接続した2つの容器の片方だけを温める

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) A だけを温めると、A の気体がふくらもうとして、一部が管を通って B へ移動する。そのため、A の圧力が温度に比例して $2$ 倍になるわけではない。

管で接続された容器では、圧力は共通で、物質量の合計は保存される。各容器の物質量を $n=\frac{PV}{RT}$ で表し、合計がはじめと等しいという式を立てれば、圧力が求まる。

① A が $600\mathrm{K}$ のときの圧力。 はじめの物質量の合計は $\frac{2P_{0}V}{R\times 300}$ である。A が $600\mathrm{K}$ のときの圧力を $P$ とすると、合計は次の式で表される。

$$\frac{PV}{R\times 600}+\frac{PV}{R\times 300}=\frac{2P_{0}V}{R\times 300}$$

両辺に $\frac{600R}{V}$ をかけると $P+2P=4P_0$ となり、$P=\frac{4}{3}{P}_0$ である。

② A にある割合。 同じ体積・同じ圧力なので、物質量は温度に反比例する。

$$n_{\mathrm{A}}:n_{\mathrm{B}}=\frac{1}{600}:\frac{1}{300}=1:2$$

A にある割合は $\frac{1}{3}$ である。はじめは半分ずつだったので、A から B へ移動したのは全体の $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ である。

③ 一般の温度 $T$。 ①と同じ式で、$600$ を $T$ にすると次のようになる。

$$\frac{P}{T}+\frac{P}{300}=\frac{2P_0}{300}⟹P=\frac{2T}{T+300}{P}_0$$

$T=900\mathrm{K}$ では $P=\frac{1800}{1200}{P}_0=1.5P_0$ である。

④ 圧力の上限。 ③の式を $P=2P_0-\frac{600}{T+300}{P}_0$ と変形すると、$T$ を大きくするほど $P$ は $2P_0$ に近づくが、こえないことが判明する。

A を高温にするほど、A に残存する物質量 $\frac{PV}{RT}$ は小さくなり、気体のほとんどが $300\mathrm{K}$ の B に集中する。全体の気体が体積 $V$ の B だけにあるとすると、はじめの体積 $2V$ の半分なので圧力は $2P_0$ になる。A に残存する気体が $0$ になることはないので、圧力は $2P_0$ に近づくだけで、到達しない。

まとめ 接続した容器の一方だけを温めると、気体は冷たい側へ移動する。圧力は共通で物質量の合計が一定という2つの条件から、温める側の温度によらず $2P_0$ をこえないという結論になる。

発展。 容器 B を A よりはるかに大きくすると、A を温めても圧力はほとんど変化せず、A の気体が B へ移動するだけになる。気体の圧力で温度を測定する気体温度計で、温度を測定する部分以外に接続された体積(管など)をできるだけ小さくするのは、このためである。

別解

別解:平均の温度を用いずに、物質量の比から先に求める。 同じ体積・同じ圧力では物質量が温度に反比例するので、A が $600\mathrm{K}$ のとき $n_{\mathrm{A}}:n_{\mathrm{B}}=1:2$ である。はじめは各容器に $n_0$ ずつ、合計 $2n_0$ あったので、B には $\frac{2}{3}\times 2n_0=\frac{4}{3}{n}_0$ がある。

B は体積 $V$・温度 $300\mathrm{K}$ のままなので、圧力は物質量に比例し、$\frac{4}{3}{P}_0$ である。温度の算術平均 $450\mathrm{K}$ を用いて全体を1つの気体とみなすと $1.5P_0$ となり、誤りになる。物質量が温度に反比例するので、平均は「温度の逆数」でとる必要がある。