ヒートポンプは電気の何倍の熱を運ぶか

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 順向きのカルノーサイクルは、高温の物体から熱 $Q_{\text{高}}$ を吸収し、その $e$ 倍を仕事 $W$ に変換し、差の $Q_{\text{低}}=Q_{\text{高}}-W$ を低温の物体に放出する。

可逆なサイクルを逆向きに運転すると、3つの矢印の向きがすべて反対になり、量の比はそのまま保たれる。つまり、仕事 $W$ を受けて低温から $Q_{\text{低}}$ を吸収し、高温に $Q_{\text{高}}=W+Q_{\text{低}}$ を放出する。必要な仕事は放出する熱の $e$ 倍である。

① 熱効率。

$$e=1-\frac{270}{300}=0.10$$

② 必要な仕事と吸収する熱。 室内に放出する熱 $1000\mathrm{J}$ の $e$ 倍が、必要な仕事である。

$$W=0.10\times 1000=100\mathrm{J}$$

外気から吸収する熱は、その差である。

$$Q_{\text{低}}=1000-100=900\mathrm{J}$$

③ 電熱線との比較。 電熱線では、電気エネルギーがそのまま熱になるので、$1000\mathrm{J}$ の熱には $1000\mathrm{J}$ の電気エネルギーが必要である。ヒートポンプでは $100\mathrm{J}$ で、$\frac{1}{10}$ である。

ヒートポンプは熱を発生させているのではなく、外気がもつ $900\mathrm{J}$ の熱を室内へ運んでいる。室内に放出する $1000\mathrm{J}$ は、受けた仕事 $100\mathrm{J}$ と外気から運んだ $900\mathrm{J}$ の和なので、エネルギー保存の法則には反しない。

④ 外気が冷えたとき。 $240\mathrm{K}$ と $300\mathrm{K}$ の間では、$e=1-\frac{240}{300}=0.20$ である。同じ $1000\mathrm{J}$ を放出するのに必要な仕事は $200\mathrm{J}$ で、$2$ 倍になる。温度差が $2$ 倍になると、必要な仕事もほぼ $2$ 倍になる。

⑤ 冷蔵庫として運転するとき。 今度は庫内から吸収する熱 $Q_{\text{低}}$ が目的である。$W=e{Q}_{\text{高}}$、$Q_{\text{低}}=Q_{\text{高}}-W=(1-e)Q_{\text{高}}$ なので、次のようになる。

$$\frac{Q_{\text{低}}}{W}=\frac{1-e}{e}=\frac{T_{\text{低}}}{T_{\text{高}}-T_{\text{低}}}=\frac{270}{30}=9$$

$1\mathrm{J}$ の仕事で、最大 $9\mathrm{J}$ の熱を庫内から運び出せる。

まとめ 可逆なサイクルを逆向きに運転すると、仕事を用いて低温から高温へ熱を運べる。運べる熱は仕事の何倍にもなり、その倍率は $\frac{T_{\text{高}}}{T_{\text{高}}-T_{\text{低}}}$ で、温度差が小さいほど大きい。

発展。 暖房で室内に放出する熱と、受けた仕事の比を、成績係数(COP)という。この問題の理想的な値は $\frac{1000}{100}=10$ である。実際の機器では、熱を伝達するときの温度差や摩擦などの損失があるので、成績係数はこの上限よりかなり小さくなる。

別解

別解:可逆なサイクルで成り立つ $\frac{Q_{\text{高}}}{T_{\text{高}}}=\frac{Q_{\text{低}}}{T_{\text{低}}}$ を用いる。 熱効率の式 $e=1-\frac{Q_{\text{低}}}{Q_{\text{高}}}=1-\frac{T_{\text{低}}}{T_{\text{高}}}$ を比較すると、可逆なカルノーサイクルでは熱の比が温度の比に等しい。これは逆向きに運転しても成り立つ。

$$Q_{\text{低}}=1000\times \frac{270}{300}=900\mathrm{J},W=1000-900=100\mathrm{J}$$

熱効率を経由せず、②の値が直接得られる。冷蔵庫の場合も、$\frac{Q_{\text{低}}}{W}=\frac{Q_{\text{低}}}{Q_{\text{高}}-Q_{\text{低}}}=\frac{T_{\text{低}}}{T_{\text{高}}-T_{\text{低}}}$ と同じ形で表せる。