物理 / 気体の熱力学

ガソリンエンジンの理論効率は圧縮比で定まる

★★★★ 難関熱機関断熱変化熱効率

問題

ガソリンエンジンを理想化したサイクル(オットーサイクル)を考える。 $n$ mol の2原子分子理想気体(定積モル比熱 $C_{V} = \frac{5}{2} R$ 、比熱比 $γ = 1.4$ )に、次の変化をこの順に行わせる。

A→B: 断熱圧縮。体積を $V_{1}$ から $\frac{V _{1}}{8}$ にする(圧縮比 $8$ )

B→C: 体積を一定に保って加熱する(燃料の燃焼にあたる)

C→D: 断熱膨張。体積を $V_{1}$ にもどす

D→A: 体積を一定に保って冷却する(排気にあたる)

断熱変化では $T V^{γ - 1}$ が一定である。A の温度は $300 K$ 、C の温度は $1800 K$ とし、 $8^{0.4} = 2.30$ とする。

オットーサイクル。A→B と C→D は断熱変化、B→C と D→A は定積変化

(1) B と D の温度を求めよ。

(2) B→C で吸収する熱に対する、D→A で放出する熱の比を求めよ。また、このサイクルの熱効率を求めよ。

(3) 熱効率が C の温度によらず、圧縮比だけで定まることを導け。

(4) 同じ $300 K$ と $1800 K$ の間ではたらくカルノーサイクルの熱効率 $1 - \frac{T _{低}}{T _{高}}$ と比較し、オットーサイクルの熱効率のほうが低い理由を述べよ。

ヒントを見る

A→B と C→D は、どちらも体積が $8$ 倍異なる2つの状態を結ぶ断熱変化である。それぞれの温度の比はいくらか。熱を吸収するのはどの区間で、放出するのはどの区間か。

解答・解説

方針

断熱変化の $T V^{γ - 1} =$ 一定で B と D の温度を求める。熱の出入りは定積の2つの区間だけで、どちらも $n C_{V} Δ T$ で表せる。2本の断熱線は体積の比が同じなので、温度の比も同じになり、熱の比が圧縮比だけで表される。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 4つの区間のうち、熱が出入りするのは定積の B→C と D→A だけで、断熱の区間では熱の出入りがない。そこで、まず断熱変化の式で4点の温度をすべて求め、2つの定積の区間の熱を $n C_{V} Δ T$ で表す。

2本の断熱線は、どちらも体積が $8$ 倍異なる状態を結んでいる。そのため温度の比はどちらも $8^{γ - 1}$ で等しく、熱の比が圧縮比だけで定まることが予想できる。

① B と D の温度。 A→B では $T V^{0.4}$ が一定なので、次のようになる。

$T_{B} = T_{A} \times 8^{0.4} = 300 \times 2.30 = 690 K$

C→D でも体積が $8$ 倍になるので、温度は $\frac{1}{2.30}$ 倍である。

$T_{D} = \frac{1800}{2.30} ≒ 783 K$

② 熱の比と熱効率。 定積の区間の熱は $n C_{V} Δ T$ である。B→C で吸収する熱と D→A で放出する熱の比は次のとおりである。

$\frac{Q _{放出}}{Q _{吸収}} = \frac{n C _{V} ( T _{D} - T _{A} )}{n C _{V} ( T _{C} - T _{B} )} = \frac{783 - 300}{1800 - 690} = \frac{483}{1110} ≒ 0.435$

熱効率は $1 - 0.435 ≒ 0.57$ である。

公式熱効率

e = \frac{W}{Q _{吸収}} = 1 - \frac{Q _{放出}}{Q _{吸収}}

③ 圧縮比だけで定まる理由。 圧縮比を $r$ とすると、 $T_{B} = r^{γ - 1} T_{A}$ 、 $T_{C} = r^{γ - 1} T_{D}$ である。これを代入すると、次のようになる。

$\frac{T _{D} - T _{A}}{T _{C} - T _{B}} = \frac{T _{D} - T _{A}}{r ^{γ - 1} ( T _{D} - T _{A} )} = \frac{1}{r ^{γ - 1}}$

熱効率は $e = 1 - r^{1 - γ}$ で、 $T_{C}$ は消去される。 $r = 8$ 、 $γ = 1.4$ なら $1 - \frac{1}{2.30}$ で、②と一致する。

4点の温度。熱を吸収するのは 690 K から 1800 K に上昇する B→C、放出するのは 783 K から 300 K に下がる D→A

④ カルノーサイクルとの比較。 カルノーサイクルの熱効率は $1 - \frac{300}{1800} ≒ 0.83$ である。

カルノーサイクルは、最高温度 $1800 K$ で熱を吸収し、最低温度 $300 K$ で熱を放出する。オットーサイクルは、温度が $690 K$ から $1800 K$ まで上昇する間に熱を吸収し、 $783 K$ から $300 K$ まで下がる間に熱を放出する。吸収する熱の一部は最高温度より低い温度で、放出する熱の一部は最低温度より高い温度でやりとりされるので、効率が低くなる。

まとめ オットーサイクルの熱効率は $1 - r^{1 - γ}$ で、燃焼の温度ではなく圧縮比で定まる。最高と最低の温度だけで熱をやりとりするカルノーサイクルの効率は、同じ温度の範囲では上回れない。

発展。 圧縮比を大きくすると効率は上がるが、ガソリンエンジンでは圧縮した混合気の温度が高くなりすぎ、点火する前に燃料が自然に発火しやすくなる。空気だけを圧縮して燃料を噴射し、自然に発火させるディーゼル機関は、この制約がないので、より大きな圧縮比で運転される。

答

(1) $T_{B} = 690 K$ 、 $T_{D} ≒ 783 K$ (2) 比は $\frac{1}{2.30} ≒ 0.435$ 、熱効率は約 $0.57$ (3) $T_{B} = 8^{γ - 1} T_{A}$ 、 $T_{C} = 8^{γ - 1} T_{D}$ より、 $\frac{T _{D} - T _{A}}{T _{C} - T _{B}} = \frac{1}{8 ^{γ - 1}}$ で、熱効率は $1 - 8^{1 - γ}$ (4) カルノーサイクルは約 $0.83$ 。オットーサイクルは、熱を吸収する温度が $690 K$ から $1800 K$ にわたり、放出する温度も $783 K$ から $300 K$ にわたるので、最高と最低の温度だけで熱をやりとりするカルノーサイクルより効率が低い

別解

別解:温度の比に着目して、A と B の間のカルノー効率に帰着させる。 2本の断熱線の温度の比が等しいので、 $\frac{T _{C}}{T _{B}} = \frac{T _{D}}{T _{A}}$ である。この比を $k$ とおくと、 $T_{C} = k T_{B}$ 、 $T_{D} = k T_{A}$ なので、次のようになる。

$\frac{T _{D} - T _{A}}{T _{C} - T _{B}} = \frac{( k - 1 ) T _{A}}{( k - 1 ) T _{B}} = \frac{T _{A}}{T _{B}}$

熱効率は $1 - \frac{T _{A}}{T _{B}} = 1 - \frac{300}{690} ≒ 0.57$ である。オットーサイクルの効率は、圧縮の始めと終わりの温度 $300 K$ と $690 K$ の間ではたらくカルノーサイクルの効率に等しい。燃焼でどれだけ高温にしても、効率を決定するのは圧縮で到達する温度である。

ポイント

断熱変化の $T V^{γ - 1} =$ 一定で、4点の温度を求める
$\frac{Q _{放出}}{Q _{吸収}} = \frac{T _{D} - T _{A}}{T _{C} - T _{B}} = r^{1 - γ}$ 。熱効率は圧縮比だけで定まる
熱効率は、A と B の温度の間のカルノー効率 $1 - \frac{T _{A}}{T _{B}}$ に等しい

よくある間違い

断熱変化の式を $T V^{γ} =$ 一定とする。圧力と体積なら $P V^{γ}$ 、温度と体積なら $T V^{γ - 1}$ が一定である
B→C や D→A の熱を $C_{P}$ で計算する。体積一定の変化なので $C_{V}$ を用いる
熱効率の分母に、放出した D→A の熱も含める。分母は吸収した B→C の熱だけである