軌跡と領域の求め方(媒介変数の消去と通過領域)

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年11月9日

軌跡の問題は「条件を満たす点の集まり」を方程式で表し、領域の問題は不等式で表します。どちらも、求める点を $(x, y)$ とおいて、条件を $x$ と $y$ だけの式にする点が共通です。この記事では、条件の式の立て方、媒介変数を消去するときの範囲の扱い、直線が通過する領域の求め方を例で整理します。

軌跡: 求める点を $(x, y)$ とおいて条件を式にする

2点 $A (0, 0)$ 、 $B (4, 0)$ からの距離の比が $PA : PB = 3 : 1$ となる点 $P$ の軌跡を考えます。 $P (x, y)$ とおくと、条件は $PA = 3 PB$ です。両辺を2乗すると、次の式になります。

$x^{2} + y^{2} = 9 {(x - 4)^{2} + y^{2}}$

整理すると $x^{2} - 9 x + y^{2} + 18 = 0$ 、つまり $(x - \frac{9}{2})^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ で、中心 $(\frac{9}{2}, 0)$ 、半径 $\frac{3}{2}$ の円です。線分 $AB$ を $3 : 1$ に内分する点 $(3, 0)$ と外分する点 $(6, 0)$ が、この円の直径の両端になります。

距離の比が一定の点の軌跡は、比が $1 : 1$ でなければこのような円になり、アポロニウスの円とよばれます。答案では最後に「逆に、この円上の点は条件を満たす」と確認します。両辺が $0$ 以上なら2乗しても同値なので、この例では除外する点はありません。

媒介変数を消去するときは範囲に注意する

点の座標が媒介変数 $t$ や $θ$ で表されるときは、媒介変数を消去して $x$ と $y$ の関係式を導きます。このとき、 $x$ や $y$ のとりうる値の範囲を確認しないと、実際より広い図形を解答してしまいます。

$x = cos θ$ 、 $y = cos 2 θ$ の場合、2倍角の公式から $y = 2 cos^{2} θ - 1 = 2 x^{2} - 1$ です。ところが $x = cos θ$ は $- 1 \leq x \leq 1$ の値しかとらないので、軌跡は放物線 $y = 2 x^{2} - 1$ 全体ではなく、そのうち $- 1 \leq x \leq 1$ の部分です。

$x = 2^{t} + 2^{- t}$ 、 $y = 2^{t} - 2^{- t}$ ( $t$ は実数)なら、 $x^{2} - y^{2} = 4$ が得られます。 $2^{t} > 0$ なので、相加平均と相乗平均の関係から $x \geq 2$ です。軌跡は双曲線 $x^{2} - y^{2} = 4$ のうち $x \geq 2$ の部分(右側の曲線)になります。媒介変数を消去したら、「この関係式を満たす点は、すべて実際に現れるか」を確認してください。

領域: 境界線を引いて、どちら側かを判定する

不等式 $y > f (x)$ の表す領域は、曲線 $y = f (x)$ の上側です。円の不等式 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}$ は円の内部を表します。複数の不等式が「かつ」で結ばれていれば共通部分、「または」なら和集合です。

領域上で式の最大値・最小値を求める問題(線形計画法)では、式の値を $k$ とおいて図形とみなします。 $x \geq 0$ 、 $y \geq 0$ 、 $2 x + y \leq 10$ 、 $x + 3 y \leq 15$ の領域で $x + y$ の最大値を求める場合、 $x + y = k$ は傾き $- 1$ の直線で、 $k$ はこの直線の $y$ 切片です。領域と共有点をもつ範囲で直線を平行移動すると、 $k$ が最大になるのは直線が領域の頂点を通るときです。

頂点は $(0, 0)$ 、 $(5, 0)$ 、 $(0, 5)$ と、2直線 $2 x + y = 10$ 、 $x + 3 y = 15$ の交点 $(3, 4)$ です。 $x + y$ の値はそれぞれ $0, 5, 5, 7$ なので、最大値は $(3, 4)$ での $7$ になります。直線 $x + y = k$ の傾き $- 1$ が、2本の境界線の傾き $- 2$ と $- \frac{1}{3}$ の間にあることからも、最大になる頂点が $(3, 4)$ だと判断でき、検算になります。

通過領域: 「その点を通る直線が存在する」と言い換える

$t$ がすべての実数値をとるとき、直線 $y = t x + t^{2}$ が通過する領域を求めます。点 $(X, Y)$ がこの領域に含まれることは、 $Y = tX + t^{2}$ を満たす実数 $t$ が存在することと同じです。 $t$ について整理すると、次の式になります。

$t^{2} + X t - Y = 0$

この $t$ の2次方程式が実数解をもつ条件は、判別式から $X^{2} + 4 Y \geq 0$ 、つまり $Y \geq - \frac{X ^{2}}{4}$ です。求める領域は放物線 $y = - \frac{x ^{2}}{4}$ とその上側になります。

このように、点を固定して媒介変数の方程式とみなし、解の存在条件に言い換える方法を逆像法とよびます。 $t$ の範囲が制限されている問題では「その範囲に解をもつ条件」になるので、2次方程式・2次不等式で扱う解の配置の考え方が必要です。 $x$ を固定して、 $t$ を変化させたときの $y$ の値の範囲を求める方法(順像法)で解ける問題もあります。

つまずきやすいところ

軌跡では、媒介変数の範囲による制限の見落としが最も多い誤りです。分母が $0$ になる点など、除外する点がないかも確認してください。領域では境界線を含むか含まないかを、不等号の等号の有無にしたがって必ず明記します。通過領域では、 $x$ と $y$ を定数、媒介変数を変数とみなす立場の切り替えが、最初の関門です。