図形の問題で初等幾何・座標・ベクトル・複素数平面を使い分ける

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

図形の問題は、初等幾何(数学Aの図形の性質)、座標(数学IIの図形と方程式)、ベクトル(数学C)、複素数平面(数学C)の4つの道具で解けます。どれで解いても答えは同じですが、計算の長さは道具によって数倍違うことがあります。それぞれに得意な問題と不得意な問題があり、どれを使うかは問題の設定を見れば決められるものです。

4つの道具の性格

初等幾何は、定理(円周角・接弦・方べき・チェバ・メネラウス・五心)を使って、補助線と相似で解く方法です。補助線が見えれば速く解けますが、見えなければ手が出ません。角度と比の問題に強く、長さの計算には三角比(数学Iの図形と計量)を組み合わせます。

座標は図形を座標平面に置いて、点・直線・円を式で扱う方法です。補助線を思いつかなくても、機械的な計算で必ず答えに着きます。ただし、座標の置き方が悪いと計算が膨らみます。直線と円の問題、軌跡と領域の問題に強く、「距離の公式」と「点と直線の距離」が主な道具です。

ベクトルは図形を矢印の計算に置き換える方法です。座標と同じく機械的に進みますが、座標を置かずに済むぶん、対称性のある図形(正三角形・正四面体)や、空間図形で計算が短くなります。内積で角度と長さ、位置ベクトルで分点と交点、係数比較で共線・共面条件を扱います。

複素数平面は回転と拡大を掛け算で表す方法です。「ある点を中心に60°回転する」「正三角形の第3の頂点」のように、回転が中心になる問題では、ほかの道具より計算が短く済みます。

設定から道具を選ぶ

問題の設定を見て、次のように判断します。

円が中心の問題で、角度や弦の長さを問われているなら初等幾何です。円周角・接弦定理・方べきの定理が直接使えます。三角形の五心が出てくるときも、まず初等幾何(五心の定義)を試します。

座標や式が問題文に与えられているなら座標です。「直線 $y = 2 x + 1$ と円 $x^{2} + y^{2} = 5$ 」のような設定は、そのまま連立します。軌跡と領域は座標が前提です。

図形が「点と点を結ぶ線分の比」「交点の位置」「垂直・平行」で記述されていて、座標が与えられていないならベクトルです。「 $OA = a$ 、 $OB = b$ とおく」から始めます。空間図形(四面体・球面)はほとんどの場合ベクトルで扱います。

回転が中心(正三角形・正多角形・回転移動)なら複素数平面です。

判断に迷ったら、座標かベクトルを選んでください。補助線が見えなくても必ず答えに着く方法だからです。

同じ問題を2通りで解く

この判断ができるようになるには、同じ問題を2つの道具で解く練習が役に立ちます。このサイトの実戦編にはそのための問題を置いてあります。

中線定理は初等幾何(三平方の定理)でも、ベクトル(実戦編の中線定理をベクトルで示す)でも示せます。チェバの定理は面積比(数学Aの図形の性質)でも、ベクトル(実戦編のチェバの定理)でも示せる定理です。内心の位置は角の二等分線の性質(数学A)でも、ベクトル(実戦編の内心の位置ベクトル)でも求まります。正三角形の条件はベクトルの内積でも、複素数の回転(応用の正三角形をなす条件)でも書けます。

2通りで解くと、「ベクトルは補助線を要らなくする代わりに計算が増える」「初等幾何は補助線が見えればすぐに終わる」という、道具の性格が実感としてわかります。

座標の置き方

座標で解くとき、置き方で計算量が数倍変わります。三角形なら、1つの頂点を原点に、1辺を $x$ 軸に置きます。円なら中心を原点に置き、対称な図形なら対称軸を座標軸にするのが基本です。放物線なら頂点を原点に置きます。「与えられた条件のうち、最も多くの座標が簡単になる置き方」を選ぶのが原則です。

ベクトルでも同じで、始点の選び方で計算量が変わります。1つの頂点を始点にして、他の点をすべてその始点からのベクトルで表すのがふつうです。

空間図形を平面の問題にする

空間図形は座標でもベクトルでも、最後は「どの平面で切れば直角三角形が現れるか」を見つけて平面の問題に落とします。四面体の高さなら頂点から底面への垂線を含む断面、点と平面の距離なら法線ベクトルを含む断面を使います。空間で新しく必要になる3つの考え方(法線・距離・同一平面条件)は、空間ベクトルの記事にまとめました。