数と式 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 展開の問題は、配り始める前に「どの公式の形か」を見分けるのが最初の仕事。

(1)は同じものの $2$ 乗、(2)は和と差のかけ算、(3)は $x$ が共通の $2$ つのカッコ。形さえ見分ければ、あとは公式に当てはめるだけだ。形を見分ける力をつけることが、この問題の目的である。

(1) $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ に当てはめる。$a=x$、$b=3$ だ。

$$(x+3{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2+6x+9$$

まん中の $2ab$(ここでは $6x$)を忘れやすいので注意。

(2) 和と差のかけ算 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ の形だ。$a=2x$、$b=5$。

$$(2x-5)(2x+5)=(2x{)}^2-5^2=4x^2-25$$

$(2x{)}^2=4x^2$ のように、係数の2も2乗するのを忘れずに。

(3) $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ で、$a=2$、$b=-7$。

$$\begin{array}{rl}(x+2)(x-7)& =x^2+\{2+(-7)\}x+2\cdot (-7)\\ & =x^2-5x-14\end{array}$$

まとめ:$x$ の係数は2数の和 $2+(-7)=-5$、定数項は2数の積 $2\times (-7)=-14$。符号に気をつけよう。

発展。 $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ に $x=10$ を入れると $13^2=100+60+9=169$ となる。展開公式は暗算の道具でもある。$97\times 103=(100-3)(100+3)=10000-9=9991$ のように、和と差の積を使うと「きりのいい数 $\pm$ 少し」のかけ算をすぐに済ませられる。

この $3$ つの公式はこの先の因数分解(逆向き)・$2$ 次方程式・平方完成まで、数Iの計算の基本として使われ続ける。「形を見分けてから手を動かす」習慣ごと持ち上がっていく。

別解

公式のまん中の項($6x$)がどこから来るのかは、正方形の面積の絵で見ると忘れなくなる。$(x+3{)}^2$ は「$1$ 辺 $x+3$ の正方形の面積」。この正方形を、辺を $x$ と $3$ に区切って切り分けると、$4$ つの部屋ができる。

• $x\times x$ の部屋: $x^2$
• $x\times 3$ の部屋が $2$ つ(右上と左下): $3x+3x=6x$
• $3\times 3$ の部屋: $9$

$$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$$

まん中の $6x$ は「細長い部屋 $2$ 部屋分」の面積だ。だから公式は $2ab$ と倍が付く。$x^2+9$ という誤りは $4$ 部屋のうち角の $2$ 部屋しか数えていない絵に相当する。

(2)の $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ も、正方形から小さい正方形を欠いた図形の切り貼りで絵にできる。公式を忘れたら面積の絵に戻ればよい。展開公式は図形を使って正しいことを確かめられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 因数分解と言われたら、公式より先に「全部の項に共通してかかっているものはないか」と目を走らせる。

共通因数のくくり出しはすべての因数分解の最初の手順だ。これを飛ばすと後の公式も使えない。(1)は $3x$、(2)は $2ab$ が全項に共通。くくり出したら、展開して元に戻るかの確認までがワンセットだ。

(1) $3x^2$ と $6x$ に共通してかけられているのは $3x$。これを前に出してくくる。

$$3x^2+6x=3x(x+2)$$

くくった後、$3x\times x=3x^2$、$3x\times 2=6x$ と、展開して元に戻ることを確かめるとよい。

(2) 各項 $2a^{2}b$、$-4a{b}^2$、$8ab$ を見る。係数の共通は2(最大公約数)、文字の共通は $a$ と $b$。だから共通因数は $2ab$。

$$2a^{2}b-4a{b}^2+8ab=2ab(a-2b+4)$$

まとめ:カッコの中は各項を $2ab$ で割った $a$、$-2b$、$4$。最後の $8ab÷2ab=4$ を、$4ab$ などと間違えないように。

発展。 「くくり出したら展開して戻す」検算はすぐに済むのに、項の落とし・割り算ミスをほぼ全部見つけられる。因数分解は答えの検算が展開という機械作業でできる、数学でも珍しく答え合わせ付きの計算だ。この安心感は、因数分解が複雑になるほど助けになる。

共通因数くくりはこの後のすべての因数分解の「第 $0$ 手」。たすき掛けの前に $2$ でくくり、公式を使う前に $x$ でくくる。「まず共通因数」という習慣は、式が複雑になる数IIでも変わらず最初の一手である。

別解

共通因数を見落とさない・取り切るための、分解表の書き方を紹介する。各項を数と文字の積にバラして並べる。(2)なら

• $2a^{2}b=2\cdot a\cdot a\cdot b$
• $-4a{b}^2=-2\cdot 2\cdot a\cdot b\cdot b$
• $8ab=2\cdot 2\cdot 2\cdot a\cdot b$

縦に見比べて、全行にいる部品に印をつける。$2$ が $1$ 個、$a$ が $1$ 個、$b$ が $1$ 個ある。共通因数は $2ab$ だ。

くくった後の中身は各行から印の部品を抜いた残り: $a,-2b,+4$。

$$2a^{2}b-4a{b}^2+8ab=2ab(a-2b+4)$$

この表を使うと「取り切ったか」が見える。たとえば $2b(a^2-2ab+4a)$ で止めると、残りの全項にまだ $a$ がいるのが表ですぐ分かる。慣れれば頭の中でやる作業だが、迷ったら紙に表を書く。速さより確実さを優先する。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「整理せよ」系の問題は、手を動かす前に「何を基準に並べるのか」を確認する。基準は文字の次数だ。同類項を先に集めてから、次数の高い順(降べきの順)に並べる。

(2)のように文字が $2$ 種類あるときは、「$x$ に着目」の指示で、どの文字を中心に考えるかが決まる。$x$ だけを文字とみなし、$y$ は数の仲間(定数)としてあつかう。着目する文字が決まれば、(1)と同じ仕分け作業に戻る。

(1) 同類項をまとめる。$x^2$ の項: $-3x^2+x^2=-2x^2$。$x$ の項: $5x-2x=3x$。定数: $4-9=-5$。次数の高い順に並べて

$$-2x^2+3x-5$$

いちばん高い次数は2だから次数は2、$x$ を含まない項が定数項 $-5$。

(2) $x$ に着目するので、$x^2$ の項、$x$ の項、$x$ を含まない項に分ける。$x$ の項は $-3xy-x=-(3y+1)x$、$x$ を含まない項は $2y^2+4y-7$。まとめて

$$x^2-(3y+1)x+(2y^2+4y-7)$$

まとめ:$x$ に着目したときの次数は2、$x$ を含まない項 $2y^2+4y-7$ が定数項だ。$y$ が入っていても、$x$ から見れば定数のあつかいになる、というのがポイント。

発展。 「$x$ に着目」の考え方はこの単元の文字 $2$ 種類の因数分解(次数の低い文字で整理)や、数IIの「$x$ についての方程式とみる」「定数 $a$ に着目し直す」でも使う。どの文字に着目するかは、解く側が選べる。このことに気づくと、文字式の扱いが上達する。

降べきの順は「桁の大きい位から書く」数の記法と同じ発想でもある。$253=2\cdot 10^2+5\cdot 10+3$ と書ける。整式は「$10$ を $x$ に置き換えた数」のように振る舞うので、整理・加減・乗法が筆算とそっくりになる。

別解

同類項の整理を「棚への仕分け」の絵でやると、落としも重複もなくなる。棚を $3$ つ用意する。「$x^2$ の棚」「$x$ の棚」「定数の棚」だ。式の項を先頭から順に $1$ つずつ棚に投げ込む。(1) $5x-3x^2+4-2x+x^2-9$ を仕分けると

• $x^2$ の棚: $-3x^2,+x^2$ → 合わせて $-2x^2$
• $x$ の棚: $5x,-2x$ → $3x$
• 定数の棚: $4,-9$ → $-5$

棚を左(高い次数)から読み上げると $-2x^2+3x-5$ となり、降べきの順が自動で完成する。

(2)のコツは、$x$ にだけ印(丸や色)をつけること。印のついた $x^2,x$ と、印のない残り($y$ の式)で棚を作れば、$-3xy$ と $-x$ が同じ「$x$ の棚」に入り($(-3y-1)x$)、$2y^2+4y-7$ がまるごと定数の棚に落ちる。「着目する文字以外は数」という抽象的な指示が、印つけの一手で作業になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 式の足し引きは同類項をまとめるだけだ。そう分かっていても、ミスが起きるのは引き算の符号だ。

$2A-3B$ を見た瞬間に「$3B$ の全部の項の符号が反転する」と身構える。(2)は先に $2A$ と $3B$ をそれぞれ計算してから引く。一度に $2$ つの操作(倍と引き算)をやらないのが、ミスを減らす段取りである。

(1) 同類項をまとめる。

$$\begin{array}{rl}A+B& =(2x^2-3x+1)+(x^2+4x-5)\\ & =(2+1)x^2+(-3+4)x+(1-5)\\ & =3x^2+x-4\end{array}$$

(2) まず $2A$、$3B$ を計算する。

$$2A=4x^2-6x+2,3B=3x^2+12x-15$$

次に引く。ここが大事なところだ。$3B$ を引くので、$3B$ の各項の符号が全部反対になる。

$$\begin{array}{rl}2A-3B& =(4x^2-6x+2)-(3x^2+12x-15)\\ & =4x^2-6x+2-3x^2-12x+15\\ & =x^2-18x+17\end{array}$$

まとめ:$-(-15)=+15$ のように、引き算でマイナスがプラスに変わるところを、ていねいに書こう。

発展。 検算は数の代入が手軽だ。$x=1$ とすると $A=0$、$B=0$ となる。これは偶然すぎて検算にならないので $x=2$ で: $A=3,B=7$、$2A-3B=6-21=-15$。答えの式は $4-36+17=-15$。文字の計算は数を入れれば数の計算で照合できる。この検算は整式のすべての計算に使える。

縦書きの発想は整式の割り算(数IIの筆算)でそのまま使う。整式は「$10$ の代わりに $x$ を桁にした数」と見られる。加減・乗法・除法のすべてが数の筆算と同じ手順で理解できる。

別解

数の筆算と同じ縦書きでやると、同類項の対応と符号が目で追えるようになる。同類項が縦に揃うように書き並べる。(2)の $2A-3B$ なら、$2A=4x^2-6x+2$ の下に $3B=3x^2+12x-15$ を置いて、列ごとに引く。

$$\begin{array}{rrrr}& 4x^2& -6x& +2\\ -)& 3x^2& +12x& -15\\ & x^2& -18x& +17\end{array}$$

• $x^2$ の列: $4-3=1$
• $x$ の列: $-6-12=-18$
• 定数の列: $2-(-15)=17$

横書きだと「どの項とどの項を組むか」を目が探し回るが、縦書きなら列で組が決まる。数の $325-187$ の筆算と同じだ。

引き算の符号ミス($-(-15)$ の処理)も、「この列は $2$ 引く $-15$」と 1 列 $1$ 演算に分解されるので起きにくい。項数の多い整式・係数に分数が混ざる計算ほど、縦書きの価値は上がる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 多項式のかけ算は「前の各項を、後ろの各項にもれなく配る」だけだ。だが項数が増えると抜けが出る。

配る前に、(前の項数)×(後ろの項数)で答えの項数の見当をつけておく。(2)なら $2\times 2=4$ 項出るはず(まとめる前)。配り終えて項数が合っていれば抜けなし。あとは同類項をまとめて完成だ。

(1) $-2x$ を、カッコの中の各項にかける。

$$-2x(x^2-3x+5)=-2x^3+6x^2-10x$$

$-2x\times (-3x)=+6x^2$ のように、マイナス×マイナスがプラスになるところに注意。

(2) $(x+a)(x+b)$ 型の公式を使うか、1つずつ配ってかける。

$$\begin{array}{rl}(3x+2)(2x-5)& =6x^2+\{3\cdot (-5)+2\cdot 2\}x+2\cdot (-5)\\ & =6x^2+(-15+4)x-10\\ & =6x^2-11x-10\end{array}$$

(3) 2種類の文字があるが、やることは同じ。1つずつ配ってかけて、同類項 $4xy$ と $-6xy$ をまとめる。

$$\begin{array}{rl}(4x-3y)(2x+y)& =8x^2+4xy-6xy-3y^2\\ & =8x^2-2xy-3y^2\end{array}$$

発展。 グリッド法の表は、実は分配法則 $a(b+c)=ab+ac$ を $2$ 回使った結果の見取り図。「かけ算の展開はなぜ全組み合わせなのか」の理由が、面積の敷き詰めとして目に見える。

検算の小技もひとつ紹介する。$x=1$ を両辺に代入する。(2)なら左辺 $(3+2)(2-5)=-15$、右辺 $6-11-10=-15$。係数の合計どうしが一致するはず、という原理で、展開ミスの多く(符号・かけ忘れ)が $1$ 回の代入で見つかる。

別解

かけ忘れを構造的になくす長方形の表(グリッド法)を紹介する。(2) $(3x+2)(2x-5)$ を、縦横に項を並べた表にする。縦に $3x,+2$、横に $2x,-5$ を並べる。各マスに「縦 × 横」を書き込む。

$$\begin{array}{ccc}\times & 2x& -5\\ 3x& 6x^2& -15x\\ +2& 4x& -10\end{array}$$

マスは $2\times 2=4$ 個ある。表の形が「もれなく」を保証する。あとは全マスを足して同類項をまとめる。

$$6x^2+(-15x+4x)-10=6x^2-11x-10$$

これは小学校の「かけ算の筆算を面積で描く」のと同じ絵で、$(4x-3y)(2x+y)$ のような文字 $2$ 種類でも、$3$ 項 $\times 3$ 項でも(マスが $9$ 個になるだけ)崩れない。展開公式はこの表の結果に名前をつけたものだ。公式が思い出せない形は、いつでも表に戻ればよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) そのまま展開すると項が多くて大変そうだと感じたら、それは共通のかたまりを探すサインだ。

(1)は $x+y$ がどちらのカッコにもいる。かたまりを $1$ 文字 $A$ とみれば $(A+2)(A-2)$ となり、和と差の積の公式が使える。(2)は順番の工夫。先に $(x+1)(x-1)=x^2-1$ を作ると、次も和と差の積になって連鎖する。「どこから計算するか」も解法のうちである。

(1) $x+y$ を1つのかたまりとみて $A=x+y$ とおく。すると和と差のかけ算だ。

$$(A+2)(A-2)=A^2-4$$

$A$ をもとに戻して、$A^2=(x+y{)}^2$ を展開する。

$$\begin{array}{rl}{A}^2-4& =(x+y{)}^2-4\\ & =x^2+2xy+y^2-4\end{array}$$

(2) 前から順にかけるより、組み合わせを工夫する。$(x+1)(x-1)$ が和と差のかけ算になっているので、先に計算する。

$$(x+1)(x-1)=x^2-1$$

残りの $(x^2+1)$ をかけると、これもまた和と差のかけ算の形だ。

$$(x+1)(x-1)(x^2+1)=(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1$$

まとめ:和と差のかけ算 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ が2回使えると気づけば、すぐに片づく。

発展。 (2)の連鎖はもっと続けられる。$x^4-1$ に $(x^4+1)$ を掛ければ $x^8-1$、さらに掛けて $x^{16}-1,\dots$。「和と差の積の連鎖」は $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\cdots$ という積の形を生み、数Bの数列や $2$ 進法の話($2^n-1$ の因数分解)にも出てくる。

かたまり置き($A=x+y$)は、複2次式($x^2=t$)・対称式・数IIの複雑な展開まで、この単元の後半から先へずっと使い続ける中心技術。同じ形の反復を見たら $1$ 文字に置き換える。これは式変形で最もよく使う整理の方法である。

別解

「順番の工夫」の効果はわざと悪い順番で $1$ 度やってみるとよく分かる。(2)を前から順に、$(x+1)(x-1)$ でなく $(x-1)(x^2+1)$ から計算してみよう。

$$(x-1)(x^2+1)=x^3+x-x^2-1$$

$4$ 項の $3$ 次式になり、公式の形ではない。これに $(x+1)$ を掛けると、$2\times 4=8$ 項の配り算になり、同類項をまとめてようやく $x^4-1$ に着く。答えは同じだが、手数とミスの機会が数倍だ。

良い順番($(x+1)(x-1)$ が先)なら

$$(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1$$

となり、和と差の積が $2$ 回続いて $2$ 行で終わる。かけ算は順番を選べる(交換・結合法則)。だから「公式が使えるペアを先に組む」ことができる。計算の前に $2$ 秒だけ、ペアの組み方を考える習慣をつけるとよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 因数分解は展開の逆再生。与えられた式を見て「これはどの展開公式の結果か」を推理する。

手がかりは項の数と符号だ。$2$ 乗が $2$ つとまん中の項があるなら完全平方、$2$ 乗の差なら和と差の積、$x^2+(\text{和})x+(\text{積})$ なら $2$ 数探し。(3)は「かけて $-18$、たして $-3$」の $2$ 数を探す。積が負なら $2$ 数は異符号、という符号の読みが決め手になる。

(1) $25=5^2$、まん中の $10x=2\cdot x\cdot 5$ に気づくと、$(a+b{)}^2$ の形だとわかる。

$$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$$

(2) $9a^2=(3a{)}^2$、$16b^2=(4b{)}^2$ なので、$a^2-b^2$ の形。

$$9a^2-16b^2=(3a+4b)(3a-4b)$$

(3) かけて $-18$(定数項)、たして $-3$($x$ の係数)になる2数を探す。$-6$ と $+3$ だ($-6\times 3=-18$、$-6+3=-3$)。

$$x^2-3x-18=(x-6)(x+3)$$

まとめ:2数を探すときは、まず積が $-18$ になる組($1と-18$、$2と-9$、$3と-6$…)を書き出し、その中から和が $-3$ になるものを選ぶとよい。

発展。 「かけて $c$、たして $b$」の $2$ 数は、実は $2$ 次方程式 $t^2-bt+c=0$ の解だ。$2$ 次方程式を学ぶと、$2$ 数探しは解の公式で機械的に求まる($x^2-3x-18=0$ の解 $6,-3$ が、そのまま因数 $(x-6)(x+3)$ の中身)。勘で探していた作業が後の単元で完全に自動化される。

逆に言えば、因数分解は「$2$ 次方程式を解いていた」ことになる。$x^2-3x-18=0$ の解が $x=6,-3$ であることを、因数分解は先取りしている。因数分解と方程式は同じ事実の表裏で、この対応が数Iの中心軸になる。

別解

(3)の $2$ 数探しを「勘」でなく、符号の推理 → 候補表の $2$ 段でやると確実になる。

符号の推理: 積 $-18$ が負 → $2$ 数は異符号。和 $-3$ が負 → 絶対値の大きい方がマイナス。

候補表(積が $18$ になる組を、大きい方をマイナスにして並べる):

$3$ 行目で見つかり、$(x-6)(x+3)$ となる。符号の推理を先にやると、候補が半分以下に絞れる(同符号の組を試さずに済む)。積が正なら「$2$ 数は同符号で、和の符号がその符号」となる。この $2$ 行のルールを持っていれば、$2$ 数探しはほとんど機械作業になる。

検算は展開か、$x=1$ の代入で: 元の式は $1-3-18=-20$、答えは $(1-6)(1+3)=-20$。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^2$ の係数が $1$ でない $2$ 次式は、「積と和」だけの推理では組が見つからない。

係数の分解(たての積)とまん中の係数(たすきの和)を、同時に合わせる必要がある。それを表にしたのがたすき掛けだ。$(px+q)(rx+s)$ の形を目指し、$pr=(x^2\text{の係数})$、$qs=(\text{定数項})$、$ps+qr=(x\text{の係数})$ を満たす組を探す。何通りか試すことになるが、展開で確かめれば確実である。

(1) $2x^2+7x+3$ を因数分解する。$2x^2$ を $x\times 2x$、$3$ を $3\times 1$ に分けて、たすきにかけた和が $x$ の係数7になる組を探す。

$$1\times 1+2\times 3=1+6=7$$

うまく7になった。だから

$$2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1)$$

(2) $6x^2-7x-3$。$6x^2=2x\times 3x$、$-3=(-3)\times 1$ と分けて、たすきの和を調べる。

$$2\times 1+3\times (-3)=2-9=-7$$

$x$ の係数 $-7$ と合った。だから

$$6x^2-7x-3=(2x-3)(3x+1)$$

まとめ:たすき掛けは、合う組が見つかるまで何通りか試すのがふつう。見つけたら、展開して元に戻ることを必ず確かめよう。

発展。 たすき掛けで見つからないときは、そもそも整数の範囲で分解できない場合がある($6x^2-7x+3$ など)。$2$ 次方程式の判別式を学ぶと、「分解できるか」を試す前に判定できるようになる。無駄な試行を切り上げる根拠になる。

たすき掛けは $2$ 次式の因数分解の中では最も手間のかかる作業だが、この先の $2$ 次方程式・$2$ 次関数・$2$ 次不等式のすべてで「まず因数分解できるか」が最初の一手になる。ここでの反射神経が数I全体の計算速度を決める。

別解

やみくもに試す前に、符号のパターンを先に決めると候補が半分になる。定数項の符号を見る。

• (1) $2x^2+7x+3$: 定数 $+3$ が正 → 定数側の $2$ 数は同符号。$x$ の係数 $+7$ も正 → 両方プラス。試すのは $(1,3)$ の組だけ。あとは $x^2$ の係数 $2$ を $1\times 2$ に割って、たすきの和が $7$ になる並べ方を選ぶ($1\cdot 1+3\cdot 2=7$)。

$$2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1)$$

• (2) $6x^2-7x-3$: 定数 $-3$ が負 → 定数側は異符号($+1$ と $-3$、または $-1$ と $+3$)。$x^2$ の係数 $6$ は $1\times 6$ か $2\times 3$。組み合わせを表にして、たすきの和が $-7$ になるものを探すと $2\cdot 1+(-3)\cdot 3=-7$。

$$6x^2-7x-3=(2x-3)(3x+1)$$

「同符号か異符号か」を最初に決めるだけで、試す組の数が半減する。それでも複数試すのがふつうだ。たすき掛けは当てものではなく、絞り込みだと思えば、$2$ 回目、$3$ 回目の試行も苦にならない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^4$ と $x^2$ しかない式は、$x^2$ をひとかたまりに見れば $2$ 次式になる。見た目の次数に惑わされず「実質 $2$ 次」と見抜くのが第一手だ。

$x^2=t$ とおくと $x^4=t^2$。$t$ の $2$ 次式として因数分解し、最後に $t$ を $x^2$ に戻す。戻したあとも気を抜けない。$x^2-4$ のように、まだ分解できる因数が残っていないかを必ず点検する。

(1) $x^2=t$ とおくと、$x^4=t^2$ なので $t^2-5t+4$。これを因数分解する。

$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$$

$t$ を $x^2$ に戻すと

$$(x^2-1)(x^2-4)$$

ここで止めない。$x^2-1$ も $x^2-4$ も和と差のかけ算でさらに分解できる。

$$x^4-5x^2+4=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)$$

(2) $x^4-16=(x^2{)}^2-4^2$ とみて、$x^2=t$ とおくと $t^2-16$。

$$t^2-16=(t+4)(t-4)$$

$t$ を戻すと $(x^2+4)(x^2-4)$。$x^2-4$ はさらに分解できる($x^2+4$ はこれ以上分解できない)。

$$x^4-16=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$

まとめ:複2次式のポイントは $t$ を戻したあとに「まだ分解できないか」を必ず確かめること。ここで止めてしまうミスが多い。

発展。 「$2$ 乗の和は分解できない」は実数の範囲ではの話。数IIで虚数 $i$($i^2=-1$)を学ぶと $x^2+4=(x+2i)(x-2i)$ と割れてしまう。「分解できるか」はどの範囲の数で考えるかで変わる。扱う数の範囲が広がると、分解できる限界も変わる。

検算は数の代入で。(1)に $x=3$ を入れると元の式は $81-45+4=40$、答えは $4\cdot 2\cdot 5\cdot 1=40$。$4$ 因数もの分解でも、$1$ 回の代入で全体をチェックできる。

別解

「これ以上分解できるか」の点検を、因数の形で仕分けると迷わない。分解を終えた後、残った $2$ 次因数を $1$ つずつ調べる。

• $x^2-a^2$($2$ 乗の差): 分解できる → $(x+a)(x-a)$
• $x^2+a^2$($2$ 乗の和): これ以上できない(実数の範囲では)

(1)で $t$ を戻した $(x^2-1)(x^2-4)$ は、両方とも「差」の形だ。だからどちらも割れて $4$ 因数になる。

$$(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)$$

(2)の $x^4-16=(x^2+4)(x^2-4)$ は、片方が「和」、片方が「差」。差だけが割れて

$$(x^2+4)(x+2)(x-2)$$

$x^2+4$ は残す。$(x+2{)}^2$ などと無理に分解すると展開して $x^2+4x+4$ になり別物だ($1$ 度でも試せば分かる)。「和は割れない、差は割れる」という $1$ 行の判定表を持てば、複2次式の最後の詰めで手が止まらない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文字が $2$ 種類あると、どこから手をつけるか迷う。迷ったら「次数の低いほうの文字について整理する」。

低い文字なら整理後の形が単純で、共通因数が見つかりやすいからだ。

(1)は $a$ も $b$ も $1$ 次なので、どちらでもよいが、$b$ でくくってみる。(2)は $y$ が $1$ 次で $x$ が $2$ 次 → $y$ について整理する。この選択が解けるか詰まるかを分ける。

(1) $b$ を含む項と含まない項に分けて、$b$ でくくる形にそろえる。

$$ab+b+2a+2=(a+1)b+2(a+1)$$

両方の項に共通の $(a+1)$ が出てきた。これでくくれる。

$$ab+2a+b+2=(a+1)(b+2)$$

(2) $y$ が1次で次数が低いので、$y$ について整理する。$y$ を含む項は $xy+y=(x+1)y$、$y$ を含まない項は $x^2+2x+1$。

$$x^2+xy+2x+y+1=(x+1)y+(x^2+2x+1)$$

ここで $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$ に気づく。

$$(x+1)y+(x+1{)}^2$$

共通の $(x+1)$ でくくって

$$=(x+1)\{y+(x+1)\}=(x+1)(x+y+1)$$

まとめ:次数の低い文字($y$)について整理すると、共通のかたまりが見つけやすい。

発展。 「次数の低い文字で整理」の原理はこうだ。$y$ について $1$ 次なら、式は必ず「($x$ の式)$\times y$ + ($x$ の式)」の形に書ける。$1$ 次式は「係数」と「定数」の $2$ 部品しかないので、共通因数を探す場所が $2$ か所に限定される。次数が高い文字について整理すると部品が増え、探す場所も増える。手が止まる理由はここにある。

この整理術は、数IIの「$a$ について整理して因数定理」「$3$ 文字の対称式」まで持ち上がる。どの文字について整理するかは、解く側が選べる。うまく選べることが、文字式を扱う力になる。

別解

答えの形を、具体的な数で当たりをつけてから確かめる、という逆向きの攻め方もある。(1) $ab+2a+b+2$ に $a=1,b=1$ を入れると $1+2+1+2=6$。答えが $(\text{何か})(\text{何か})$ の形なら、$6=2\times 3$ 的な分解になるはず。答え $(a+1)(b+2)$ を同じ数で検分すると $(1+1)(1+2)=2\times 3=6$ で、一致する。

これは「答えの発見法」ではなく、確実な検算法だ。文字 $2$ 種類の因数分解は符号やくくり方でミスが出やすいので、$(a,b)=(1,1)$ と $(2,3)$ など $2$ 組ほど代入して両辺の数が合うかを見る。$2$ 組で合えば、まず間違いない。

(2)も $(x,y)=(1,1)$ で: 元の式 $1+1+2+1+1=6$、答え $(1+1)(1+1+1)=2\times 3=6$。

文字の式は数を入れれば数の式になる。この当たり前を検算に使えるようになると、因数分解の答えに自信が持てる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 一見バラバラの項も、一部を公式でまとめると共通のかたまりが現れることがある。

見るポイントは $2$ つある。「$2$ 乗の形が隠れていないか」「$2$ 項ずつ組むと共通因数が出ないか」だ。(1)は $x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2$ に気づけば、$x+y$ が全体の共通のかたまりになる。(2)は $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ と $-x+y=-(x-y)$ に分けると、$(x-y)$ が共通で現れる。

(1) $x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2$ なので、$x+y$ を1つのかたまり $A$ とみる。すると

$$(x+y{)}^2-(x+y)=A^2-A=A(A-1)$$

$A$ を戻して

$$x^2+2xy+y^2-x-y=(x+y)(x+y-1)$$

(2) 前2項 $x^2-y^2$ と、後2項 $-x+y$ に分ける。前は和と差のかけ算 $(x+y)(x-y)$、後は $-x+y=-(x-y)$。

$$\begin{array}{rl}{x}^2-y^2-x+y& =(x+y)(x-y)-(x-y)\end{array}$$

両方に共通の $(x-y)$ が見えた。くくって

$$=(x-y)\{(x+y)-1\}=(x-y)(x+y-1)$$

まとめ:共通のかたまりを見つけるのがすべて。$-x+y$ を $-(x-y)$ と書きかえると共通が見える、という一手を覚えておこう。

発展。 「交代式は $(x-y)$ で割り切れる」は、数IIの因数定理($f(a)=0$ なら $(x-a)$ が因数)の先取りだ。$3$ 文字の交代式なら $(x-y)(y-z)(z-x)$ がまるごと因数になる。式の対称性から因数が分かるという、役に立つ原理である。

対称式には別の見方もある。$x+y$ と $xy$(基本対称式)さえ分かれば、$x^2+y^2$ も $x^3+y^3$ も計算できる。この技術は $2$ 次方程式の解と係数の関係(数II)で中心的に使う。今回の「$x+y$ をかたまりと見る」見方は、その基礎になる。

別解

$2$ つの式の性格の違いに気づくと、答えの形が先に予想できる。対称式と交代式という見方だ。

(1) $x^2+2xy+y^2-x-y$ は対称式: $x$ と $y$ を入れ替えても、式はまったく変わらない($x^2$ と $y^2$ が入れ替わるだけ、$-x-y$ も同じ)。だから答えも入れ替えに対して不変な形になるはずだ。実際 $(x+y)(x+y-1)$ は $x\leftrightarrow y$ で不変。

(2) $x^2-y^2-x+y$ は交代式: $x$ と $y$ を入れ替えると、全体の符号が反転する($x^2-y^2\to y^2-x^2$、$-x+y\to -y+x$)。

交代式には役に立つ性質がある。$x=y$ を代入すると必ず $0$ になる(入れ替えても同じ式なのに符号が逆、そんな値は $0$ だけ)。$0$ になるということは、$(x-y)$ で割り切れる、ということだ。

実際 $x=y$ を(2)に入れると $0-0=0$ となる。だから $(x-y)$ が因数だと計算前に確定する。あとは残りを求めるだけで、答え $(x-y)(x+y-1)$ の形が予測できていた。

式の対称性を見てから手を動かす。これは高校数学の全単元で使える第一手である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 証明問題でも、やることは計算と同じだ。ゴールの形を先に式で書いておく。

ゴールは「奇数の $2$ 乗」。奇数は $2(\text{整数})+1$ の形だから、目指す形は $(\text{奇数}{)}^2$ だ。つまり「与えられた式を展開・整理して、何かの $2$ 乗に変形する」が道筋になる。

$2n(2n+2)+1$ を展開すると $4n^2+4n+1$ になる。これは $(2n+1{)}^2$ の展開そのものだ。ゴールから逆算する目があれば、変形の行き先に迷わない。

連続する2つの偶数 $2n$、$2n+2$ の積に1を足した式を、展開して整理する。

$$\begin{array}{rl}2n(2n+2)+1& =4n^2+4n+1\\ & =(2n{)}^2+2\cdot 2n\cdot 1+1^2\\ & =(2n+1{)}^2\end{array}$$

$4n^2+4n+1$ が、$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ の形($a=2n$、$b=1$)になっていることに気づくのがポイントだ。

ここで $2n+1$ は偶数 $2n$ に1を足した数だから奇数。だから $2n(2n+2)+1=(2n+1{)}^2$ は、奇数 $2n+1$ の2乗になっている。よって、連続する2つの偶数の積に1を足すと奇数の2乗になることが示された。(証明終わり)

発展。 別解の「まん中の $2$ 乗」の見方を使うと、親戚の命題が次々に証明できる。連続する $2$ つの奇数($m-1,m+1$ で $m$ は偶数)の積に $1$ を足しても $m^2$ になる。つまり偶数の $2$ 乗だ。さらに「差が $2k$ の $2$ 数の積 $+k^2$ はまん中の $2$ 乗」と一般化できる。

証明の作法もここで押さえたい。「$n$ を整数とする」と文字で置くことが、無限個の場合を一度に扱う仕掛けだ。数値実験は発見のための道具で、文字式は証明のための道具だ。役割を分けて両方使うのが、数学の正しい進め方である。

別解

この命題は具体的な数で実験してから見ると、中身がとても素朴だと分かる。

$$2\times 4+1=9=3^2,4\times 6+1=25=5^2,6\times 8+1=49=7^2$$

$3,5,7$ と出てくる奇数はいつもかけた $2$ 数のまん中の数だ($2$ と $4$ のまん中が $3$、$4$ と $6$ のまん中が $5$)。理由はまん中の数 $m$ を中心に考えると分かる。連続する $2$ つの偶数は $m$ を挟んで $m-1$ と $m+1$。積に $1$ を足すと

$$(m-1)(m+1)+1=m^2-1+1=m^2$$

和と差の積の公式そのものだ。$-1$ と $+1$ がぴったり打ち消し合って、まん中の数の $2$ 乗だけが残る。本解の $2n(2n+2)+1=(2n+1{)}^2$ は、$m=2n+1$ とおいたこの計算の変装だった。

まん中の数を中心に置くと、式が対称になる。これは、対称性を利用して式を簡単にするという、よく使う方法のいちばん簡単な例である。実験 → まん中の発見 → 公式で証明、という流れを一度体験しておくと、証明問題への構えが変わる。