数学I / 数と式

数と式 ★★★ 応用の問題全8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

整式の整理と加法・減法の応用
組み合わせと置き換えで工夫する展開
たすき掛けによる因数分解の応用
複2次式の因数分解(置き換えと平方の差)
符号の統一と置き換え・共通因数
最低次の文字で整理する因数分解
展開を用いた等式の証明と平方の和への応用
対称式・交代式の因数分解

問1整式の整理と加法・減法の応用

★★★ 応用整式の整理加法・減法

問題

(1) 整式 $P = 3 x^{2} y - 2 x y^{2} + x^{2} - 5 x y + 4 y^{2} - x + 2 y - 7$ を、 $x$ に着目して降べきの順に整理せよ。また、そのときの $x$ についての次数と定数項を答えよ。

(2) 2つの整式 $A$ 、 $B$ が

$A + 2 B = 7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5, 2 A - B = 4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5$

を満たすとき、 $A$ 、 $B$ を求めよ。

ヒントを見る

(1)は $x$ について $x^{2}$ ・ $x$ ・定数部分に仕分けるだけ(係数が $y$ の式になる)。(2)は $A$ ・ $B$ をどう組み合わせると片方が消えるかを考える。消したい文字の係数に注目して、うまい倍率で足す。

解答・解説

方針

(1)は $x$ について整理するだけ。 $y$ が入っていても、 $x$ から見れば $y$ は数の仲間(定数)としてあつかう。

(2)は $A$ 、 $B$ の連立だ。数の連立方程式と同じように、うまく足し引きして片方を消す。 $A + 2 B$ と $2 A - B$ を組み合わせて、まず $A$ (または $B$ )だけの式を作る。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)は、中心に考える $x$ 以外の文字を、数として扱う訓練だ。 $y$ が混じっていても、 $x$ から見れば $y$ はただの数と思えばよい。

(2)は $A$ 、 $B$ についての連立だ。中身が整式でも、やることは数の連立と変わらない。足し引きで片方の文字を消す、という消去の考え方がそのまま使える。そう見抜くのが発想だ。

(1) $x$ について整理する。 $x^{2}$ の項の係数は $3 y + 1$ 、 $x$ の項の係数は $- (2 y^{2} + 5 y + 1)$ 、 $x$ を含まない項は $4 y^{2} + 2 y - 7$ 。

$P = (3 y + 1) x^{2} - (2 y^{2} + 5 y + 1) x + (4 y^{2} + 2 y - 7)$

$x$ についての次数は2、定数項は $4 y^{2} + 2 y - 7$ 。 $y$ が入っていても、 $x$ から見れば定数だ。

(2) $A$ 、 $B$ の連立を、足し引きで解く。 $B$ を消すために、 $(A + 2 B) + 2 \times (2 A - B)$ を作ると、 $2 B$ と $- 2 B$ が消えて $A$ だけになる。

$(A + 2 B) + 2 (2 A - B) 5 A = (7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5) + 2 (4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5) = 15 x^{3} + 5 x^{2} + 10 x + 5$

両辺を5で割って

$A = 3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1$

$B$ は $2 A - B = 4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5$ を $B$ について解く( $B = 2 A - (4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5)$ )。

$B = 2 (3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1) - (4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5) = 6 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 2 - 4 x^{3} - 3 x^{2} - x - 5 = 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$

確かめに $A + 2 B$ を計算すると

$A + 2 B = (3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1) + (4 x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 6) = 7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5$

となり、問題の式と合う。整式の連立も数の連立とまったく同じ要領で解ける。

発展。 (2)で $A$ 、 $B$ が一通りに求まったのは、 $A + 2 B$ と $2 A - B$ という $2$ つの組み合わせが「独立」だったからだ。

一般に、 $A$ 、 $B$ の $2$ つの $1$ 次結合が与えられたとき、そこから $A$ 、 $B$ を復元できるかは係数の作る行列式で決まる。今回は $1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2 = - 5$ で $0$ でないから、ちょうど一組に定まった。

もし $2$ つの組み合わせが $A + 2 B$ と $2 A + 4 B$ のように比例していると、行列式が $0$ になり、 $A$ 、 $B$ は復元できない。連立が解ける・解けないの境目が、この行列式に表れている。

答

(1) $P = (3 y + 1) x^{2} - (2 y^{2} + 5 y + 1) x + (4 y^{2} + 2 y - 7)$ 、 $x$ についての次数は $2$ 、定数項は $4 y^{2} + 2 y - 7$ (2) $A = 3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1$ 、 $B = 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$

別解

別解:代入法で解く(連立のもう一つの基本の解き方)。 本解は足し引きで片方を消す加減法だった。ここでは、片方を表してもう一方の式に入れる代入法で解く。

まず $A + 2 B = 7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5$ を $A$ について解く。

$A = (7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5) - 2 B$

これを $2 A - B = 4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5$ に入れると、 $A$ が消えて $B$ だけの式になる。

$2 {(7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5) - 2 B} - B = 4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5$

左辺を整理すると $(14 x^{3} - 2 x^{2} + 16 x - 10) - 5 B$ 。これが右辺に等しいので

$5 B = (14 x^{3} - 2 x^{2} + 16 x - 10) - (4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5) = 10 x^{3} - 5 x^{2} + 15 x - 15$

両辺を $5$ で割って $B = 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ 。あとは $A = (7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5) - 2 B = 3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1$ 。本解は $A$ を先に取り出したが、代入法では $B$ が先に出る。消去と代入、どちらの筋でも同じ答えに着く。

ポイント

$x$ に着目 → $y$ は定数あつかいで整理
整式の連立は、数の連立と同じく足し引きで片方を消す
求めた後は、もとの式に代入して確かめる

よくある間違い

(2)で消したい文字の係数をそろえずに足し引きし、 $A$ も $B$ も残ってしまう。
(1)で $x$ の $1$ 次の係数を $- (2 y^{2} + 5 y + 1)$ とすべきところ、かっこ前のマイナスを配り忘れて符号を落とす。
$A$ だけ求めて安心し、 $B$ を出す・求めた式をもとに戻して検算する、を省いてミスに気づかない。

問2組み合わせと置き換えで工夫する展開

★★★ 応用展開置き換え

問題

次の式を展開せよ。

(1) $(x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6)$

(2) $(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} - x^{2} + 1)$

ヒントを見る

(1)は4つのうち2つずつ組むと、『同じかたまり』が両方に出る組がある。それを置き換える。定数項の和を見て相性のいいペアを探そう。(2)は $x^{2} + 1$ を軸に『和と差の積』が繰り返せる形。

解答・解説

方針

(1)は4つのカッコを、共通のかたまりが出るようにペアで組む。定数の和が同じになる $(x - 1) (x + 6)$ と $(x + 2) (x + 3)$ を組むと、どちらも $x^{2} + 5 x$ を含む。(2)は和と差のかけ算 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ を、くり返し使う。 $(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ を『 $(x^{2} + 1) + x$ 』『 $(x^{2} + 1) - x$ 』の積とみると、この形が使える。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $4$ つの積は、組む相手しだいで共通のかたまりが生まれる。

だから(1)はいきなりかけずに定数項を観察する。和がそろうペアを見つけてから組むのが第一歩だ。(2)は手前の $2$ つの因数が、和と差の積の形になっている。順にかたまりを処理していけば、公式が連鎖的に使える。

重要定数の和が同じペアを組むと同じかたまりが出る → それを

t

とおく

(1) 定数の和が同じ( $- 1 + 6 = 5$ 、 $2 + 3 = 5$ )ペアを組む。まず

$(x - 1) (x + 6) = x^{2} + 5 x - 6, (x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$

どちらにも $x^{2} + 5 x$ が現れた。 $t = x^{2} + 5 x$ とおくと、和と差のかけ算になる。

$(x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) = (x^{2} + 5 x - 6) (x^{2} + 5 x + 6) = (t - 6) (t + 6) = t^{2} - 36 = (x^{2} + 5 x)^{2} - 36 = x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2} - 36$

(2) 和と差のかけ算を、くり返し使う。まず $(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ を、 $x^{2} + 1$ をひとかたまりとして『 $(x^{2} + 1) + x$ 』『 $(x^{2} + 1) - x$ 』の積とみる。

$(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) = {(x^{2} + 1) + x} {(x^{2} + 1) - x} = (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = x^{4} + x^{2} + 1$

残りの $(x^{4} - x^{2} + 1)$ をかける。今度は $x^{4} + 1$ と $x^{2}$ の和と差のかけ算だ。

$(x^{4} + x^{2} + 1) (x^{4} - x^{2} + 1) = {(x^{4} + 1) + x^{2}} {(x^{4} + 1) - x^{2}} = (x^{4} + 1)^{2} - x^{4}$

最後に展開して

$(x^{4} + 1)^{2} - x^{4} = x^{8} + 2 x^{4} + 1 - x^{4} = x^{8} + x^{4} + 1$

まとめ:どちらも『和と差のかけ算の形を見つける』ことが決め手だ。まん中の項をはさんで対称な形は、この形にできないか疑ってみよう。

発展。 (2)で使った $x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ は、整数の性質の問題にも出てくる。

$n^{4} + n^{2} + 1$ に $n = 2, 3, 4, \dots$ を入れると、いつも $(n^{2} - n + 1) (n^{2} + n + 1)$ という $2$ つの整数の積に分かれる。どちらの因数も $1$ より大きいから、 $n \geq 2$ ではけっして素数にならない。たとえば $n = 2$ なら $21 = 3 \times 7$ 、 $n = 3$ なら $91 = 7 \times 13$ 。「和と差のかけ算に直せる式」は、素数か合成数かを見抜く道具にもなる。

答

(1) $x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2} - 36$ (2) $x^{8} + x^{4} + 1$

別解

別解:根と係数の関係で係数を直接読む(得意な人向けの高い視点)。 (1)は組み合わせの工夫をしなくても、答えの係数を「根」からすぐに出せる。

$(x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6)$ の値が $0$ になるのは $x = 1, - 2, - 3, - 6$ のとき。この $4$ 数が $4$ 次式の係数をすべて決める。

$x^{4}$ の係数は $1$ 。 $x^{3}$ の係数は $4$ 数の和にマイナスをつけた $- (1 - 2 - 3 - 6) = 10$ 。 $x^{2}$ の係数は $2$ つずつの積の和で $25$ 。 $x$ の係数は $3$ つずつの積の和にマイナスをつけた値で、これは $0$ 。定数は $4$ 数の積 $(1) (- 2) (- 3) (- 6) = - 36$ 。

よって $x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2} - 36$ 。組み方を探さなくても、根から係数がそのまま読める。本解と同じ答えだ。

ポイント

(1)は定数の和が同じペアを組み、共通の $x^{2} + 5 x$ を置きかえる
(2)は和と差のかけ算 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ をくり返す
$(x^{2} + 1) \pm x$ のように、対称な形は和と差のかけ算にできる

よくある間違い

(1)で組む相手を誤り、 $(x - 1) (x + 2)$ のように和がそろわないペアにして、共通の $x^{2} + 5 x$ が現れず行き詰まる。
(2)で和と差のかけ算の形に気づかず、 $3$ つのかっこを最初から総当たりで展開して項が非常に多くなる。
置きかえた $t = x^{2} + 5 x$ を最後にもとへ戻し忘れ、答えを $t$ のまま書いてしまう。

問3たすき掛けによる因数分解の応用

★★★ 応用因数分解たすき掛け

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $12 x^{2} - 8 x y - 15 y^{2}$

(2) $2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} + x + 5 y - 3$

ヒントを見る

(1)は係数が大きいたすき掛けだ。 $x^{2}$ と $y^{2}$ の係数の分け方を粘り強く試す。(2)は2文字に1次の項がついた式だ。まず1つの文字で整理し、定数部分を先に因数分解してから、全体をたすき掛けする。

解答・解説

方針

(1)は2文字のたすき掛け。 $12 x^{2}$ と $- 15 y^{2}$ をたてに分け、たすきの和が $- 8 x y$ になる組を探す。(2)は文字が2つで項も多いが、やることは決まっている。 $x$ について整理し、定数項(= $y$ の式)をたすき掛けで分解して、全体をたすき掛けにかける。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)は係数の大きいたすき掛けだ。候補が多いときこそ、やみくもに試さない。

積が負なら $2$ 因数は異符号、と符号の情報で候補をしぼってから試す。(2)は項が $6$ つある。多変数で項が多いときは「 $1$ つの文字について整理」という原則に立ち返るのが第一歩だ。

(1) $12 x^{2} = 2 x \times 6 x$ 、 $- 15 y^{2} = (- 3 y) \times 5 y$ と分けて、たすきの和が $- 8 x y$ になる組を探す。

$2 \times 5 y + 6 \times (- 3 y) = 10 y - 18 y = - 8 y$

合った。だから

$12 x^{2} - 8 x y - 15 y^{2} = (2 x - 3 y) (6 x + 5 y)$

(2x−3y)(6x+5y) = 12x²−18xy+10xy−15y² = 12x²−8xy−15y²

(2) まず $x$ について整理する。

$2 x^{2} + (5 y + 1) x + (2 y^{2} + 5 y - 3)$

定数項 $2 y^{2} + 5 y - 3$ を、たすき掛けで因数分解する。

$2 y^{2} + 5 y - 3 = (y + 3) (2 y - 1)$

次に、全体を $x$ の2次式としてたすき掛けする。 $2 x^{2}$ を $2 x \times x$ 、定数項を $(2 y - 1) \times (y + 3)$ と分け、たすきの和が $x$ の係数 $5 y + 1$ になる組を探す。

$2 \times (2 y - 1) + 1 \times (y + 3) = 4 y - 2 + y + 3 = 5 y + 1$

合った。だから

$2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} + x + 5 y - 3 = (2 x + y + 3) (x + 2 y - 1)$

まとめ:2段のたすき掛け(定数項で1回、全体で1回)になる。各段で『和が合うか』を必ず確かめよう。

発展。 (1)のたすき掛けは長方形の面積として見ると腑に落ちる。縦 $2 x - 3 y$ 、横 $6 x + 5 y$ の長方形は $4$ つの部屋に分かれ、面積は $12 x^{2}$ 、 $10 x y$ 、 $- 18 x y$ 、 $- 15 y^{2}$ となる。

まん中の $2$ 部屋の和 $10 x y - 18 x y = - 8 x y$ が、ちょうど $x y$ の係数になる。これが「たすきの和」の意味だ。一般に $(p x + q y) (r x + sy)$ を展開すると、まん中の項は $(p s + q r) x y$ 。たすき掛けとは、この「 $2$ 部屋の和」が与えられた係数に合うように、 $4$ 数 $p, q, r, s$ を逆算する作業にほかならない。

答

(1) $(2 x - 3 y) (6 x + 5 y)$ (2) $(2 x + y + 3) (x + 2 y - 1)$

別解

別解:変数を取り替えて $1$ 次式に直す(得意な人向けの高い視点)。 (2)は最高次 $2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} = (2 x + y) (x + 2 y)$ に着目し、 $u = 2 x + y$ 、 $v = x + 2 y$ とまとめて置く。

すると $1$ 次部分 $x + 5 y$ もこの $u, v$ だけで書ける。実際 $3 v - u = 3 (x + 2 y) - (2 x + y) = x + 5 y$ だ。だから与式全体が $u, v$ の式になる。

$2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} + x + 5 y - 3 = uv + (3 v - u) - 3 = uv - u + 3 v - 3$

これは $2$ 項ずつまとめると、 $(v - 1)$ を共通因数としてくくれる。

$uv - u + 3 v - 3 = u (v - 1) + 3 (v - 1) = (u + 3) (v - 1)$

$u = 2 x + y$ 、 $v = x + 2 y$ を戻して $(2 x + y + 3) (x + 2 y - 1)$ 。 $1$ 文字で整理してたすき掛けする本解とは別筋の、変数変換で $2$ 次式を $1$ 次のかけ算に直す見方だ。本解と同じ答えに着く。

ポイント

2文字のたすき掛けは、 $x^{2}$ と $y^{2}$ の項をたてに分ける
項が多い式は $x$ について整理し、定数項( $y$ の式)を先に因数分解
全体をたすき掛けし、たすきの和が $x$ の係数と合うか確認

よくある間違い

たすきの和の符号を取り違え、 $- 8 x y$ にすべきところを $+ 8 x y$ に合わせてしまう。
(2)で定数項 $2 y^{2} + 5 y - 3$ を先に因数分解せず、 $6$ 項全体をいきなりたすき掛けしようとして手が止まる。
係数の大きい(1)で、 $12$ と $- 15$ の分け方を $1$ 通り試しただけで「できない」と早合点する。

問4複2次式の因数分解(置き換えと平方の差)

★★★ 応用因数分解複2次式

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^{4} - 13 x^{2} + 36$

(2) $x^{4} - 7 x^{2} + 9$

ヒントを見る

(1)は $x^{2} = t$ で普通に。(2)は $x^{2} = t$ ではうまくいかない。 $(x^{2} - 3)^{2}$ を展開して元の式とのずれを見ると、そのずれが『何かの2乗』になっていて、平方の差が作れる。

解答・解説

方針

(1)は $x^{2} = t$ とおけば、ふつうの2次式の因数分解になる。 $t$ を戻したあと、さらに分解する。(2)は $t$ の式( $t^{2} - 7 t + 9$ )が因数分解できない。そこで2乗を作る。 $- 7 x^{2}$ を $- 6 x^{2}$ にすれば $(x^{2} - 3)^{2}$ が作れるので、そのぶん増やした分( $x^{2}$ )を引く。すると2乗 − 2乗の形になる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)は $x^{2}$ を $1$ 文字とみる置きかえで済む。

ところが(2)は、置きかえた $2$ 次式 $t^{2} - 7 t + 9$ が因数分解できない。ここで手が止まる。そこで「平方の差を作る」に切り替える。複 $2$ 次式には『置きかえ』と『平方作り』の $2$ つの道がある。片方が塞がったらもう片方、という地図を持っておくのが発想だ。

(1) $x^{2} = t$ とおくと $t^{2} - 13 t + 36$ 。因数分解して $t$ を戻す。

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (t - 4) (t - 9) = (x^{2} - 4) (x^{2} - 9)$

$x^{2} - 4$ 、 $x^{2} - 9$ をさらに分解して

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3)$

(2) $x^{4} - 7 x^{2} + 9$ は、 $x^{2} = t$ とおいても $t^{2} - 7 t + 9$ となり因数分解できない。そこで2乗を作る。 $x^{4}$ と $9$ から $(x^{2} - 3)^{2} = x^{4} - 6 x^{2} + 9$ が作れるので、まん中を $- 6 x^{2}$ にして、差の分( $- x^{2}$ )を調整する。

$x^{4} - 7 x^{2} + 9 = (x^{4} - 6 x^{2} + 9) - x^{2} = (x^{2} - 3)^{2} - x^{2}$

2乗 − 2乗の形になったので、和と差のかけ算を使う。

$(x^{2} - 3)^{2} - x^{2} = {(x^{2} - 3) + x} {(x^{2} - 3) - x} = (x^{2} + x - 3) (x^{2} - x - 3)$

まとめ:『 $t$ の因数分解ができないときは、2乗を作って差にする』は複2次式の大事な手だ。まん中の項を、2乗が作れる値に合わせて調整するのがポイント。

発展。 複 $2$ 次式 $x^{4} + p x^{2} + q$ が「どこまで割れるか」は、 $t = x^{2}$ の $2$ 次式 $t^{2} + pt + q$ の解で決まる。

(1)は $t = 4, 9$ とどちらも平方数だから、 $x^{2} = 4, 9$ すなわち $x = \pm 2, \pm 3$ と $4$ つの $1$ 次式にまで割れた。(2)は $t = \frac{7 \pm 13}{2}$ で、平方数どころか有理数ですらない。だから $1$ 次式には割れず、 $2$ つの $2$ 次式で止まる。 $t$ の解の形から、因数分解の最終的な形が分かる。

答

(1) $(x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3)$ (2) $(x^{2} + x - 3) (x^{2} - x - 3)$

別解

別解:因数の形を仮定して係数を合わせる(得意な人向けの系統的ルート)。 (2)は「平方の差」を思いつかなくても、答えの形を仮定すれば係数比較で押し切れる。

$x^{4} - 7 x^{2} + 9$ には奇数次の項がない。だから左右対称な $(x^{2} + a x + b) (x^{2} - a x + b)$ の形になると見当をつける。展開すると

$(x^{2} + a x + b) (x^{2} - a x + b) = (x^{2} + b)^{2} - (a x)^{2} = x^{4} + (2 b - a^{2}) x^{2} + b^{2} .$

もとの式と見比べて $b^{2} = 9$ 、 $2 b - a^{2} = - 7$ 。 $b = 3$ だと $a^{2} = 13$ で整数にならない。 $b = - 3$ なら $a^{2} = 1$ 、 $a = 1$ 。

よって $(x^{2} + x - 3) (x^{2} - x - 3)$ 。平方の差を作る本解と同じ答えに、形を仮定するルートから着く。

ポイント

複2次式はまず $x^{2} = t$ 。分解できれば戻してさらに分解
$t$ の式が分解できないときは、2乗を作って差 $(\dots)^{2} - (\dots)^{2}$ にする
まん中の項を、2乗が作れる値に合わせて調整する

よくある間違い

(2)を「 $t$ にすると割れない」で止め、平方の差を作る工夫に進めずあきらめる。
平方の差を作るとき引く量を誤り、 $- 7 x^{2}$ を $- 6 x^{2}$ にした差 $- x^{2}$ を $- x$ や $- 2 x^{2}$ と取り違える。
(1)で $(x^{2} - 4) (x^{2} - 9)$ まで出して満足し、さらに $1$ 次式へ分解するのを忘れる。

問5符号の統一と置き換え・共通因数

★★★ 応用因数分解共通因数置き換え

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $(x - 2 y)^{2} + 6 (2 y - x) + 8$

(2) $3 (a - b) x^{2} + 12 (b - a) y^{2}$

ヒントを見る

(1)は $2 y - x$ と $x - 2 y$ が符号違いの同じものなので、そろえて1文字に置き換える。(2)は $12 (b - a)$ の符号を $a - b$ にそろえると共通因数 $3 (a - b)$ が出て、残りが2乗の差。

解答・解説

方針

どちらも『符号をそろえる』のが決め手だ。(1)は $6 (2 y - x)$ の中身が、 $(x - 2 y)^{2}$ の中身と符号が逆。 $2 y - x = - (x - 2 y)$ と直すと、 $x - 2 y$ が共通のかたまりになり、置きかえで2次式になる。(2)は $12 (b - a) y^{2}$ の $b - a$ が、 $3 (a - b) x^{2}$ の $a - b$ と符号が逆。 $b - a = - (a - b)$ と直すと、共通因数 $3 (a - b)$ が見える。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ つの式に共通するのは「符号が逆のかたまり」だ。

(1)なら $2 y - x$ と $x - 2 y$ 、(2)なら $b - a$ と $a - b$ 。どちらも $- (\dots)$ で向きをそろえられる。 $2 y - x = - (x - 2 y)$ と書きかえると、バラバラに見えた式の形がそろう。まず「同じ向き」にそろえる、という下ごしらえが発想だ。

重要符号をそろえて共通のかたまりを作る:

2 y - x = - (x - 2 y)

で

(x - 2 y)

に統一

(1) $6 (2 y - x)$ の中身を、 $(x - 2 y)^{2}$ に合わせる。 $2 y - x = - (x - 2 y)$ なので

$(x - 2 y)^{2} + 6 (2 y - x) + 8 = (x - 2 y)^{2} - 6 (x - 2 y) + 8$

$x - 2 y = t$ とおくと、見なれた2次式だ。

$t^{2} - 6 t + 8 = (t - 2) (t - 4)$

$t$ を戻して

$(x - 2 y)^{2} + 6 (2 y - x) + 8 = (x - 2 y - 2) (x - 2 y - 4)$

(2) $12 (b - a) y^{2}$ を、 $3 (a - b) x^{2}$ に符号を合わせる。 $b - a = - (a - b)$ なので

$3 (a - b) x^{2} + 12 (b - a) y^{2} = 3 (a - b) x^{2} - 12 (a - b) y^{2}$

共通因数 $3 (a - b)$ でくくると

$3 (a - b) (x^{2} - 4 y^{2})$

カッコの中 $x^{2} - 4 y^{2}$ は和と差のかけ算でさらに分解できる。

$3 (a - b) x^{2} + 12 (b - a) y^{2} = 3 (a - b) (x + 2 y) (x - 2 y)$

まとめ:符号が逆のかたまりを見たら、 $- (\dots)$ でそろえる。これが両方に共通のコツだ。

発展。 (1)の答え $(x - 2 y - 2) (x - 2 y - 4)$ を $= 0$ とおくと、 $x - 2 y = 2$ と $x - 2 y = 4$ という $2$ 本の直線を表す。どちらも $x - 2 y$ が一定の、平行な直線だ。

$X = x - 2 y$ という置きかえは、この平行な直線の族を「 $X$ 軸上の $2$ 点 $X = 2, 4$ 」に押しつぶして見る操作にあたる。 $2$ 変数の話が $1$ 変数に落ちるのは、この平行性があるからだ。

共通のかたまりを $1$ 文字におく手筋は、こうして「同じ方向をもつ図形」を見つける目とも結びついている。

答

(1) $(x - 2 y - 2) (x - 2 y - 4)$ (2) $3 (a - b) (x + 2 y) (x - 2 y)$

別解

別解:展開して $x$ の $2$ 次式として組む(苦手な人向けの正攻法)。 置きかえが思いつかないときは、(1)をぜんぶ展開して $x$ で整理してしまえばよい。

$(x - 2 y)^{2} + 6 (2 y - x) + 8 = x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} - 6 x + 12 y + 8$ 。 $x$ について整理すると

$x^{2} - (4 y + 6) x + (4 y^{2} + 12 y + 8) .$

定数部分は $4 y^{2} + 12 y + 8 = (2 y + 2) (2 y + 4)$ と割れる。この $2$ つの和 $(2 y + 2) + (2 y + 4) = 4 y + 6$ が、 $x$ の係数とぴたり合う(たすき掛け)。よって $(x - 2 y - 2) (x - 2 y - 4)$ 。ブロックの置きかえ(本解)に気づかなくても、展開して整理すれば同じ答えにたどり着く。

ポイント

符号が逆のかたまりは、 $- (\dots)$ で符号をそろえる
(1)は $x - 2 y$ を置きかえて2次式に、(2)は共通因数でくくる
くくった後の $x^{2} - 4 y^{2}$ もさらに分解する

よくある間違い

符号をそろえないまま進め、 $2 y - x$ と $x - 2 y$ を別のかたまりと思って共通部分を見つけられない。
(2)で共通因数 $3 (a - b)$ でくくった後、残りの $x^{2} - 4 y^{2}$ をさらに割れることに気づかず途中で止める。
符号を $- (\dots)$ でそろえるとき、 $- 1$ を一部の項にだけかけて全体の符号がずれる。

問6最低次の文字で整理する因数分解

★★★ 応用因数分解文字が複数の式

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^{2} + x y + x + 3 y - 6$

(2) $a^{2} - 2 ab + b^{2} - c a + b c$

ヒントを見る

文字が複数あるときは、次数がいちばん低い文字について整理すると1次式になって扱いやすい。(1)は $y$ 、(2)は $c$ について並べ替える。整理後に現れる共通因数を見つけよう。

解答・解説

方針

2文字の式は次数の低いほうの文字について整理する。(1)は $y$ が1次で低いので、 $y$ について整理。(2)は $c$ が1次で低いので、 $c$ について整理する。整理すると共通因数が現れる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 多変数・項数多めの因数分解の合言葉は「最低次の文字で整理」。(1)は $y$ 、(2)は $c$ について $1$ 次だ。その文字で整理すれば、くくれる形が自然に現れる。

重要次数の低い文字について整理してから因数分解する

(1) $y$ について整理する。

$x^{2} + x y + x + 3 y - 6 = (x + 3) y + (x^{2} + x - 6)$

$y$ を含まない部分 $x^{2} + x - 6$ は $(x + 3) (x - 2)$ に分解できる。

$x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$

すると共通の $(x + 3)$ が見える。

$(x + 3) y + (x + 3) (x - 2)$

くくって

$x^{2} + x y + x + 3 y - 6 = (x + 3) (y + x - 2) = (x + 3) (x + y - 2)$

(2) $c$ が1次で低いので、 $c$ について整理する。 $c$ を含む項は $- c a + b c = (b - a) c$ 、 $c$ を含まない項は $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ 。

$a^{2} - 2 ab + b^{2} - c a + b c = (b - a) c + (a^{2} - 2 ab + b^{2})$

$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ 、そして $(b - a) c = - (a - b) c$ と符号をそろえると

$- (a - b) c + (a - b)^{2}$

共通の $(a - b)$ でくくって

$(a - b) {(a - b) - c} = (a - b) (a - b - c)$

確かめに展開すると

$(a - b) (a - b - c) = a^{2} - ab - c a - ab + b^{2} + b c = a^{2} - 2 ab + b^{2} - c a + b c$

となり、もとの式に戻る。次数の低い文字で整理すると、共通因数が見つけやすい。

答

(1) $(x + 3) (x + y - 2)$ (2) $(a - b) (a - b - c)$

別解

(1)は $x$ について整理してもよい。

$x^{2} + (y + 1) x + 3 (y - 2)$

定数項 $3 (y - 2)$ で、たすき掛けを考える。かけて $3 (y - 2)$ 、たして $y + 1$ になる2つを探すと、 $3$ と $y - 2$ だ( $3 \times (y - 2) = 3 y - 6$ 、 $3 + (y - 2) = y + 1$ )。だから

$(x + 3) {x + (y - 2)} = (x + 3) (x + y - 2)$

と、同じ答えになる。

ポイント

2文字の式は、次数の低い文字について整理する
整理すると共通因数( $(x + 3)$ や $(a - b)$ )が現れる
符号が逆のかたまりは $- (\dots)$ でそろえてからくくる

よくある間違い

次数の高い文字で整理して、複雑にする
(2)で $(b - a) c = - (a - b) c$ の符号をそろえ忘れる

問7展開を用いた等式の証明と平方の和への応用

★★★ 応用展開証明

問題

(1) 次の等式が常に成り立つことを、左辺と右辺をそれぞれ展開して証明せよ。

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c + b d)^{2} + (a d - b c)^{2}$

(2) $29 = 5^{2} + 2^{2}$ 、 $53 = 7^{2} + 2^{2}$ である。(1)の等式を利用して、積 $29 \times 53 = 1537$ を「2つの自然数の2乗の和」の形で2通りに表せ。

ヒントを見る

(1)は左辺・右辺をそれぞれ展開して、同じ式にたどり着くことを示すだけ。(2)は与えられた数を『2つの平方の和』の形にして(1)に当てはめる。 $c$ と $d$ の順を入れかえると、別の表し方がもう1通り出る。

解答・解説

方針

(1)は等式の証明。左辺と右辺をそれぞれ展開して、同じ式になることを示せばよい。どちらも $a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}$ になる。

(2)は(1)の公式に、 $a = 5, b = 2, c = 7, d = 2$ を当てはめるだけ。 $c, d$ の割り当てを入れかえると、別の2乗の和が得られ、2通りの表し方が出る。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)の等式証明は、両辺を別々に展開して一致を見るのが最短。(2)は(1)をただの計算問題と切り離さず、「証明した等式は道具として使うためにある」と読む。数の当てはめ先を探す姿勢が問われている。

(1) 左辺と右辺を、それぞれ展開する。

左辺:

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}$

右辺:

$(a c + b d)^{2} + (a d - b c)^{2} = (a^{2} c^{2} + 2 ab c d + b^{2} d^{2}) + (a^{2} d^{2} - 2 ab c d + b^{2} c^{2}) = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}$

まん中の $2 ab c d$ と $- 2 ab c d$ が消えて、左辺と同じ形になった。よって等式は成り立つ。(証明終わり)

(2) $29 = 5^{2} + 2^{2}$ 、 $53 = 7^{2} + 2^{2}$ なので、(1)で $a = 5, b = 2, c = 7, d = 2$ とする。

$(5^{2} + 2^{2}) (7^{2} + 2^{2}) = (5 \cdot 7 + 2 \cdot 2)^{2} + (5 \cdot 2 - 2 \cdot 7)^{2} = 3 9^{2} + (- 4)^{2}$

$(- 4)^{2} = 4^{2}$ だから

$1537 = 3 9^{2} + 4^{2}$

次に、 $c$ と $d$ の割り当てを入れかえて $c = 2, d = 7$ とすると、別の表し方が出る。

$(5^{2} + 2^{2}) (2^{2} + 7^{2}) = (5 \cdot 2 + 2 \cdot 7)^{2} + (5 \cdot 7 - 2 \cdot 2)^{2} = 2 4^{2} + 3 1^{2}$

よって2通りに表せて

$1537 = 3 9^{2} + 4^{2} = 2 4^{2} + 3 1^{2}$

(1)で証明した公式がこんな数の性質にも使える、という例だ。

答

(1) 証明は解答参照(両辺とも $a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}$ に等しい) (2) $1537 = 3 9^{2} + 4^{2} = 2 4^{2} + 3 1^{2}$

別解

(1)の公式には符号違いのもう1つの形もある。

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$

(展開すれば同じく確かめられる。)これに $a = 5, b = 2, c = 7, d = 2$ を入れると

$(5 \cdot 7 - 2 \cdot 2)^{2} + (5 \cdot 2 + 2 \cdot 7)^{2} = 3 1^{2} + 2 4^{2}$

となり、こちらでも $2 4^{2} + 3 1^{2}$ の表し方が得られる。

ポイント

等式の証明は、左辺・右辺を別々に展開して同じ形を示す
$2 ab c d$ と $- 2 ab c d$ が消えるのがポイント
(2)は公式に数を当てはめる。 $c, d$ の順を変えると別の表し方が出る

よくある間違い

証明で左辺と右辺を混ぜて変形する(別々に展開して比べる)
(2)で $c, d$ の入れかえに気づかず、1通りしか出せない

問8対称式・交代式の因数分解

★★★ 応用因数分解対称式・交代式

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}$

(2) $a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b)$

ヒントを見る

(1)は $x^{2} + y^{2}$ を1つと見れば『2乗の差』を作れる形。(2)は交代式だ。1つの文字(例えば $a$ )について整理すると $(b - c)$ が共通因数として現れる。答えの符号(全体のマイナス)に注意。

解答・解説

方針

(1)は $x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}$ 。まん中を $2 x^{2} y^{2}$ にすれば $(x^{2} + y^{2})^{2}$ が作れるので、2乗を作って差にする。(2)は3文字の交代式。1つの文字( $a$ )について整理すると、共通因数 $(b - c)$ が現れる。整理 → 共通因数 → 残りを分解、の流れだ。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)は惜しい形だ。まん中が $2 x^{2} y^{2}$ なら完全平方 $(x^{2} + y^{2})^{2}$ になる。

そこで足して引く調整で、平方の差を作りにいく。(2)は交代式だ。展開して押し切らず、 $1$ つの文字について整理する原則に立ち返れば、共通因数が自然に現れる。

公式平方の差を作る:

x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} - (x y)^{2} = (x^{2} + x y + y^{2}) (x^{2} - x y + y^{2})

(1) $x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}$ は、まん中を $2 x^{2} y^{2}$ にすると $(x^{2} + y^{2})^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$ が作れる。だから2乗を作って、増やした分( $x^{2} y^{2}$ )を引く。

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} = (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}) - x^{2} y^{2} = (x^{2} + y^{2})^{2} - (x y)^{2}$

2乗 − 2乗の形になったので、和と差のかけ算を使う。

$(x^{2} + y^{2})^{2} - (x y)^{2} = (x^{2} + y^{2} + x y) (x^{2} + y^{2} - x y) = (x^{2} + x y + y^{2}) (x^{2} - x y + y^{2})$

(2) $a$ について整理する。まず展開して $a$ でまとめる。

$a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b) = a^{2} b - a^{2} c + b^{2} c - a b^{2} + c^{2} a - b c^{2} = (b - c) a^{2} - (b^{2} - c^{2}) a + (b^{2} c - b c^{2}) = (b - c) a^{2} - (b + c) (b - c) a + b c (b - c)$

どの項にも共通の $(b - c)$ がある。くくって

$(b - c) {a^{2} - (b + c) a + b c}$

カッコの中は、かけて $b c$ ・たして $b + c$ の2数が $b$ と $c$ なので

$a^{2} - (b + c) a + b c = (a - b) (a - c)$

まとめて

$a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b) = (b - c) (a - b) (a - c)$

答えの形をそろえると(符号を整理して)

$(b - c) (a - b) (a - c) = - (a - b) (b - c) (c - a)$

まとめ:とも書ける。交代式は『1文字で整理 → 共通因数 → 残りを分解』できれいな積になる。

発展。 (1)の $2$ つの因数 $x^{2} + x y + y^{2}$ と $x^{2} - x y + y^{2}$ は、 $(x, y) \neq = (0, 0)$ でありさえすれば、どちらも必ず正になる。実際 $x^{2} + x y + y^{2} = (x + \frac{y}{2})^{2} + \frac{3}{4} y^{2}$ で、これが $0$ になるのは $x + \frac{y}{2} = 0$ かつ $y = 0$ 、つまり $x = y = 0$ のときだけだ。

だから $x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}$ は、 $(x, y) \neq = (0, 0)$ ではつねに正。正の因子 $2$ つの積だからだ。 $y = 1$ とおけば $x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ という見なれた形になる。

「 $2$ 乗の和に近い式を、正の因子の積に開く」見方は、不等式の証明や最小値の議論でも役に立つ。

答

(1) $(x^{2} + x y + y^{2}) (x^{2} - x y + y^{2})$ (2) $- (a - b) (b - c) (c - a)$

別解

別解:因数の形を仮定して係数を合わせる(得意な人向けの系統的ルート)。 (1)は平方の差を思いつかなくても、答えの形を仮定して押し切れる。

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}$ は $x$ と $y$ を入れかえても変わらず( $x, y$ について対称)、各項の次数はそろって $4$ 次だ。そこで

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} = (x^{2} + a x y + y^{2}) (x^{2} + b x y + y^{2})$

と仮定して展開する。 $x^{3} y$ の係数は $a + b$ 、 $x^{2} y^{2}$ の係数は $2 + ab$ になる。もとの式と見比べて $a + b = 0$ 、 $2 + ab = 1$ 。

これを解くと $ab = - 1$ 、 $a + b = 0$ より $a = - 1$ 、 $b = 1$ 。よって $(x^{2} - x y + y^{2}) (x^{2} + x y + y^{2})$ 。平方の差を作る本解と同じ答えに、形の仮定から着く。

ポイント

(1)は2乗を作って $(x^{2} + y^{2})^{2} - (x y)^{2}$ の差にする
(2)は1つの文字について整理すると共通因数 $(b - c)$ が出る
残った2次式をさらに因数分解して、対称・交代の積の形にする

よくある間違い

(1)でまん中を $2 x^{2} y^{2}$ にそろえる工夫に気づかず、 $3$ 項のまま因数分解しようとして詰まる。
(2)を展開して $a$ について整理する途中で、 $- (b^{2} - c^{2})$ の符号を落として共通因数 $(b - c)$ を見失う。
(2)で $(b - c) (a - b) (a - c)$ まで出して、 $- (a - b) (b - c) (c - a)$ という整った形にそろえ直すのを忘れる。

数と式 ★★★ 応用の問題 全8問

問1整式の整理と加法・減法の応用

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問2組み合わせと置き換えで工夫する展開

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問3たすき掛けによる因数分解の応用

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問4複2次式の因数分解(置き換えと平方の差)

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問5符号の統一と置き換え・共通因数

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問6最低次の文字で整理する因数分解

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問7展開を用いた等式の証明と平方の和への応用

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問8対称式・交代式の因数分解

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

数と式 ★★★ 応用の問題全8問