときは、2乗を作って差の形にする』という手を覚えておこう。

発展。 実は、係数が実数の整式なら、どんな4次式も必ず1次式と2次式の積まで分解できることが知られている(代数学の基本定理から従う事実だ)。

だから複2次式が「分解できない見た目」をしていても、道は必ずある。そのよく使う方法が今回の「平方の差を作る」だ。

別解

実は(1)も、(2)と同じ「平方の差を作る」ルートで解ける。$(x^2-6{)}^2=x^4-12x^2+36$ に注目すると、元の式は $(x^2-6{)}^2-x^2$ と書ける。和と差の積で $(x^2+x-6)(x^2-x-6)$。それぞれを分解して $(x+3)(x-2)(x-3)(x+2)$。置きかえルートと同じ答えに着く。

つまり「平方の差を作る」は(2)専用の特別な方法ではなく、複2次式ぜんぶに通用する方法だ。置きかえで済む式はラクな道で、済まない式は平方の差で。2本の道を持っておくと複2次式で迷わない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文字が2つ混ざった式は、そのまま見ていても糸口が見つからない。

合言葉は「次数の低い文字について整理」。(1)は $x$ が2次、$y$ が1次だから、$y$ について整理すると式の形がずっと単純になる。

(2)は $x$ も $y$ も2次で並んでいる。この場合はどちらか一方に着目して整理する。$x$ について整理し、$y$ だけの部分(定数あつかい)を先に因数分解してから、たすき掛けにかける。

(1) $y$ が1次で次数が低いので、$y$ について整理する。

$$x^2+xy+4x+3y+3=(x+3)y+(x^2+4x+3)$$

$y$ を含まない部分 $x^2+4x+3$ は $(x+1)(x+3)$ に因数分解できる。

$$=(x+3)y+(x+1)(x+3)$$

共通の $(x+3)$ でくくって

$$=(x+3)(y+x+1)=(x+3)(x+y+1)$$

(2) $x$ について整理する。

$$x^2+(3y+4)x+(2y^2+7y+3)$$

定数項(=$y$ の式)$2y^2+7y+3$ を、たすき掛けで分解する。

$$2y^2+7y+3=(2y+1)(y+3)$$

この2つの和を確かめると、$x$ の係数と合う。

$$(2y+1)+(y+3)=3y+4$$

だから、$x$ の2次式として次のように分解できる。

$$x^2+(3y+4)x+(2y+1)(y+3)=(x+2y+1)(x+y+3)$$

『定数項を先に因数分解し、その和が $x$ の係数と合うか確かめる』のがコツ。

発展。 「着目する文字を決めて、残りを数とみなす」のは、因数分解に限らない考え方だ。方程式や不等式で定数に文字が入ったとき、逆に定数のほうについて整理すると、すぐに解ける問題もある。

また、2次式が1次式2つの積に分解できるかどうかは、あとで学ぶ判別式を使うと先に判定できるようになる。

別解

(1)は $x$ について整理しても解ける。$x^2+(y+4)x+3(y+1)$。「掛けて $3(y+1)$、足して $y+4$」になる2つを探す。$3$ と $y+1$ が見つかる。実際、$3+(y+1)=y+4$、$3\times (y+1)=3y+3$ でぴったりだ。

よって $(x+3)(x+y+1)$。低い文字で整理するほうが計算は軽い。ただ「どちらで整理しても着地は同じ」と知っておくと、整理の向きで迷わなくなる。正しい組は式から分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 3文字の式は、展開して項を増やしても構造は見えてこない。

ここでも合言葉は同じだ。1つの文字に着目し、降べきの順に整理する。この式は対称的で、$x$、$y$、$z$ のどれを選んでも同じ形になる。だから安心して $x$ について整理すればいい。整理すると $(y+z)$ が共通因数として現れる。

$x$ について整理する。まず展開して $x$ でまとめると

$$\begin{array}{rl}& x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz\\ & =x^2(y+z)+y^{2}z+x{y}^2+x{z}^2+y{z}^2+2xyz\end{array}$$

$x$ について降べきの順にまとめる。$x$ の係数の部分は $y^2+2yz+z^2=(y+z{)}^2$ とまとまる。

$$\begin{array}{rl}& =(y+z)x^2+(y^2+2yz+z^2)x+(y^{2}z+y{z}^2)\\ & =(y+z)x^2+(y+z{)}^{2}x+yz(y+z)\end{array}$$

どの項にも共通の $(y+z)$ がある。くくり出すと

$$=(y+z)\{x^2+(y+z)x+yz\}$$

カッコの中 $x^2+(y+z)x+yz$ は、かけて $yz$・たして $y+z$ の2数が $y$ と $z$ なので、$(x+y)(x+z)$ に分解できる。まとめて

$$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz=(x+y)(y+z)(z+x)$$

まとめ:対称式は『1文字について整理 → 共通因数でくくる → 残りを分解』の流れで、きれいな積の形になることが多い。

発展。 どの2文字を入れかえても変わらない式を対称式という。対称式の攻め方は今回の「1文字で整理」と、別解の「$0$ になる代入を探す」が2大方針だ。

似た形の $x^3+y^3+z^3-3xyz$ も、まったく同じ2つの方針で分解できる。数学IIで因数定理を学んだら、ぜひ試してみてほしい。

別解

力のある人向けに、仕組みがよく分かる方法もある。「$0$ になる代入」を探すのだ。$x=-y$ を代入してみると、すべての項が打ち消し合って式全体がちょうど $0$ になる。これは、式が $(x+y)$ を因数に持つサインだ。

この式は $x$、$y$、$z$ について対称だから、同じ理由で $(y+z)$ と $(z+x)$ も因数になる。3つの因数の積 $(x+y)(y+z)(z+x)$ は3次式で、元の式も3次式。だから、あとは定数倍のズレしかない。たとえば $x^{2}y$ の項の係数を見比べると、どちらも $1$。よって答えは $(x+y)(y+z)(z+x)$ と決まる。

数学IIで因数定理を学ぶと、この「代入で因数を見つける」方法が正式な定理として手に入る。